Blatt 5 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Doz.Dr.sc. Werner Kleinert
Übungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016)
Serie 5
Abgabe: 01.06.2016 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Fixpunktsatz von Tarski (20 Bonuspunkte)).
Sei M 6= ∅ eine Menge und (Pot(M ), ⊆) ihre durch Mengeninklusion teilgeordnete Potenzmenge. Eine Abbildung f : Pot(M ) → Pot(M ) heißt monoton
wachsend, falls gilt:
∀(A, B) ∈ Pot(M ) × Pot(M ) :
A ⊆ B =⇒ f (A) ⊆ f (B).
(a) Zeigen Sie, dass für jedes M 6= ∅ solche monoton wachsenden Selbstabbildungen von Pot(M ) existieren.
(b) Folgern Sie aus der Aussage des Fixpunktsatzes von Tarski aus der Vorlesung, dass eine abgeschwächte Version derselben für obige Situation gilt:
Jede monoton wachsende Abbildung f : Pot(M ) → Pot(M ) besitzt einen
Fixpunkt A0 ∈ Pot(M ), d. h., dass f (A0 ) = A0 gilt.
(Hinweis: Betrachten Sie die Menge M := {E ∈ Pot(M ) | E ⊆ f (E)}
mit der Inklusionsordnung, verifizieren Sie die Beziehung f (M) ⊆ M
und
zeigen Sie, dass dann der allgemeine Fixpunktsatz von Tarski auf
f M : M → M anwendbar ist.)
(c) Beweisen Sie die abgeschwächte Version (b) auf direktem Wege, d. h. ohne
Benutzung des allgemeinen Fixpunktsatzes von Tarski.
S
(Hinweis: Die Menge X0 := E∈M E könnte dafür nützlich sein!)
Aufgabe 2 (Standardmodell der natürlichen Zahlen (15 Punkte)).
Sei N0 das Standardmodell der natürlichen Zahlen mit Null nebst seiner Addition, Multiplikation und Totalordnung.
(a) Zeigen Sie, dass für alle Paare (n, m) ∈ N0 × N0 gilt:
(i) n · m = 0 genau dann, wenn n = 0 oder m = 0 ist.
(ii) n · m = 1 genau dann, wenn n = 1 und m = 1 ist.
(b) Sei für jede natürliche Zahl n ∈ N0 das n-te Anfangsstück An von N0
definiert durch An := {m ∈ N0 | m < n}. Zeigen Sie durch vollständige
Induktion: An = n als Mengen.
(c) Zeigen sie, dass für alle (n, m) ∈ N0 × N0 gilt:
(i) n ≤ m genau dann, wenn An ⊆ Am ist.
(ii) n = m genau dann, wenn An = Am ist.
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Aufgabe 3 (Der Ring der ganzen Zahlen (15 Punkte)).
Sei Z := N0 × N0 /∼ die Menge der ganzen Zahlen aus der Vorlesung.
(a) Zeigen Sie, dass auf Z die Addition, Multiplikation und Totalordnung
wohldefiniert sind und dass damit (Z, +, · ) ein kommutativer Ring mit
Einselement ist.
(b) Zeigen Sie, dass (Z, +, · ) ein Integritätsbereich mit der multiplikativen
Einheitengruppe (Z× , · ) = {1, −1} ist.
(c) Zeigen Sie, dass die kanonische Abbildung α : N0 → Z mit α(n) := [(n, 0)],
n ∈ N0 , injektiv, additiv, multiplikativ und ordnungserhaltend ist.
Vergessen Sie nicht,
1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben,
2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen,
3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen.
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