Dissertation ETH Nr. 22856
Kraftfluss in Stahlbetonplatten
Abhandlung
zur Erlangung des Titels
DOKTOR DER WISSENSCHAFTEN der ETH ZÜRICH
(Dr. sc. ETH Zürich)
vorgelegt von
SIMON ZWEIDLER
Dipl. Bauingenieur ETH/FH
geboren am 09. April 1975
Bürger von Bachs ZH
angenommen auf Antrag von
Prof. Dr. Peter Marti, Referent
Prof. Dr. Walter Kaufmann, Korreferent
Prof. Dr. Johann Kollegger, Korreferent
2015
Vorwort
Stahlbetonplatten sind in der Betonbauweise die am häufigsten verwendeten Tragelemente und
gehören damit zum festen Bestandteil der Arbeit eines im konstruktiven Ingenieurbau tätigen
Bauingenieurs. Im Vergleich zum Stahlbetonbalken ist aufgrund der zusätzlichen räumlichen
Dimension die Steuerung des Kraftflusses im Traglastzustand bis anhin nicht möglich. Die Bemessung erfolgt entweder auf der Basis von elastisch ermittelten Schnittgrössen unter Verwendung der
Normalmomenten-Fliessbedingung oder unter Vernachlässigung der Drillmomente mit der etablierten Streifenmethode. Der daraus resultierende, auf dem unteren Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie basierende Kraftfluss ist damit in beiden Fällen verschieden von demjenigen, welcher effektiv im Traglastzustand eintreten wird.
Mit der vorliegenden Abhandlung „Kraftfluss in Stahlbetonplatten“ wird dieser unbefriedigende
Umstand dahingehend gelöst, indem das Herstellen eines direkten Bezugs zwischen Lastabtragung
und Anordnung sowie Menge der Bewehrung gelingt. Damit ist ein konstruktives Arbeiten auch im
Traglastzustand wie beim Stahlbetonbalken möglich. Die sich durch ihre Einfachheit auszeichnende Berechnungsmethode ermöglicht das Finden der vollständigen Lösung von ausgewählten
orthogonal beziehungsweise schiefwinklig bewehrten Stahlbetonplatten.
Die erarbeiteten Grundlagen zur Steuerung des Kraftflusses im Traglastzustand sollen hierbei zu
einem besseren Verständnis des Tragverhaltens von Stahlbetonplatten beitragen. Einerseits lässt
sich damit die vollständige Lösung von weiteren Segmentplatten finden; andererseits können die
daraus resultierenden Erkenntnisse dem Auffinden eines statisch zulässigen Spannungszustandes
mit höherem unterem Grenzwert dienen.
Diese Abhandlung entstand während meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut
für Baustatik und Konstruktion der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich. Mein aufrichtiger Dank gilt Herrn Professor Dr. Peter Marti, der mir die Durchführung des fachlich weitgefächerten Doktorats in geistiger Unabhängigkeit ermöglichte. Ebenso danke ich den Herren Professoren Dr. Walter Kaufmann und Dr.-Ing. Johann Kollegger für die Begleitung dieser Arbeit und die
Übernahme des Korreferats.
Meinen derzeitigen und ehemaligen Kolleginnen und Kollegen am Institut für Baustatik und
Konstruktion danke ich für die zahlreichen fachlichen Diskussionen. Schliesslich bedanke ich mich
bei meiner Familie für das entgegengebrachte Verständnis und den Rückhalt während des Entstehens dieser Arbeit.
Zürich, im April 2016
Simon Zweidler
Kurzfassung
Der Verbundwerkstoff Stahlbeton ist durch das herstellungsbedingte Giessen des Betons in die
formgebende Schalung für Flächentragwerke wie Platten, Scheiben und Schalen prädestiniert. Die
häufigste Anwendung betrifft dabei Stahlbetonplatten. Von der äusserlichen Betonhülle ist der
Kraftfluss nur vermeintlich ablesbar; dieser wird namentlich im Traglastzustand vorwiegend von
der im Beton eingelegten Stahlbewehrung bestimmt. Die mit der freien Wahl der Menge sowie der
Anordnung der Bewehrung gegebene Freiheit wird bezüglich der Steuerung des Kraftflusses bis
anhin zu wenig genutzt.
In der vorliegenden Abhandlung wird darum der zum Traglastzustand gehörende Kraftfluss in
orthogonal beziehungsweise schiefwinklig bewehrten Stahlbetonplatten ins Zentrum gestellt.
Hierzu ermöglicht erstens eine mit sogenannten Fliessgeraden erweiterte Darstellung von Mohrschen Kreisen unter Einbezug des Biegewiderstandes die Konstruktion von verträglichen Spannungszuständen auf der Basis der Normalmomenten-Fliessbedingung; die mit der kinematischen
Diskontinuitätslinie verträglichen Mohrschen Kreise müssen sich dabei in sogenannten Angelpunkten schneiden. Zweitens lassen sich von den infinitesimalen Diskontinuitäten mittels räumlicher
Ausdehnung Schnittkörperdiagramme erzeugen, an welchen sich die Gleichgewichtsbedingungen
von Platten formulieren lassen. Diese beiden Darstellungen stellen den zentralen Punkt der vorliegenden Abhandlung dar; damit gelingt auf Basis des Verträglichkeitssatzes der Plastizitätstheorie
eine abschliessende Diskussion des Kraftflusses an Diskontinuitätslinien sowie deren Schnittpunkten, in Fächern, Fliessregionen und in Plattensegmenten.
Die daraus sich ergebenden Folgerungen sind als Verallgemeinerung der von Nielsen bezüglich
des Kraftflusses in isotropen Stahlbetonplatten geführten Diskussion einzuordnen. Ebenso gelingt
damit eine abschliessende Klärung über die in der vollständigen Lösung mögliche Existenz von den
aus der sogenannten „Nodal-Force“-Theorie bekannten Knotenkräften. Knotenkräfte des Typs I
können auftreten; hingegen wird die Existenz von Knotenkräften des Typs II widerlegt. Daraus lässt
sich weiter folgern, dass der vermeintliche Informationsgewinn sowohl durch die „Nodal-Force“Theorie als auch durch die „Equilibrium“-Methode in Form von Knotenkräften nichtig ist; die beiden Theorien können nicht zielführend sein und sind damit widerlegt. Die Gleichgewichtsbetrachtung der „Nodal-Force“-Theorie ist trotzdem in eine neue Anwendung überführbar, indem sich
gegebene Mechanismen auf allfällige Knotenkräfte des Typs II überprüfen lassen. Sind solche Knotenkräfte erforderlich, kann der entsprechende Mechanismus nicht zur vollständigen Lösung gehören; die daraus folgende Last entspricht lediglich einem oberen Grenzwert der Traglast.
Auf der Basis der gewonnenen Erkenntnisse gelingt die Entwicklung der vollständigen Lösung
für gleichförmig belastete, dreieck- oder trapezförmige Plattensegmente. Die Segmente sind an der
längsten Kante einfach gelagert und weisen eine beliebig wählbare orthogonale oder schiefwinklige
Bewehrung auf. Die entwickelten Lösungen ermöglichen mittels einfacher Handrechnung das Auffinden der vollständigen Lösung für ausgewählte Plattenbeispiele; die definierte Zielsetzung einer
direkten Verknüpfung zwischen Lastabtragung (Steuerung des Kraftflusses) sowie Anordnung und
Menge der Bewehrung ist damit erreicht. Die vorliegende Methodik ermöglicht dem konstruktiv
tätigen Ingenieur das ihm ureigene und von Balkenkonstruktionen vertraute Konstruieren auch bei
Stahlbetonplatten.
Abstract
The composite material reinforced concrete is predestinated for surface structures such as slabs,
panels and shells due to the way it is produced by casting. Reinforced concrete slabs are the most
common application. Their force path cannot be deduced from the external concrete shape, as at
ultimate limit state it is determined by the embedded reinforcement. Presently, the freedom of influencing the force path by choosing the amount and distribution of the reinforcement is not sufficiently used.
This is why the present work focuses on the force paths belonging to the ultimate limit states of
orthogonally and skewly reinforced concrete slabs. The so called yield traces extended representation of Mohr's circles considering the bending capacity, enables the construction of compatible
stress states based on the normal moment yield condition. The Mohr's circles, which are compatible
with the kinematic discontinuity line, must intersect at the so called pivots. Further, by expanding
the two-dimensional infinitesimal discontinuities, free body diagrams can be created to formulate
the equilibrium equations of slabs. Both presentations are the central point of the present work. It
enables the concluding discussion of the force path at discontinuity lines as well as their intersections, fan mechanisms, yield regions and slab segments.
The resulting conclusions can be considered as a generalisation of Nielsen's discussion on the
force flow in isotropic reinforced concrete slabs. Further, the possible existence of nodal forces
known from the so called Nodal-Force-Theory in the complete solution is clarified. Typ I nodal
forces can occur, while the existence of Typ II nodal forces is disproven. It can be concluded further
that the alleged information gain in the form of nodal forces is void both by the Nodal-Force-Theory
and the Equilibrium-Method; the two theories are therefore disproven. However, this leads to a new
application of the equilibrium considerations of the Nodal-Force-Theory, where given mechanisms
can be tested for Type II nodal forces. If such nodal forces are necessary, then the mechanism can't
belong to the complete solution and the corresponding load merely corresponds to an upper bound
limit of the ultimate load.
Based on the gained insights a complete solution for uniformly loaded triangular or trapezoidal
slab segments is developed. The segments are simply supported along their longest side and have
an orthogonal or skew reinforcement that can be chosen arbitrarily. The developed solutions allow
the determination of the complete solution of selected slab examples with simple hand calculations.
Thus the defined goal of a direct connection between load bearing (influencing the force path) and
the distribution as well as amount of reinforcement is achieved. The present method allows the practising Engineer to apply the detailing procedures familiar for beams to reinforced concrete slabs.
Inhaltsverzeichnis
1
2
Einleitung
1
1.1
Problemstellung
1
1.2
Zielsetzung
2
1.3
Übersicht
2
1.4
Abgrenzung
4
Stahlbetonplatten: Grundlagen
5
2.1
Thermomechanische Grundlagen
5
2.1.1
Einleitung
5
2.1.2
Prinzip der virtuellen Leistungen
6
2.1.3
Thermodynamische Grundlagen
8
2.1.4
Plastizitätstheorie
12
2.1.5
Herleitung der Grenzwertsätze
19
2.1.6
Verträglichkeitssatz und Einspielsatz
22
2.2
3
4
Theorie schubstarrer Platten
24
2.2.1
Gleichgewichtsbedingungen
24
2.2.2
Kinematische Relationen
27
2.2.3
Konstitutive Gleichungen
28
2.3
Normalmomenten-Fliessbedingung
29
2.4
Diskontinuitätslinien
34
2.4.1
Statische Diskontinuitätslinien
34
2.4.2
Kinematische Diskontinuitätslinie
36
Querkraftfeld in Platten
39
3.1
Gleichgewichtslösung
39
3.2
Elastische Lösung
45
3.3
Vergleich der Lösungen
47
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
51
4.1
Einleitung
51
4.2
Statische Diskontinuitätslinien
51
4.2.1
Darstellung mit Wirbelschichten
51
4.2.2
Analogie zur Fluidmechanik
54
4.2.3
Plastische Verträglichkeit
57
Kinematische Diskontinuitätslinie
64
4.3
i
5
Querkraftfluss in Plattensegmenten
73
5.1
Segmentlinien
73
5.2
Segmentecken
75
5.2.1
Erster Fall; Fliessregime III
75
5.2.2
Zweiter Fall; Fliessregime I
80
5.2.3
Dritter Fall; Fliessregime II
87
5.2.4
Schlussbetrachtung
88
5.3
Fächer
5.4
Fliessregionen
100
5.5
Plattensegmente
102
5.5.1
Aufteilung der Eigenspannungszustände
102
5.5.2
Eigenspannungszustand Typ „div m = 0“
103
Eigenspannungszustand Typ v
h2

5.5.4
Eigenspannungszustand Typ v
h1

5.5.5
Orthotrop bzw. schief bewehrtes Trapezsegment
116
5.5.6
Orthotrop bzw. schief bewehrtes Dreiecksegment
123
5.5.3
6
7
ii
90
Anwendungsbeispiele
125
6.1
Einleitung
125
6.2
Rechteckplatte mit orthotroper Bewehrung
127
6.3
Trapezplatte mit orthotroper Bewehrung
130
6.4
Schiefe Platte mit schiefer Bewehrung
135
Zusammenfassung und Folgerungen
141
7.1
Zusammenfassung
141
7.2
Folgerungen
142
7.3
Ausblick
145
Literaturverzeichnis
147
Bezeichnungen
153
1
Einleitung
1.1
Problemstellung
Der Verbundwerkstoff Stahlbeton ist durch das herstellungsbedingte Giessen des Betons in die
formgebende Schalung für Flächentragwerke wie Platten, Scheiben und Schalen prädestiniert. Die
häufigste Anwendung betrifft Stahlbetonplatten. Von der äusserlichen Betonhülle ist dabei der
Kraftfluss nicht ablesbar; dieser wird namentlich im Traglastzustand vorwiegend von der im Beton
eingelegten Stahlbewehrung bestimmt. Die mit der freien Wahl der Menge sowie der Anordnung
der Bewehrung gegebene Freiheit wird bezüglich der Steuerung des Kraftflusses jedoch bis anhin
zu wenig genutzt.
Dies lässt sich damit erklären, dass die im Vergleich zum Balken zusätzliche Dimension bei der
Beschreibung von Flächentragwerken die Komplexität ungemein steigert. Ein zum Balken analoges
Konstruieren ist bis anhin unmöglich; dem konstruktiv tätigen Ingenieur bleibt nur der Weg der
Analyse. Diese basiert auf der Ermittlung von elastischen Schnittgrössen unter Verwendung der
etablierten Plattentheorien. Dünne und damit schubstarre Platten lassen sich mittels der zum Balken
analogen Vorstellung vom Ebenbleiben der Querschnitte nach Bernoulli mit der Theorie von Kirchhoff berechnen [32]. Reissner und Mindlin liessen die sogenannte Bernoulli-Hypothese fallen und
erweiterten die Theorie auf schubsteife Platten, womit das Tragverhalten von dicken Platten realitätsnah erfasst werden kann [53, 75]. Für die Berechnung von Stahlbetonplatten haben diese elastisch verträglichen Lösungen bis zum Erreichen des Rissmomentes ihre Gültigkeit; dabei ist der
Tragwiderstand jedoch längst nicht erreicht.
Die Laststeigerung führt beim Überschreiten des Rissmoments am jeweiligen Ort zu einer Steifigkeitsabminderung, welche aufgrund der statischen Unbestimmtheit der Platte mit elastischen
Schnittkraftumlagerungen einhergeht. Die gerissenen Bereiche weiten sich bei steigender Belastung bis zum Erreichen der elastischen Grenzlast beziehungsweise der Traglast kontinuierlich aus,
wobei im letzteren Fall auch plastische Schnittkraftumlagerungen notwendig sind. Dieses komplexe Verhalten kann durch Erweitern der erwähnten Theorien mit Hilfe von aufwendigen, inkrementellen Berechnungen erfasst und abgebildet werden; abgesehen von der Traglast sind die daraus
gewonnenen Resultate aus baupraktischer Sicht jedoch von geringem Interesse.
Für den konstruktiv tätigen Ingenieur ist es hingegen von eminenter Wichtigkeit, die Traglast
zuverlässig bestimmen zu können. Anstatt mit dem beschriebenen inkrementellen Vorgehen lässt
sich diese auch direkt auf der Basis des unteren (statischen) und oberen (kinematischen) Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie ermitteln. Fallen die berechnete untere und obere Schranke zusammen,
handelt es sich gemäss dem Verträglichkeitssatz um die vollständige Lösung [80]. Der zur so
gewonnenen Traglast gehörende Spannungszustand lässt sich in einen elastischen Anteil und den
zugehörigen (optimalsten) Eigenspannungszustand auftrennen. Die elastische Lösung lässt sich mit
den erwähnten Plattentheorien ermitteln; der Eigenspannungszustand resultiert aus der vollständigen Entlastung vom Niveau der Traglast. Dieser optimal eingeprägte Zustand bewirkt bei erneuter
1
Einleitung
Belastung bis zur Traglast gemäss Einspielsatz keine zusätzlichen plastischen Verformungen und
somit keine progressive Schädigung in der Platte [35, 63].
In der Praxis wird in praktisch allen Fällen vom unteren Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie
Gebrauch gemacht. Die Schnittkraftermittlung erfolgt in der Regel aufgrund linear elastischer
Berechnungen nach der Methode der Finiten Elemente. Die so gewonnene Lösung stellt gemäss
Plastizitätstheorie einen statisch zulässigen Spannungszustand dar, welcher unter Einhaltung der
Fliessbedingung auf der sicheren Seite liegt. Dies lässt sich dadurch erreichen, indem die erforderliche Bewehrung unter Zuhilfenahme der Normalmomenten-Fliessbedingung bestimmt wird. Dieses im Kern analytische Vorgehen lässt dem Konstrukteur bezüglich der Beeinflussung des Kraftflusses oder gar einer hinsichtlich der Traglast optimierten Bewehrungsführung keine
Gestaltungsmöglichkeiten; mit den elastisch ermittelten Schnittgrössen ist der Kraftfluss gegeben.
Eine zweite Vorgehensweise liegt in der Anwendung der einfachen Streifenmethode [18], bei
welcher durch Vernachlässigung der Drillmomente eine Reduktion der angesprochenen Komplexität erzielt wird. Die Platte wird mittels zweier zueinander orthogonaler oder schiefer Balkenlagen
idealisiert, wodurch sich der Kraftfluss im Traglastzustand mit entsprechend gewählten Biegewiderständen gewissermassen steuern lässt. Diese ebenfalls auf dem unteren Grenzwertsatz basierte
Methode setzt einen auf die Biegemomente reduzierten statisch zulässigen Spannungszustand voraus, welcher im Allgemeinen von dem zur Traglast gehörenden Spannungszustand abweicht.
1.2
Zielsetzung
Sowohl die Steigerung der Komplexität wegen der im Vergleich zum Balken zusätzlich vorhandenen Dimension als auch die bezüglich des Widerstands vorhandene Anisotropie eröffnen dem Konstrukteur in umgekehrter Betrachtungsweise grosse Freiheiten, da sich der Kraftfluss im Gegensatz
zu einem homogen isotropen Materialverhalten durch die frei wählbare Bewehrungsanordnung
beliebig steuern lässt.
In der vorliegenden Abhandlung sollen daher die am Balken bewährten Konstruktions- und
Berechnungsmethoden auf Stahlbetonplatten übertragen werden. Als Ergebnis wird ein Vorgehen
angestrebt, welches einen direkten Bezug zwischen Lastabtragung sowie Anordnung und Menge
der Bewehrung herstellt und damit ein konstruktives Arbeiten wie bei Balken ermöglicht. Damit
lassen sich für ein gegebenes statisches System durch unterschiedliche Bewehrungsanordnungen
verschiedene Lastabtragungen auf dem Traglastniveau generieren. Dies führt letztendlich zum
übergeordneten Ziel, mit der angestrebten Methodik dem konstruktiv tätigen Ingenieur das ihm
ureigene Konstruieren auch bei Stahlbetonplatten zu ermöglichen.
1.3
Übersicht
Die in Kapitel 1.2 formulierte Zielsetzung legt den Fokus auf das Auffinden des zur Traglast gehörenden Spannungszustandes und des damit einhergehenden Kraftflusses. Die hauptsächliche
Schwierigkeit besteht darin, den Lösungsraum aller statisch zulässigen Spannungszustände durch
allgemeingültige Aussagen möglichst eng fassen zu können, ohne dabei durch unsachgemässe
Schlussfolgerungen das Auffinden von vollständigen Lösungen zu verunmöglichen. Dies erfordert
eine präzis geführte Diskussion, wobei das Hauptaugenmerk stets auf die durch den Verträglichkeitssatz geforderte plastische Verträglichkeit gerichtet ist [80]; die Verträglichkeit muss in Bezug
auf die vollständige Lösung immer erfüllt sein.
2
Übersicht
Im ersten Teil (Kapitel 2) erfolgt in kompakter Form ein axiomatischer Aufbau der thermomechanischen Grundlagen, welche das Fundament sowohl der Plastizitäts- als auch der Elastizitätstheorie darstellen. Speziell hervorzuheben ist dabei die duale Betrachtung des plastischen Potentials
und der Dissipationsleistung, welche mittels Legendre-Transformation miteinander in Beziehung
gebracht und damit an den thermodynamischen Hauptsätzen angebunden werden können. Ausgehend von diesem allen Kontinua zugrundeliegenden thermomechanischen Rahmen wird einerseits
mittels kinematischer Restriktion die schubstarre Plattentheorie nach Kirchhoff aufbereitet und
anderseits die für die plastische Betrachtung von Stahlbetonplatten notwendige NormalmomentenFliessbedingung hergeleitet. Den drei daraus resultierenden Fliessregimen kommt eine zentrale
Bedeutung zu. Zuletzt werden die statischen und kinematischen Diskontinuitätslinien eingeführt,
womit alle für die in Kapitel 1.1 formulierte Problemstellung benötigten Grundlagen bereitstehen.
Im zweiten Teil (Kapitel 3) wird die Untersuchung des Kraftflusses mittels einer globalen
Betrachtung auf Basis des Querkraftfeldes angestossen; dieses lässt sich allgemein in divergenzund rotationsfreie Anteile aufspalten. Die mathematisch geführte Diskussion bringt nebst der Einführung der zur Kraftdichte analogen Wirbeldichte neue Beziehungen hervor, die in den nachfolgenden Kapiteln Verwendung finden. Die zwischen Platte und Membranschale bestehende Analogie ermöglicht eine mechanische Interpretation des Kraftflusses und erlaubt, den Unterschied
zwischen einem lediglich statisch zulässigen Spannungszustand und dem der elastischen Lösung
entsprechenden Spannungszustand aufzuzeigen. Es lässt sich damit zum Beispiel für eine im Zentrum punktgestützte, gleichförmig belastete Quadratplatte zeigen, dass der zur vollständigen Lösung
gehörende Kraftfluss ein Wirbelfeld aufweist, während die elastische Lösung aller homogen isotropen, schubstarren Platten wirbelfrei sein muss; die Diskussion über das Einprägen von Wirbeln im
Querkraftfeld sowie deren Verträglichkeit ist damit lanciert.
Der Fokus des dritten Teils (Kapitel 4) liegt auf dem mit geraden Diskontinuitätslinien verträglichen Kraftfluss. Hierbei gelingt bezüglich der in Kapitel 3.3 formulierten Fragestellung, ob und
wie Wirbelfelder überhaupt bestehen, mittels eines Analogieschlusses zur Fluidmechanik eine erste
Klärung in Form einer mechanischen Modellvorstellung. Die Frage nach der plastischen Verträglichkeit von statischen Diskontinuitätslinien wird dabei mit einer neuartigen, um die Verträglichkeit
erweiterten Darstellung von Mohrschen Kreisen beantwortet, welche in der vorliegenden Abhandlung die Schlüsselkonstruktion darstellt. Damit gelingt der Übergang zur kinematischen Diskontinuitätslinie samt Klärung des daran möglichen Kraftflusses.
Im vierten Teil (Kapitel 5) wird die Untersuchung des Kraftflusses auf Basis der in den
Kapiteln 3 und 4 gewonnenen Erkenntnisse insbesondere mit Hilfe der erweiterten Darstellung der
Mohrschen Kreise auf Schnittpunkte von Diskontinuitätslinien (Ecken), Fächer, Fliessregionen und
Plattensegmente ausgedehnt. Dies ermöglicht unter Einbezug der Verträglichkeit eine abschliessende Klärung bezüglich der aus der Literatur bekannten Knotenkräfte (nodal forces). Die Erweiterung der Konstruktion um den Mohrschen Kreis des negativen Biegewiderstands führt für gerade
verlaufende kinematische Diskontinuitätslinien auf die vollständige Lösung von allgemeinen
Fächern, und ermöglicht mit der Auflösung der geometrischen Restriktion die Beschreibung von
Fliessregionen. Die Diskussion des Kraftflusses wird mit der Entwicklung des zur vollständigen
Lösung gehörenden Spannungszustandes zweier Plattensegmente abgeschlossen.
Der letzte Teil (Kapitel 6) illustriert an drei ausgewählten Plattenbeispielen die Ermittlung der
vollständigen Lösung mittels einfacher Handrechnungen. Die drei Beispiele unterscheiden sich
sowohl in der Grundrissform als auch in der Bewehrungsführung.
3
Einleitung
1.4
Abgrenzung
Die in der vorliegenden Abhandlung gewonnenen Erkenntnisse gründen auf der NormalmomentenFliessbedingung [64, 79, 95]. Hierbei sind die Plattenmomente als verallgemeinerte Schnittgrössen
zu verstehen. Effekte wie die Verschiebung der Neutralachse im gerissenen Zustand oder unterschiedliche, durch orthotrope Bewehrung hervorgerufene Dicken der Druckzonen sind der verfeinerten Modellvorstellung des Sandwichmodells [45, 46] zuzuordnen und finden hier keine Berücksichtigung.
Die Traglast wird gemäss Plastizitätstheorie nach Theorie 1. Ordnung bestimmt. Beanspruchungen nach Theorie 2. Ordnung, wie beispielsweise Membranspannungszustände oder Dom-Effekte,
werden nicht berücksichtigt.
Sowohl die Widerstandsüberschätzung der Normalmomenten-Fliessbedingung bei hohen
Bewehrungsgehalten und reiner Drillmomentenbeanspruchung [64, 43] wie auch der begrenzte
Schubwiderstand von Stahlbetonplatten [23] finden hier ebenfalls keine Berücksichtigung.
4
2
Stahlbetonplatten: Grundlagen
2.1
Thermomechanische Grundlagen
2.1.1
Einleitung
Die für die nachfolgenden Ausführungen zu den Stahlbetonplatten notwendigen thermomechanischen Grundlagen werden in kompakter Form hergeleitet. Damit lässt sich, ohne Abstriche beim
axiomatischen Aufbau vornehmen zu müssen, auf die unabdingbaren Definitionen hinweisen.
Ausgehend von einem euklidischen Raum sowie der Definition des Dehnungsmasses lassen sich
für ein infinitesimales Volumenelement eines beliebigen Körpers die Verformungen (resultierend
aus der Differenz von der unverformten zur verformten Lage) mit den Verzerrungen in Form von
kinematischen Relationen verknüpfen. Die Anwendung des Impulssatzes auf das Volumenelement
führt ferner auf die infinitesimale Gleichgewichtsbedingung in Richtung der drei Koordinatenachsen; die Anwendung des Drallsatzes führt auf die Symmetrie des Spannungstensors.
Für ein statisches System mit vorgegebenen Randbedingungen lässt sich durch Erfüllen der
kinematischen Relationen ein kinematisch zulässiger Verformungszustand beziehungsweise durch
Erfüllen der statischen Gleichgewichtsbedingungen ein statisch zulässiger Spannungszustand angeben. Aus diesen, im Allgemeinen voneinander unabhängigen Zuständen kann mittels skalarer Multiplikation und nachfolgenden Umformungen das Prinzip der virtuellen Arbeiten beziehungsweise
unter Verwendung der zeitlichen Ableitung des Verformungszustandes das Prinzip der virtuellen
Leistungen gewonnen werden. Dabei lässt sich zeigen, dass das Prinzip der virtuellen Arbeiten nur
unter Voraussetzung infinitesimaler Verformungen und somit nach Theorie 1. Ordnung gilt, das
Prinzip der virtuellen Leistungen hingegen auch für grosse Verschiebungen Gültigkeit hat. Die
Stärke der beiden Prinzipien liegt in der Verwendung von für sich einzeln zulässigen Zuständen,
welche miteinander nicht zwingend verträglich sein müssen; es ermöglicht eine materialunabhängige Beschreibung. Fasst man die Spannungen als geometrische Grössen im sechsdimensionalen
Raum auf, so vereinen die beiden Prinzipien die Kinematik mit der Statik als reine Geometrie der
Verformungen und Spannungen.
Die Verträglichkeit von Spannungen und Verformungsgrössen hängt von der Charakterisierung
des Werkstoffverhaltens ab. In einem geschlossenen System bleibt gemäss den thermodynamischen
Hauptsätzen die Energie über die Zeit konstant, und die Entropierate strebt ein Maximum an. Die
innere Energie Ui stellt als thermodynamisches Potential die Summe aus der mechanischen und der
thermischen Energie dar. Daraus lassen sich mittels Legendre-Transformation die drei weiteren
thermodynamischen Potentiale in Form der Helmholtzschen Freien Energie Fi, der Gibbssschen
Freien Energie Gi sowie der Enthalpie Hi ableiten, wobei durch die Transformationen kein neuer
Informationsgehalt gewonnen wird; der vorhandene Zustand lässt sich lediglich in Funktion anderer
Variablen beschreiben.
5
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Der irreversible Anteil der Entropierate entspricht der Dissipationsleistung Di, womit sich das
Maximalprinzip der Entropierate auf die Dissipationsleistung überträgt; die Dissipationsleistung Di
strebt demzufolge ebenfalls ein Maximum an. Sie lässt sich unter Ausschluss von viskosen Vorgängen mit einem ratenunabhängigen Modell beschreiben, womit die Orthogonalität des generalisierten Spannungstensors  g zur Fläche Di = const gegeben ist. Unter diesen beiden Voraussetzungen
lässt sich das plastische Potential mit Hilfe der Legendre-Transformation als duales Potential zur
Dissipationsleistung herleiten und damit thermodynamisch begründen. Ebenso können für ein elastisch-plastisch entkoppeltes Materialverhalten die Formänderungsenergie  und die komplementäre Formänderungsenergie  durch eine Legendre-Transformation miteinander in Beziehung
gebracht werden.
Letztendlich ist festzuhalten, dass sich die Kontinuumsmechanik beginnend mit der Geometrie,
unter Einbezug des Impuls- und Drallsatzes sowie der thermodynamischen Hauptsätze axiomatisch
aufbauen lässt. Das heisst, dass Kontinuumsmechanik nicht ohne Thermodynamik betrieben werden kann, und eine Thermodynamik, die diesen Namen verdient, kommt nicht ohne Kontinuumsmechanik aus [102]. Sie stellt damit das Fundament sowohl der Hyperelastizität als auch der Hyperplastizität dar; für Letztere lassen sich die Grenzwertsätze, der Verträglichkeitssatz und der
Einspielsatz ableiten.
2.1.2
Prinzip der virtuellen Leistungen
Die Herleitung basiert auf der Tragwerkstheorie 1. Ordnung. Das heisst, dass infinitesimale Verformungen den Spannungstensor nicht beeinflussen, womit die Gleichgewichtsbedingungen am
unverformten infinitesimalen Volumenelement formuliert werden dürfen. Wie nachfolgend gezeigt
wird, muss damit für ein gegebenes statisches System sowohl die gesamte verrichtete Leistung
gemäss dem Prinzip der virtuellen Leistungen als auch die gesamte verrichtete Arbeit gemäss dem
Prinzip der virtuellen Arbeiten verschwinden. Als Ausgangslage stellen hierbei beliebig wählbare
statisch zulässige Spannungszustände und kinematisch zulässige Verformungszustände beziehungsweise deren zeitliche Ableitung in Form von kinematisch zulässigen Geschwindigkeitszuständen dar.
Ein kinematisch zulässiger Verformungszustand nach Theorie 1. Ordnung liegt vor, falls alle
materiellen Punkte des statischen Systems die kinematischen Relationen in Funktion des CauchyVerzerrungstensors die Beziehung
ij  12  ui , j  u j ,i   0
(2.1)
erfüllen und auf dem Bereich Su der Oberfläche S gemäss
u  u0  0
auf Su
(2.2)
die Verformungen den eingeprägten Grössen entsprechen, siehe Bild 2.1 (a). Der dazugehörige
kinematisch zulässige Geschwindigkeitszustand lässt sich mit Hilfe der zeitlichen Ableitung aus
(2.1) und (2.2) gewinnen.
Die Anwendung des Drallsatzes auf das infinitesimale Volumenelement führt dazu, dass der
Cauchy-Spannungstensor auch unter Einbezug von grossen Verschiebungen und somit nach Theorie 3. Ordnung gemäss
  T
(2.3)
symmetrisch sein muss. Diese Eigenschaft lässt sich für die Betrachtung nach Theorie 1. Ordnung
am unverformten infinitesimalen Volumenelement in Bild 2.1 (b) grafisch leicht ablesen. Mit dem
6
Thermomechanische Grundlagen
Infinitesimales Volumenelement: (a) kinematische Relationen; (b) Symmetrie des
Spannungstensors.
Bild 2.1:
symmetrischen Spannungstensor folgt aus dem Impulssatz die am infinitesimalen Volumenelement
formulierte Gleichgewichtsbedingung
div x   q  a  0
(2.4)
in differentieller Form. Ein statisch (dynamisch) zulässiger Spannungszustand herrscht somit vor,
falls für alle materiellen Punkte die Beziehung (2.4) gilt und gleichzeitig im Bereich St der
Oberfläche S die Beziehung
  n  t0  0
(2.5)
mit den eingeprägten Spannungen t0 erfüllt wird.
Multipliziert man sowohl (2.4) als auch (2.5) skalar mit einem vorerst kinematisch nicht zulässigen Geschwindigkeitszustand v(2) = u (2) , so muss unter der Voraussetzung eines statisch zulässigen Spannungszustandes das bestimmte Integral über den Körper beziehungsweise über die Oberfläche gemäss
  div 
x

