Blatt 3 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Doz.Dr.sc. Werner Kleinert
Übungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016)
Serie 3
Abgabe: 18.05.2016 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Kanonische Bijektionen (10 Punkte)).
Seien M , N und Q drei nicht leere Mengen, und seien πM : M ×N M und
πN : M × N N mit πM (x, y) := x bzw. πN (x, y) := y für alle (x, y) ∈ M × N
die offenbar surjektiven ”Projektionsabbildungen”.
(a) Zeige, daß die Mengen der rechtsinversen Abbildungen von πM und πN bijektiv äquivalent zu den Abbildungsmengen Abb(M, N ) bzw. Abb(N, M )
sind.
(b) Zeige mit Hilfe der Projektionen πM und πN , daß eine Bijektion
∼
H : Abb(Q, M × N ) −
→ Abb(Q, M ) × Abb(Q, N )
existiert und gib auch deren Inverse H −1 an.
Aufgabe 2 (Verallgemeinerung von Aufgabe 1 (10 Puntke)).
Q Sei (Mi )i∈I eine Familie nicht leerer Mengen mit Indexbereich I 6= ∅, P :=
i∈I Mi ihr Cartesisches Produkt, und sei Q 6= ∅ eine weitere Menge.
(a) Zeige mit Hilfe des Auswahlaxioms, daß für jedes i ∈ I eine surjektive
”i-te Projektionsabbildung” πi : P Mi existiert und daß t = (πi (t))i∈I
gilt für alle t ∈ P .
(b) Zeige mit Hilfe von a), daß eine kanonische Bijektion
Y
Y
∼
H : Abb(Q,
Mi ) −
→
Abb(Q, Mi )
i∈I
i∈I
existiert und gib auch deren Inverse H −1 an.
Aufgabe 3 (Abzählbar unendliche Mengen (10 Punkte)).
Seien N und Z die Mengen der natürlichen bzw. ganzen Zahlen im intuitiven
Sinne.
(a) Untersuche die Abbildungen ϕ : N × N → N mit ϕ(n, m) := 2n · 3m und
ψ : N×N → Z mit ψ(n, m) := n−m für alle (n, m) ∈ N×N auf Injektivität
und Surjektivität.
Zeige damit sowie durch Anwendung des Satzes von Cantor- SchröderBernstein, daß bijektive Abbildungen zwischen je zweien der Mengen N,
N × N, Z und Zn für jedes n ∈ N existieren müssen.
1
∼
(b) Gib eine bijektive Abbildung f : N −
→ Z und deren Inverse f −1 explizitkonstruktiv an.
Vergessen Sie nicht,
1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben,
2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen,
3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen.
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