Kurvendiskussion

SchulzentrumGeschwisterSchollGymnasialeOberstufeBremerhaven
Kurvendiskussion
Hafner
GegebenseidieFunktion𝑓mit𝑓 𝑥 = 𝑥 % + 3𝑥 ( − 𝑥 − 3.
DerGraphderFunktion𝑓sollauffolgendeEigenschaftenuntersuchtwerden:
1. Symmetrie
2. VerhaltenimUnendlichen
3. Nullstellen
4. Extrempunkte
5. Wendepunkte
Zu1.Symmetrie:
WiruntersuchendenGraphenderFunktion𝑓aufzweiSymmetrieeigenschaften,wohl
wissend,dassesdurchausauchSymmetrienzuverschiedenenPunktengibt.
• Symmetriezury-Achse:
DerGraphderFunktion𝑓istsymmetrischzury-Achse,wenn𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)füralle
𝑥 ∈ ℝgilt.
Rechnung:
𝑓 −𝑥 = −𝑥 % + 3 −𝑥 ( − −𝑥 − 3 = −𝑥 % + 3𝑥 ( + 𝑥 − 3 ≠ 𝑥 % + 3𝑥 ( − 𝑥 − 3 = 𝑓 𝑥 DamitistderGraphderFunktionoffensichtlichnichtsymmetrischzury-Achse.
Anmerkung:
WenndieFunktionsgleichungnurausgeradenExponentenbesteht,istder
GraphderFunktionsymmetrischzury-Achse.
• SymmetriezumUrsprung:
DerGraphderFunktion𝑓istsymmetrischzumUrsprung,wenn𝑓 𝑥 = −𝑓 −𝑥 für
alle𝑥 ∈ ℝgilt.
Rechnung:
−𝑓 −𝑥 = −( −𝑥 % + 3 −𝑥 ( — 𝑥 − 3)
= −(−𝑥 % + 3𝑥 ( + 𝑥 − 3
= 𝑥 % − 3𝑥 ( + 𝑥 + 3
≠ 𝑥 % + 3𝑥 ( − 𝑥 − 3 = 𝑓(𝑥)
DamitistderGraphderFunktionauchnichtsymmetrischzumUrsprung.
Anmerkung:
WenndieFunktion𝑓nurausungeradenExponentenbesteht,dannistder
GraphderFunktion𝑓symmetrischzumUrsprung.
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Zu2.VerhaltenimUnendlichen:
WirmüsseneinfachdiehöchstePotenzdieserganzrationalenFunktionuntersuchen:
𝑓 𝑥 = 𝑥 % + 3𝑥 ( − 𝑥 − 3
Da𝑥 % für𝑥 → ∞auchunendlichwird,gilt:
𝑓 𝑥 → ∞für𝑥 → ∞
Für𝑥 → −∞gilt:𝑓 𝑥 → −∞
Zu3.Nullstellen:
BeieinerNullstellemussderWertderFunktiongleichNullsein:DaheristdieBedingung:
𝑓 𝑥4 = 0
Anm:DerHauptsatzderAlgebrabesagt,dasswirhöchstensdreiNullstellenfindenwerden,
dawireineganzrationaleFunktionvomGrad3vorliegenhaben.
Rechnung:
𝑥4% + 3𝑥4( − 𝑥4 − 3 = 0
DerTaschenrechnerliefertdieNullstellen:
𝑥46 = −3; 𝑥4( = 1; 𝑥4% = −1
Zu4:Extrempunkte
UmdieExtrempunktebestimmenzukönnen,müssenwirzunächstdieExtremstellen
ermitteln.HierfürbenötigenwirdieersteunddiezweiteAbleitungderFunktion:
𝑓 𝑥 = 𝑥 % + 3𝑥 ( − 𝑥 − 3
𝑓 9 𝑥 = 3𝑥 ( + 6𝑥 − 1
𝑓 99 𝑥 = 6𝑥 + 6
DieersteAbleitungliefertunsInformationenüberdieÄnderungsratebzw.Steigungdes
GraphenaneinerbestimmtenStelle.
DiezweiteAbleitungliefertunsInformationenüberdieKrümmungdesGraphenaneiner
bestimmtenStelle.
BeieinemMaximumgilt:
• DieSteigungdesGraphenistandieserStellegleichNull.
• DieKrümmungdesGraphenistandieserStellenegativ.
BeieinemMinimumgilt:
• DieSteigungdesGraphenistandieserStellegleichNull.
• DieKrümmungdesGraphenistandieserStellepositiv.
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Dasbedeutetfüruns,dasswirfürdieExtremstellenzuerstdieNullstellenderersten
AbleitungfindenundanschließenddieKrümmungdesGraphenandieserStelleuntersuchen
müssen.
Anm.DadieersteAbleitungeineganzrationaleFunktionvomGradzweiist,kannderGraph
derFunktion𝑓maximalzweiExtremstellenhaben.
Rechnung:
3𝑥;( + 6𝑥; − 1 = 0
DerTaschenrechnerliefert:
𝑥;6 ≈ 0,155; 𝑥;( ≈ −2,155
DieseStellenmüssenwirnunindiezweiteAbleitungeinsetzenundwerdenerfahren,ob
dorteinMinimumodereinMaximumvorliegt.
𝑓 99 0,155 = 6 ⋅ 0,155 + 6 = 6,93 > 0
AnderStelle𝒙𝑬𝟏 ≈ 𝟎, 𝟏𝟓𝟓liegtdamiteinMinimumdesGraphenderFunktion𝒇.
𝑓 99 −2,155 = 6 ⋅ −2,155 = −6,93 < 0
AnderStelle𝒙𝑬𝟐 ≈ −𝟐, 𝟏𝟓𝟓liegtdamiteinMaximumdesGraphenderFunktion𝒇.
NunwerdenwirnochdiezugehörigenFunktionswerteausrechnenunderhaltendamitden
HochpunktundTiefpunktdesGraphenderFunktion𝑓.
𝑓 𝑥 = 𝑥 % + 3𝑥 ( − 𝑥 − 3
𝑓 0,155 = 0,155 % + 3 ⋅ 0,155 ( − 0,155 − 3 ≈ −3,08
𝑓 −2,155 = −2,155 % + 3 ⋅ −2,155 ( − 2,155 − 3 ≈ 3,08
DamitlautetderHochpunktdesGraphenderFunktion𝑓:
𝐻𝑃(−2,155|3,08)
undderTiefpunktdesGraphenderFunktion𝑓:
𝑇𝑃(0,155| − 3,08)
Zu5:Wendepunkte
BeieinemWendepunktändertsichdieKrümmungdesGraphenderFunktion.
DirektandieserWendestellesolldieKrümmunggleichNullsein.
Dasiesichaberändernsoll,mussdieÄnderungsratederKrümmungungleichNullsein.
DamithabenwirfolgendeBedingungen:
𝑓′′ 𝑥R = 0und𝑓′′′(𝑥R ) ≠ 0
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Rechnung:
𝑓′′(𝑥S ) = 6𝑥S + 6 = 0
6𝑥R + 6 = 0
𝑥S = 1
DadiedritteAbleitungderFunktion𝑓𝑓 999 𝑥 = 6 ≠ 0ist,habenwireineechte
Wendestelle.
WennwirdenWertderFunktionbestimmen,erhaltenwirdenWendepunkt:
𝑓 1 = 0
DamithabenwirdenWendepunkt:
𝑊𝑃 1 0 AnderZeichnungkönnenwirerkennen,dassunsereBerechnungenkorrektsind.

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