 q 0  a    u (2) dV 
V
  

 n  t 0   u (2) dS  0
(2.6)
St
verschwinden. Das Skalarprodukt aus dem ersten Term mit dem virtuellen Geschwindigkeitszustand v(2) lässt sich mit Hilfe der partiellen Differentiation
div x    u   div x   u   
(2.7)
und anschliessendem Anwenden des Divergenztheorems in (2.6) zum Prinzip der virtuellen Leistungen
       dV 
V
 q
V
0
 a    u  dV 
 t
St
0
 u  dS 
 t

 u 0 dS  0
(2.8)
Su
umformen, wobei mit dem letzten Rechenschritt (2.7) der Geschwindigkeitszustand nun kinematisch zulässig zu sein braucht. Dies wird in Gleichung (2.8) mit dem Zeiger  symbolisiert; der
Zeiger  markiert die Zugehörigkeit zu einem statisch (dynamisch) zulässigen Spannungszustand.
7
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Ebenso liesse sich die Beziehung (2.8) durch skalare Multiplikation eines kinematisch zulässigen
Geschwindigkeitszustandes mit einem vorerst statisch (dynamisch) nicht zulässigen Spannungszustand erreichen, sofern die analogen Rechenschritte sowie die Einschränkung der statischen (dynamischen) Zulässigkeit angewendet werden. Es ist hier noch anzumerken, dass in der vorliegenden
Abhandlung die von Schade vorgeschlagene Symbolschreibweise Verwendung findet; das
Symbolzeichen  stellt das doppelte Skalarprodukt dar [81].
Das daraus resultierende Prinzip der virtuellen Leistungen (2.8) gilt wie bereits eingangs
erwähnt auch für grosse Verschiebungen. Dabei sind je nach Darstellungsart (Euler- respektive
Lagrange-Darstellung) der erste beziehungsweise der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor
sowie die zeitliche Ableitung des Euler-Almansi- beziehungsweise des Green-Lagrange-Verzerrungstensors zu verwenden. In dieser allgemeinsten Form kann das Prinzip der virtuellen Arbeiten
nicht aufgestellt werden. Es lässt sich jedoch zeigen, dass die zu (2.8) analoge Beziehung
      dV   q 0  u dV 
V
V
 t
0
 u d S 
St
 t

 u 0 dS  0
(2.9)
Su
für Verformungen nach Theorie 1. Ordnung gilt.
2.1.3
Thermodynamische Grundlagen
Durch Verknüpfen des Prinzips der virtuellen Leistungen (2.8) mit den beiden Hauptsätzen der
Thermodynamik lässt sich der zweite thermodynamische Hauptsatz in der sogenannten ClausiusPlanck-Ungleichung formulieren, welche nachfolgend die Grundlage zur Herleitung von thermodynamisch konsistenten Materialmodellen bilden wird.
Ausgangslage ist dabei die Beziehung (2.8), welche sich in Form von Leistungen folgendermassen zusammenfassen lässt:
Pint  T  Pext
(2.10)
Hierbei stellen Pint die Leistung der inneren mechanischen Arbeit und T die zeitliche Ableitung
der kinetischen Energie T   1 2 v 2 dV dar, welche zusammen im dynamischen Gleichgewicht mit
der Leistung Pext der äusseren Arbeit zu stehen haben.
Um Thermodynamik betreiben zu können, ist die Bilanzierung (2.10) um die thermische Leistung zu erweitern, welche sich in Analogie zur Leistung der äusseren Arbeit
Pext   q 0  u  dV 
V
 t
0
St
 u  dS 
 t

 u 0 dS
(2.11)
Su
und unter Verwendung der infinitesimalen, räumlichen Wärmequelle r sowie des sogenannten
Cauchy-Wärmeflusses q t wie folgt aufstellen lässt:
Q   r dV 
V
8
 q
S
t
 n dS
(2.12)
Thermomechanische Grundlagen
Die Leistung der inneren mechanischen Arbeit Pint sowie die thermische Leistung (2.12) lassen
sich gemäss
U  Pint  Q
(2.13)
als zeitliche Änderung der inneren Energie U in globaler Form zusammenfassen und mit Hilfe des
Divergenztheorems in lokaler Form gemäss
U i      div q t  r
(2.14)
ausdrücken.
Aus (2.10) und (2.13) folgt mit
U  T  Pext  Q
(2.15)
der erste Hauptsatz der Thermodynamik, welcher besagt, dass die einem System zugeführte mechanische und thermische Leistung (Pext + Q) im dynamischen Gleichgewicht mit der zeitlichen Ableitung der inneren und der kinetischen Energie (U + T) stehen muss.
Durch Einführen der Entropie
S    dV
(2.16)
V
in globaler Form lässt sich der zweite Hauptsatz der Thermodynamik wie folgt aufstellen:

S  S r     r dV 
V

 h  ndS 
(2.17)
S
Dieser besagt, dass die totale Entropieleistung S grösser gleich der reversiblen Entropieleistung S r sein muss, die sich wiederum affin zu (2.12) verhält. Die daraus resultierende Differenz
entspricht der irreversiblen Entropieleistung


D   S  S r  0
(2.18)
welche mit der Dissipationsleistung in globaler Form gleichzusetzen ist. Durch Einsetzen von
(2.18) und (2.17) in (2.14) folgt in lokaler Form
Di      U i    0
(2.19)
der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in Form der sogenannten Clausius-Planck Ungleichung.
9
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Ausser den beiden Hauptsätzen der Thermodynamik müssen noch die thermodynamischen
Potentiale hergeleitet werden, um die Aufteilung der Energieformen insbesondere bei der Hyperplastizität verständlich zu machen. Das zentrale mathematische Werkzeug stellt hierbei die
Legendre-Transformation dar, welche die Beschreibung einer Potentialfunktion als Umhüllende
ihrer Tangenten ermöglicht. Zwei Potentiale können damit durch eine Variablentransformation miteinander in Beziehung gebracht werden.
Ausgehend von der inneren Energie Ui als Funktion des Verzerrungstensors  sowie der
Entropie  folgt aus (2.19) mit verschwindender Dissipationleistung unter Anwendung der Kettenregel
U i

0   


U i


       



 

(2.20)
Das heisst, dass sowohl der Spannungstensor  als auch die absolute Temperatur  den auf die
innere Energie Ui angewendeten Gradienten entsprechen. Mit Hilfe der Legendre-Transformation
lassen sich nun die zu (2.20) dualen Gradienten und Potentiale finden. Für einen isochoren Zustand
folgt aus dem zweiten Klammerausdruck in (2.20) die nach Helmholtz benannte freie Energie
Fi     U i    
(2.21)
mit dem dazugehörenden dualen Gradienten

Fi

(2.22)
Analog folgt aus dem ersten Klammerausdruck für einen isentropen Zustand die Enthalpie
H i     U i       
(2.23)
mit dem dazugehörenden dualen Gradienten

H i

(2.24)
Die freie Energie Fi ist neben der absoluten Temperatur  auch eine Funktion des Verzerrungstensors  , womit sich für einen isothermen Zustand mit dem Gradienten   grad  F das letzte
thermodynamische Potential in Form der Gibbsschen freien Energie
Gi     Fi       
(2.25)
mit dem dazugehörenden dualen Gradienten

Gi

(2.26)
finden lässt. Dieses kann ebenso für einen isobaren Zustand mit Hilfe des Gradienten   grad  H i
gemäss
Gi     H i    
(2.27)
gefunden werden. Die vier thermodynamischen Potential und ihre Verknüpfungen sind in Bild 2.2
zusammengetragen, welches der Publikation [6] entnommen ist. Die noch ausstehende mechanische Bedeutung wird in Kapitel 2.1.4 nachgeliefert.
10
Thermomechanische Grundlagen
! Bild 2.2:
! Übersicht der thermodynamischen Potentiale und deren Verknüpfung durch die Legendre-Transformation: Innere Energie, Helmholtzsche freie Energie, Gibbssche freie
Energie und Enthalpie.
Mit Hilfe der Legendre-Transformation (2.21) lässt sich die Clausius-Planck-Ungleichung
(2.19) in die äquivalente Form
 0
Di      Fi  
(2.28)
bringen, welche insbesondere für Prozesse mit konstanter absoluter Temperatur ihre Vorzüge
offenbart.
Somit stehen mit den beiden aufgestellten Hauptsätzen der Thermodynamik gemäss (2.15) und
(2.17) in globaler Form beziehungsweise gemäss (2.14) und (2.19) in lokaler Form sowie mit den
in Bild 2.2 dargestellten thermodynamischen Potentialen die Grundlagen zur Herleitung von thermodynamisch konsistenten Werkstoffmodellen bereit.
11
Stahlbetonplatten: Grundlagen
2.1.4
Plastizitätstheorie
Die Plastizitätstheorie entwickelte sich historisch bedingt ausgehend von der Definition des Fliesskriteriums [93], der plastischen Spannungs-Dehnungsbeziehung [85] sowie dem Postulat zur
Fliessbedingung [54] und deren Verallgemeinerung [70] auf Basis des Spannungszustands in Form
des plastischen Potentials. Darauf aufbauend erfolgten die weiteren entscheidenden Arbeiten wie
beispielsweise diejenigen von Drucker [7, 8, 9] und Prager [69], welche zur weit ausgebauten Theorie führten.
Ziegler versuchte in mehreren Arbeiten die infolge des eingeschlagenen Weges des Postulats
vom plastischen Potential fehlende Anknüpfung an die thermodynamischen Hauptsätze mit dem
nach ihm benannten Orthogonalitätsprinzip zu schliessen [99, 100, 101]. Dies lässt sich aus heutiger Sicht mit Hilfe der Legendre-Transformation, welche beide Orthogonalitätsbeziehungen in sich
vereint, leicht bewerkstelligen. Es lässt sich damit der umgekehrte Weg über die Dissipationsleistung begehen, wodurch das plastische Potential an den thermodynamischen Hauptsätzen angebunden werden kann.
Unter Ausschluss von viskosen Vorgängen definiert sich die Dissipationsleistung wie folgt:
Di   ,     g    
(2.29)
Sie stellt dabei vorerst eine Funktion des generalisierten Spannungstensors  g sowie der inneren Variable  (beziehungsweise deren zeitlichen Ableitung) dar, die als Verallgemeinerung des
plastischen Verzerrungsinkrements zu verstehen ist; sie wird in der Folge vereinfachend so benannt.
Der auf die Dissipationsleistung angewendete Gradient ist unabhängig vom plastischen Verzerrungsinkrement, was (allgemein anerkannt) als ratenunabhängige Dissipationsleistung bezeichnet
wird. Die Dissipationsleistung stellt demzufolge bezüglich des plastischen Verzerrungsinkrements
aus mathematischer Sicht eine Funktion erster Ordnung dar und lässt sich mit Hilfe des Satzes von
Euler gemäss
Di   ,   
Di


(2.30)
ausdrücken. Der Vergleich von (2.29) und (2.30) führt auf die Orthogonalitätsbeziehung
 g Di
   


   0

(2.31)
wonach der generalisierte Spannungstensor  g senkrecht auf der Fläche Di = const steht, vergleiche Bild 2.3 (a).
Die Gegenüberstellung von (2.29) und (2.31) mit den thermodynamischen Potentialen sowie
den dazugehörenden Gradienten in Kapitel 2.1.3 lässt erahnen, dass durch die Legendre-Transformation ein zur Dissipationsleistung Di duales Potential gegeben sein muss. Dies lässt sich leicht
bewerkstelligen, indem die Beziehung (2.29) um die skalierte Fliessbedingung Y = 0 gemäss
Y   g ,     g      Di   ,  
(2.32)
erweitert wird. Daraus ergibt sich der zu (2.31) duale Gradient
  
Y
 g
(2.33)
in Form des zur Fliessbedingung assoziierten Fliessgesetzes; die Variable  ist dabei ein nicht negativer Skalar mit der Einheit Geschwindigkeit. Die unabhängig bereits in [6] formulierte Beziehung
(2.32) lässt sich mit Bild 2.3 (b) grafisch in Form einer Potentialfunktion darstellen. Dabei ist klar
12
Thermomechanische Grundlagen
ersichtlich, dass die Legendre-Transformation infolge der Fliessbedingung Y = 0 nur in eine Richtung eindeutigen Charakter aufweisen kann; sie ist im vorliegenden Fall dementsprechend eindeutig
(bei der Hyperelastizität liegt ein eineindeutiger Charakter vor, siehe hierzu Bild 2.5 sowie Beziehung (2.49)).
Dies soll zunächst am Beispiel der in Bild 2.3 (c) dargestellten Mohrschen Hüllkurve demonstriert werden. Mohr postulierte aus rein gedanklichen Erwägungen das plastische Potential als Hüllkurve aller Grenzspannungskreise, was der aus den Stützebenen in Form einer Tangentenschar
resultierenden minimalen Begrenzung gleichkommt [56, 94]. Sie stellt damit eine Verallgemeinerung der nach Coulomb benannten Fliessbedingung dar. Beispielsweise lässt sich das Verhalten des
Betons als quasi-isotroper Werkstoff mit einer modifizierten Fliessbedingung nach Coulomb und
dementsprechend mit einer Mohrschen Hüllkurve beschreiben [4].
Anstelle der üblicherweise direkten Beschreibung der Fliessbedingung soll nun der Weg über
die Dissipationsleistung (2.30) sowie der damit verbundenen Legendre-Transformation (2.32)
beschritten werden. Mit den in Bild 2.3 (c) dargestellten vektoriellen Grössen
 
   ,

  pl,nn 
 pl  
,
  pl,nt 
 sin  
n

 cos 
(2.34)
sowie dem Skalar    pl lässt sich das plastische Verzerrungsinkrement
 pl  n
(2.35)
in Funktion des dazugehörigen Einheitsvektors angeben. Wie Marti zeigte, lässt sich die spezifische
Dissipationsleistung
D   pl      pl   cos  c   
(2.36)
direkt aus Bild 2.3 (c) ablesen [43]; sie bildet damit die Ausgangsbeziehung für die nachfolgende
Herleitung. Durch Einsetzen in der Legendre-Transformation (2.32) folgt zunächst in einer transformierten Betrachtung die Fliessbedingung
Y        pl   cos  c        sin    cos   cos  c    
(2.37)
welche sich durch Ausklammern der Kosinusfunktion auf die allgemein bekannte Form
Y     cos    tan     c    
(2.38)
überführen lässt. Sie ist damit thermodynamisch begründet. Interessant scheint dabei, dass die
Fliessbedingung (2.38) ebenfalls eine Legendre-Transformation in Abhängigkeit der
Normalspannung  sowie des Reibungswinkels  darstellt und durch ihre Konvexität eineindeutigen Charakter aufweist.
Abschliessend ist erstens festzuhalten, dass durch Vorgabe der Dissipationsleistung das plastische Potential gegeben ist; es lässt sich damit thermodynamisch begründen. Zweitens sind die beiden in Bild 2.3 (a) dargestellten Orthogonalitätsbeziehungen (2.31) und (2.33) in der LegendreTransformation vereint; sie stellen das Orthogonalitätsprinzip nach Ziegler dar [101]. Ferner folgt
aus (2.19) beziehungsweise aus (2.29), dass die Fliessbedingung (plastisches Potential) bezogen auf
den Spannungsraum eine konvexe Figur darstellen muss; sie kann hierbei auch schwach konvexe
Bereiche aufweisen.
13
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Der zweite thermodynamische Hauptsatz lässt sich mit (2.30) zu den beiden folgenden Beziehungen umformulieren:
U i

0   



 Di U i
       


U i


       


F 
F

 D F 

0     i      i  i        i
 
 


 


 




(2.39)
(2.40)
Dabei bestätigen jeweils der erste und letzte Klammerausdruck die bereits hergeleiteten Gradienten. Hingegen ist durch die zusätzliche innere Variable  der jeweils mittlere Klammerausdruck neu, was mit der Beziehung (2.31) auf die Identität
g 
Di
U
F
 i  i




(2.41)
führt.
Die Dissipationsleistung Di liesse sich ferner gemäss
Dˆ   

Di   ,    Dˆ i     i


(2.42)
als zeitliche Ableitung einer integralen Dissipation Dˆ i auffassen, woraus sich mit der Kettenregel
die zweite Identität von (2.42) ergibt. Bei dieser neuen Betrachtungsweise ist Vorsicht geboten, da
mit (2.42) beispielsweise eine zyklische Belastungsgeschichte nicht erfasst werden kann. Sie lässt
sich demzufolge nur für initial dissipationsfreie Tragsysteme verwenden, welche eine monotone
Laststeigerung erfahren. Nichtsdestotrotz lässt sich unter Verwendung von (2.42) die Identität
(2.41) wie folgt erweitern:
g 
Di Dˆ i
U

 i



(2.43)
Der generalisierte Spannungstensor  g  entspricht somit dem auf die Dissipationsleistung Di,
auf die integrale Dissipation Dˆ i sowie auf die innere Energie Ui angewendeten Gradienten, wobei
im letzten Fall der Gradient in entgegengesetzte Richtung zeigt. Dies lässt sich anhand der grafischen Darstellung in Bild 2.3 (a) wie folgt thermodynamisch interpretieren: Sowohl der generalisierte Spannungs- als auch der plastische Verzerrungstensor  lassen sich in einem sechsdimensionalen euklidschen Raum als Vektoren auffassen und dementsprechend darstellen. Die zeitliche
Änderung des plastischen Verzerrungstensors lässt sich mittels Bahnkurve erfassen, deren Tangente für einen bestimmten Zeitpunkt t gerade in Richtung des plastischen Verzerrungsinkrements
zeigt. Beim Fortschreiten des Belastungsvorgangs muss die von aussen eingebrachte Leistung bei
vernachlässigbaren d‘Alembertschen Trägheitskräften als innere Energie Ui aufgenommen werden,
wovon die erste Identität in (2.43) den Anteil der Dissipationsleistung Di anzeigt. Die letzte Identität zeigt dagegen den irreversiblen Entropievorgang an. Das heisst, dass nur derjenige Anteil der
inneren Energie Ui dissipiert, woraus effektiv plastische Verzerrungen resultieren. Das von Ziegler
postulierte Orthogonalitätsprinzip ist somit um die letzte Identität in (2.43) zu erweitern.
14
Thermomechanische Grundlagen
Bild 2.3:
Hyperplastizität: (a) Orthogonalitätsbeziehungen; (b) Legendre-Transformation zwischen der Dissipationsleistung und dem plastischen Potential; (c) Anwendung auf die
Mohrsche Hüllkurve.
Die mit (2.32) hergeleitete Fliessbedingung lässt sich weiter direkt im zweiten thermodynamischen Hauptsatz (2.28) einsetzen, woraus sich mit den Identitäten    grad  Fi     0 und
   grad  Fi    0 die zusätzliche Beziehung
F 

Y   g ,      g  i   
 

(2.44)
für die Fliessbedingung ergibt. (2.44) weist dabei Ähnlichkeit zu der in den Arbeiten von Lubliner
thermodynamisch begründeten Fliessbedingung auf, obschon deren Herleitung ohne Verwendung
der Legendre-Transformation auskommt [38, 39]. Dabei ist interessant, dass die dort gefundene
Form beispielsweise die Beschreibung sowohl des Schmidschen Schubspannungsgesetzes als auch
der von Mises-Fliessbedingung einschliesst [38].
Aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in Form der Clausius-Planck-Ungleichung
(2.19) wird bereits ersichtlich, dass durch Vorgabe eines thermodynamischen Potentials, beispielsweise durch Vorgabe der inneren Energie Ui sowie der Dissipationsleistung Di, das Werkstoffverhalten eindeutig gegeben ist.
15
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Bild 2.4:
Elastisch-plastisch entkoppelbares Werkstoffverhalten: (a) Spannungs-Dehnungsdiagramm; (b) Separiertes, elastisches Werkstoffverhalten; (c) Separiertes, plastisches
Werkstoffverhalten; (d) Darstellung der thermodynamischen Potentiale bei kinematischer Verfestigung; (e) Darstellung der thermodynamischen Potentiale bei isotroper
Verfestigung.
Anstelle der inneren Energie Ui kann auch die Gibbssche freie Enthalpie Gi verwendet werden,
welche sich für einen grossen Anwendungsbereich von Werkstoffmodellen in Funktion von drei
Anteilen gemäss
Gi   ,    Gi1     Gi 2      
(2.45)
anschreiben lässt [6, 74]. Ist eine Entkopplung des elastischen vom plastischen Verhalten gemäss
   el   pl möglich, kann die innere Variable  dem plastischen Verzerrungstensor  pl gleichgesetzt werden, siehe Bild 2.3 (a). Die freie Energie lässt sich damit gemäss
Fi   ,  pl ,    Fi1     pl   Fi 2   pl 
(2.46)
in zwei Anteile aufspalten, woraus sich unter Verwendung der Legendre-Transformation (2.25) die
Beziehung
Fi1     pl   Gi1       el   Fi 2   pl   Gi 2   pl 
ergibt.
16
(2.47)
Thermomechanische Grundlagen
Bild 2.5:
Lineare Hyperelastizität: (a) Lineares Spannungs-Dehnungsdiagramm; (b) Darstellung
der Verformungsenergie  sowie der dazu komplementären Verformungsenergie ;
(c) Legendre-Transformation der Hyperelastizität.
Die linke Seite von (2.47) beschreibt das von den plastischen Verzerrungen entkoppelte elastische Verhalten, siehe hierzu Bild 2.4 (b). Die beiden darin enthaltenen Teilpotentiale müssen der
Verformungsenergie Fi1   el      el  und der dazu komplementären Verformungsenergie
Gi1         entsprechen. Das Erstgenannte ist für rein elastisches Verhalten direkt aus dem
zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (2.19) beziehungsweise (2.28) ersichtlich, wobei sich mit
der per Definition verschwindenden Dissipationsleistung gemäss Di = 0 die zueinander äquivalenten Gradienten gemäss
U i Fi



(2.48)
ergeben. Die thermodynamischen Potentiale Ui und Fi sind dann gerade der Verformungsenergie 
gleichzusetzen, woraus sich wiederum mit der Legendre-Transformation das dazu duale Potential
        el     el
(2.49)
in Form der komplementären Verformungsenergie  gewinnen lässt. Mit dem letzten Schritt ist das
elastische Verhalten thermodynamisch begründet; es wird deshalb Hyperelastizität genannt. Im
Gegensatz zu (2.32) weist die Legendre-Transformation (2.49) nun eindeutigen Charakter auf. Im
Fall der in den Bildern 2.5 (a) und (b) dargestellten linearen Hyperelastizität folgt aus (2.49) die
Darstellung in Bild 2.5 (c), wonach die aus der Tangentenschar resultierende Umhüllende gerade
der Potentialfunktion in Form der Verformungsenergie  entspricht.
Die beiden Terme auf der rechten Seite von (2.47) kommen erst bei plastischen Verzerrungen
zum Tragen. Sie entsprechen der freien Energie Fi2, welche im Fall von kinematischer Verfestigung
bei monotoner Belastung als reversibler Anteil im Werkstoff gespeichert bleibt und erst bei entgegengesetzter Belastung frei werden kann, siehe hierzu die Bilder 2.4 (a) - (d). Im Fall von isotroper
Verfestigung entsprechen diese Anteile Null, wie dies aus den Bildern 2.4 (a), (b) (c) und (e)
ersichtlich wird.
17
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Die vollständige Entkopplung des elastischen vom plastischen Werkstoffverhalten ermöglicht
ferner die Beschreibung der thermodynamischen Potentiale als Funktionen von  el und  pl , was die
Anbindung sowohl der Hyperelastizität als auch der Hyperplastizität an den zweiten thermodynamischen Hauptsatz (2.28) gemäss
 0
Di      el   pl   Fi   el ,  pl ,    
(2.50)


