演習問題3

解析 I 演習 3 （4/22）∗
• 板書する際には学生番号・名前も書いてください．
問 3-0．
（※ 板書解答対象外）次を計算せよ．
∞
∞
( 1 )n−1
∑
∑
(1)
2·
(2)
2 · 3n−1
3
n=1
n=1
問 3-1．次を計算せよ．
∞
∑
n=1
(3)
∞
∑
n=1
n2
1
+ 3n + 2
1
n(n + 1)(n + 2)
問 3-2．次の級数の収束・発散を判定せよ．
(1a)
∞
∑
n+1
2n + 1
n=1
(1b)
∞
∑
n2
(n + 1)2
n=1
∞ (
∑
1 )n
(3a)
2+
n
n=1
∞ (
∑
1 )n
(4a)
n · log(1 + )
3n
n=1
(2a)
∞
∑
2n
n=1
∞
∑
n!
n
2n
n=1
∞ (
∑
n )n 2
(3b)
1+n
n=1
(2b)
(4b)
∞
∑
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
n=1
3 · 6 · 9 · · · (3n)
問 3-3．次の正項級数が収束するとき，実数 α > 0 が満たす条件を求めよ．
∞ (
∑
1 )n 2
α+
n
n=1
問 3-4．正項級数
∑
an が収束するならば正項級数
∑
a2n も収束することを示せ．
問 3-5．(1) α を実数とする．次の級数の収束・発散を判定せよ．†
∞ ∫ n+1
∑
1
dx
xα
n
n=1
(2) α を実数とする．次の級数の収束・発散を判定せよ．
∞
∑
1
nα
n=1
∗
†
問題作成責任者：小関祥康（特別助教），研究室：6-104，e-mail：[email protected]
次の公式を用いてよい（積分定数は省略）．
{
∫
1
log |x|
(α = 1)
dx
=
1
−α+1
x
(α ̸= 1)
xα
−α+1
※ 以下は２回目演習問題の補足問題です．
問 2-11．2 つの数列 {an }，{bn } がそれぞれ α，β に収束するとき次が成り立つこ
とを示せ．
(1) lim (an + bn ) = α + β
n→∞
(2) lim (an bn ) = αβ
n→∞
an
α
(3) lim
=
（但し，β ̸= 0 とする）
n→∞ bn
β
(4) an ≤ bn (n = 1, 2, . . . ) ならば α ≤ β
【解答：問 3-0】(1) 3
(2) 正の無限大に発散する
(3) 1/2

Download Report