Blatt 2 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Doz.Dr.sc. Werner Kleinert
Übungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016)
Serie 2
Abgabe: 11.05.2016 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Potenzmengen und Abbildungen (10 Punkte + 20 Bonuspunkte1 )).
(a) Sei M 6= ∅ eine Menge. Für jede Teilmenge A ∈ Pot(M ) sei die Abbildung
χA ∈ Abb(M, {0, 1}) definiert durch die Festlegung
(
1 für x ∈ A
χA (x) :=
0 für x ∈
/ A.
Zeige: Die Abbildung χ : Pot(M ) → Abb(M, {0, 1}), die durch χ(A) :=
χA für jedes A ∈ Pot(M ) induziert wird, ist bijektiv.
(b) Sei M eine endliche Menge mit m ∈ N Elementen. Beweise mittels
vollständiger Induktion, dass die Mengen Pot(M ) und Abb(M, {0, 1})
dann jeweils aus 2m Elementen bestehen.
(c∗ ) Seien M , N und Q drei nicht-leere Mengen. Konstruiere eine bijektive
Abbildung
∼
H : Abb(M × N, Q) −→ Abb M, Abb(N, Q)
nebst deren inverser Abbildung auf kanonische Weise.
(d∗ ) Seien M und N nicht-leere Mengen. Konstruiere mit Hilfe von Teil (a)
und Teil (c∗ ) eine bijektive Abbildung
∼
F : Pot(M × N ) −→ Abb M, Pot(N ) .
Aufgabe 2 (Anwendungen des Zornschen Lemmas (10 Punkte)).
Seien K ein Körper, V ein beliebiger, nicht notwendig endlich erzeugter KVektorraum, T ∈ Pot(V ) eine linear unabhängige Teilmenge und E ∈ Pot(V )
ein Erzeugendensystem von V .
(a) Zeige unter Anwendung des Zornschen Lemmas, dass V eine Basis B
mit T ⊆ B besitzt, also T zu einer Basis ergänzt werden kann (Basisergänzungssatz ).
(b) Zeige analog, dass V auch eine Basis C mit C ⊆ E besitzt, also aus E
eine Basis ausgesondert werden kann (Basisauswahlsatz ).
1 Die
*-Aufgaben sind fakultativ und erbringen Bonuspunkte.
1
Aufgabe 3 (Faktorisierende Abbildungen (10 Punkte)).
Seien M 6= ∅ und N 6= ∅ Mengen, f : M → N eine Abbildung, R ⊆ M ×
M eine Äquivalenzrelation auf M mit Quotientenmenge M/R und kanonischer
Projektion πR : M M/R.
(a) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Abbildung
f dafür an, dass eine Abbildung fe: M/R → N mit f = fe ◦ πR existiert,
das heißt, dass f über die Projektion πR faktorisiert.
(b) Zeigen Sie, dass die faktorisierende Abbildung fe: M/R → N im Falle der
Existenz eindeutig bestimmt ist.
(c) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Äquivalenzrelation R ⊆ M × M dafür an, dass die faktorisierende Abbildung
fe: M/R → N existiert und sogar injektiv ist.
Vergessen Sie nicht,
1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben,
2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen,
3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen.
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