F 
D F 
0     i   el     i  i   pl

 el 
 pl  pl 


(2.51)
in getrennter Form verdeutlicht. Die beiden daraus resultierenden Klammerausdrücke stellen
jeweils den Ausgangsgradient für die Legendre-Transformation sowohl der Hyperelastizität (2.49)
als auch der Hyperplastizität (2.32) dar. Der Anteil der freien Energie Fi im plastischen Bereich
widerspiegelt den reversiblen Anteil im Fall von kinematischer Verfestigung gemäss    g   ,
siehe hierzu die Bilder 2.4 (a) - (d). Bei isotroper Verfestigung entfällt dieser Anteil, die Fliessspannung entspricht    g und steigt mit zunehmenden plastischen Verzerrungen an, siehe hierzu die
Bilder 2.4 (a) - (c) und (e). Bei ideal plastischem Werkstoffverhalten bleibt dagegen die Fliessspannung über die plastischen Verzerrungen gemäss    g  const konstant. Für das letztgenannte
Werkstoffverhalten werden in den Kapiteln 2.1.5 und 2.1.6 sowohl die Grenzwertsätze als auch der
Verträglichkeitssatz und der Einspielsatz hergeleitet, welche mit der Übertragung auf die verallgemeinerten Grössen in Form von Plattenmomenten die Grundlage für die vorliegende Abhandlung
bilden.
Abschliessend lässt sich anhand der Darstellungen in Bild 2.4 die noch aus Kapitel 2.1.3 offenstehende Deutung der verschiedenen thermodynamischen Potentiale vollziehen. Die innere
Energie Ui stellt gemäss (2.21) die Summe aus der Helmholtzschen freien Energie Fi und dem Produkt aus der Entropie  mit der absoluten Temperatur  dar. Dabei weist die freie Energie reversiblen Charakter auf und besteht im Fall der kinematischen Verfestigung aus zwei Anteilen. Bei einer
vollständigen Entlastung wird der erste Anteil freigesetzt; der zweite Anteil bleibt gespeichert und
kann erst mittels Umkehrung der Belastungsrichtung wieder gewonnen werden. Beim plastischen
Vorgang wird der entsprechende Anteil der inneren Energie Ui gemäss der letzten Identität in (2.43)
in Form von Wärme irreversibel dissipiert, die jedoch vorerst im Werkstoff enthalten bleibt. Der
Werkstoff erwärmt sich.
Die Gibbssche freie Enthalpie Gi stellt als komplementäres Potential zur freien Energie Fi diejenige Energie dar, welche für die Erschaffung eines Systems aus dessen Grundbestandteilen benötigt
wird [86]. Beispielsweise entfallen für einen spröden Werkstoff die Anteile Gi2 und Gi 3     in
der entsprechenden freien Enthalpie Gi; er wiese damit kein Potential für plastische Verzerrungen
auf. Die effektiv vorhandene Gibbssche freie Enthalpie Gi lässt sich somit als Mass für die Duktilität beziehungsweise mit der Übertragung auf Bauteile als verallgemeinertes Mass für das Verformungsvermögen auffassen.
Schliesslich ist die Enthalpie Hi zu erwähnen, deren Änderung gemäss (2.23) der Summe aus der
Änderung der inneren Energie Ui sowie der Ausdehnungsarbeit bei konstantem Druck entspricht
[86].
18
Thermomechanische Grundlagen
2.1.5
Herleitung der Grenzwertsätze
Die Dissipationsleistung (2.29) stellt mit der Darstellung des plastischen Potentials im Spannungsraum das Produkt zweier aufeinander projizierter Vektoren dar, woraus sich wegen der Konvexität
der Fliessfigur und dem dazu orthogonal stehenden plastischen Verzerrungsinkrement das Prinzip
der maximalen Dissipationsleistung

u
      u  0
(2.52)
ergibt, siehe Bild 2.6 (a). Hierbei muss die Dissipationsleistung Di des verträglichen Zustands
(sowohl u als auch  u gehören den zulässigen Zuständen der vollständigen Lösung an) grösser
gleich der Dissipationsleistung resultierend aus dem Spannungstensor * und dem plastischen Verzerrungsinkrement  u ausfallen, wobei der Spannungstensor * einem statisch zulässigen Spannungszustand des aplastischen Bereichs entspricht.
Diese Überlegungen lassen sich auf die Variablen eines zu einem kinematisch zulässigen Verformungszustand gehörenden plastischen Verzerrungsinkrements  k sowie dem dazu verträglichen, jedoch zu keinem statisch zulässigen Spannungszustand gehörenden Spannungstensor k und
dem zur vollständigen Lösung gehörenden Spannungstensor u übertragen. Daraus ergibt sich
gemäss

k
  u     k  0
(2.53)
dass die auf dem kinematischen Verformungszustand basierende Dissipationsleistung grösser
gleich der, der vollständigen Lösung entsprechenden Dissipationsleistung sein muss. Die Beziehung (2.53) liesse sich damit in Analogie zu (2.52) als Prinzip der minimalen Dissipationsleistung
benennen.
Die beiden Beziehungen (2.52) und (2.53) sowie das Prinzip der virtuellen Leistungen (2.8) stellen die Grundlage für die Herleitung der beiden Grenzwertsätze dar. Dabei symbolisieren die
Zeiger  (beziehungsweise s) und k die Zugehörigkeit zu einem statisch zulässigen Spannungszustand beziehungsweise zu einem kinematisch zulässigen Verformungszustand. Der Zeiger 0 steht
für die eingeprägten Grössen wie Belastungen und Verformungen beziehungsweise die damit einhergehenden Geschwindigkeiten.
Für ein gegebenes statisches System basiert der untere Grenzwertsatz auf einem beliebig wählbaren statisch zulässigen Spannungszustand. Die dazugehörige Belastungsgruppe
t s  s t 0
,
q s   s q0
(2.54)
lässt sich bei einer starr-plastischen Betrachtung durch den Faktor s dermassen monoton steigern,
bis an einem Ort des statischen Systems gerade die Fliessbedingung erfüllt wird. Beim zur Traglast
gehörenden statisch zulässigen Spannungszustand endet hingegen die dazu analoge monotone Laststeigerung gemäss
t u  u t 0
,
qu  u q0
(2.55)
beim Erreichen der Traglast.
19
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Kombiniert man die zur vollständigen Lösung gehörende zeitliche Ableitung des Verformungszustandes einerseits mit dem dazu nicht verträglichen jedoch für sich statisch zulässigen Spannungszustand des unteren Grenzwertes und anderseits mit dem zur vollständigen Lösung gehörenden Spannungszustand, so lässt sich das Prinzip der virtuellen Leistungen (2.8) gemäss
   u   u dV    u q 0  u u dV 
V
V
 
u
t 0  u u dS  0
(2.56)
s
t 0  u u dS  0
(2.57)
St
beziehungsweise
      u dV    s q 0  u u dV 
V
V
 
St
aufstellen. Wie in Kapitel 2.1.2 gezeigt, liegt die Stärke sowohl des Prinzips der virtuellen Leistungen als auch des Prinzips der virtuellen Arbeiten im Kombinieren von beliebigen, miteinander nicht
verträglichen Zuständen, welche für sich jedoch einzeln zulässig sein müssen. Aus der Differenz
von (2.57) und (2.56) folgt
 
V
u

      u dV    u   s    q 0  u u dV 
V

0
u

t

u
d
S

S
t

(2.58)
Der Ausdruck linkerhand muss gemäss Prinzip der maximalen Dissipationsleistung (2.52) grösser gleich Null sein, und der zweite Faktor rechterhand kann aus Stabilitätsgründen nicht negativ
ausfallen, woraus letztendlich die Ungleichung
u   s  0
(2.59)
folgt. Das heisst, die aus einem statisch zulässigen, innerhalb des aplastischen Bereichs liegenden
Spannungszustand (keine Verletzung der Fliessbedingung) sich ergebende Last ist kleiner gleich
der Traglast gemäss der vollständigen Lösung, siehe Bild 2.6 (b).
Der obere Grenzwert basiert auf der zeitlichen Ableitung eines beliebig wählbaren, kinematisch
zulässigen Verformungszustandes sowie der mit dem Faktor k skalierten Belastungsgruppe
t k  k t 0
,
q s  k q0
(2.60)
Die gleiche Belastungsgruppe lässt sich mit dem zur Traglast gehörenden Skalierungsfaktor u
gemäss
t u  u t 0
,
qu  u q 0
(2.61)
multiplizieren. Dabei lässt sich für die erste Belastungsgruppe (2.60) kein statisch zulässiger Spannungszustand angegeben, wodurch in der Beschreibung mit dem Prinzip der virtuellen Leistungen
gemäss

V
k
  k dV    k q 0  u k dV 
V
 
k
t 0  u k dS
(2.62)
St
die Leistung der treibenden äusseren Lasten nicht kleiner als die vorhandene Dissipationsleistung
sein kann; es liegt ein Mechanismus vor. Kombiniert man die zeitliche Ableitung des zu Beginn
beliebig gewählten kinematisch zulässigen Verschiebungszustandes mit dem zur Traglast gehörenden statisch zulässigen Spannungszustand, so gilt gemäss (2.8)
   u   k dV    u q 0  u k dV 
V
20
V
 
St
u
t 0  u k dS  0
(2.63)
Thermomechanische Grundlagen
!
"
Bild 2.6:
Plastizitätstheorie: (a) Plastisches Potential zur Herleitung der Grenzwertsätze;
(b) Eingrenzung der Traglast in der Darstellung eines Kraft-Verformungsdiagrammes;
(c) Einspielsatz am Beispiel einer einzelnen Belastungsgruppe.
Aus der Addition von (2.62) und (2.63) folgt die Ungleichung
 
V
k

  u    k dV    k   u    q 0  u k dV 
V
 t
St
0

 u k dS 

(2.64)
wobei der Ausdruck linkerhand gemäss (2.53) sowie der zweite Faktor rechterhand nicht negativ
sein können. Daraus folgt mit
 k  u  0
(2.65)
dass die nach der kinematischen Methode ermittelte Last grösser gleich der Traglast gemäss der
vollständigen Lösung ausfallen muss.
21
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Die Traglast kann nun mittels der beiden Grenzwertsätze folgend aus (2.59) und (2.65) gemäss
 s  u  k
(2.66)
eingegrenzt werden, wobei sich die Grenzen mit einer besseren Wahl sowohl des statisch zulässigen
Spannungszustandes als auch des kinematisch zulässigen Verformungszustandes annähern lassen.
Bestenfalls fallen die beiden Grenzen in (2.66) gemäss
 s  u   k
(2.67)
zusammen, wodurch mit dem Vergleich von (2.56), (2.57), (2.62) und (2.63) der gewählte statisch
zulässige Spannungszustand
   k  u
(2.68)
demjenigen der vollständigen Lösung gemäss Plastizitätstheorie entsprechen muss; es liegt somit
die vollständige Lösung vor. Demgegenüber lässt sich aus dem Vergleich von (2.62) mit (2.63)
keine weitere Aussage betreffend des vorliegenden kinematisch zulässigen Verformungszustandes  k machen. Dessen Zugehörigkeit zur vollständigen Lösung kann erst mit Hilfe der Verträglichkeit bestätigt werden, welche im Rahmen des Verträglichkeitssatzes in Kapitel 2.1.6 hergeleitet wird.
2.1.6
Verträglichkeitssatz und Einspielsatz
Die Ausgangsbeziehung für die beiden in Kapitel 2.1.5 hergeleiteten Grenzwertsätze ist das Prinzip
der virtuellen Leistungen
       dV   q 0  u  dV 
V
V
 t
0
 u  dS  0
(2.69)
St
nach welchem die Summe der virtuellen Leistungen resultierend aus der Kombination eines statisch
zulässigen Spannungszustands mit der zeitlichen Ableitung eines kinematisch zulässigen Verformungszustandes verschwinden muss.
Die plastische Verträglichkeitsbedingung lässt sich ausgehend von dem in den Bildern 2.3 (a)
und 2.6 (a) dargestellten plastischen Potential folgendermassen formulieren: Das auftretende plastische Verzerrungsinkrement  u ist nur dann mit dem dazugehörenden Spannungszustand u verträglich, falls die Fliessbedingung Y = 0 am entsprechenden Ort erfüllt wird. Andernfalls ist das
Auftreten eines plastischen Verzerrungsinkrements nicht möglich. Dies lässt sich mit als Fallunterscheidung in der Beziehung
Y  u   0 


Y   u   0

0

 u   Y  u
 

 u

(2.70)
zusammenfassen. Bei Vorliegen der vollständigen Lösung entspricht der erste Integralausdruck in
(2.69) der über den Körper integrierten Dissipationsleistung, welche gemäss (2.19) positiv sein
muss. Mit (2.1), (2.2), (2.4) und (2.5) folgt zunächst die Zulässigkeit der entsprechenden Zustände
und somit aus (2.69)
   u   u dV   q 0  u u dV 
V
V
 t
0
 u u dS  0
(2.71)
St
Die Leistungen sind nun nicht mehr virtuell sondern weisen wegen (2.70) realen Charakter auf.
22
Thermomechanische Grundlagen
Die mit  k verträgliche Spannung k muss infolge von (2.67) sowie (2.62) und (2.63) gemäss
 k  u
(2.72)
dem Spannungszustand u der vollständigen Lösung entsprechen, welcher seinerseits gemäss
(2.70) mit den zur vollständigen Lösung gehörenden Verzerrungsinkrementen  u verträglich ist.
Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung des kinematisch zulässigen Verformungszustands gemäss
 k   u
(2.73)
derjenigen der vollständigen Lösung gleichzusetzen ist. Falls die auf Basis der beiden Grenzwertsätze ermittelten Grenzen gemäss (2.67) zusammenfallen, gehört demnach die zeitliche Ableitung
des gewählten kinematisch zulässigen Verformungszustandes  k der vollständigen Lösung an und
ist damit instabil. Mit den Herleitungsschritten (2.69) - (2.73) ist dessen Instabilität in Form des
Verträglichkeitssatzes bewiesen [80].
Wirken mehrere voneinander unabhängige Belastungsgruppen nacheinander auf ein gegebenes
statisches System, liesse sich mit den Grenzwertsätzen für jede einzelne Belastungsgruppe die
Traglast ermitteln. Das wiederholte und aufeinanderfolgende Aufbringen der verschiedenen Belastungsgruppen mit den auf dem Traglastniveau ermittelten Belastungsintensitäten würde jedoch zu
fortschreitenden plastischen Verformungen und damit zum Versagen des Bauwerks führen.
Dies lässt sich durch Verringerung der Belastungsintensität sowie einen gewählten Eigenspannungszustand derart bewerkstelligen, dass beim folgenden Aufbringen aller Belastungsgruppen die
Fliessbedingung nirgends verletzt wird. Das wiederholte Aufbringen der verschiedenen Belastungsgruppen verursacht rein elastische Formänderungen, womit ein progressives Versagen durch
plastische Verformungen ausgeschlossen werden kann. Die gesuchte Belastungsintensität entspricht dabei der sogenannten Einspiellast
qEinspiel  qu
(2.74)
welche bei der Anzahl Belastungsgruppen n > 1 kleiner als die entsprechende Traglast ausfallen
muss. Die Möglichkeit des Einspielens eines derartigen Eigenspannungszustandes ist durch den
Einspielsatz gegeben, welcher beginnend in den Arbeiten von Bleich, Melan und Symonds
[2, 48, 49, 50, 88] den Abschluss in zwei Theoremen im Rahmen der Arbeiten von Neal und Koiter
fand [33, 34, 63]. Auf die entsprechende Herleitung wird hier verzichtet; eine übersichtliche Darstellung ist in [35] gegeben.
Das Aufbringen einer einzelnen Belastungsgruppe lässt sich hinsichtlich der Anwendung des
Einspielsatzes als Spezialfall auffassen, woraus sich folgende Gegebenheiten ableiten. Erstens entspricht die Einspiellast gemäss
qEinspiel  qu
(2.75)
der Traglast der vollständigen Lösung. Zweitens führt der Einspielvorgang auf denjenigen Eigenspannungszustand, welcher durch Superposition mit dem zur elastischen Lösung gehörenden Spannungszustand auf den Spannungszustand der vollständigen Lösung führt. Dabei ist die elastische
Lösung mit der dem Traglastniveau entsprechenden Belastungsintensität zu skalieren, siehe hierzu
Bild 2.6 (c). Diese Separierung wird bei der Untersuchung des Querkraftfeldes von Platten in
Kapitel 3 weiterverfolgt.
23
Stahlbetonplatten: Grundlagen
2.2
Theorie schubstarrer Platten
Die heute zur Verwendung kommende Theorie schubstarrer Platten hat ihre Anfänge bei der von
Jakob I Bernoulli aufgestellten und durch Leonhard Euler bestätigten Balkentheorie [1, 10]. Sie
fand nach namhaften Beiträgen von Leonhard Euler, Jakob II Bernoulli und Sophie Germain ihren
Abschluss in einer von Gustav Kirchhoff 1850 veröffentlichten Arbeit [32]; sie wird deshalb auch
Kirchhoffsche Plattentheorie genannt [87]. Sowohl die Balken- als auch die Plattentheorie bildeten
den Auftakt für die induktiv wachsende, heute weit ausgebaute Kontinuumsmechanik. Aus heutiger
Sicht erscheint es sinnvoll, den umgekehrten Weg zu beschreiten, indem vom allgemeinen Kontinuum ausgehend deduktiv der Spezialfall der schubstarren Platte gewonnen wird. Hierbei kann für
jede kontinuumsmechanische Problemstellung gleichermassen vorgegangen werden, indem durch
Verknüpfen der Gleichgewichtsgleichungen mit den kinematischen Relationen und den konstitutiven Gleichungen die mathematische Beschreibung des Problems in Form einer Differentialgleichung gelingt.
2.2.1
Gleichgewichtsbedingungen
Als Erstes werden die Gleichgewichtsgleichungen nach Theorie 1. Ordnung aufgestellt. Die Platte
wird nur normal zu ihrer Ebene beansprucht; aus Gleichgewichtsgründen entfallen dabei die Membrankräfte. Die Normalspannungen  und die Schubspannungen lassen sich zu den Biegemomenten mxx und myy und dem Drillmoment mxy sowie den Querkräften vx und vy zusammenfassen, siehe
Bild 2.7 (a). Dabei ist zu bemerken, dass die Symmetrie des Spannungstensors gemäss (2.3) sich
auf den Momententensor überträgt, mxy = myx. Durch Aufstellen des Gleichgewichts nach Theorie
1. Ordnung erhält man die drei Gleichgewichtsbedingungen
mxx , x  mxy , y  vx
(2.76)
mxy , x  m yy , y  v y
(2.77)
vx , x  v y , y   qz
(2.78)
in Indexschreibweise, welche sich mit
mxx , xx  2 mxy , xy  m yy , yy  qz
(2.79)
zur partiellen Gleichgewichtsdifferentialgleichung der Platte zusammenfassen lassen. Dieser wird
vielfach zu wenig Bedeutung zugemessen; sie wird meist nur als erster Schritt bei der Herleitung
der partiellen Differentialgleichung (2.105) schubstarrer, linear elastischer und isotroper Platten
wahrgenommen. Ihre volle Schlagkraft entfaltet sie bei der Anwendung der statischen Methode der
Plastizitätstheorie, wonach bei Einhaltung der statischen Randbedingungen und unter der Bedingung, dass die Fliessbedingung nicht verletzt wird, alleine (2.79) erfüllt sein muss. Wie in den folgenden Kapiteln aufgezeigt wird, erweitert das Weglassen der kinematischen Verträglichkeit den
Lösungsraum von (2.79) ungemein.
24
Theorie schubstarrer Platten
Bild 2.7:
Formulierung des Gleichgewichts am infinitesimalen Plattenelement: (a) in kartesischen Koordinaten; (b) in polaren Koordinaten; (c) Transformation des Momententensors mit Mohrschem Kreis; (d) Transformation des Querkraftvektors mit Hilfe des
Thaleskreises.
25
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Die Gleichgewichtsbedingungen (2.76) bis (2.78) lassen sich in Symbolschreibweise gemäss
div v   qz
(2.80)
div m  v
(2.81)
zusammenfassen, was einen ersten Hinweis bezüglich des Kraftflusses darstellt. Die auf ein Strömungsfeld angewendete Divergenz beschreibt den Zu- oder Abfluss und identifiziert beziehungsweise quantifiziert die Quellen und Senken des Vektorfelds. Gemäss (2.80) lässt sich somit die
Querkraft als Strömung interpretieren, die durch die Beanspruchung qz in Form von Quellen
gespeist wird und diese zu den Auflagern trägt, welche als Senken in Erscheinung treten. Analog
lässt sich die Beziehung (2.81) mit den Biegemomenten und Querkräften erklären.
Durch Einsetzen von (2.81) in (2.80) erhält man die partielle Gleichgewichtsdifferentialgleichung (2.79) in Symbolschreibweise
    m  qz
(2.82)
wobei die Divergenz mit dem Nablaoperator dargestellt ist.
Die Gleichgewichtsbedingungen lassen sich auch in Zylinderkoordinaten mit den dazugehörigen Spannungsresultierenden aufstellen, welche dem infinitesimalen Plattenelement in Bild 2.7 (b)
zu entnehmen sind:
v,   vr r , r  qz r
(2.83)
 mrr r ,r  m  mr ,  vr r
(2.84)
m r 
(2.85)
r
,r
 m,  mr  v r
Unabhängig vom gewählten Koordinatensystem lassen sich die Richtungstransformationen der
Querkräfte und Momente für jeden Punkt der Platte darstellen. Die Querkraft transformiert sich als
Vektor und somit als Tensor 1. Stufe gemäss der Transformationsregel v  R  v beziehungsweise
vn  vx cos   v y sin 
(2.86)
vt  vx sin   v y cos 
(2.87)
in ausgeschriebener Form in eine neue Richtung , was ebenso grafisch mit Hilfe des Thaleskreises
bewerkstelligt werden kann. Aus der geometrischen Konstruktion in Bild 2.7 (d) lässt sich einerseits die maximale Querkraft und damit die Hauptquerkraft
v0  vx 2  v y 2
(2.88)
mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und anderseits die Hauptrichtung 0 der Querkraft in der Form
tan 0 
bestimmen.
26
vy
vx
(2.89)
Theorie schubstarrer Platten
Die Momente transformieren sich als Tensor 2. Stufe nach der Transformationsregel
m  R  m  R T , was in ausgeschriebener Form zu den beiden Biegemomenten sowie dem Drillmoment
mnn  mxx cos 2   m yy sin 2   2 mxy sin  cos 
(2.90)
mtt  mxx sin 2   m yy cos 2   2 mxy sin  cos 
(2.91)
mnt   m yy  mxx  sin  cos   mxy  cos 2   sin 2  
(2.92)
in der neuen Richtung  führt. Die einzelnen Terme der so gewonnenen, transformierten Momente
(2.90) - (2.92) lassen sich auch von den beiden oberen dreiecksförmigen Schnittkörperdiagrammen
in Bild 2.7 (c) ableiten und führen durch eine geometrische Interpretation zum Mohrschen Momentenkreis, welcher in der Mitte von Bild 2.7 (c) grafisch dargestellt ist. Die ursprünglich als grafische
Transformation für die Spannungen aufgestellte Mohrsche Konstruktion [55] kann auf beliebige
Tensoren 2. Stufe übertragen werden. Die Momente können durch Drehung der beiden Schnittufer
um den Pol insbesondere für denjenigen Zustand bestimmt werden, bei welchem die Drillmomente
verschwinden und somit die Hauptmomente m1 und m2 sowie die dazugehörige Hauptrichtung 1
vorliegen. Die dabei gefundenen Schnittufer sind mit den beiden unteren Schnittkörperdiagrammen
in Bild 2.7 (c) wiedergegeben und weisen wie gefordert keine Drillmomente auf. Die grafische
Ermittlung der Hauptwerte entspricht aus analytischer Sicht der Lösung des Eigenwertproblems
eines Tensors 2. Stufe, was zu den Hauptmomenten
m1,2 
mxx  m yy
2

m
 m yy   4mxy 2
2
xx
2
(2.93)
und der dazugehörigen Hauptrichtung 1 führt:
tan 21 
2mxy
mxx  m yy
(2.94)
Im Allgemeinen sind die mit (2.89) und (2.94) gefundenen Hauptrichtungen der Hauptquerkraft
beziehungsweise der Hauptmomente voneinander verschieden, 0  1 .
2.2.2
Kinematische Relationen
Neben den Gleichgewichtsbedingungen sind zur vollständigen Beschreibung des Zustands einer
Platte die kinematischen Relationen erforderlich, welche die Verzerrungen mit den Verformungsgrössen (Durchbiegungen und Rotationen) verknüpfen. Für schubstarre Platten wird dabei die für
Balken anerkannte Hypothese nach Bernoulli [1] und Navier [62] sinngemäss übernommen, welche
besagt, dass die Querschnitte eben und senkrecht zur verformten Achse bleiben. Die erste Forderung kann dabei als kinematische Restriktion verstanden werden, welche es ermöglicht, die Verzerrungen in Funktion einer Krümmung zu beschreiben. Mit der zweiten Forderung werden die immer
vorhandenen Querkraftverformungen vernachlässigt. Dies führt dazu, dass sich die Querkraft nicht
wie gewohnt aus den dazugehörigen Verformungen ableiten lässt, sondern aus den Gleichgewichtsgleichungen (2.81) bestimmt werden muss. Das Fallenlassen der zweiten Forderung führt zur Theorie schubsteifer Platten nach Reissner-Mindlin [75, 53]; siehe hierzu auch die Ausführungen in
Kapitel 5.5.4.
27
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Die kinematischen Relationen der schubstarren Platte verknüpfen somit die verallgemeinerten
Verzerrungen in Form eines Krümmungstensors mit der in Richtung z gemessenen Verformung
(Durchbiegung) w:
  xx

 yx
 xy 
 w, xx
 

 yy 
 w, yx
w, xy 
w, yy 
(2.95)
Der Krümmungstensor ist gemäss Satz von Schwarz symmetrisch. Es gilt noch zu bemerken,
dass (2.95) die übliche Vereinfachung für kleine Verformungen enthält.
2.2.3
Konstitutive Gleichungen
Abschliessend sind die konstitutiven Gleichungen herzuleiten, welche eine Verbindung zwischen
den Gleichgewichtsbedingungen (2.82) und den kinematischen Relationen (2.95) herstellen. Die
Ausgangsgleichung hierfür ist die Beziehung ij  Cijkl  kl , welche im Allgemeinen für die vollkommene lineare Anisotropie steht und beim Übergang zur Isotropie zu den konstitutiven Gleichungen
führt, welche nur noch von zwei Konstanten abhängig sind. Diese lassen sich in der Form
 xx 
1

 xx    yy   zz 
E
E
(2.96)
beschreiben und für alle Richtungen in der Indexschreibweise
ij 
1 

ij  ij kk
E
E
(2.97)
zusammenfassen. Dabei stehen die Konstante E für den Elastizitätsmodul,  für die Querkontraktion und ij für den Einheitstensor. (2.97) lässt sich in der inversen Form
ij  2 ij   ij  kk
(2.98)
mit den nach Lamé benannten Konstanten darstellen, welche ihrerseits Funktionen der beiden oben
beschriebenen Materialparameter sind:

