Ubungen zur Vorlesung: Theoretische Mechanik

Prof. Dr. Reinhold Egger
Sommersemester 2016
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung: Theoretische Mechanik
Abgabe bis: Freitag, 29.04.2016, 12:00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1: Mo 02.05., 14:30 - 16:30, Hörsaal 5M
Gruppe 2: Mo 02.05., 14:30 - 16:30, Hörsaal 5J
Gruppe 3: Di 03.05., 12:30 - 14:30, Hörsaal 5M
Gruppe 4: Di 03.05., 12:30 - 14:30, Hörsaal 5L
Gruppe 5: Di 03.05., 14:30 - 16:30, Hörsaal 5M
Gruppe 6: Di 03.05., 14:30 - 16:30, Geb. 25.33.00.61
Aufgabe 1: Raumkurven
12 Punkte
Die Bewegung eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld sei durch die Bahnkurve ~r(t) = (x(t), y(t), z(t))T
beschrieben, wobei
x(t) = R cos(ωt), y(t) = R sin(ωt), z(t) = vz t
a) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v (t), den Beschleunigungsvektor ~a(t), sowie deren Beträge v(t) und
a(t), für die angegebene Bahnkurve. Aus der Geschwindigkeit v(t) können Sie durch Integration den zurückgelegten Weg s(t) berechnen, und damit die Bahnkurve ~r(s) als Funktion von s angeben. Bestimmen Sie damit
den Tangenteneinheitsvektor ~τ = d~r(s)/ds, und verifizieren Sie, dass die momentane Geschwindigkeit durch
~v = v~τ gegeben ist (also in Richtung der Tangente zeigt).
(5 Punkte)
b) Durch Differentiation von ~τ nach s und Normierung erhalten Sie den Kurvennormalenvektor ~n = rn d~τ /ds. Was
finden Sie für den Krümmungsradius rn ? Berechnen Sie den Binormalenvektor ~b = ~τ × ~n, und zeigen Sie, dass
das Dreibein (~τ , ~n, ~b) orthonormiert ist. Was ist der Unterschied zwischen diesem Dreibein und dem, das aus den
kartesischen Einheitsvektoren gebildet wird? Welche geometrische Kurve wird durch ~r(t) beschrieben? Fertigen
Sie eine Zeichnung an, die auch das oben berechnete Dreibein enthält.
(5 Punkte)
c) Zerlegen Sie den Beschleunigungsvektor ~a(t) in seinen Tangential- und Normalanteil. Welche Bedeutung hat die
Normalbeschleunigung?
(2 Punkte)
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Aufgabe 2: Galilei-Transformation
8 Punkte
Zwei Inertialsysteme K und K 0 werden durch die Raumkoordinaten xi und x0i und die Zeit t bzw. t0 beschrieben.
Die Galileitransformation g verknüpft K und K 0 gemäß (i = 1, 2, 3)
t0 = t + s,
x0i (t0 ) =
3
X
aij xj (t) + vi t + bi
j=1
Dabei ist s eine konstante Zeitverschiebung, der Vektor ~b = (b1 , b2 , b3 )T beschreibt eine räumliche Translation, und
~v = (v1 , v2 , v3 )T eine konstante Relativgeschwindigkeit zwischen K und K 0 . Die reelle orthogonale 3×3 Drehmatrix
A hat die Matrixelemente aij .
a) Wieviele freie Parameter besitzt g, und welche sind dies? Wie sind diese Parameter zu wählen, wenn man lediglich eine Drehung um den Winkel θ um die y-Achse beschreiben will? Wie lautet das Einselement g = 1g ,
welches K invariant lässt?
(3 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass das Hintereinanderausführen g1 ◦ g2 von zwei Galileitransformation wieder eine Galileitransformation ergibt. Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wie lautet die inverse Transformation g −1 ?
(3 Punkte)
c) Zeigen Sie das Assoziativgesetz:
(g1 ◦ g2 ) ◦ g3 = g1 ◦ (g2 ◦ g3 )
Mit den obigen Eigenschaften haben Sie bewiesen, dass die Elemente der Galileitransformation eine Gruppe
bilden.
(2 Punkte)
Allgemeine Hinweise zu den Übungen:
• Das Übungsblatt wird jeweils eine Woche vor dem Übungstermin online bereitgestellt. Die Frist zur Abgabe
endet am Freitag vor dem Übungstermin um 12:00 Uhr.
• Schriftliche Ausarbeitungen der Aufgaben (mit Name und Matrikelnr.) sind im Briefkasten der Theoretischen
Physik IV einzuwerfen (neben Sekretariat, Geb. 25.32.O3.47). Eine Abgabe per Email ist nicht möglich. Sie
erhalten Ihre Lösungen in der Übungsgruppe korrigiert zurück. Hier werden die Aufgaben besprochen und
vorgerechnet. Lösungen können maximal zu zweit abgegeben werden.
• Kriterien für Zulassung zur Modulprüfung:
– Insgesamt mind. 50 % der Punkte in schriftl. Ausarbeitung. Es gibt 10 Aufgabenblätter mit jeweils 20
Punkten, d.h. die Zulassung ist ab 100 Punkten erreicht.
– Regelmässige Teilnahme an den Übungssitzungen.
– Mindestens einmal an der Tafel vorrechnen.
• Es gibt keine Zulassungsklausur, aber vor der Modulprüfung wird ein Übungsblatt in Form einer typischen
Klausur gestellt, damit Sie Umfang und Schwierigkeit der Klausur in etwa abschätzen können.
• Die Modulprüfung wird als schriftliche Klausur am 08.08.2016 von 10:30 bis 12:30 Uhr stattfinden.
Erlaubte Hilfsmittel: Eine beidseitig und eigenhändig beschriebene DIN A4 Seite.
• Die Nachklausur wird am 11.10.2016, 10:30 bis 12:30 Uhr stattfinden. Es wird nachdrücklich die Teilnahme bei der ersten Klausur nahegelegt, der Schwierigkeitsgrad der zweiten Klausur ist sicher nicht geringer!
• Bei inhaltlichen Fragen zu den Übungen wenden Sie sich bitte an den Tutor bzw. die Tutorin Ihrer Übungsgruppe.
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