E
,
2 1   

E
1   1  2 
(2.99)
Die konstitutiven Gleichungen (2.97) beziehungsweise die dazu inverse Form (2.98) beschreiben das Verhalten eines infinitesimalen Volumenelements, welches in alle Richtungen beansprucht
wird. Die Platte als zweidimensionales Flächentragwerk weist abgesehen von den Krafteinleitungen nur Spannungen in der xy-Ebene auf, womit sich (2.99) mit der Bedingung zz = xz yz0 in
Bild 2.7 (a) zum ebenen Spannungszustand mit den übrig gebliebenen Normalspannungen
 xx 
E
1   
2

xx
  yy  ,
 yy 
E
1   
2

yy
  xx 
(2.100)
sowie der Schubspannung
 xy 
E
 xy
1 
(2.101)
reduzieren lässt. Die Spannungskomponenten (2.100) und (2.101) lassen sich darauffolgend mit der
für die kinematischen Relationen geforderten kinematischen Restriktion in Form der Dehnungsebene als Funktionen der Krümmungen ausdrücken und durch Multiplikation mit dem Hebelarm z
28
Normalmomenten-Fliessbedingung
und nachfolgender Integration über die Plattendicke h zu Schnittmomenten zusammenfassen, woraus sich letztendlich die verallgemeinerten konstitutiven Gleichungen
 mxx
m
 m yx
mxy 
 xx    yy
 D

m yy 
 1     yx
1     xy 

 yy    xx 
(2.102)
der homogenen, isotropen und schubstarren Platte mit der dazugehörenden Plattensteifigkeit
D
E h3
12 1   2 
(2.103)
ergeben.
Die Beziehungen (2.82), (2.95) und (2.102) lassen sich zur partiellen Differentialgleichung in
Indexschreibweise
D  w, xxxx  2 w, xxyy  w, yyyy   qz
(2.104)
zusammenfügen und mit Hilfe des Laplaceoperators in der Symbolschreibweise
D  w  qz
(2.105)
ausdrücken. Die so gewonnene partielle Differentialgleichung 4. Ordnung muss transversal zum
Rand zwei Bedingungen erfüllen. Mit dem Biegemoment mnn, dem Drillmoment mnt und der Querkraft vn stehen jedoch drei Grössen zur Verfügung. Diese Problematik wurde von Thomson und Tait
[28] derart gelöst, dass die Änderung des Drillmoments entlang des Randes als Querkraft interpretiert und somit ins vertikale Gleichgewicht eingearbeitet wird. Diese Betrachtungsweise führt durch
Zusammenführen zweier Platten an ihren Rändern und dem Erfüllen der notwendigen statischen
Übergangsbedingungen zur statischen Diskontinuitätslinie, welche in Kapitel 2.4 ausführlich erläutert wird. Die angesprochene Problematik der Randbedingungen entfällt bei schubsteifen Platten
nach Reissner-Mindlin [75, 53], bei welcher transversal zum Rand drei Bedingungen zu erfüllen
sind.
2.3
Normalmomenten-Fliessbedingung
Die Normalmomenten-Fliessbedingung ist im Zeitraum eines Jahres unabhängig von Sawczuk &
Jäger, Nielsen und Wolfensberger postuliert worden und lässt sich wie folgt herleiten [79, 64, 95].
Der Bruchzustand des Betons kann aufgrund der Untersuchungen von Kupfer [37] für einen ebenen Spannungszustand mit der modifizierten Fliessbedingung nach Coulomb [4] modelliert werden, welche sich unter Vernachlässigung der Betonzugspannungen fct im Hauptspannungsraum als
quadratische Fliessbedingung abbilden lässt, siehe hierzu auch die Ausführungen in Kapitel 2.1.4.
Die in einer Platte orthogonal aufeinander treffenden Druckspannungen können unabhängig voneinander den Wert fc erreichen, wobei die erforderliche Betondruckkraft als Resultierende dieser
Druckspannungen sich über die Druckzonenhöhe zc steuern lässt. Für verschiedene Bewehrungsstärken resultieren unterschiedliche Dicken zc der Druckzonen, siehe Bild 2.8 (a). Dabei wird angenommen, dass mit Erfüllen der Duktilitätskriterien des eindimensionalen plastischen Biegegelenks
der Beton nicht limitierend wirkt.
Die Betondruckkraft muss mit der Zugkraft der Bewehrung auf Niveau der Fliessspannung fy im
horizontalen Kräftegleichgewicht stehen und lässt sich mit dem zugehörigen inneren Hebelarm zx
zum Biegewiderstand mxu beziehungsweise mit zy zu myu multiplizieren, siehe Bild 2.8 (a). Die für
29
Stahlbetonplatten: Grundlagen
verschiedene Richtungen ermittelten Biegewiderstände dürfen superponiert werden und führen für
den in der Praxis am häufigsten vorkommenden Fall einer orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte in
analoger Weise zu (2.90) - (2.92) sowie den damit verschwindenden Drillmomentenwiderständen
zu den bezüglich des Koordinatensystems n-t transformierten Widerstandsgrössen
mnu  mxu cos 2   myu sin 2 
(2.106)
mntu   m yu  mxu  sin  cos 
(2.107)
wie dies dem Bild 2.8 (b) zu entnehmen ist. Diese beschreiben aufgrund von statischen Überlegungen den Widerstand in Abhängigkeit des Richtungswinkels  und lassen sich durch deren Ähnlichkeit zu (2.90) - (2.92) mittels eines Mohrschen Kreises des Biegewiderstandes darstellen; dieser
stellt die Grundlage für die weiteren Arbeiten in den Kapiteln 4.2 und 4.3 dar. Die Übertragung auf
schief bewehrte Stahlbetonplatten lässt sich dabei ohne weiteres bewerkstelligen. Im Vergleich zu
(2.106) und (2.107) ergibt sich infolge Superposition der Widerstände aus den verschiedenen
Bewehrungslagen gemäss
mnu  mxu cos 2   m yu sin 2   2 mxyu sin  cos 
(2.108)
mntu   m yu  mxu  sin  cos   mxyu  cos 2   sin 2  
(2.109)
bereits im Ursprungskoordinatensystem ein Drillmomentenwiderstand mxyu; die Richtungstransformation lässt sich dabei nach wie vor grafisch mit dem Mohrschen Kreis des Biegewiderstandes
bewältigen, wie dies bei der Herleitung des Trapezsegments in Kapitel 5.5.5 zur Anwendung
gebracht wird. Zudem lassen sich die Widerstandsgrössen (2.108) und (2.109) mit Hilfe der Transformationsregeln (2.90) - (2.92) in der entsprechenden Richtung gemäss (2.94) als Widerstandsgrössen einer quasi orthotropen Bewehrung auffassen und dementsprechend behandeln.
Die aus einem statisch zulässigen Spannungszustand resultierende Momentenbeanspruchung mnn darf gemäss Kapitel 2.1.5 in keinem Punkt den ermittelten Widerstand mnu überschreiten. Die zwei daraus ableitbaren Bedingungen mnn  mnu und mnn ,  mnu , führen mit (2.106)
und (2.90) auf folgende zwei Beziehungen
 mxu  mxx  cos2    myu  myy  sin 2   2mxy sin  cos 
(2.110)
  mxu  mxx  sin  cos    m yu  m yy  sin  cos   mxy  cos 2   sin 2  
(2.111)
Durch Einsetzen von (2.110) in (2.111) lässt sich zunächst eine nach dem Richtungswinkel 
separierte Beziehung
tan   
mxy
mxu  mxx mxu  mxx


m yu  m yy
mxy
m yu  m yy
(2.112)
gewinnen, woraus mit der letzten Identität letztendlich die Fliessbedingung
Y  mxy 2   mxu  mxx   m yu  m yy   0
(2.113)
für positive Biegewiderstände folgt. Mit den Beträgen mxu und myu der negativen Biegewiderstände
erhält man analog

Y   mxy 2  mxu  mxx
30
 m
yu

 m yy  0
(2.114)
Normalmomenten-Fliessbedingung
!
Bild 2.8:
Herleitung der Normalmomenten-Fliessbedingung: (a) Ermittlung der orthogonalen
Biegewiderstände; (b) Transformation des Biegewiderstands; (c) Fliessbedingung im
Momentenraum; (d) transformierte Grössen in Abhängigkeit des Richtungswinkels;
(e) Mohrscher Kreis der plastischen Krümmungsinkremente für Fliessregime III
(Y = 0); (f) mögliche Richtungen der Fliessgelenklinien für Fliessregime II (Schnittellipse, Y = Y = 0).
31
Stahlbetonplatten: Grundlagen
Die so gewonnenen Fliessbedingungen basieren durch die Modellvorstellung in (2.106) und
(2.107) auf einer rein statischen Herleitung auf der Ebene von verallgemeinerten Schnittgrössen.
Sie entsprechen im dreidimensionalen Momentenraum zwei gegeneinander gerichteten elliptischen
Kegeln, welche sich in einer Ellipse schneiden, siehe Bild 2.8 (c).
Die vorliegende Fliessfigur erfüllt die plastizitätstheoretische Forderung nach Konvexität und
kann ohne Vorkenntnisse über deren Zustandekommen auch als Ausgangspunkt für die Herleitung
eines dazu verträglichen plastischen Krümmungsinkrements dienen. Hierzu wird ein Fliessgesetz
benötigt, welches einen Bezug zwischen der Fliessfigur und den plastischen Verzerrungsinkrementen herstellt. Mit dem der Fliessbedingung zugeordneten Fliessgesetz (2.33), nach welchem die
plastischen Verzerrungsinkremente orthogonal zur Fliessfigur gerichtet sind, lassen sich die plastischen Krümmungsinkremente als verallgemeinerte Grössen mit dem auf die Fliessfigur Y angewendeten Gradienten   gradY gleichsetzen und mit (2.113) wie folgt ausschreiben
 xx  
Y
   m yu  m yy 
mxx
Y
 2mxy
2 xy  
mxy
,
 yy  
Y
   mxu  mxx 
m yy
(2.115)
wobei  einen nicht negativen skalaren Faktor mit der Einheit Geschwindigkeit bezeichnet. Mit
(2.114) ergeben sich analoge Beziehungen.
Die so gewonnenen plastischen Krümmungsinkremente lassen sich als Komponenten eines Tensors 2. Stufe wiederum mit einem Mohrschen Kreis darstellen, womit die Hauptkrümmungsinkremente und die dazugehörigen Richtungen direkt ablesbar sind, siehe Bild 2.8 (e). Dabei verschwindet für alle Punkte des Fliessregimes III das zweite Hauptkrümmungsinkrement. Die Richtung des
übrig gebliebenen Hauptkrümmungsinkrements stimmt mit der Richtung der Fliessgelenklinie aus
Bild 2.8 (b) überein, welche als kinematische Diskontinuitätslinie mit den Erläuterungen des Kapitels 2.4.2 einem kinematischen zulässigen Verschiebungszustand entspringt. Damit ist gemäss dem
Verträglichkeitssatz der Plastizitätstheorie in Kapitel 2.1.6 klar, dass mit den vorliegenden Fliessbedingungen (2.113) respektive (2.114) die vollständige Lösung von orthtrop beziehungsweise
schief bewehrten Stahlbetonplatten gefunden werden kann.
Es muss dabei festgehalten werden, dass die Fliessbedingung nur für die verallgemeinerten Grössen m und  den Kriterien bezüglich der statischen beziehungsweise kinematischen Zulässigkeit
standhält. Zum einen sind die bei orthotroper Bewehrung unterschiedlichen Druckzonenhöhen in
Bild 2.8 (a) nicht mit dem Mechanismus der Fliessgelenklinie aus Bild 2.10 (a) verträglich. Zum
anderen werden bei stark bewehrten und hauptsächlich drillbeanspruchten Platten die Drillwiderstände überschätzt. Für diese querschnittsinneren Betrachtungen wird auf die Grundlage des Sandwichmodells verwiesen [45, 46]. In der vorliegenden Abhandlung wird indes die mit (2.113) respektive (2.114) hergeleitete und etablierte Fliessbedingung als Grundlage vorausgesetzt.
Die gegebene Fliessfigur in Bild 2.8 (c) lässt sich geometrisch in die drei Fliesszonen der
Kegelflächen (III), der Schnittellipse (II) und der beiden Kegelspitzen (I) unterteilen, welche in der
Folge ausdiskutiert werden sollen. Die unterschiedliche Charakteristik zeigt sich dabei anhand des
Vorzeichens der dazugehörigen Gausschen Krümmung
 xx  yy   xy 2
(2.116)
welche durch die Substitution mit den plastischen Krümmungsinkrementen (2.115) direkt aus der
Fliessbedingung (2.113) zu gewinnen ist.
32
Normalmomenten-Fliessbedingung
Für alle Oberflächenpunkte des Fliessregimes III muss die Gausssche Krümmung gemäss
 xx  yy   xy 2  0
(2.117)
verschwinden. Diese Beziehung lässt sich mit dem Mohrschen Kreis in Bild 2.8 (e) als Höhensatz
interpretieren, wodurch nur ein plastisches Hauptkrümmungsinkrement auftreten kann. Ein zum
Fliessregime III verträglicher Verschiebungszustand stellt somit eine abwickelbare Fläche dar, die
ihrerseits bezüglich des dreidimensionalen euklidischen Raumes eine Untergruppe der Regelflächen bildet. Solche lassen sich entlang einer Leitlinie mit einer Regelgeraden erzeugen [36, 17].
Eine kinematisch verträgliche Fliessgelenkkurve als Ansammlung von konzentrierten Fliessgelenken muss somit gerade sein, was eine bestimmende Eigenschaft für die weitere Herleitung des
Kraftflusses in Stahlbetonplatten sein wird (siehe Kapitel 4.3).
Die Punkte der Schnittellipse (Fliessregime II) in Bild 2.8 (c) erfüllen die Fliessbedingung
sowohl für die positiven als auch negativen Widerstandsmomente in (2.113) respektive (2.114) und
zeigen mit der in Bild 2.8 (d) mit II gekennzeichneten Transformation in Abhängigkeit des
Richtungswinkels  die zueinander verträglichen Richtungen der positiven und negativen Fliessgelenklinien auf. Diese beiden Richtungen sind auch mittels der dazugehörigen plastischen Krümmungsinkremente des untersuchten Punktes in den beiden äusseren Mohrschen Kreisen in
Bild 2.8 (f) wiederzufinden. Die klar bestimmten Richtungen sind jedoch nicht die einzigen Möglichkeiten, welche das der Fliessfigur zugeordnete Fliessgesetz zulässt. An der Kante kann das
Krümmungsinkrement in Form eines Vektors zwischen den zwei Grenzen eine beliebige Lage einnehmen, wie dies aus Bild 2.8 (f) zu entnehmen ist. Für den zulässigen Fall eines senkrechten Vektors ist der Mohrsche Kreis mit den Hauptrichtungen von  = +/- 45 º ebenfalls wiedergegeben.
Dabei verschwindet die Gaussche Krümmung nun nicht mehr, wodurch mit den Überlegungen zum
Höhensatz das Gleichheitszeichen in (2.117) durch ein „kleiner gleich“-Zeichen zu ersetzten ist:
 xx  yy   xy 2  0
(2.118)
Ein zum Fliessregime II verträglicher kinematischer Verschiebungszustand kann nun auch der
Gruppe der sogenannten antiklastischen Flächen (windschiefe Regelfläche) angehören. Solche
kommen in Fliessregionen der Stahlbetonplatten zum Vorschein, wie zum Beispiel als Sattelfläche
in einem Teilbereich der allseitig eingespannten, gleichmässig belasteten Quadratplatte, für welche
Fox die vollständige Lösung vorlegte [13].
Das Fliessregime I besteht aus den beiden Kegelspitzen, welche die grösstmögliche Freiheit
bezüglich der daraus ableitbaren zulässigen Krümmungsinkremente aufweisen; sie haben lediglich
der Beziehung
 xx  yy   xy 2  0
(2.119)
zu gehorchen. Hervorzuheben ist dabei das zulässige Krümmungsinkrement, welches in der mxxmyy-Ebene unter einem Winkel von 45 Grad zu liegen kommt; der dazugehörige Mohrsche Kreis
reduziert sich auf einen Punkt (Bild 2.8 (c)). Mit dieser Eigenschaft ist es möglich, dass sich beliebig viele positive beziehungsweise negative Fliessgelenklinien aus unterschiedlichen Richtungen in
einem Punkt der Platte treffen, was sich am Beispiel der Fächermechanismen anschaulich illustrieren lässt. Daraus folgt umgekehrt, dass die Hauptmomente im Schnittpunkt von positiven respektive negativen Fliessgelenklinien bei der vollständigen Lösung gerade den jeweiligen Biegewiderständen entsprechen müssen.
Für den Fall der quasi-isotropen Bewehrung reduzieren sich die drei aufgeführten Fliessregime
zu denjenigen, welche Nielsen aufführte [64] und die Fox verwendete [12, 13]. Dabei vereinfacht
sich die Formulierung der Fallunterscheidungen; sie lässt sich anstatt mit der Fliessfigur durch die
Hauptmomente vornehmen.
33
Stahlbetonplatten: Grundlagen
2.4
Diskontinuitätslinien
Die von der Kontinuumsmechanik ableitbaren Bedingungen zu den zulässigen Zuständen lassen auf
Stufe der Plattenmomente lediglich die etablierten statischen und kinematischen Diskontinuitätslinien zu, welche für die Diskussion des Kraftflusses im Folgenden aufbereitet werden.
2.4.1
Statische Diskontinuitätslinien
Johansen [26] diskutiert die Überlegungen von Thomson und Tait [28] bezüglich eines Schnittes
am freien Rand der elastischen Platte. Hillerborg [18] sieht, dass aus Gleichgewichtsgründen ein
Drillmomentensprung im Innern einer Platte möglich ist, verfolgt diesen Ansatz jedoch nicht weiter. Er erwägt lediglich einen konzentrierten Querkraftfluss in Form eines versteckten Unterzuges,
einem sogenannten „Strong-Band“, wie dies bereits Wood & Armer [98] und Kemp [30, 31] in
ihren Arbeiten vorschlugen. Clyde [5] stellte das Gleichgewicht in der heute üblichen Schreibweise
zwischen dem Drillmomentensprung und der Querkraft her und zeigte damit die statische Zulässigkeit einer solchen Unstetigkeit auf. Daraufhin entwickelten Morley [59, 60] und Marti [47] statisch
zulässige Momentenfelder, welche statische Diskontinuitätslinien beinhalten. Der Durchbruch
gelang letztendlich Meyboom und Marti mit experimentellen Versuchen, in welchen sie durch spezielle Bewehrungsanordnung das Ausbilden von statischen Diskontinuitätslinien erzwingen konnten und somit deren Existenz bestätigten [51, 52].
Eine statische Diskontinuität kann am ebenen infinitesimalen Flächenelement in folgende zwei
Fälle unterteilt werden. Im ersten Fall tritt die Diskontinuität bezüglich den Schubspannungen auf;
die Gleichgewichtsbetrachtung führt mit dem Grenzwertdurchgang dn  0 in Bild 2.9 (a) zu den
unterschiedlichen, beiderseits der Diskontinuitätslinie parallel verlaufenden Schubspannungen tnI
und tnII . Daraus folgt durch die Verallgemeinerung der Schnittgrössen der Drillmomentensprung,
welcher mit der konzentrierten Querkraft
Vt  mntII  mntI
(2.120)
des in den Bildern 2.9 (b) und (c) dargestellten Schnittkörperdiagramms im Momentgleichgewicht
stehen muss. Die vertikale Betrachtung bringt die konzentrierten Querkräfte mit den beiden ankommenden verteilten Plattenquerkräften ins Gleichgewicht
Vt ,t    vnII  vnI 
(2.121)
Daraus erhält man durch Zusammenführen mit (2.120) die Beziehung
vnII  vnI  mntII ,t  mntI ,t  0
(2.122)
von welcher sich die unterschiedlichen Möglichkeiten des Querkraftflusses erahnen lassen; die Diskussion erfolgt in Kapitel 4.2.2. Transversal zur Diskontinuität lässt das Gleichgewicht hingegen
keine Unstetigkeit zu, was mit der Verallgemeinerung der Schnittgrössen zur Bedingung
I
II
mnn
 mnn
(2.123)
führt. Die mit den Gleichgewichtsgleichungen (2.120) - (2.123) gefundene erste Diskontinuität
wird im Folgenden aufgrund der Historie weiterhin als statische Diskontinuitätslinie bezeichnet,
obschon dies aus mechanischen Überlegungen, wie eingangs erwähnt, den Oberbegriff beider Fälle
darstellen sollte.
Der zweite Fall betrifft die mögliche Unstetigkeit bezüglich der Normalspannungen. Mit dem
Grenzwertdurchgang dn  0 formiert sich am infinitesimalen Flächenelement in Bild 2.9 (d) die
Normalspannung zu einer konzentrierten Normalkraft, welche inmitten einer Fläche elastisch nicht
34
Diskontinuitätslinien
Bild 2.9:
Statische Diskontinuitätslinie: (a) zulässiger Spannungszustand; (b) Gleichgewicht am
Schnittkörper, räumliche Darstellung; (c) Gleichgewicht am Schnittkörper, planare
Darstellung.
Versteckter Unterzug: (d) zulässiger Spannungszustand; (e) Gleichgewicht am
Schnittkörper, räumliche Darstellung; (f) Gleichgewicht am Schnittkörper, planare
Darstellung.
verträglich sein kann. Daraus lassen sich die in den Bildern 2.9 (e) und (f) mit dem Schnittkörperdiagramm dargestellten verallgemeinerten Schnittgrössen sowie die damit einhergehenden Gleichgewichtsbeziehungen
I
II
mnn
 mnn
(2.124)
mntI  mntII
(2.125)
Vt ,t    vnII  vnI   q z
(2.126)
M t ,t  Vt
(2.127)
ableiten. Diese beschreiben die zweite statische Diskontinuitätslinie, welche als versteckter Unterzug oder mit der englischen Bezeichnung „strong band“ in Kombination mit der Streifenmethode
35
Stahlbetonplatten: Grundlagen
von Hillerborg [19] in der Praxis vielfach erprobt und etabliert ist. Durch die hier, infolge des Grenzwertdurchganges formulierte Modellvorstellung geht das in den Bildern 2.9 (e) und (f) dargestellte
infinitesimale Plattenelement in ein Balkenelement mit den entsprechenden konzentrierten Schnittgrössen über; dieser kommt zwischen den angrenzenden Plattenelementen zu liegen. Das Balkenelement ist durch die zusätzliche Längsbewehrung charakterisiert, welche für die Abtragung der
(insbesondere durch Einzelkräfte oder Linienkräfte erzeugten) konzentrierten Biegemomente Mtt
notwendig wird. Die effektive Abtragung erfolgt, wie bei Balken üblich, mit einer endlichen Breite;
die vorhandenen Druckspannungen sind dabei natürlich zu kontrollieren.
Eine Kombination der beiden statischen Diskontinuitätslinien ist bei der Entwicklung von statisch zulässigen Momentenfeldern möglich; die Diskussion über deren kinematische Verträglichkeit in Kapitel 4.2.3 respektive 5.2.2 wird jedoch den unterschiedlichen Charakter akzentuieren und
dadurch die vorgenommene Unterteilung bestärken.
2.4.2
Kinematische Diskontinuitätslinie
Johansen [25, 26] postulierte aufgrund von experimentellen Beobachtungen, dass sich beim Versagen einer Stahlbetonplatte Fliessgelenke entlang von geraden Linien ausbilden, woraus der Versagensmechanismus und die dazugehörige Traglast bestimmt werden können. Er war dabei durch die
Arbeiten von Galileo Galilei [14] inspiriert, welcher mit seinen Ausführungen über den Widerstand
von Balken den Grundstein der Bruchtheorie respektive der heutigen Traglasttheorie legte. Johansen nahm auch die von Ingerslev [22] gemachten Gleichgewichtsüberlegungen auf und erweiterte
diese durch Einführen von Knotenkräften (Englisch: nodal forces), welche beim Zusammentreffen
von Fliessgelenklinien entstehen können [26]. Die dabei aus heutiger Sicht vorhandene Vermischung der statischen und kinematischen Methode der Plastizitätstheorie konnte damals nicht
erkannt werden. Erst Prager [69] ordnete nach dem theoretischen Aufbau der Plastizitätstheorie
durch Drucker, Greenberg und Prager [8, 9] die von Johansen aufgestellte Fliessgelenklinientheorie
dem Oberen Grenzwertsatz zu und stellte sie damit auf eine klare theoretische Basis.
Die Plastizitätstheorie vermochte diese Vermischung in den darauffolgenden Weiterentwicklungen der Arbeiten von Kemp, Morley, Nielsen, Wood und Jones allerdings nicht wirklich zu klären
[29, 58, 65, 97, 27], was wiederkehrend zu Missverständnissen führte. Diese Arbeiten erscheinen
erst im Licht der vollständigen Lösung wieder wertvoll, da durch die Forderung nach Verträglichkeit sowohl das Gleichgewicht als auch die kinematische Relationen erfüllt sein müssen und somit
statische Überlegungen mit der kinematischen Methode kombiniert werden dürfen.
Die Fliessgelenklinientheorie als kinematische Methode basiert auf einem Versagensmechanismus, welcher aus konzentrierten geraden Fliessgelenklinien oder eben kinematischen Diskontinuitätslinien konstruiert wird, siehe Bild 2.10 (a). Die dazwischenliegenden Plattenbereiche verhalten
sich dabei weiterhin elastisch und können als starr betrachtet werden. Der Versagensmechanismus
ist somit durch die Fliessgelenkscharniere entlang von Starrkörpern charakterisiert. Am infinitesimalen Plattenelement in Bild 2.10 (b) ergeben sich die geometrischen Beziehungen
x 

36
1
,
dx
y 

1
,
dy
n 

1
dn
(2.128)
Diskontinuitätslinien
Bild 2.10: Kinematische Diskontinuitätslinie: (a) Darstellung des plastischen Gelenkes;
(b) Fliessgelenklinie, räumliche Darstellung; (c) Fliessgelenklinie, planare Darstellung.
 n stellt die über den Fliessgelenkbereich integrierte KrümDas plastische Rotationsinkrement 
mung dar und kann unter Verwendung der Grössen
dx  sin  dt ,
dy  cos  dt ,
dn  sin  cos  dt
(2.129)
 x und 
 y in Beziehung
mit den auf die Koordinatenachsen xy projizierten Rotationsinkrementen 
gebracht werden:
 n sin  cos   
 x sin   
 y cos 

(2.130)
Die spezifische Dissipationsleistung ergibt sich durch Multiplikation des senkrecht zur Fliess n und
gelenklinie vorhandenen plastischen Biegewiderstandes mnu mit dem Rotationsinkrement 
kann mit (2.106), (2.129) und (2.130) in Funktion der orthotropen Biegewiderstände ausgedrückt
werden:
 n  mxu 
 x dy  mxy 
 y dx
Di  mnu 
(2.131)
Für die Konstruktion eines kinematisch zulässigen Versagensmechanismus stellte Johansen die
folgenden zwei Theoreme auf [24, 26], welche bei nicht vorhandenen Fliessregionen
(Fliessregime II) nach wie vor gültig sind:
Theorem I: Die Fliessgelenklinie zwischen zwei Plattenteilen geht durch den Schnittpunkt ihrer
Drehachsen.
Theorem II: Der Versagensmechanismus ist durch die Drehachsen der Plattenteile und die Verhältniszahlen der Drehungen bestimmt.
Weiter darf zum Finden eines kinematisch zulässigen Versagensmechanismus das Wissen über
verträgliche kinematische Diskontinuitätslinien gemäss Normalmomenten-Fliesshypothese einfliessen. Lässt sich ein kinematisch zulässiger Versagensmechanismus konstruieren, so kann daraus
37
einerseits die spezifische Dissipationsleistung in den Fliessgelenklinien gemäss (2.131) über die
ganze Platte integriert und anderseits die mechanische Leistung
W   qkin w dA
(2.132)
A
der Einwirkung qkin ermittelt werden. Aus der Gleichsetzung
D  W
(2.133)
der totalen Dissipationsleistung D mit der mechanischen Leistung W lässt sich letztendlich ein
oberer Grenzwert für die Traglast qkin ermitteln.
38
3
Querkraftfeld in Platten
3.1
Gleichgewichtslösung
Das übergeordnete Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, den Kraftfluss in Stahlbetonplatten
mittels der Bewehrungsführung im Traglastzustand nach Belieben steuern zu können. Dabei kommt
zunächst mit der möglichen Beschreibung des Kraftflusses durch das Querkraftfeld nur die statische
Vorgehensweise beziehungsweise die Verwendung des unteren Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie in Frage. Eine Verknüpfung des Querkraftfeldes mit der kinematischen Methode ist aus theoretischen Gründen weder möglich noch zulässig; diese wird erst in Kapitel 4 bei der Diskussion
von vollständigen Lösungen hinzugezogen.
Somit müssen vorerst nur die Gleichgewichtsgleichungen (2.80) und (2.81) erfüllt sein; die auf
eine einzige Lösung einschränkende Verträglichkeit muss nicht berücksichtigt werden, wie dies in
Kapitel 2.2 aufgezeigt ist. Für eine konkrete Problemstellung einer Stahlbetonplatte können deshalb
insbesondere wegen deren zweidimensionaler Ausbreitung unendlich viele statisch zulässige Spannungszustände konstruiert werden, was theoretisch durch infinitesimal stufenweise Abdeckung der
erforderlichen Bewehrung zu ebenso vielen Bewehrungsanordnungen auf Niveau der Traglast
führt.
Um die ganze Fülle dieser Lösungen zu erfassen ohne dabei den Lösungsraum von vornherein
einzuschränken, ist von einem Querkraftfeld in seiner allgemeinsten Form auszugehen. Nach dem
Hauptsatz der Vektoranalysis lässt sich jedes Vektorfeld im Bereich der Plattenfläche A in divergenz- und rotationsfreie Anteile aufspalten
v  v p  v h1  v h2
auf A
(3.1)
wobei mit p respektive h1 die partikuläre Lösung beziehungsweise die homogene Lösung gekennzeichnet sind. Das aufgetrennte Vektorfeld ist eindeutig bestimmt, falls die Normalkomponente des
Querkraftfeldes auf dem Rand mit
n  v  g0
auf A
(3.2)
ebenfalls vorgegeben ist [3]. Die Vektorfelder v p und v h1 lassen sich als Funktionen der Potentiale
und  wie folgt anschreiben:
vxp  , x ,
v yp  , y ,
rot v p  , yx  , xy  0
(3.3)
vxh1   , y ,
v yh1   , x ,
div v h1   , yx   , xy  0
(3.4)
39
Querkraftfeld in Platten
Das Vektorfeld v h2 ist sowohl divergenz- als auch rotationsfrei
rot v h2  0,
div v h2  0
(3.5)
wodurch es in den beiden ersten Vektorfeldern nicht erfasst werden kann, jedoch durch die Randbedingung in (3.1) anteilsmässig definiert ist.
Physikalisch lassen sich die drei Vektorfelder folgendermassen interpretieren: Der rotationsfreie
Anteil v p stellt die Quellen und Senken dar, welche sich im vorliegenden Fall der Platte in der
Beanspruchung qz beziehungsweise in den Auflagerreaktionen widerspiegeln. Von den beiden
divergenzfreien Anteilen ist der erste nicht rotationsfrei und tritt dementsprechend als reines Wirbelfeld in Erscheinung; der zweite Anteil entspricht einer durch das beobachtete Gebiet fliessenden
Strömung ohne Quellen, Senken und Wirbel. Diesen beiden Vektorfeldern kommt in Bezug auf die
Stahlbetonplatten eine besondere Bedeutung zu, da sie gemäss (3.4) und (3.5) die homogene
Lösung der Gleichgewichtsdifferentialgleichung darstellen und somit zur Beschreibung eines möglichen Eigenspannungszustands verwendet werden können. Ein solcher lässt sich für eine konkrete
Problemstellung der elastischen Lösung überlagern und führt in seiner optimalsten Ausgestaltung
zur vollständigen Lösung samt Traglast nach der Plastizitätstheorie (siehe Kapitel 2.1.5 und 2.1.6).
Aus mathematischer Sicht ist festzuhalten, dass in den Gleichungen (3.3) und (3.4) die Reihenfolge der partiellen Ableitungen nach dem Satz von Schwarz [3] keinen Einfluss auf das Resultat
ausübt, sofern mit den beiden Potentialen stetige und p-mal differenzierbare Funktionen vorliegen.
Diesen Forderungen genügen die hier verwendeten verallgemeinerten Funktionen wie die DiracDelta-Funktion sowie deren Stammfunktion, die Heaviside-Funktion [40, 21, 15, 16].
Die oben vorgenommene Auftrennung des Querkraftfeldes v lässt sich mit der Gleichgewichtsbedingung (2.81) verknüpfen. Der auf die Querkraft angewendete Gradient führt unter Berücksichtigung von (3.3) und (3.4) zu den beiden Identitäten
 vx , x
grad v  
v y , x
vx , y   , xx   , yx

v y , y   , xy   , xx
 mxx , xx  mxy , xy
grad v  
 mxy , xx  m yy , xy
, xy   , yy 
, yy   , xy 
mxx , xy  mxy , yy 
mxy , xy  m yy , yy 
(3.6)
(3.7)
Durch Gleichsetzen von (3.6) mit (3.7) erhält man einerseits aus der Addition der Hauptdiagonalelemente die auf das Querkraftfeld angewendete Divergenz
, xx  , yy  mxx , xx  2 mxy , xy  m yy , yy  qz
(3.8)
beziehungsweise die bereits beschriebene Gleichgewichtsbedingung (2.79) und anderseits aus der
Differenz der Nebendiagonalelemente die auf das Querkraftfeld angewendete Rotation
 , xx   , yy   mxx  m yy 
, xy
 mxy , yy  mxy , xx
(3.9)
als neue Beziehung. Die beiden Gleichungen (3.8) und (3.9) lassen sich weiter in Funktion der
Potentiale als elliptische Differentialgleichungen mit dem Laplace-Operator in Symbolschreibweise darstellen
   qz
(3.10)
   
(3.11)
was im ersten Fall mit (3.8) zur Gleichsetzung mit der negativen Kraftdichte qz führt. Dagegen existiert aus (3.9) für die zweite Beziehung noch keine zur Kraftdichte äquivalente Grösse; physikalisch
40
Gleichgewichtslösung
muss das Pendant einer Wirbeldichte entsprechen, welche fortan mit dem griechischen Zeichen 
bezeichnet werden soll. Somit lässt sich aus (3.9) und (3.11) eine zur Gleichgewichtsbedingung
(2.79) beziehungsweise (3.8) ähnliche Beziehung gewinnen
m
xx
 m yy 
, xy
 mxy , yy  mxy , xx  
(3.12)
die als Gleichgewichtsbedingung des wirbelbehafteten Eigenspannungszustandes bezeichnet werden kann. Das heisst: die Plattenmomente müssen für einen statisch zulässigen, wirbelbehafteten
Eigenspannungszustand infolge des Einprägens einer Wirbeldichte die Gleichung (3.12) erfüllen.
Umgekehrt lässt sich eruieren, ob vorgegebene Momentenfelder einen wirbelbehafteten Kraftfluss
beinhalten, wie dies in Kapitel 4.2.1 am Beispiel der statischen Diskontinuitätslinien aufgezeigt
werden kann.
Aus (3.6) und (3.7) lässt sich noch eine weitere Beziehung ableiten, welche dem Verständnis,
insbesondere im Vergleich mit der elastischen Lösung, dienen wird. Setzt man die Summe der
Nebendiagonalelemente in den beiden Identitäten einander gleich und bildet darauffolgend das
unbestimmte Integral sowohl in x- als auch in y-Richtung, so erhält man das Potential  in Funktion
der Plattenmomente, des Potentials  sowie zweier Integrationsfunktionen

1
 mI  x mxy , y  y mxy , x  x , y  y , x  g  x   h  y  
2
(3.13)
Dabei wird die auszuführende Integration in Anlehnung an die Indexschreibweise der partiellen
Differentiation mit dem jeweiligen Index vor der Funktion angezeigt; die Biegemomente werden
zur ersten Invariante des Momententensors mI = mxx + myy zusammengefasst. Die Gleichung (3.13)
ist so zu interpretieren, dass das zur Kraftdichte assoziierte Potential  die angegebenen Teile der
Plattenmomente unter Abzug der Eigenspannungsanteile darstellt.
Die bis hierhin aufgestellte, analytisch klare Auftrennung des Kraftflusses mag an dieser Stelle
als abstrakt erscheinen; sie stellt allerdings für die angestrebte Steuerung des Kraftflusses einen
weiteren Schlüssel dar. Die momentan dazu fehlende mechanische Interpretation folgt mit den Ausführungen in den Kapiteln 4 und 5.
An dieser Stelle soll stattdessen nach einer bildlichen Darstellung gesucht werden, die zu einem
besseren Verständnis bezüglich des Kraftflusses der Gleichgewichtslösung führen soll. Dies wird
mit der Analogie zwischen den Gleichgewichtsdifferentialgleichungen von der Platte und der Membranschale erreicht, womit die Grundlage für den bereits bekannten Spezialfall der elastisch verträglichen Platte sowie der dazugehörigen analogen Membranhaut geschaffen wird. Dies ermöglicht letztendlich, den Unterschied zwischen der rein statischen und der elastisch verträglichen
Lösung aufzuzeigen.
Hierzu wird im folgenden Exkurs die Gleichgewichtsdifferentialgleichung der flachen Membranschale hergeleitet, welche sich dadurch auszeichnet, dass wegen der schlanken Ausführung die
Biegesteifigkeit vernachlässigbar ist und daher die Belastungen nur über Membranspannungen
abgetragen werden. Zudem lassen sich die Membranspannungen mit ihren in Bild 3.1 (a) auf die xyEbene projizierten Spannungen gleichsetzen. Die projizierten Grössen beschreiben dabei einen ebenen Spannungszustand einer Scheibe und können für eine nur vertikal beanspruchte Membranschale zur Airyschen Spannungsfunktion zusammengefasst werden. Für eine verständlichere Darstellung werden die in den Bildern 3.1 (a) - (d) dargestellten Schnittgrössen n, v und m am positiven
Schnittufer in negativer Richtung zeigend eingeführt (Membrane entspricht dem auf Druck beanspruchten Beton). Somit lassen sich am infinitesimalen Schalenelement in Bild 3.1 (a) die vertika41
Querkraftfeld in Platten
Bild 3.1:
Analogie Schale - Platte: (a) Schnittkörper des infinitesimalen Schalenelements;
(b) analoger Gleichgewichtszustand am Schnittkörper des infinitesimalen Plattenelements (reiner Gleichgewichtszustand); (c) Schnittkörper des infinitesimalen Membranelements; (d) analoger Gleichgewichtszustand am Schnittkörper des infinitesimalen
Plattenelementes (elastisch kinematisch verträglich).
len Komponenten der Membranspannungen mit Hilfe der Ableitungen der Formfunktion z als
Querkraft auffassen
nxx z, x  nxy z, y  vx
(3.14)
n yy z, y  nxy z, x  v y
(3.15)
und mit der Tensor- respektive Symbolschreibweise wie folgt ausdrücken
 z, x   nxx
 z  n
 , y   xy
nxy 
v
n yy 
z  n  v
(3.16)
Das vertikale Gleichgewicht über das ganze infinitesimale Schalenelement lässt sich darauffolgend bis auf die unterschiedliche Vorzeichenkonvention zu demjenigen der Platte (2.80) in Funk-
42
Gleichgewichtslösung
tion des Querkraftfeldes und somit des Kraftflusses in den verschiedenen Schreibweisen formulieren
vx , x  v y , y   q z ,
  v   qz
(3.17)
Durch Einsetzen von (3.16) in (3.17) erhält man in der Indexschreibweise
z,ij nij  z, j n ji ,i   qz
(3.18)
wobei der zweite Term wegen der nicht vorhandenen horizontalen Beanspruchungen mit
n  0
(3.19)
verschwinden muss. Daraus folgt in ausformulierter Form die bis auf den Vorzeichenwechsel
bekannte Gleichgewichtsdifferentialgleichung der flachen Membranschale
z, xx nxx  2 z, xy nxy  z, yy n yy   qz
(3.20)
welche erstmals von Pucher aufgestellt wurde [72, 73].
Die Tragwirkung der Membranschale kann sich dabei erst durch die horizontal unverschieblichen Widerlager aufbauen, wobei deren Funktion genauso durch ein flächiges Zugband unter der
Schale wahrgenommen werden kann. Trennt man weiter die Membranspannungen nach ihren
Komponenten auf und fasst die Vertikalkomponenten wie mit (3.14) und (3.15) gezeigt zur
Querkraft v zusammen, so erhält man das in Bild 3.1 (b) dargestellte infinitesimale Schalenelement.
Dabei sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nur die neu hinzukommenden Querkräfte beschriftet;
die Bezeichnungen der horizontalen Komponenten können aufgrund der Eigenschaft der flachen
Schale weiterhin aus Bild 3.1 (a) entnommen werden.
Die horizontalen Membranspannungen aus der Schale und dem Zugband müssen miteinander
im Gleichgewicht stehen und lassen sich durch Multiplikation mit dem Hebelarm z zu einem
Momententensor zusammenfassen
zn  m
(3.21)
welcher als Pendant zu demjenigen der Platte postuliert werden könnte. Diese Behauptung lässt sich
einfach durch Einsetzen von (3.21) in der Gleichgewichtsgleichung (2.81) der Platte überprüfen
   z n   z  n  z   n  v
(3.22)
woraus unter der bestehenden Bedingung (3.19) die oben hergeleitete Gleichung (3.16) resultiert.
Mittels der Gegenüberstellung
div v   qz
div v   qz
(3.23)
div m  v
div  z n   z  n  v
(3.24)
    m  qz
z n   qz
(3.25)
der Gleichgewichtsbedingungen der Platte und der Membranschale wird offensichtlich, dass jeder
statisch zulässige Spannungszustand der Stahlbetonplatte nach (2.80) - (2.82) ebenso als statisch
zulässiger Membranspannungszustand einer flachen Membranschale interpretiert werden kann,
wobei die Bewehrung die Funktion des Zugbandes übernimmt. Das heisst, dass sich in der Stahlbetonplatte eine dem zulässigen Spannungszustand entsprechende Membranschale finden lässt, welche als Druckgewölbe mit der Bewehrung in Bild 3.1 (b) im Gleichgewicht steht. Der darüber liegende Beton muss lediglich die vertikale Beanspruchung auf die Membranschale übertragen.
Hingegen wird vom darunter liegenden Beton der die Bewehrung als Sandwichdeckel umfassende
43
Querkraftfeld in Platten
Teil in analoger Weise zum Scheibenmodell für die Abtragung der Schubspannungen benötigt. Dieser Deckel wird dabei nur an den Rändern durch die horizontalen Komponenten des Gewölbes
beansprucht und erfüllt im Inneren die mit der Airyschen Spannungsfunktion einhergehende
Bedingung (3.21). Die Spannungen entsprechen den negativen, auf die xy-Ebene projizierten Membranspannungen des Gewölbes und stellen dabei durch die nicht vorhandenen horizontal angreifenden Beanspruchungen eine innere Umlagerung der Kräfte dar.
Die aufgezeigte Analogie zwischen den beiden Gleichgewichtsdifferentialgleichungen der
Platte und der Membranschale ist die Basis für die im nächsten Kapitel beschriebene Herleitung der
bekannten Analogie zwischen der elastisch verträglichen Platte und der elastischen Haut, was das
eigentliche Ziel vom Aufzeigen des Unterschieds zwischen den beiden Lösungen erst ermöglichen
wird. Das ganze Potential der oben beschriebenen Analogie kann indes an dieser Stelle nicht vollständig ausgeschöpft werden. Einerseits liessen sich zum Beispiel die von Tarnai angestellten Überlegungen über die Existenz und Eindeutigkeitsbedingungen von Membranschalen nun auf die Platten übertragen [89, 90, 91]. Anderseits könnten für vollständige Lösungen von Stahlbetonplatten
die dazugehörigen Membranschalen ermittelt werden, durch welche eventuell weitere Erkenntnisse
über den Kraftfluss im Traglastzustand offenbar würden.
44
Elastische Lösung
3.2
Elastische Lösung
Ausgehend von der Membranschale lässt sich die elastische Haut als Spezialfall davon betrachten.
Die beiden Modellvorstellungen unterscheiden sich durch die im zweiten Fall fehlende horizontale
Schubsteifigkeit, was eine Abtragung von Schubspannungen verunmöglicht und dadurch den
Mohrschen Kreis der Membranspannungen auf einen Punkt reduziert. Mit dieser Eigenschaft vereinfachen sie die mit (3.14) und (3.15) hergeleiteten vertikalen Gleichgewichtsbedingungen an den
beiden positiven Schnittufern in Bild 3.1 (c) zu
vx  n z, x  el. Haut , x
(3.26)
v y  n z, y  el. Haut , y
(3.27)
was die Beschreibung der Querkraft als Gradient eines Potentials ermöglicht. Die Anwendung der
zweiten Gleichgewichtsgleichung (3.17) führt zu der bis auf den Vorzeichenwechsel zu (3.10) analogen elliptischen Differentialgleichung der elastischen Haut
 el. Haut  el. Haut , xx  el. Haut , yy  n  z, xx  z, yy    qz
(3.28)
Bei der Platte beinhaltet die Menge aller statisch zulässigen Spannungszustände auch jenen, welcher neben der statischen auch die kinematischen Bedingungen gemäss (2.95) beziehungsweise
(2.102) erfüllt und somit elastisch verträglich ist. Daraus folgt, dass die Querkraft ebenfalls als Gradient eines Potentials beschrieben werden kann
v   D grad w
(3.29)
und sich mit Hilfe des Momententensors in (3.21) als Funktion der 1. Invariante ausdrücken lässt
el 
mI
2

nz
1  1 
(3.30)
Die über den Plattenbereich veränderliche 1. Invariante kann dabei als doppelter Betrag eines
mittleren Moments interpretiert werden, welches zusammen mit dem Skalierungsfaktor 2 / 1  
und der Division durch den veränderlichen Hebelarm z zur konstanten Normalspannungskomponente 2 n / 1    in Bild 3.1 (d) führt. Somit ist die Formfunktion z affin zum Potential in Funktion
der 1. Invariante des Momententensors.
Die Querkraft (3.29) stellt in Bezug auf (3.1) den partikulären Anteil dar; die anderen Anteile
sind bei der elastisch verträglichen Lösung nicht vorhanden. Daraus folgt aus (3.30) und (3.10) die
zur elastischen Haut (3.28) analoge elliptische Differentialgleichung
 el 
2
n  z, xx  z, yy    qz
1 
(3.31)
mit dem Unterschied einer skalierten Normalspannungskomponente. Diese rührt daher, dass die
durch Schubspannungen injizierten Drillmomente in Bild 3.1 (b) infolge der elastischen Verträglichkeit nicht verschwinden, wie man aus Bild 3.1 (d) auf den ersten Blick entnehmen könnte, sondern in das Potential eingearbeitet werden.
Die Analogie zwischen den beiden elastischen Lösungen (3.28) und (3.31) besteht darin, dass
für eine vorgegebene Beanspruchung qz der identische Kraftfluss resultiert, sofern die konkreten
Problemstellungen gleiche Grundrisse und zueinander analoge Randbedingungen aufweisen. Der
Kraftfluss einer elastischen Platte lässt sich somit von der dazu analogen elastischen Haut ablesen,
was insbesondere in Bezug auf die Ordnung der Differentialgleichung den Vorteil offenbart.
Anstelle der Bipotentialgleichung (2.105) lässt sich die Problemstellung auf die elliptische Dif45
Querkraftfeld in Platten
ferentialgleichung (3.31) reduzieren und mit der Analogie zur elastischen Haut auch mechanisch
erklären. Die Form des Potentials lässt sich für jede einfach gelagerte Problemstellung problemlos
durch räumliches Vorstellungsvermögen qualitativ finden, indem eine Membran über eine in der
Form des Grundrisses entsprechende Öffnung gespannt und diese mit der Beanspruchung qz belastet wird. Der auf die so erhaltene Formfunktion z angewendete Gradient entspricht der skalierten
Querkraft. Die Hauptquerkraft nach (2.88) zeigt dabei aufgrund der möglichen Beschreibung mit
einem Potential in Richtung des Fallliniengefälles der Formfunktion z, was zu einer weiteren Analogie führt. Lässt man am jeweiligen Ort die Beanspruchung qz in Form von Wasser mit der entsprechenden Intensität in z-Richtung auf die gefundene Formfunktion z fallen, so zeigt einerseits der
Abfluss auf der Oberfläche in Hauptquerkraftrichtung, und anderseits verhält sich die Abflussmenge proportional zum Betrag der Hauptquerkraft. Diese beiden Analogien sind am Beispiel der
gleichförmig belasteten und allseitig aufgelegten elastischen Quadratplatte in Bild 3.2 illustriert,
wobei die entsprechende Membran aus Gründen der Übersichtlichkeit nur für einen Viertel der
Platte dargestellt ist.
Die Analogie zwischen der elastischen Platte und der elastischen Haut wurde erstmals von Marcus [41, 42] aufgezeigt und ist in den Arbeiten von Timoshenko [92], Saether [76, 77, 78] sowie
Fonseca [11] erneut aufgegriffen und weiterverfolgt worden. Sie ist zudem zur weitaus bekannteren
Membrananalogie von Prandtl ähnlich [71], welche einen Zusammenhang zwischen der St. Venant
Torsion von beliebigen Stabquerschnitten und der elastischen Haut aufstellt. Der Unterschied ist
dabei im Ansatz des Potentials zu finden, welcher die Schubspannungskomponenten aus der
St. Venant Torsion anstelle von (3.3) in der Form von (3.4) zusammenfasst. Dadurch zeigen die
Hauptschubspannungen anstatt in Richtung des Fallliniengefälles entlang der Höhenlinien des
Potentials in den Bildern 3.2 (d) und (e).
Weiter existiert mit der Sandhügelanalogie nach Nadai [61] für die St. Venant-Torsion ein plastisches Pendant zur elastischen Membrananalogie nach Prandtl; die Schubspannungsverläufe der
vollständigen Lösung nach der Plastizitätstheorie können damit einfach ermittelt werden. Man wäre
auf den ersten Blick durch die bestehende elastische Analogie zwischen Platte-Haut-Torsion versucht, die Sandhügelanalogie auf plastische Plattenprobleme zu übertragen, was aus folgenden
Gründen nicht gelingen kann. Erstens liegt der elastischen Analogie eine elliptische Differentialgleichung zu Grunde, was im Fall der Platte erst mit der Beschreibung durch die angesprochene
Reduktion möglich ist. Zweitens sind im plastischen Zustand unterschiedliche Spannungskomponenten in Bezug auf die Fliessbedingung massgebend.
Für das angestrebte Ziel des Steuerns des Kraftflusses in Stahlbetonplatten kann eine solche eindeutige Analogie in Anbetracht der frei wählbaren Bewehrungsanordnung sowieso nicht dienlich
sein. Die Sachlage zeigt sich zudem durch den Umstand verwickelter, als einerseits der Querkraftfluss gesteuert werden sollte und anderseits die Plattenmomente die von der Bewehrung abhängigen
Biegewiderstände gemäss der Normalmomenten-Fliessbedingung nicht überschreiten dürfen.
Darum wird die in diesem Kapitel begonnene Untersuchung des Kraftflusses sukzessive weitergeführt, was im nächsten Schritt zum Vergleich der reinen Gleichgewichtslösung mit der elastischen
Lösung führt.
46
Vergleich der Lösungen
Bild 3.2:
3.3
Elastische Platte und Membrananalogie: (a) einfach gelagerte Quadratplatte;
(b) zugehöriges Membranmodell; (c) Funktionsweise der Membrananalogie;
(d) Hauptquerkraftlinien der elastischen Platte; (e) Membran unter Druck.
Vergleich der Lösungen
Das Querkraftfeld einer elastischen Platte kann nach (3.29) als Gradient des Potentials (3.30)
beschrieben werden, was den Kraftfluss mit der Analogie zur elastischen Haut für beliebige Plattengrundrisse mit einfacher Lagerung gedanklich konstruieren lässt. Die so gewonnene Lösung hat
insbesondere bis zum Erreichen des Rissmomentes auch für Platten aus Stahlbeton Bestand, da für
die ungerissene Biegesteifigkeit der Anteil des Betons als homogen isotroper Werkstoff denjenigen
der Bewehrung deutlich übertrifft. Wird die Beanspruchung über das Rissmoment monoton gesteigert, durchläuft die Platte bis zum Erreichen der Traglast infolge elastischer und plastischer Schnittkraftumlagerungen verschiedene Spannungszustände, welche nur mit einer aufwendigen nichtlinearen Berechnung zu quantifizieren sind und aus baupraktischer Sicht eine untergeordnete Rolle
einnehmen.
Hingegen ist für den konstruktiv tätigen Ingenieur eine zuverlässige Aussage über die Traglast
von eminenter Wichtigkeit, welche direkt mit Hilfe der vollständigen Lösung der Plastizitätstheorie
47
Querkraftfeld in Platten
ermittelt werden kann. Diese besteht nach dem Verträglichkeitssatz aus einem statisch zulässigen
Spannungszustand gemäss (2.82) und einem damit plastisch verträglichen, kinematisch zulässigen
Verschiebungszustand. Wird vorausgesetzt, dass die Platte einen initial eigenspannungsfreien
Zustand aufweist und zum Erreichen der Traglast nur die dazugehörige Belastungsgruppe monoton
gesteigert wird, so ist der statisch zulässige Spannungszustand der vollständigen Lösung ebenfalls
für die ganze Platte eindeutig. Andernfalls beschränkt sich diese Aussage gemäss (2.7) auf die
Bereiche der auftretenden plastischen Krümmungsinkremente. Für diesen so gefundenen statisch
zulässigen Spannungszustand liesse sich nun mit der Analogie zwischen den beiden Gleichgewichtslösungen eine dazu mögliche Membranschale konstruieren, welche jedoch nicht eindeutigen
Charakter aufweist.
Letztendlich liegen mit der elastischen Lösung beziehungsweise der vollständigen Lösung nach
der Plastizitätstheorie zwei eindeutige, statisch zulässige Spannungszustände vor, welche in jeder
Platte zu Beginn und am Schluss der monotonen Laststeigerung bis zur Traglast eintreten werden.
Auf der einen Seite lässt sich dabei der Kraftfluss als Gradient eines Potentials (3.30) beschreiben
el 
mI
1 
(3.32)
welches sich zur gleichwertigen Identität
1  1  2
1  2

el  
mI 

x mxy , y  y mxy , x  g  x   h  y   
2  1 
1 

(3.33)
umformen lässt und mit der Querdehnungszahl  = 0 zu folgendem Ausdruck führt
el 
1
 mI  x mxy , y  y mxy , x  g  x   h  y  
2
mit   0
(3.34)
Die Legitimität des letzten Schritts lässt sich dabei folgendermassen begründen. Denkt man sich
eine Platte mit zwei verschiedenen Materialisierungen (insbesondere unterschiedlichen Querdehnungszahlen 1 und 2), so unterscheiden sich bei gleicher Beanspruchung qz die beiden daraus folgenden Kraftflüsse gemäss
 el.1  
mI.1
m
  el.2   I.2  qz
1  1
1  2
(3.35)
nur durch einen Eigenspannungszustand v h2 nach (2.82). Die Gleichung (3.34) lässt sich somit als
Superposition eines elastischen Potentials mit einem entsprechenden Eigenspannungszustand v h2
auffassen, wobei die mögliche Beschreibung durch ein Potential weiterhin gegeben ist. Der Grund
ist hierfür in der Zulässigkeit der Funktion v h2 zu finden, welche sowohl divergenz- als auch wirbelfrei sein muss.
Auf der anderen Seite steht der statisch zulässige Spannungszustand der vollständigen Lösung,
welcher in seiner allgemeinsten Form sowohl rotationsfreie als auch wirbelbehaftete Eigenspannungszustände aufweisen wird und dadurch eine Beschreibung des Kraftflusses als Gradient eines
Potentials verunmöglicht, wie dies die Anteile in (3.13) im Vergleich zu (3.34) offensichtlich
machen. Das heisst, dass insbesondere der wirbelbehaftete Eigenspannungszustand in den erwähnten Schnittkraftumlagerungen während der monotonen Laststeigerung seinen Ursprung haben muss
und damit zur Frage führt, wodurch Wirbel im Querkraftfeld entstehen können. Die Relevanz dieser
Fragestellung wird noch dahingehend bestärkt, dass für das Beispiel der gleichmässig belasteten,
zentrisch punktgestützten Quadratplatte ein statisch zulässiger Spannungszustand der vollständigen
Lösung nach Marti [44] vorliegt, welcher in der ganzen Platte bis auf den Bereich der Fliessgelenklinien Wirbel aufweist. Dabei ist einerseits festzuhalten, dass zum Ausbilden der vollständigen
Lösung während der monotonen Laststeigerung plastische Krümmungsinkremente auftreten können, welche nicht zur endgültigen Fliessgelenklinienkonfiguration gehören müssen und damit den
48
Vergleich der Lösungen
Bereich der plastischen Krümmungsinkremente erweitern. Andererseits sind Wirbelfelder in den
während der monotonen Laststeigerung elastisch bleibenden Teilbereichen der Platte nach (3.29)
kinematisch vermeintlich nicht möglich. Man wäre nun versucht, eine Abhängigkeit zwischen den
plastischen Krümmungsinkrementen und den Wirbeln im Querkraftfeld herzustellen, was jedoch
im Widerspruch zum angesprochenen Beispiel steht, wo gerade die Fliessgelenklinien und somit
die Bereiche der endgültigen plastischen Krümmungsinkremente wirbelfrei sind.
Die nun ausformulierte Fragestellung bezüglich der Wirbelbildung führt in einem ersten Schritt
zur Untersuchung des Querkraftflusses an Diskontinuitätslinien, welche in Kapitel 4 vorgenommen
wird.
49
50
4
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
4.1
Einleitung
Das Auffinden von vollständigen Lösungen nach der Plastizitätstheorie ist das übergeordnete Ziel
dieser Arbeit. Das heisst, dass die Lösung sowohl statisch als auch kinematisch zulässig und plastisch verträglich sein muss. Bei der Diskussion des Querkraftflusses an den in Kapitel 2.4 erörterten
Diskontinuitätslinien, welche entweder auf statischen oder kinematischen Grundlagen beruhen,
muss deren allgemeiner Lösungsbereich durch die plastische Verträglichkeit im Sinne des Verträglichkeitssatzes eingeschränkt werden, um als Teil der Platte die oben formulierte Forderung erfüllen
zu können.
Ausgehend von der in Kapitel 2.3 vorgenommenen Unterteilung der Normalmomenten-Fliessbedingung wird die Diskussion im vorliegenden Kapitel aus folgenden Gründen auf das Fliessregime III fokussiert: Erstens müssen danach kinematisch zulässige Mechanismen abwickelbaren
Flächen entsprechen, womit kinematische Diskontinuitäten Geraden darstellen und damit den
Lösungsraum stark einschränken. Zweitens stellt das Fliessregime III in Bild 2.8 (c) im Vergleich
zu Fliessregime I und II die meisten Spannungspunkte dar, womit deren Auftreten von grosser
Wahrscheinlichkeit ist. Die zum Fliessregime III gehörende Eigenschaft gerader kinematischer Diskontinuitätslinien wird dabei für die statische Diskontinuitätslinie übernommen, was einen Vergleich zwischen den Diskontinuitätslinien möglich macht.
4.2
Statische Diskontinuitätslinien
4.2.1
Darstellung mit Wirbelschichten
Statische Diskontinuitäten können wie plastische Krümmungsinkremente nach (3.29) in initial
eigenspannungsfreien, elastischen, homogen isotropen und schubstarren Platten nicht vorkommen,
womit sie durch deren Einprägen beim Umlagerungsprozess ebenfalls als potentielle Auslöser von
Wirbelfeldern in Frage kommen. Mit der Beziehung (3.12)
   mnn  mtt , nt  mnt ,tt  mnt , nn
(4.1)
steht ein Werkzeug zur Verfügung, um Wirbelfelder im Querkraftfeld auf der Basis von vorgegebenen Momentenfeldern identifizieren zu können. Hierzu ist die statische Diskontinuitätslinie als
infinitesimales Plattenelement inmitten des Kontinuums aufzufassen (Bild 4.1 (a)), wobei sie mit
den aus den Bildern 2.9 (a) - (c) gewohnten Abmessungen dargestellt werden soll. Weiter ist zu
beachten, dass das Gleichgewicht nach (2.120) - (2.123) wie bis anhin nur mit der Grenzwertbildung dn 0 erfüllt wird. Wendet man die Beziehung (4.1) auf dieses infinitesimale Plattenelement
an, so lassen sich die vier Terme rechterhand wie folgt interpretieren: Der erste Term beschreibt die
51
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
zweifache Änderung des zur Diskontinuitätslinie tangential verlaufenden Biegemoments mnn, welcher mit Hilfe von (2.123)
mnn ,nt  lim
dn  0
II
I
mnn
,t  mnn ,t
dn
0
(4.2)
als Änderung der beiden diskreten Biegemomente aufgefasst werden kann und mit dem Grenzwertdurchgang verschwinden muss. Der zweite und dritte Term verschwinden infolge der fehlenden
konzentrierten Balkenmomente beziehungsweise der fehlenden konzentrierten Drillmomente entlang der Diskontinuitätslinie ebenfalls:
mtt ,nt  0
(4.3)
mnt ,tt  0
(4.4)
Erst im letzten Term kommt der durch die Diskontinuität hervorgerufene Drillmomentensprung
in Bild 4.1 (b) zum Tragen, welcher sich mit einer räumlichen Ausdehnung in n-Richtung als lineare Funktion mit der Steigung mnt / dn abbilden lässt. Die schrittweise partielle Differentiation
führt zunächst an den Grenzen der Diskontinuitätslinie zu den in Bild 4.1 (c) dargestellten Sprüngen, welche sich als skalierte Heaviside-Funktionen h  x  beschreiben lassen. Die Sprungfunktion
stellt ihrerseits die Stammfunktion der Dirac-Delta-Funktion   x  dar, welche in der Physik je
nach Anwendungsfall auch unter der Bezeichnung „Impulsfunktion“ beziehungsweise „Stossfunk-
Bild 4.1:
52
Statische Diskontinuitätslinie: (a) Schnittkörper aus Kontinuum; (b) Verlauf des Drillmoments quer zur Diskontinuitätslinie; (c) einfache Ableitung des Drillmomentes nach
n; (d) zweifache Ableitung des Drillmomentes nach n.
Statische Diskontinuitätslinien
Bild 4.2:
Versteckter Unterzug: (a) Schnittkörper aus Kontinuum; (b) Verlauf des Drillmoments
quer und längs zur Diskontinuitätslinie; (c) einfache Ableitung des Drillmomentes
nach n; (d) Ableitung des Drillmomentes nach n und t.
tion“ bekannt ist. Sie ist dadurch charakterisiert, dass einerseits ihr Funktionswert für alle x mit Ausnahme von x = 0 verschwindet
 x 
, x  0
0, x  0
(4.5)
und anderseits das Integral unter ihrer Kurve den Betrag von eins aufweisen muss.

   x  dx  1
(4.6)

Damit strebt der Funktionswert in (4.5) an der Stelle x = 0 gegen unendlich. Die erneute Differentiation der beiden Sprungfunktionen ergibt die im Vorzeichen verschiedenen, im Betrag identischen, skalierten Dirac-Delta-Funktionen in Bild 4.1 (d), die nun mit der Wirbeldichte (4.1)
gleichzusetzen sind.
  mnt ,nn
(4.7)
Bevor eine mechanische Interpretation von (4.7) vorgenommen wird, soll das vorgezeigte Vorgehen auch auf die zweite statische Diskontinuitätslinie, den versteckten Unterzug, übertragen werden, siehe Bild 4.2 (a). Durch Anwenden der Beziehung (4.1) auf das infinitesimale Plattenelement
verschwinden gleich wie bei der ersten statischen Diskontinuitätslinie der erste und der dritte Term.
Der Unterschied macht sich beim zweiten und vierten Term bemerkbar, wobei der Letztere wegen
des nun nicht vorhandenen Drillmomentensprungs verschwindet. Das konzentrierte Balkenbiegemoment Mtt lässt sich mittels Division durch die Breite des versteckten Unterzuges als verteiltes
53
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Plattenbiegemoment mtt auffassen und in Bild 4.2 (b) mit der Änderung in t-Richtung darstellen.
Leitet man dieses partiell nach beiden Richtungen ab, was in den Bildern 4.2 (c) und (d) schrittweise vollzogen wird, erhält man den übrig gebliebenen zweiten Term
  mtt ,nt
(4.8)
mit den bereits bekannten Dirac-Delta-Funktionen.
Die beiden statischen Diskontinuitäten weisen demnach entlang ihrer Linie zwei im Vorzeichen
verschiedene, seitlich versetzte diskrete Wirbelschichten auf, welche nur bei einem vorhandenen
Querkraftfluss in Richtung der Diskontinuität erzeugt werden. Der Umkehrschluss, dass Diskontinuitäten nur bei vorhandenen Wirbelschichten existieren, ist dabei nur im Fall der statischen Diskontinuität mit dem Drillmomentensprung korrekt. Beim versteckten Unterzug ist der Spezialfall
eines konstanten Balkenbiegemoments möglich, welcher wegen des verschwindenden Querkraftflusses keine Wirbel aufweist. Weiter ist aus den Darstellungen in den Bildern 4.1 (d) und 4.2 (d)
ersichtlich, dass die gefundenen Wirbel diskreten Charakter aufweisen und auf die angrenzenden
Plattenelemente keine kontinuierlichen Wirbelfelder übertragen. Dies lässt sich ebenfalls in der
integralen Form mit dem Satz von Stokes zeigen, wonach sich die Zirkulation  von einem Gebiet
berechnen lässt. Für den vorliegenden Fall der infinitesimalen Diskontinuitätslinien in den Bildern
4.1 (a) und 4.2 (a) resultiert
   v  dS   rot v dA    dA  0
S
A
(4.9)
A
sofern der Schnittkörper nicht schräg geschnitten wird.
4.2.2
Analogie zur Fluidmechanik
Das abstrakte Resultat der beiden diskreten Wirbelschichten bedarf einer mechanischen Interpretation. Ein Analogieschluss zur Fluidmechanik soll erstens die gewonnenen Erkenntnisse sowie die
Richtigkeit der mit (4.1) bis (4.9) ausgeführten Rechenschritte untermauern und zweitens eine
mechanische Erklärung für den Kraftfluss an den statischen Diskontinuitätslinien liefern. Das Querkraftfeld v einer Platte kann, wie in Kapitel 2.2 bei der Herleitung von (2.80) angedeutet, als
Geschwindigkeitsfeld v einer ebenen stationären Strömung aufgefasst werden. Strömungen sind
grundsätzlich in Potential- und Wirbelströmungen zu unterteilen, wobei sich die erste Gruppe in die
mit den Bildern 4.3 (a) - (c) dargestellten Elementarströmungen der Parallelströmung (a), der Quellen- beziehungsweise Senkenströmung (b) sowie des Potentialwirbels (c) auftrennen lässt [83, 68].
Diese drei Grundtypen haben gemeinsam, dass die auf das Geschwindigkeitsfeld v angewendete
Rotation bis auf die Diskontinuitätsstelle in den Fällen (b) und (c) verschwindet und dadurch deren
Beschreibung mit einem Potential vollzogen werden kann. Die Fälle (a) und (b) haben ferner
sowohl für reibungsbehaftete als auch reibungsfreie Fluide Bestand, womit die Unterscheidung
bezüglich des vorhandenen Fluides hinfällig ist.
Bei der Charakterisierung der Wirbel ist die vorhandene Fluidreibung entscheidend. Im Fall
eines reibungsfreien (idealen) Fluides, kann am infinitesimalen Fluidelement wegen der fehlenden
Schubspannungen kein Moment wirken und damit auch kein Wirbel vorhanden sein. Die Modellvorstellung des Potentialwirbels weist einen in der räumlichen Ausdehnung (r0  0) verschwindenden starren Wirbelkern auf, welcher auf das umgebende Fluid das in Bild 4.3 (c) aufgetragene
Geschwindigkeits- beziehungsweise Wirbelstärkeprofil erzeugt. Eine ausgerichtete Korkscheibe
würde sich in dieser Strömung auf einem konzentrischen Kreis rein translatorisch bewegen, also
wegen der angesprochenen Eigenschaft des idealen Fluides keine Rotation um die eigene Achse
vollführen. Dies ist in Bild 4.3 (c) mit kleinen Kreisen angedeutet.
54
Statische Diskontinuitätslinien
!"
#
Bild 4.3:
Strömungsarten: (a) Parallelströmung; (b) Quell- oder Senkenströmung; (c) Potentialwirbel; (d) starrer Wirbel; (e) idealer Freistrahl; (f) Modellvorstellung für Freistrahl;
(g) (h) Superposition eines Freistrahls mit einer Parallelströmung; (i) vektorielle Addition der beiden Strömungen.
55
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Demgegenüber führt eine unendliche Schubsteifigkeit mittels Grenzwertbetrachtung zum
schubstarren Fluid und somit zum starren Körper, welcher in Bild 4.3 (d) dargestellt ist. Die Korkscheiben bewegen sich wiederum auf konzentrischen Kreisen mit dem entsprechenden Geschwindigkeitsprofil, weisen dabei aber über das ganze Gebiet eine konstante Eigenrotation auf.
Die beiden vorgestellten Modellvorstellungen stellen hinsichtlich der Schubsteifigkeit Grenzbetrachtungen dar und sind im Bereich der Fluidmechanik aus physikalischer Sicht theoretischer
Natur, da einerseits der Potentialwirbel durch die vorhandene Diskontinuität eine unendlich grosse
Winkelgeschwindigkeit aufweisen muss und andererseits die Schubsteifigkeit bei Fluiden nicht
unendlich gross sein kann. Die erste Schwierigkeit wird hierbei durch den Rankine-Wirbel behoben, welcher im Gegensatz zum Potentialwirbel eine räumliche Ausdehnung erfährt, sonst jedoch
wie in Bild 4.3 (c) dargestellt werden kann. Der zweite Punkt führt zur erweiterten Modellvorstellung des Hamel-Oseen Wirbels, welcher in reibungsbehafteten (Newtonschen) Fluiden die NavierStokes-Gleichung exakt erfüllt. Dieses Wirbelmodell beinhaltet die zwei vorgestellten Wirbel als
Spezialfälle und ist im Unterschied zu diesen in der Lage, kontinuierliche Wirbelfelder erzeugen zu
können.
Dank dem Exkurs zu den verschiedenen Strömungsarten ist es nun möglich, eine mechanische
Interpretation der mit den Bildern 4.1 (d) und 4.2 (d) dargestellten Wirbelschichten vornehmen zu
können. Diese lassen sich wegen ihres diskreten Charakters als kontinuierliche Reihe von Potentialwirbeln auffassen, welche zusammengefasst eine diskrete Grenzschicht im idealen Fluid bilden.
Diese Grenzschicht als einfache Diskontinuitätsfläche bewirkt einen Geschwindigkeitssprung zwischen den angrenzenden Kontinua und ist im Allgemeinen für den Anwendungsbereich der Fluidmechanik labil. Bei einer kleinen Störung eines einzigen Wirbelfadens würde sich die kontinuierliche Wirbelschicht zu diskreten Wirbeln aufrollen [82, 84].
Kombiniert man zwei solcher Grenzschichten mit im Betrag identischer und im Drehsinn unterschiedlicher Wirbelstärke zu zueinander parallel verlaufenden Linien, so erhält man den in
Bild 4.3 (e) dargestellten Freistrahl. Dieser entsteht, wenn durch eine Öffnung ein Strahl mit der
Geschwindigkeit v in ein ideales ruhendes Fluid eingelassen wird. Dabei lösen sich bei der Öffnung
beidseitig an der Berandung kontinuierlich an der Materie haftende Potentialwirbel ab, welche den
Geschwindigkeitssprung v im Freistrahl zu den angrenzenden Kontinua aufrechterhalten. Dieser
Vorgang kann auch durch die Modellvorstellung zweier Rollenlager in Bild 4.3 (f) erklärt werden.
Die an der Berandung sich ablösenden Wirbel müssen für ein ideales Fluid nach dem zweiten und
dritten Helmholtzschen Wirbelsatz konstant über die Zeit an der Materie haften bleiben, was den
rotierenden schwarzen Rollen entspricht. Diese bewegen sich dabei nur mit der halben Geschwindigkeit in Richtung des Freistrahls, wie dies anhand der drei Zeitaufnahmen in Bild 4.3 (f) illustriert
ist.
Der Freistrahl ist somit durch zwei Wirbelschichten begrenzt, welche ihrerseits aus aneinander
gereihten Potentialwirbeln zusammengesetzt sind und sich deshalb weiterhin als Potentialströmungen beschreiben lassen. Solche Strömungen dürfen nach dem Superpositionsprinzip einander beliebig überlagert werden, was in den Bildern 4.3 (g) und (h) an zwei Beispielen demonstriert werden
soll. Der Freistrahl weist nun die Besonderheit einer gegen Null tendierenden Breite auf, womit die
Geschwindigkeit unendlich gross wird und dadurch bei einer Überlagerung mit einer Parallelströmung keine Drift senkrecht zur Ausrichtung nach Bild 4.3 (a) erhält. Im ersten Beispiel sind die beiden Geschwindigkeiten vt und vn konstant, was in Analogie zur statischen Diskontinuitätslinie mit
56
Statische Diskontinuitätslinien
einem konstanten Drillmomentensprung beziehungsweise nach (4.7) mit konstanter Wirbelstärke
entlang des Freistrahls einhergehen muss:
Vt ,t  0
,
Vt  const  mntII  mntI
(4.10)
Die beiden Strömungen fliessen somit durcheinander hindurch. Beim zweiten Beispiel ist die Freistrahlgeschwindigkeit bei der Öffnung Null, Vt  t  0   0 , und wird in t-Richtung stetig aufgebaut,
Vt ,t  const
,
Vt  t   c t  mntII  mntI
(4.11)
was in Analogie zur statischen Diskontinuitätslinie mit einem entlang des Freistrahls zunehmenden
Drillmomentensprung beziehungsweise einer stetig zunehmenden Wirbelstärke vereinbar ist. Dies
bewirkt aus Kontinuitätsüberlegungen in der Parallelströmung einen Geschwindigkeitssprung von
vnI zu vnII, welcher nun als Abfluss in Richtung des Freistrahls in Erscheinung tritt.
Das im zweiten Beispiel enthaltene Gedankenspiel wäre im Anwendungsbereich der Fluidmechanik auch für den Spezialfall von idealen Fluiden undenkbar; dort werden die Potentialwirbel
einer Grenzschicht nur mittels eines Geschwindigkeitssprungs induziert, nicht umgekehrt. Demgegenüber können bei der statischen Diskontinuitätslinie Wirbel durch Drillmomentensprünge
erzeugt und angetrieben werden, was letztendlich zu einem Querkraftfluss inmitten der Diskontinuität führt.
Der Querkraftfluss gemäss Bild 4.3 (h) lässt sich auch auf anschauliche Weise aus den in
Bild 4.3 (i) dargestellten Teilströmungen superponieren. Dabei wird klar ersichtlich, dass ein stetiger Zuwachs der diskreten Querkraft durch die angrenzenden Querkraftfelder genährt werden muss.
Dabei spielt nur der Betrag des Drillmomentensprungs als Antrieb für die Wirbel eine Rolle; der
Funktionsverlauf innerhalb dn in Bild 4.1 (b) ist dabei nicht von Relevanz.
Abschliessend ist festzuhalten: Der Querkraftfluss an den beiden statischen Diskontinuitätslinien einer Stahlbetonplatte verhält sich analog zum Geschwindigkeitsfeld des Freistrahls in einem
idealen Fluid. An statischen Diskoninuitätslinien werden zwei diskrete Wirbelschichten erzeugt,
welche in der Fluidmechanik zwei Grenzschichten entsprechen, die wiederum aus aneinander
gereihten Potentialwirbeln zusammengesetzt sind. Von statischen Diskontinuitätslinien ausgehende
kontinuierliche Wirbelfelder können somit ausgeschlossen werden. Ferner können im Innern einer
initial eigenspannungsfreien elastischen, homogenen und isotropen Platte gemäss (3.29) keine
Potentialwirbel und darausfolgend gemäss (4.7) beziehungsweise (4.8) keine statischen Diskontinuitätslinien existieren.
4.2.3
Plastische Verträglichkeit
Die Diskussion über den Querkraftfluss an statischen Diskontinuitätslinien fusst bis anhin auf einer
rein statischen Betrachtungsweise. Zum Erreichen des übergeordneten Ziels, dem Auffinden von
vollständigen Lösungen nach der Plastizitätstheorie, muss der lokale Lösungsraum ebenso wie bei
der globalen Betrachtung einer Platte mittels kinematischer Bedingungen eingeschränkt werden,
damit die statische Diskontinuitätslinie für sich einzeln sowohl statisch als auch kinematisch zulässigen Charakter aufweist.
Für den vorliegenden Fall der statischen Diskontinuitätslinie mit dem Drillmomentensprung
gestaltet sich dieses Unterfangen dahingehend schwieriger, als die Definition der plastischen Verträglichkeit auf den ersten Blick nicht erkennbar ist. Einerseits ist in Bezug auf die verallgemeinerten Grössen der Plattenbiegemomente mit der in Kapitel 2.4.2 hergeleiteten kinematischen Diskontinuität das einzig mögliche, plastische Verzerrungsinkrement gegeben, welches mit einem
Fliessgelenk einhergehen muss. Anderseits sind im Innern einer initial eigenspannungsfreien, elastischen, homogen isotropen und schubstarren Platte Drillmomentensprünge mit der vorangegangen
57
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Bild 4.4:
Elastische Quadratplatten: (a) reiner Drillmomentenzustand; (b) kinematische Unverträglichkeit beim gedanklichen Zusammenführen beider Platten.
Bestätigung der Potentialwirbel elastisch kinematisch nicht verträglich, womit diese dem Querkraftfeld nur während dem monotonen Laststeigerungsprozess eingeprägt werden können.
Dies lässt sich anhand des Beispiels in Bild 4.4 (a) in anderer Form nochmals erläutern. Zwei
identische Quadratplatten I und II werden durch entgegengesetzt gleiche vertikale Kräfte an den
Ecken beansprucht. Sie erfahren dadurch eine konstante Drillmomentenbeanspruchung von
mxy   F , welche unter Voraussetzung eines elastischen Verhaltens nach (2.102) zur Durchbiegung
w  x, y   
F
xy
D 1   
(4.12)
führt. Hierbei steht das obere Vorzeichen für die erste, das untere für die zweite Platte. Verbindet
man die Platten gedanklich bei x = 0, so erhält man aus statischer Sicht den anvisierten Drillmomentensprung von mxy  2 F , welcher jedoch, wie aus Bild 4.4 (b) ersichtlich, mit einem Knick in der
Durchbiegung einhergehen muss und damit elastisch nicht verträglich sein kann. Die für die Einzelplatten gefundene elastische Lösung (4.12) kann somit nicht derjenigen der gekoppelten Platte
entsprechen.
Die vorgebrachten Fakten führen damit zur folgenden Hypothese bezüglich der plastischen Verträglichkeit der statischen Diskontinuitätslinie: Erfüllt die Platte während des monotonen Laststeigerungsprozesses die einzig mögliche Fliessbedingung nach (2.113) respektive nach (2.114), so treten beim Fortführen der Laststeigerung entweder dem Fliessgesetz entsprechende plastische
Krümmungsinkremente in Form eines Fliessgelenks auf, oder, falls dies kinematisch nicht möglich
ist, wird dem Querkraftfeld ein Zwängungszustand in Form eines Wirbelfeldes eingeprägt. Wie
anhand der Versuchsauswertungen in [52] ersichtlich wird, weiten sich die plastischen Bereiche in
den zur statischen Diskontinuitätslinie angrenzenden Plattenteilen bei der monotonen Laststeige58
Statische Diskontinuitätslinien
rung aus und engen damit den dazwischen liegenden Kraftfluss fortlaufend ein, bis sich im Traglastzustand die statische Diskontinuitätslinie und die, wie hier gezeigt, damit einhergehenden diskreten Wirbelschichten ausgebildet haben.
Dies lässt auf folgende Annahmen schliessen: In einer gleichmässig orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte ist eine statische Diskontinuitätslinie mit einem Drillmomentensprung infolge eines
Zwängungszustandes plastisch verträglich, wenn die Platte auf mindestens einer Seite die Normalmomenten-Fliessbedingung erfüllt; dabei treten in Richtung der statischen Diskontinuitätslinie
keine plastischen Krümmungsinkremente auf.
Diese Annahmen sollen nun anhand des Mohrschen Momentenkreises in Bild 4.5 (a) für eine
gleichmässig orthotrop bewehrte Stahlbetonplatte überprüft und dabei für den anvisierten Vergleich
mit der kinematischen Diskontinuitätslinie dahingehend verschärft werden, dass auf beiden Seiten
der statischen Diskontinuitätslinie die Normalmomenten-Fliessbedingung erfüllt sein muss. Die
beiden Biegewiderstände mxu =140 kN und myu = 40 kN sind aus darstellerischen Gründen mit
einem grossen Betragsunterschied und mit ganzzahligen Werten gewählt worden; sie stellen mit
Hilfe von (2.106) und (2.107) als Mohrscher Kreis die Grundlage für die folgende Herleitung der
geometrischen Konstruktion dar. Weiter wird angenommen, dass die Richtungen der möglichen
Fliessgelenklinien der beiden Seiten mit kI  kII voneinander verschieden sind und im vorliegenden Fall die Winkel von kI = 71.6 Grad beziehungsweise kII = 45 Grad aufweisen. Da, wie gefordert, beidseitig alle Spannungszustände die Fliessbedingung erfüllen, lassen sich für die gewählten
Richtungen der Fliessgelenklinien die Beziehungen
mxy  tan   m yu  m yy 
(4.13)
mxy  cot   mxu  mxx 
(4.14)
gemäss (2.112) als Geraden im Diagramm eintragen; diese werden in der Folge als „Fliessgeraden“
bezeichnet. Der Schnittpunkt zweier zusammengehörender Fliessgeraden kommt auf dem Mohrschen Kreis der Biegewiderstände zu liegen und bildet mit den beiden Hauptbiegewiderständen auf
der Abszisse ein pythagoräisches Dreieck. Die Spannungspunkte eines zulässigen Spannungszustandes, welche die Fliessbedingung unter der geforderten Richtung der Fliessgelenklinie erfüllen,
müssen sich auf den zusammengehörenden Geraden befinden. Damit ist mit Angabe eines Plattenmoments der dazugehörige Spannungszustand durch (4.13) und (4.14) eindeutig definiert. Im vorliegenden Beispiel sind dies die beiden Biegemomente um die y-Achse mit den Beträgen von
mxxI = 110 kN sowie mxxII = 115 kN, womit sich die beiden Mohrschen Momentenkreise konstruieren lassen. Die Spannungspunkte können zur Kontrolle nach (2.90) - (2.92) in die Richtungen der
beiden Fliessgelenklinien transformiert werden; sie müssen ebenfalls auf dem Mohrschen Kreis der
Biegewiderstände mit mnuI und mnuII liegen.
Für die beidseitig gewählten Spannungszustände lassen sich die Richtungen s der möglichen
statischen Diskontinuitätslinien gemäss (2.123) aus der Beziehung
mnnI  mnnII
(4.15)
ermitteln, wobei gemäss (2.90)
mnnI  mxxI cos 2 s  m yyI sin 2 s  2 mxyI sin s cos s
(4.16)
mnnII  mxxII cos 2 s  m yyII sin 2 s  2 mxyII sin s cos s
(4.17)
gilt. Durch Subtraktion und Nullsetzen folgt
 mxxI  mxxII    myyI  myyII  tan 2 s  2  mxyI  mxyII  tan s  0
(4.18)
59
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Die Klammerausdrücke in (4.18) stellen die Differenzen der beidseitigen Spannungskomponenten dar und werden in der Folge mit dem griechischen Zeichen  zusammengefasst, wodurch die
quadratische Gleichung
mxx
 m yy tan 2 s  2 mxy tan s  0
(4.19)
in Funktion des Tangens von s mit der Lösung
 1
s1,2  atan 
mxy 
 myy

mxy
2

 mxx m yy 


(4.20)
für die beiden Winkel s1 und s2 resultiert.
Die beiderseits vorhandenen Spannungszustände lassen sich nun in die gefundene Richtung mit
dem Winkel s1,2 transformieren, womit einerseits die mit (4.15) eingangs aufgestellte Forderung
erfüllt wird und anderseits sich der mögliche Drillmomentensprung mit
mnt
 mntI  mntII
(4.21)
respektive in Funktion der oben eingeführten Differenzen zwischen den beiden Spannungspunkten
mit
mnt1,2
  m yy  mxx  sin s1,2 cos s1,2  mxy  cos 2 s1,2  sin 2 s1,2 
(4.22)
ausdrücken lässt. Weiter kann durch Einsetzen von (4.20) in (4.22) gezeigt werden, dass der Drillmomentensprung der beiden gefundenen Richtungen s1 und s2 mit
mnt1
 mnt 2 
mxy
2
 mxx m yy
(4.23)
im Betrag identisch ausfällt und nur im Vorzeichen verschieden ist. Für das vorliegende Beispiel
ergeben sich die numerischen Werte der beiden Richtungen mit s1 = 56.9 Grad beziehungsweise
s2 = -8.5 Grad sowie der Betrag des Drillmomentensprunges mit  mnt = 18.3 kN. Weiter ist daraus
klar ersichtlich, dass die Richtungen der beiden Fliessgelenklinien mit keiner der beiden gefundenen Richtungen der statischen Diskontinuitätslinie übereinstimmen.
Diese Feststellungen lassen sich, wie im folgenden Kapitel abschliessend gezeigt wird, zur folgenden Fallunterscheidung verallgemeinern: Ein Drillmomentensprung einer statischen Diskontinuitätslinie muss im Innern einer orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte und unter der Bedingung
der beidseitig erfüllten Normalmomenten-Fliessbedingung mit unterschiedlichen Richtungen
sowohl der kinematischen als auch der statischen Diskontinuitätslinien einhergehen. Fallen hingegen alle diese Richtungen mit s1 = s1 = kI = kII zusammen, so kann zwischen den angrenzenden
Platten kein Drillmomentensprung existieren, womit eine verträgliche kinematische Diskontinuitätslinie vorliegen muss. Die Auflösung der eingangs vorgenommenen Verschärfung mit dem beidseitigen Erfüllen der Normalmomenten-Fliessbedingung führt dazu, dass nur auf einer Seite ein
plastisches Krümmungsinkrement (wenn überhaupt) in Richtung der statischen Diskontinuitätslinie
auftreten könnte; ein Zusammenfallen einer statischen mit einer kinematischen Diskontinuitätslinie
ist somit ausgeschlossen.
Diese Erkenntnisse sollen nun an drei ausgewählten Beispielen in Bild 4.6 diskutiert werden.
Die isotrop bewehrte Rechteckplatte in Bild 4.6 (a) weist ein Seitenverhältnis von 2:1 auf und ist in
den drei Punkten A, B und C in vertikaler Richtung starr gelagert. Am freien Ende greifen in den
Ecken zwei im Betrag gleich grosse, in Angriffsrichtung einander entgegengesetzte, vertikale
Kräfte F an. Im Traglastzustand wird die Querkraft mu mit Hilfe des Drillmoments entlang den Rändern zu den beiden Auflagern B und C getragen, wo sie mit den Reaktionskräften dieser Auflager
60
Statische Diskontinuitätslinien
012
3
012
3
4
012
4
012
!
"
&'()(
&'()(
,("
$*%*
#$%$
%
-
.%#
*
%$+
+
$%/+
!.%$+
Bild 4.5:
Statische Diskontinuitätslinie: (a) geometrische Konstruktion mit Mohrschen Kreisen;
(b) verwendete Parameter.
im Gleichgewicht steht. In den beiden Eckbereichen der Auflager B und C ist damit einerseits die
Fliessbedingung nur im Plattenteil II erfüllt und anderseits ein Drillmomentensprung von mu vorhanden, wie dies aus den dazugehörigen Mohrschen Momentenkreisen in Bild 4.6 (b) ersichtlich
ist. Die statische Diskontinuitätslinie muss sich somit in den beiden Eckbereichen ausbilden. Ferner
weisen für die gleichmässig isotrope Bewehrung die statische und die kinematische Diskontinui-
61
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
tätslinie wie gefordert unterschiedliche Richtungen auf, womit sich alle eingangs aufgestellten
Annahmen bestätigen.
Im zweiten Beispiel wird der Versuch A3 in Bild 4.6 (c) diskutiert, welchen Meyboom im Rahmen der Versuchsreihe zur Untersuchung statischer Diskontinuitätslinien in Stahlbetonplatten
durchführte [51, 52]. Die Platte mit den Gesamtabmessungen von 3800 mm  1580 mm  150 mm
ist im Längenverhältnis 1/3 zu 2/3 in zwei Plattenbereiche mit unterschiedlicher isotroper Bewehrung aufgeteilt und weist überdies im Bereich der anvisierten statischen Diskontinuitätslinie keine
Querkraftbewehrung auf. Sie wird an den Ecken der Plattenbereiche durch die in Bild 4.6 (c) angegebene Belastungsgruppe beansprucht, wobei das der monotonen Laststeigerung entsprechende
Kräfteverhältnis bewusst nicht demjenigen des Traglastzustandes entspricht. Dies verdeutlichen die
beiden Mohrschen Momentenkreise in Bild 4.6 (d), wobei für den Bereich II der kleinere Kreis zur
monotonen Laststeigerung beim Erreichen des Grenzzustandes im Bereich I und der grössere Kreis
zum endgültigen Traglastzustand gehört. Die statische Diskontinuitätslinie bildet sich im Traglastzustand zwischen den Punkten A und B unter dem Winkel von 0 ° vollständig aus und weist wiederum eine unterschiedliche Richtung zu den beiderseits möglichen kinematischen Diskontinuitätslinien auf.
Beim letzten Beispiel handelt es sich ebenfalls um einen Versuch aus der oben angegeben Versuchsreihe von Meyboom [51, 52]. Die Quadratplatte mit der Versuchsbezeichnung A4 wird in der
Mitte durch eine vertikale Einzelkraft beansprucht, welche direkt über die Diagonalen in Form von
statischen Diskontinuitätslinien zu den starren Auflagern abgetragen werden soll. Dies wird mit
einer speziellen Bewehrungsführung bewerkstelligt, indem durch die Diagonalen getrennte Plattenbereiche I und II nur eine Bewehrung in y- beziehungsweise in x-Richtung aufweisen; diese ist
jedoch im Bereich der Diagonalen mit Bügeln vollständig verankert. Mit dieser Bewehrungsanordnung wird der Abtrag des Kraftflusses im Traglastzustand über die nun ausgebildeten statischen
Diskontinuitätslinien erzwungen. Der zulässige Drillmomentensprung ist nach den Mohrschen
Momentenkreisen in Bild 4.6 (f) nur unter dem Winkel von 45 ° möglich und entspricht dem
einachsigen Biegewiderstand von mu = 84 kN, woraus eine Traglast von Fu = 336 kN resultiert.
Dagegen können sich die kinematischen Diskontinuitätslinien in beliebigen Richtungen, insbesondere auch in Richtung der statischen Diskontinuitätslinien, ausbilden. Dies scheint auf den ersten Blick im Widerspruch zu den gewonnenen Erkenntnissen bezüglich der statischen Diskontinuitätslinie zu stehen, wonach ein Aufeinanderliegen statischer und kinematischer Diskontinuitätslinien kategorisch ausgeschlossen ist. Das vorliegende Beispiel stellt diesbezüglich allerdings einen
Spezialfall dar: Erstens fällt in Bild 4.6 (e) die statische Diskontinuitätslinie gerade mit der Unstetigkeit der Biegewiderstände zusammen, und zweitens entsprechen die Mohrschen Kreise der
Beanspruchung in Bild 4.6 (f) beiderseits der statischen Diskontinuitätslinie gerade denjenigen der
Biegewiderstände, wodurch sich Fliessgelenklinien in jeder beliebigen Richtung ausbilden könnten.
Die mit (4.13) bis (4.23) dargestellten Erkenntnisse basieren auf der Annahme einer gleichmässig orthotropen Bewehrung. Die Mohrschen Kreise des Biegewiderstandes in Bild 4.6 (f) sind zwar
geometrisch deckungsgleich, die Richtungen der Hauptbiegewiderstände sind aber wegen der
Unstetigkeit der Bewehrung gerade vertauscht. Erst diese Gegebenheit lässt die angegebene Lage
der beiden Pole zu, wodurch unter der gleichgerichteten Drehung um diese Punkte mit dem
Winkel s letztendlich der Drillmomentensprung  mnt resultiert, welcher mit einer kinematischen
Diskontinuitätslinie verträglich wäre. Der entscheidende Faktor für diesen Spezialfall ist in der
Unstetigkeit der Bewehrung zu identifizieren, was in den allgemeinen Erkenntnissen durch die
getroffenen Annahmen ausgeschlossen wurde. Somit ist das letzte Beispiel ausserhalb der mit
(4.13) bis (4.23) untermauerten Erkenntnisse als separater Spezialfall zu klassifizieren.
62
Statische Diskontinuitätslinien
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Bild 4.6:
Beispiele für statische Diskontinuitätslinien: (a) Platte mit isotropem Biegewiderstand;
(b) Darstellung des Spannungszustandes mittels Mohrschen Kreisen;
(c) Platte mit bereichsweise unterschiedlichem Biegewiderstand; (d) Darstellung des
Spannungszustandes mittels Mohrschen Kreisen;
(e) Quadratplatte mit einachsigem Biegewiderstand pro Region; (f) Darstellung des
Spannungszustandes mittels Mohrschen Kreisen.
63
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
4.3
Kinematische Diskontinuitätslinie
Die folgende Diskussion des Kraftflusses an der kinematischen Diskontinuitätslinie stellt auf den
mit (4.13) bis (4.23) aufgestellten Grundlagen ab. Dabei gilt es wiederholt festzuhalten, dass der
Fokus auf den Kraftfluss im Traglastzustand gerichtet ist und somit nur vollständige Lösungen nach
der Plastizitätstheorie untersucht werden. Diese Lösungen haben generell sowohl für die ganze
Platte als auch Teile davon plastisch verträglichen Charakter gemäss (2.70) aufzuweisen, was erst
ermöglicht, dass statische Gleichgewichtsbedingungen mit der von Kapitel 2.4.2 auf einer kinematischen Herleitung basierenden Fliessgelenklinie verknüpft werden dürfen. In allen anderen Fällen
ist dies nicht zulässig und führt zu falschen Resultaten und damit zu irreführenden Schlussfolgerungen, wie sich dies anhand eines Beispiels in Kapitel 5.2.2 aufzeigen lässt.
Die Ausgangslage stellt somit die Darstellung der plastisch verträglichen statischen Diskontinuitätslinie mit den Mohrschen Momentenkreisen in Bild 4.5 (a) dar, für welche eine gleichmässig
orthotrope Bewehrung vorausgesetzt wurde. Weiterhin sollen, wie bereits in Kapitel 4.2 ausgeführt,
nur Spannungszustände des Fliessregimes III untersucht werden. Dies, weil nach (2.117) kinematisch verträgliche Mechanismen nur ein Hauptkrümmungsinkrement aufweisen dürfen und somit
abwickelbare Flächen darstellen müssen. Die dazugehörigen Fliessgelenklinien müssen gerade
sein, was in der Folge der bestimmende Faktor für den Kraftfluss sein wird.
Als Erstes ist die in Kapitel 4.2.3 angestossene Fallunterscheidung zwischen den beiden Diskontinuitätslinien analytisch abzuschliessen. Für den zweiten Fall wird dazu vorausgesetzt, dass die
möglichen kinematischen Diskontinuitätslinien beiderseits der statischen Diskontinuitätslinie in
Bild 4.5 (a) gemäss
kI  kII  k
(4.24)
dieselbe Richtung aufweisen, wobei diese noch nicht zwingend derjenigen der statischen Diskontinuitätslinie s entsprechen muss. Damit lassen sich die beiden Differenzbeträge m yy und mxy
durch Umformungen von (4.13) und (4.14) mit den folgenden Beziehungen darstellen
1
mxx
tan 2 k
(4.25)
1
mxx
tan k
(4.26)
m yy

mxy

Durch Einsetzen von (4.25) und (4.26) folgt aus (4.20), dass die beiden Richtungen s der statischen Diskontinuitätslinien in Richtung der einzig verbleibenden kinematischen Diskontinuitätslinie zeigen:
 tan 2 
k
s1,2  atan 

m

xx
2
 m
mxx
mxx
xx


 mxx
2
 tan k
tan k
tan 2 k


   k


(4.27)
Es kann dabei gemäss (4.22) kein Drillmomentensprung existieren:
mnt1,2
64
0
(4.28)
Kinematische Diskontinuitätslinie
"#$#%
&
1
"#$#%
"#$#%
"#$#%
1
1
2
2
2
!
'
Bild 4.7:
0+,-/
-,./
+',+
(
)*
Kinematische Diskontinuitätslinie: (a) geometrische Konstruktion mit Mohrschen
Kreisen; (b) transformierte Grössen in Abhängigkeit des Richtungswinkels;
(c) Darstellung eines Teils der Normalmomenten-Fliessbedingung in verschiedenen
Axonometrien; (d) planare Darstellung.
65
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Mit den Rechenschritten (4.13) bis (4.23) ist unter den angegebenen Voraussetzungen, insbesondere des plastisch verträglichen Charakters, eine klare Auftrennung zwischen der statischen und der
kinematischen Diskontinuitätslinie letztendlich bewiesen. Das heisst, dass im Innern der Platte ein
verträglicher Drillmomentensprung einerseits Potentialwirbel im Querkraftfeld auslöst und anderseits mit unterschiedlichen Richtungen der möglichen Diskontinuitätslinien einhergeht, womit sich
kein plastisches Krümmungsinkrement ausbilden kann. Eine kinematische Diskontinuitätslinie als
Ansammlung von gleichgerichteten plastischen Krümmungsinkrementen kann dagegen keine
Drillmomentensprünge aufweisen.
Der letztgenannte Fall lässt sich gemäss der grafischen Darstellung in Bild 4.5 (a) mit den Beziehungen (4.24) bis (4.29) auf denjenigen in Bild 4.7 (a) reduzieren. Neben der Richtung der Fliessgelenklinie kI wird der Spannungszustand I beibehalten und neu als Spannungszustand A bezeichnet. Weitere zur kinematischen Diskontinuitätslinie verträgliche, zulässige Spannungszustände
respektive deren dazugehörigen Mohrschen Momentenkreise lassen sich unter der Vorgabe eines
einzelnen Plattenmomentes finden, wie dies anhand der Beispiele B und C mit den Biegemomenten
mxxB = 95 kN und mxxC = 39.3 kN aufgezeigt ist. Die dazugehörigen Spannungspunkte müssen sich
auf den entsprechenden Fliessgeraden nach (4.13) und (4.14) befinden, womit die Mohrschen
Momentenkreise konstruiert werden können. Dabei ist augenfällig, dass sich alle Kreise in sogenannten „Angelpunkten“ schneiden, welche mit den Koordinaten mnu und mntu auf dem Mohrschen
Kreis des Biegewiderstandes liegen. Der untere Angelpunkt stellt für alle Mohrschen Momentenkreise den gemeinsamen Spannungspunkt nach der Transformation in Richtung der
Fliessgelenklinie u dar; diese Eigenschaft ist unabhängig bereits in [57] festgestellt worden.
Die Darstellung der Spannungszustände kann anstatt im Momentendiagramm in Bild 4.7 (a)
auch in Abhängigkeit des Richtungswinkels  vollzogen werden, wie dies in Bild 4.7 (b) aufgetragen ist. Dabei schmiegen sich die drei richtungsabhängigen Momentenverläufe mnn wie durch
(2.110) gefordert tangential an den transformierten Biegewiderstand und berühren einander unter
dem Richtungswinkel u der vorliegenden kinematischen Diskontinuitätslinie im Punkt mit dem
Wert mnu. Die dazugehörigen richtungsabhängigen Drillmomente schneiden sich dagegen unter
dem gleichen Richtungswinkel mit dem transformierten Drillmomentenwiderstand mntu. Aus den
Bildern 4.7 (a) und (b) ist ersichtlich, dass sich alle weiteren zur kinematischen Diskontinuitätslinie
mit dem vorgegebenen Richtungswinkel u gehörenden Spannungszustände ebenfalls in diesen
Punkten anschmiegen beziehungsweise schneiden.
Trägt man die drei ausgewählten Spannungszustände A, B und C im dreidimensionalen Momentenraum auf, so kommen diese durch Erfüllen der Normalmomenten-Fliessbedingung auf der
Kegelfläche des Fliessregimes III zu liegen und bilden darauf eine Gerade, welche aus geometrischen Gründen durch die Kegelspitze gehen muss. Dies ist in Bild 4.7 (c) mit einem Teil der Fliessbedingung in zwei zueinander verschiedenen axonometrischen Darstellungen aufgezeigt. Das der
Fliessbedingung assoziierte Fliessgesetz bewirkt, dass das plastische Krümmungsinkrement 
nach (2.115) als auf die Fliessfigur Y angewendeter Gradient   gradY aufzufassen ist und somit
auf dieser senkrecht steht. Die zu den verschiedenen Spannungszuständen gehörenden plastischen
Krümmungsinkremente fallen identisch aus, was wiederum verträglich mit der Richtung der kinematischen Diskontinuitätslinie ist. Das heisst, die mit einer kinematischen Diskontinuitätslinie verträglichen Spannungszustände kommen auf der Normalmomenten-Fliessbedingung auf einer Geraden zu liegen, welche ihrerseits in jedem Punkt das identische plastische Krümmungsinkrement 
aufweisen. Somit lässt sich im dreidimensionalen Momentenraum die Richtung der Projektion dieser Geraden auf die mxx-myy-Ebene mit der Lage der kinematischen Diskontinuitätslinie in der Platte
durch die Beziehung
tan  u   tan u 
2
(4.29)
in Verbindung bringen; die für eine vorgegebene Richtung verträglichen Spannungszustände sind
auf den Bereich dieser Geraden beschränkt.
66
Kinematische Diskontinuitätslinie
Mit den oben aufbereiteten Grundlagen lässt sich ein wichtiger Grundsatz bezüglich des Kraftflusses in Stahlbetonplatten ableiten. Rekapitulierend sollen daher die bereits aufbereiteten, grundlegenden Voraussetzungen in Erinnerung gerufen werden: Es wird eine gleichmässig orthotrope
beziehungsweise schiefe Bewehrung gemäss den Ausführungen in Kapitel 2.3 vorausgesetzt, was
zur Normalmomenten-Fliessbedingung (2.113) beziehungsweise (2.114) führt. Die so gewonnene
Fliessfigur lässt sich gemäss Bild 2.8 (c) respektive Bild 4.7 (c) in der Form zweier Kegel darstellen, welche sich gegenseitig in Form einer Ellipse schneiden. Dabei kann die ganze Figur in die drei
beschriebenen Fliessregimes der Kegelspitzen (I), der Schnittellipse (II) sowie der Kegelflächen
(III) unterteilt werden. Für das zum Fliessregime III gehörende plastische Krümmungsinkrement 
muss die Gausssche Krümmung gemäss (2.117) verschwinden, womit kinematisch zulässige
Mechanismen abwickelbaren Flächen entsprechen und die Fliessgelenklinien gerade sein müssen.
Die richtungsabhängigen Biege- und Drillmomentenwiderstände mnu beziehungsweise mntu können für eine in der Platte vorgegebene Lage der Fliessgelenklinie aus dem Diagramm in Bild 4.7 (b)
herausgelesen werden. Diese sind für die folgende Untersuchung als konstante Werte zu betrachten,
sofern die eingangs angenommene Richtung u keine Änderung erfährt. Dabei weisen parallel zur
kinematischen Diskontinuitätslinie verlaufende Linien in Bild 4.8 (a) die exakt identischen Widerstände auf, woraus sich für das nun definierte Koordinatensystem n-t in Bild 4.8 (b) eine Fliessbedingung mit dem konstanten Wert von mnu ergibt. Das verteilte Plattenbiegemoment mnn darf in dieser neuen Betrachtung die Fliessbedingung in Bild 4.8 (b) analog zur Herleitung der
Normalmomenten-Fliessbedingung nicht überschreiten. Es hat diese jedoch für alle Funktionsargumente t im Bereich der kinematischen Diskontinuitätslinie gerade zu erfüllen, womit es in n-Richtung tangential zu dieser verlaufen muss. Dagegen hat das verteilte Drillmoment mnt zum Erfüllen
der Normalmomenten-Fliessbedingung im vordefinierten Koordinatensystem n-t nur den Wert des
Drillmomentenwiderstandes mntu im Bereich der kinematischen Diskontinuitätslinie aufzuweisen,
wie dies aus Bild 4.8 (c) ersichtlich ist.
Aus den Darstellungen der Bilder 4.8 (a) - (c) sind die Grundlagen für die folgende Untersuchung des Kraftflusses an der kinematischen Diskontinuitätslinie aufbereitet, welche wie jeder
andere Teil der Platte die bereits beschriebene Gleichgewichtsgleichung (2.76)
mnn ,n  mnt ,t  vn
(4.30)
im Koordinatensystem n-t zu erfüllen hat. Verknüpft man (4.30) mit den oben beschriebenen Fliessbedingungen, so verschwindet der erste Term infolge der globalen Extremalstelle in Bild 4.8 (b).
Im zweiten Term lässt sich wegen der Differentiation nach t das Drillmoment durch den konstanten
Drillmomentenwiderstand mntu substituieren, welcher durch Ausführen des Rechenschrittes ebenfalls Null ergeben muss. Damit resultiert letztendlich aus (4.30) der entscheidende Grundsatz für
die Steuerung des Kraftflusses
mnn ,n  mntu ,t  vn  0
(4.31)
dass über gerade kinematische Diskontinuitätslinien in einer gleichmässig orthotrop beziehungsweise schief bewehrten Stahlbetonplatte mit vn = 0 kein transversaler Querkraftfluss existieren
kann, wie dies ebenfalls aus Bild 4.8 (d) ablesbar ist. Das heisst, dass eine gerade Fliessgelenklinie
eine Lastscheidelinie darstellt und dadurch die dazugehörige Richtung gemäss (2.89) der
Hauptrichtung der Querkraft gleichzusetzen ist:
u  0
(4.32)
67
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Bild 4.8:
68
Kinematische Diskontinuitätslinie: (a) Fliessgelenklinie; (b) Verlauf des Biegemoments und des Biegewiderstands rechtwinklig zur Fliessgelenklinie; (c) Verlauf des
Drillmoments und Drillmomentenwiderstands in Richtung der Fliessgelenklinie;
(d) Verlauf der Querkraft rechtwinklig zur Fliessgelenklinie; (e) schematische Darstellung des Kraftflusses an der Fliessgelenklinie; (f) Fliessgelenklinie im Feld; (g) Fliessgelenklinie beim Auflager respektive bei der Einspannung.
Kinematische Diskontinuitätslinie
Die mit (4.31) gefundene Eigenschaft bezüglich des Kraftflusses an kinematischen Diskontinuitätslinien stellt einen wichtigen Grundsatz dar, wonach in einer gleichmässig orthotrop beziehungsweise schief bewehrten Stahlbetonplatte ein zur kinematischen Diskontinuitätslinie transversal verlaufender Querkraftfluss unter allen Umständen ausgeschlossen ist. (4.31) und (4.32) ermöglichen,
den Querkraftfluss gesondert in den Plattensegmenten zu betrachten, welche im Traglastzustand
durch kinematische Diskontinuitätslinien in der Platte begrenzt werden. Das lässt auf das folgende
Vorgehen schliessen: Setzt man den zur vollständigen Lösung gehörenden Mechanismus voraus, so
kann der Kraftfluss an den sich daraus ergebenden Plattensegmenten einzeln untersucht werden,
wie dies in Bild 4.8 (e) schematisch dargestellt ist. Weiter sind auch die Plattenmomente beiderseits
der kinematischen Diskontinuitätslinie entkoppelt zu betrachten. Diese haben lediglich die Fliessbedingung unter der Richtung t der kinematischen Diskontinuitätslinie zu erfüllen und können
bezogen auf das kartesische Koordinatensystem x-y sogar Sprünge aufweisen, wie man sich leicht
anhand der drei Spannungszustände A, B und C in Bild 4.7 (a) überzeugen kann.
Der aufgestellte Grundsatz bezüglich des Querkraftflusses transversal zur kinematischen Diskontinuitätslinie erfordert hinsichtlich mehrerer Anwendungsfälle einer Diskussion, die hier angestossen und in Kapitel 5 an den Plattensegmenten weitergeführt werden soll. Beim Ausbilden einer
Fliessgelenklinie innerhalb einer Platte ist aus Bild 4.8 (f) ersichtlich, dass die Querkraft von der
kinematischen Diskontinuitätslinie weg fliesst und damit die oben aufgestellte Forderung ohne Probleme erfüllt. Dagegen ist der Querkraftfluss bei einer mit einem Linienauflager respektive einer
Einspannung zusammenfallenden kinematischen Diskontinuitätslinie in Bild 4.8 (g) auf den ersten
Blick nicht offensichtlich. Stellt man den Auflagerbereich mit einer räumlichen Ausdehnung dar,
so bildet sich im Schnitt die Fliessgelenklinie in einem Punkt aus, welcher wiederum mit dem
Berührungspunkt zwischen dem konstanten Biegewiderstand und der Beanspruchung des
Biegemoments mnn zusammenfällt. Die zufliessende Querkraft muss dabei in n-Richtung vor dem
Fliessgelenk im Bereich des Auflagers respektive der Einspannung auf Null abgebaut werden, was
mit einer Gegenkrümmung im Verlauf des Biegemoments mnn einhergehen muss. Das heisst, die
Gegenkrümmung im Momentenverlauf mnn weist einen Extremalpunkt auf, welcher mit (2.76) zu
einem Nulldurchgang im Querkraftverlauf führt und dadurch mit dem oben formulierten Grundsatz
vereinbar ist. Somit kann unmittelbar neben der Fliessgelenklinie höchstens ein tangential verlaufender Querkraftfluss existieren.
Mit diesen Ausführungen ist der Kraftfluss an der kinematischen Diskontinuitätslinie bis auf die
noch offenstehende Diskussion bezüglich der Wirbel im Querkraftfeld abgeschlossen. Dabei soll
analog zur statischen Diskontinuitätslinie vorgegangen werden, um allfällige Wirbel sichtbar
machen zu können. Löst man ein zur kinematischen Diskontinuitätslinie gehörendes infinitesimales
Plattenelement aus dem Kontinuum in Bild 4.9 (a) heraus, und fügt man gemäss dem Reaktionsprinzip die Schnittmomente hinzu, so sind diese für eine vorgegebene Richtung u nach Bild 4.7 (b)
bis auf das Plattenbiegemoment mtt klar definiert. Das Plattenbiegemoment mtt kann hingegen nach
Bild 4.7 (a) beliebige Werte annehmen. Da nach (4.31) kein Querkraftzu- beziehungsweise -abfluss
zur kinematischen Diskontinuitätslinie existieren kann, ist mtt mit den vorangegangen Überlegungen zum angrenzenden Kontinuum ebenfalls als entkoppelt zu betrachten und weist einen beliebig
wählbaren, in t-Richtung konstanten Betrag auf.
69
Querkraftfluss an Diskontinuitätslinien
Bild 4.9:
Kinematische Diskontinuitätslinie: (a) Schnittkörper aus Kontinuum; (b) Verlauf des
Biegemoments- sowie des Biegewiderstands quer zur kinematischen Diskontinuitätslinie; (c) Verlauf des Drillmomentes quer zur kinematischen Diskontinuitätslinie;
(d) einfache Ableitung des Drillmomentes nach n.
Mit diesen Erläuterungen kann nun ein mögliches Wirbelfeld der kinematischen Diskontinuitätslinie mit der Beziehung (3.12) eruiert werden
   mnn  mtt ,nt  mnt ,tt  mnt , nn
(4.33)
wobei alle beteiligten Plattenmomente durch die dazugehörenden Widerstandsmomente zu ersetzen
sind. Dabei ist offensichtlich, dass die ersten drei Terme
mnu , nt  lim
II
I
mnu
,t  mnu ,t
dn  0
dn
0
(4.34)
mtt , nt  mtu , nt  0
(4.35)
mnt ,tt  mntu ,tt  0
(4.36)
wegen der Ableitung nach t verschwinden; der letzte Term bedarf mit der zweifachen Differentiation nach n einer separaten Diskussion. Betrachtet man das Drillmoment mnt in der räumlichen Ausdehnung der kinematischen Diskontinuitätslinie in Bild 4.9 (c), so muss dieses mit dem Erfüllen der
70
Kinematische Diskontinuitätslinie
Fliessbedingung einen konstanten Funktionsverlauf mit dem Wert mntu aufweisen. Die zweifach
darauf angewendete Differentation nach n ergibt Null
mnt ,nn  mntu , nn  0
(4.37)
sofern nur der Bereich innerhalb der kinematischen Diskontinuitätslinie untersucht wird und das
Kontinuum dabei keine Berücksichtigung findet. Daraus lässt sich letztendlich schliessen, dass eine
kinematische Diskontinuitätslinie mit
0
(4.38)
keine Wirbel aufweisen kann beziehungsweise solche nicht auslösen wird. Damit ist die Fallunterscheidung zwischen der statischen und kinematischen Diskontinuitätslinie ebenfalls vollumfänglich abgeschlossen.
71
72
5
Querkraftfluss in Plattensegmenten
5.1
Segmentlinien
Die vorangegangene Untersuchung des Kraftflusses an den infinitesimalen Plattenelementen der
Diskontinuitätslinien hat einerseits zur klar formulierten Unterscheidung statischer und kinematischer Diskontinuitätslinien geführt und andererseits gezeigt, dass transversal zu geraden Fliessgelenklinien kein Querkraftfluss existieren kann. Diese Erkenntnisse bilden im Folgenden die Basis,
um den Kraftfluss an Kombinationen von Linien beziehungsweise an den daraus resultierenden
Schnittpunkten verfolgen zu können.
Für die folgende Diskussion des Kraftflusses ist die Betrachtung der Fliessgelenklinie als Lastscheide hilfreich. Hierzu wird in Bild 5.1 (a) in einer gleichmässig orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte eine gerade Diskontinuitätslinie schräg geschnitten. Die Fliessgelenklinie weist eine räumliche Ausdehnung mit der Breite dn und den Richtungswinkel u = 53.1 Grad auf. Somit lassen sich
mit den bisher verwendeten Bewehrungsgrössen mxu = 140 kN und myu = 40 kN in Bild 5.1 (b) der
Mohrsche Kreis des Biegewiderstands sowie mit (4.13) und (4.14) die dazugehörigen Fliessgeraden
auftragen. Der daraus resultierende untere Schnittpunkt als Angelpunkt stellt die transformierten
Schnittmomente mnu und mntu entlang der Fliessgelenklinie dar. Mit der Angabe eines weiteren Plattenmomentes lassen sich dazu verträgliche Spannungszustände respektive die dazugehörigen
Mohrschen Momentenkreise konstruieren, was an zwei Beispielen mit den Biegemomenten
mxxA = 100 kN und mxxB = 120 kN demonstriert ist.
Schneidet man in Bild 5.1 (a) die zwei zum untersuchten Schnitt benachbarten infinitesimalen
Plattenelemente als Schnittkörper heraus, und fügt man gemäss dem Reaktionsprinzip die fehlenden Schnittmomente in Bild 5.1 (c) hinzu, könnten hypothetisch an den beiden Plattenelementen
infolge der frei wählbaren Grösse unterschiedliche Schnittmomente bezüglich der Schnittkante
resultieren, welche in der transformierten Lage zu den identischen Widerständen mnu und mntu führen. Aus statischer Sicht müssen jedoch die beiden Biegemomente myy miteinander im Gleichgewicht stehen, was in Bild 5.1 (b) zu einem eindeutigen Mohrschen Momentenkreis und dadurch
beiderseits zum gleichen Drillmoment mxy führt. Im vorliegenden Fall ist in Bild 5.1 (c) beidseitig
der Schnittkante der Spannungszustand A zur Illustration gewählt.
Damit entfällt aus statischer Sicht auch die einzig übrig gebliebene Option, durch das Einbetten
einer statischen Diskontinuitätslinie doch noch einen Querkraftübertrag erzwingen zu können.
Nach den Ausführungen in den Kapiteln 4.2 und 4.3 wäre dies auch kinematisch nicht zulässig.
Durch die aufgestellte Fallunterscheidung ist ein plastisch kinematisch verträglicher Drillmomentensprung nur mit unterschiedlichen Richtungen der beiderseits möglichen kinematischen Diskontinuitätslinien vereinbar, womit kein plastisches Krümmungsinkrement  auftreten kann. Im vorliegenden Fall müsste jeder Punkt der beiden infinitesimalen Plattenelemente (inklusive der
dazwischenliegende Schnittbereich) zum Ausbilden der Fliessgelenklinie eine kinematische Diskontinuität in der angegebenen Richtung aufweisen, was nicht möglich ist. Somit ist nochmals
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Querkraftfluss in Plattensegmenten
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Bild 5.1:
74
Kinematische Diskontinuitätslinie im Feld: (a) Plattenausschnitt mit untersuchtem
Schrägschnitt; (b) Darstellung der verträglichen Spannungszustände mit Hilfe von
Mohrschen Kreisen; (c) zum untersuchten Schnitt angrenzende Schnittkörper;
(d) Priorisierung
der
Diskontinuitätslinien
(Schematische
Darstellung);
(e) Querkraftfluss des versteckten Unterzuges.
Segmentecken
bestätigt, dass über eine gerade Fliessgelenklinie, insbesondere in einem dazu schräg verlaufenden
Schnitt, kein Querkraftfluss erfolgen kann.
Diese Gegebenheit führt bezüglich des Kraftflusses innerhalb einer Stahlbetonplatte zu der in
Bild 5.1 (d) schematisch dargestellten Priorisierung der Diskontinuitätslinien: Die gerade Fliessgelenklinie stellt mit (4.31) und den obigen Ausführungen für jeglichen Kraftfluss die Lastscheide dar,
womit der Kraftfluss an statischen Diskontinuitätslinien dieser unterzuordnen ist. Das heisst, dass
statische Diskontinuitätslinien die Fliessgelenklinie schneiden dürfen, der Schnittpunkt jedoch mit
dem Querkraftnullpunkt des dazugehörigen konzentrierten Kraftflusses zusammenfallen muss.
Weiter muss sich im Fall des versteckten Unterzugs gleichzeitig beim Schnittpunkt ein einzelnes
Fliessgelenk ausbilden, damit die kinematische Verträglichkeit gewahrt bleibt. Der versteckte
Unterzug kann somit gesondert als konzentrierter Balken mit den üblichen Methoden behandelt
werden, wie dies in Bild 5.1 (e) dargestellt ist.
5.2
Segmentecken
Der Grundsatz, wonach transversal zu geraden kinematischen Diskontinuitätslinien keine Querkraft
übertragen werden kann, scheint mit der sogenannten „Nodal-Force“-Theorie im Widerspruch zu
stehen. Aus dem Bereich dieser Theorie sind drei Fälle bekannt, in welchen Knotenkräfte über
gerade kinematischen Diskontinuitätslinien übertragen werden [26, 29, 58, 65, 97, 27, 5]. Dies
bedarf der Klärung.
5.2.1
Erster Fall; Fliessregime III
Der erste Fall betrifft gemäss Bild 5.2 (a) den Schnittpunkt eines freien Plattenrandes mit einer
geraden kinematischen Diskontinuitätslinie. Dabei werden alle Parameter vom vorausgegangenen
Beispiel in Bild 5.1 (a) übernommen. Der Unterschied macht sich erst beim möglichen Spannungszustand bemerkbar, welcher infolge des freien Plattenrandes wegen des damit verschwindenden
Biegemoments myy mit dem Mohrschen Momentenkreis in Bild 5.2 (b) eindeutig gegeben ist. Dieser muss neben den beiden Angelpunkten ebenfalls durch den Schnittpunkt der Fliessgeraden mit
der Ordinate gehen. Die Transformation des Momententensors in Richtung der kinematischen Diskontinuitätslinie führt wiederum auf den Spannungszustand, der gleichzeitig auf dem Mohrschen
Kreis des Biegewiderstandes zu liegen kommen muss und dadurch mit den plastischen
Krümmungsinkrementen  in der besagten Richtung verträglich ist. Das heisst, dass jeder Punkt
des aus der Platte in Bild 5.2 (a) herausgeschnittenen infinitesimalen Plattenelements in Bild 5.2 (c)
sowohl die statischen als auch die kinematischen Voraussetzungen der Fliessgelenklinie erfüllt und
somit einer vollständigen Lösung entspricht.
Das am Rand resultierende Drillmoment mxy in Bild 5.2 (c) und (d) kann im Unterschied zum
vorangegangenen Beispiel nur mit einem Kräftepaar und somit mit einem Querkraftübertrag ins
Gleichgewicht gebracht werden, was eine Prüfung hinsichtlich der kinematischen Zulässigkeit nach
sich zieht. Der Plattenrand lässt sich hierzu als Kontinuum mit beiderseits unterschiedlichen Biegewiderständen auffassen, wobei derjenige ausserhalb der Platte verschwinden muss. Mit dieser
Betrachtung lassen sich die in den Kapiteln 4.2 und 4.3 angestellten Überlegungen für eine gleichmässig orthrotrop bewehrte Stahlbetonplatte auf den vorliegenden Fall mit unterschiedlichen Biegewiderständen adaptieren. Der Schnittkörper aus Bild 5.2 (d) kann dafür in die mit den
Bildern 5.2 (e) und (f) dargestellten infinitesimalen Plattenelemente unterteilt werden, wobei im
Letztgenannten das angrenzende widerstandslose Kontinuum aufgetragen ist.
75
Querkraftfluss in Plattensegmenten
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Bild 5.2:
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Kinematische Diskontinuitätslinie am freien Plattenrand: (a) Plattenausschnitt am freien Plattenrand; (b) Darstellung des verträglichen Spannungszustandes mit Hilfe von
Mohrschen Kreisen; (c) Schnittkörper des infinitesimalen Diskontinuitätselementes;
(d) (e) Schnittkörper des freien Plattenrandes; (f) Schnittkörper des widerstandslosen
Kontinuums; (g) Vergrösserung des Mohrschen Kreises des Nullwiderstandes.
Damit sich die Fliessgelenklinie vollständig ausbilden kann, muss auf beiden Seiten der statischen Diskontinuitätslinie einerseits die dazugehörige Fliessbedingung erfüllt sein und anderseits
die identische Richtung der kinematischen Diskontinuität vorliegen. Die zum Rand gehörenden
infinitesimalen Plattenelemente in Bild 5.2 (e) erfüllen analog zum Plattenelement in Bild 5.2 (c)
die aufgestellte Forderung. Beim widerstandslosen Kontinuum reduzieren sich sowohl der Mohrsche Kreis für den Widerstand als auch jener für die Beanspruchung auf den Ursprung im Momentendiagramm (Bild 5.2 (b)). Stellt man diese beiden deckungsgleichen Kreise mit starker Vergrösserung in Bild 5.2 (g) dar, so erkennt man, dass sich in jeder Richtung eine Fliessgelenklinie
ausbilden kann, insbesondere auch in derjenigen der mechanisch vorhandenen Fliessgelenklinie,
wie dies in Bild 5.2 (b) und (f) dargestellt ist.
Somit ist gezeigt, dass der Rand zum Ausbilden der Fliessgelenklinie keine Blockierung darstellt; es können alle statischen und kinematischen Forderungen erfüllt werden. Der Querkraftübertrag findet auf dem Plattenrand zwischen den infinitesimalen Plattenelementen der Bilder 5.2 (e)
76
Segmentecken
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Bild 5.3:
Kinematische Diskontinuitätslinie am freien Plattenrand für reinen Drillmomentenzustand: (a) Plattenausschnitt am freien Plattenrand; (b) Darstellung des verträglichen
Spannungszustandes mit Hilfe von Mohrschen Kreisen; (c) Schnittkörper des infinitesimalen Diskontinuitätselementes.
und (f) statt. Der dazugehörige Betrag lässt sich mit (2.120) aus dem Drillmomentensprung
Bild 5.2 (b) gewinnen. Für einen Rand in x-Richtung resultiert:
F  mxy  m yu tan u
 mnt
in
(5.1)
Für einen Rand in y-Richtung kann gleichermassen vorgegangen werden:
F  mxy  mxu cot u
(5.2)
Interessant ist, dass in die Berechnung des Querkraftübertrags neben der Richtung der
Fliessgelenklinie u nur der zum jeweiligen Rand gehörende Biegewiderstand einfliesst. Diese
Aussage hat jedoch nur für eine orthotrope Bewehrung mit in gleicher Richtung dazu orthogonal
verlaufenden Rändern ihre Gültigkeit. Eine allgemeinere Formulierung insbesondere für schief
bewehrte Stahlbetonplatten lässt sich ohne grösseren Aufwand herleiten. Weiter gilt es zu beachten,
dass für gewisse Bereiche der Fliessgelenklinienrichtung negative Schnittmomente resultieren und
damit unweigerlich negative Biegewiderstände erforderlich sind. Die Grenze dieser Richtung lässt
sich dabei für beide Ränder gleichzeitig mit dem Ausdruck
tan u ,Grenze 
mxu
m yu
(5.3)
finden, welche die Fliessgelenklinie für einen reinen Drillmomentenzustand in Bild 5.3 (a) mit dem
dazugehörenden Mohrschen Kreis in Bild 5.3 (b) darstellt.
77
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Diese Erläuterungen lassen sich auch auf eine Bewehrungsunstetigkeit wie diejenige in
Bild 5.4 (a) übertragen. Das Beispiel weist in den zwei Bereichen A und B unterschiedliche Biegewiderstände auf, welche in Bild 5.4 (b) mit den beiden Mohrschen Kreisen wiedergegeben sind.
Durch Auftragen der Fliessgeraden unter der gegebenen Richtung u der kinematischen Diskontinuitätslinie in Bild 5.4 (a) lassen sich die möglichen zulässigen Spannnungszustände finden. Werden hierzu die zur Bewehrungsunstetigkeit benachbarten infinitesimalen Plattenelemente in
Bild 5.4 (a) herausgetrennt und die fehlenden Schnittmomente mit dem Reaktionsprinzip hinzugefügt, so müssen in Bild 5.4 (c) aufgrund der nun vorliegenden statischen Diskontinuitätslinie nur
die beiden Biegemomente nach (2.123) im Gleichgewicht sein. Das heisst, die Spannungspunkte
Y der beiderseits möglichen Spannungszustände sind einerseits durch diese Bedingung in
Bild 5.4 (b) miteinander verknüpft und müssen sich anderseits auf den jeweiligen Fliessgeraden
befinden, woraus sich die Beziehung
F  mxy   m yuA  m yuB  tan u
(5.4)
für den Querkraftübertrag geometrisch ableiten lässt.
Die kinematische Verträglichkeit ist dabei für alle Punkte der beiden infinitesimalen Plattenelemente in Bild 5.4 (c) mit den in Bild 5.4 (b) dargestellten Transformationen in die entsprechende
Richtung u gegeben.
Mit dieser Vorgehensweise lässt sich weiter der in Bild 5.1 (d) dargestellte Kraftfluss beim
Schnittpunkt einer kinematischen Diskontinuitätslinie mit einem versteckten Unterzug zu Ende diskutieren. Dazu kann der versteckte Unterzug in Bild 5.4 (d) in Bezug auf den Biegewiderstand als
zweifache Unstetigkeit aufgefasst werden, indem die Verstärkung mit der verschwindenden
Breite dn in einer gleichmässig orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte zu liegen kommt. Die Zerlegung des Schnittbereichs gemäss Bild 5.4 (e) zeigt, dass nach (5.4) lokal an den Rändern ein Querkraftübertrag existiert, der jedoch beiderseits im Betrag identisch ausfallen und zueinander entgegengesetzt sein muss. Dies führt in der globalen Betrachtung zu dem mit Bild 5.1 (d) bereits
proklamierten Querkraftnullpunkt und der damit einhergehenden Priorisierung der Diskontinuitätslinien.
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass der Querkraftübertrag im vorliegenden ersten
Fall dank des beiderseits unterschiedlichen Biegewiderstandes möglich ist und keinen Widerspruch
zum aufgestellten Grundsatz bezüglich des Kraftflusses in einer gleichmässig orthotrop beziehungsweise schief bewehrten Stahlbetonplatte darstellt. Die aus der Literatur für isotrop bewehrte
Stahlbetonplatten bekannte Knotenkraft ist damit bestätigt und für den Fall orthotrop beziehungsweise schief bewehrter Stahlbetonplatten verallgemeinert. Nielsen ordnet diese „Nodal-Force“ im
Rahmen der „Nodal-Force“-“Theorie dem Typ I zu und impliziert damit eine Unterscheidung zwischen angeblich verschiedenen Knotenkräften [64, 66]. Auf die vorgeschlagene Unterteilung soll
erst nach der Behandlung der beiden anderen, eingangs erwähnten Fälle eingegangen werden.
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Bild 5.4:
Kinematische Diskontinuitätslinie mit Bewehrungsunstetigkeit: (a) Plattenausschnitt
mit Bewehrungsunstetigkeit; (b) Darstellung des verträglichen Spannungszustandes
mit Hilfe von Mohrschen Kreisen; (c) Schnittkörper der angrenzenden infinitesimalen
Diskontinuitätselementen; (d) versteckter Unterzug; (e) Schnittkörper der angrenzenden infinitesimalen Diskontinuitätselementen sowie des versteckten Unterzugs.
79
Querkraftfluss in Plattensegmenten
5.2.2
Zweiter Fall; Fliessregime I
Im zweiten Fall wird der mögliche Kraftfluss am Schnittpunkt in Bild 5.5 (a) untersucht, in welchem mehrere Fliessgelenklinien mit bezüglich ihres plastischen Krümmungsinkrements gleichem
Vorzeichen zusammentreffen. Der Spannungszustand des infinitesimalen Schnittelements entspricht in Bezug auf die Fliessfigur der zugeordneten Kegelspitze (Fliessregime I). Die Hauptmomente des Spannungszustands fallen mit den Hauptwiderstandsmomenten zusammen, was in
Bild 5.5 (b) zu deckungsgleichen Mohrschen Kreisen führt. Somit kann sich in jeder beliebigen
Richtung eine Fliessgelenklinie ausbilden, wie dies an den beiden Beispielen der Linien A und B in
den Bildern 5.5 (a) und (b) demonstriert wird.
Für die genauere Untersuchung des Kraftflusses werden die Fliessgelenklinien in den
Bildern 5.5 (a) - (e) mit der identischen Breite dn dargestellt. Eine Variation der Breite würde sich
auf die folgenden Resultate nicht auswirken; sie könnte jedoch im Rahmen der vollständigen
Lösung mit dem Fokus auf die ganze Platte weiter verfolgt werden. Damit die kinematische Zulässigkeit gewahrt bleibt, müssen die Fliessgelenklinien (Fliessregime I) zwei Forderungen erfüllen:
Erstens müssen sich ihre in den Bildern 5.5 (a) und (c) dargestellten Achsen in einem Punkt treffen.
Zweitens muss jeder Punkt des Fliessbereichs in Bild 5.5 (a) in der dazugehörigen Richtung ein
verträgliches plastisches Krümmungsinkrement  aufweisen, was die in Kapitel 2.3 erwähnte
Reduktion des Mohrschen Verzerrungskreises auf einen Punkt möglich macht, siehe hierzu
Bild 5.5 (f).
Die Forderung nach plastischer Verträglichkeit lässt sich nur erfüllen, wenn alle Punkte im
Fliessbereich den mit dem Mohrschen Kreis in Bild 5.5 (b) eindeutig bestimmten Spannungszustand aufweisen. Löst man das infinitesimale Schnittelement in Bild 5.5 (a) heraus, so lässt sich dieses mit ergänzenden Plattenelementen und den Hauptwiderstandsmomenten der orthotropen
Bewehrung gemäss den Bildern 5.5 (c) und (d) grafisch leicht ins Gleichgewicht bringen. Dabei
wird offensichtlich, dass eine superponierte Variation einer beliebigen Konfiguration von an den
Ecken angreifenden Knotenkräften zu keinem anderen Gleichgewichtszustand führt, welcher
gleichzeitig die Fliessbedingung in jedem Punkt erfüllt. Somit kann über das infinitesimale Schnittelement keine Querkraft übertragen werden. Weiter ist mit den vorangegangenen Überlegungen
ebenfalls kein Querkraftfluss an den Schnittkanten zwischen den Fliessgelenklinien und dem
Schnittelement möglich. Durch diese zwei Feststellungen ist letztendlich bewiesen, dass im Schnittpunkt von im Vorzeichen gleichen Fliessgelenklinien kein Querkraftübertrag existieren kann; er
tritt damit ebenso wie die Fliessgelenklinien als Lastscheide in Erscheinung.
Von dieser Argumentationskette lässt sich noch eine weitere wichtige Eigenschaft für die zwischen den Fliessgelenklinien zu liegen kommenden Plattenelementen ableiten. Trennt man den den
Schnittpunkt umfassenden Bereich in die mit Bild 5.5 (e) dargestellten Schnittkörper auf, und fügt
man mit dem Reaktionsprinzip die Schnittmomente hinzu, so muss nach dem oben aufgestellten
Grundsatz und mit dem Anschreiben des Gleichgewichts die Knotenkraft an der Ecke des dazwischen liegenden Plattenelements ebenfalls verschwinden. Hierbei ist festzuhalten, dass die am Plattenelement angreifenden Drillmomente mit den Drillmomenten der beiderseits vorhandenen Fliessgelenklinien im Gleichgewicht stehen und nicht wie bei einem freien Plattenrand mit (2.120) (2.122) zu einer Eckkraft aufsummiert werden dürfen.
Die Tatsache, dass im Schnittpunkt von im Vorzeichen gleichen Fliessgelenklinien kein Querkraftübertrag existieren kann, steht im Widerspruch zu den aus der Nodal-Force Theorie bekannten
Fällen, welche mit dem englischen Ausdruck „Breakdown cases“ bezeichnet und zusammengefasst
werden [29, 58, 65, 97, 27]. Hierbei wird die Notwendigkeit von Knotenkräften insbesondere in
symmetrischen Plattenbeispielen dadurch begründet, dass sich der Fliessgelenkmechanismus
infolge der Symmetrieachsen nicht frei ausbilden kann und durch diese Zwängung Knotenkräfte
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Segmentecken
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Bild 5.5:
Schnittpunkt von im Vorzeichen gleichen kinematischen Diskontinuitätslinien:
(a) Plattenausschnitt mit Schnittpunkt; (b) Darstellung des verträglichen Spannungszustandes mit Hilfe von Mohrschen Kreisen; (c) Schnittkörper des infinitesimalen
Schnitt-elements sowie den angrenzenden, virtuellen Plattenelementen; (d) Grafisches
Gleichgewicht aus den Biegewiderständen; (e) Schnittkörper der angrenzenden infinitesimalen Diskontinuitätselemente; (f) Mohrscher Kreis der plastischen Krümmungsinkremente, normale und vergrösserte Darstellung.
entstehen [52]. Nylander [67] und Wood [96] demonstrieren dies am Beispiel der allseitig einfach
gelagerten, gleichmässig belasteten und isotrop bewehrten Quadratplatte in Bild 5.6 (a), womit sie
ihrerseits den Widerspruch zu dem von Johansen aufgestellten dritten Theorem ansprechen, welches beim Schnittpunkt von Fliessgelenklinien gleichen Vorzeichens keinen Querkraftfluss vorsieht [26]. Diese Konfusion soll in der Folge gerade am genannten Beispiel abschliessend geklärt
werden.
81
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Als Grundlage für die Diskussion dient der von Nylander [67] untersuchte Mechanismus in
Bild 5.6 (b), obschon das nicht orthogonale Zusammentreffen einer negativen mit einer positiven
Fliessgelenklinie in den vier Ecken für eine isotrop bewehrte Platte aus statischer Sicht nicht verträglich ist und somit der vorgeschlagene Mechanismus nicht weiterverfolgt werden sollte. Wie
anhand des nächsten Beispiels in Bild 5.7 (a) und (b) gezeigt werden kann, beeinflusst diese Verletzung der Verträglichkeit die vorliegende Fragestellung jedoch nicht.
Die Geometrie des Fliessgelenklinienmechanismus in Bild 5.6 (b) ist durch die Länge a eindeutig definiert, woraus sich mit (2.131) und (2.132) der obere Grenzwert
qk  a  
24mu
l2
 2l 2
l 

 2

2
la
 l  2a
(5.5)
für die Traglast in Abhängigkeit von a in Bild 5.6 (d) auftragen und mit
a0 


l
1  2 3  3  0.159l
2
(5.6)
das Minimum qk,min = 22.019 mu/l2 finden lässt. Abgesehen von der eingangs erwähnten Verletzung
der Verträglichkeit ist der beschrittene Weg korrekt und deckungsgleich mit den Resultaten aus der
Literatur [67]. Der von Nylander und Wood begangene Fehler liegt aus plastizitätstheoretischer
Sicht im Formulieren des Gleichgewichts an den aus dem Mechanismus sich in Bild 5.6 (e) ergebenden Schnittkörpern AI und AII. Die aus dem Biegewiderstand mu (ausgezogene Linie) beziehungsweise der Beanspruchung qk (gestrichelte Linie) resultierenden Momentenanteile um die
jeweilige Rotationsachse sind in Bild 5.6 (g) aufgetragen und zeigen den fehlenden Differenzbetrag
auf, welcher in Bild 5.6 (e) nur mit einer Knotenkraft ins Gleichgewicht gebracht werden kann. Für
die beiden Schnittkörper ist die erforderliche Vertikalkraft VkI sowie VkII in Bild 5.6 (j) in Abhängigkeit von der Länge a dargestellt. Obschon die Verknüpfung eines instabilen Mechanismus mit
dem Gleichgewicht aus plastizitätstheoretischer Sicht einen Irrweg darstellt, verschwindet die
Summe dieser beiden Kräfte für alle Längen a und somit auch für den in der Literatur angegebenen
Fall. Dieser Umstand sowie die zur damaligen Zeit noch nicht in voller Klarheit etablierte Plastizitätstheorie beziehungsweise deren Anwendung im vorliegenden Gebiet muss Wood und Nylander
von der Existenz dieser Knotenkraft überzeugt haben.
Verfolgt man für den vorliegenden Fall den Kraftfluss mit dem in dieser Arbeit aufbereiteten
Wissen von Bild 5.5, so kann in einem ersten Schritt der Schnittpunkt der kinematischen Diskontinuitätslinien mit einer räumlichen Ausdehnung in Bild 5.6 (h) dargestellt werden, von welchem
sich wiederum die einzelnen Schnittkörper in Bild 5.6 (k) herauslösen lassen. Der prognostizierte
Querkraftübertrag müsste in den beiden äusseren Schnittkörpern erfolgen, welche sich jedoch durch
die allseitige Momentenbeanspruchung bereits im Gleichgewicht befinden; eine zusätzliche Variation von Knotenkräften würde das notwendige Erfüllen der Fliessbedingung verunmöglichen. Die
Knotenkräfte können somit nicht existieren.
Würde man trotzdem davon ausgehen, dass der vorgeschlagene Mechanismus zur vollständigen
Lösung gehört, so würde weiterhin eine Diskrepanz über die Existenz dieser Knotenkräfte bestehen.
In diesem Fall wäre es nämlich zulässig, das Gleichgewicht an den vom Mechanismus herausgetrennten Schnittkörpern zu formulieren. Dieser letzte Zweifel lässt sich aus dem Weg räumen,
indem sich ein tieferer oberer Grenzwert finden und damit aufzeigen lässt, dass der der Begründung
der Knotenkräfte zugrundeliegende Mechanismus in Bild 5.6 (b) nicht zur vollständigen Lösung
gehört.
Erweitert man den Mechanismus A in Bild 5.6 (b) mit der zusätzlichen Variation des Ortes, an
dem sich die beiden ins Zentrum verlaufenden Fliessgelenklinien treffen, so resultiert der in
82
Segmentecken
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Bild 5.6:
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'
Untersuchung der Quadratplatte mit kinematischer Methode: (a) einfach gelagerte
Quadratplatte mit gleichmässiger Beanspruchung; (b) Mechanismus A nach Nylander
und Wood; (c) erweiterter Mechanismus B; (d) Darstellung der beiden oberen Grenzwerte in Abhängigkeit der Länge a; (e) von Mechanismus A abgeleitete Schnittkörper;
(f) von Mechanismus B abgeleitete Schnittkörper; (g) von Schnittkörper abgeleitete
Momentenanteile für beide Mechanismen; (h) (i) vergrösserte Darstellung des Schnittpunkts in Plattenmitte für beide Mechanismen; (j) Ermittlung der Knotenkraft in Abhängigkeit der Länge a; (k) (l) vollständige Lösungen der herausgetrennten
Schnittkörper.
83
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Bild 5.6 (c) dargestellte Mechanismus B. Die nun vorliegende zweifache Variation in den
Variablen a und b kann schrittweise analysiert werden; für
b0  a  
8a 4  4a 3l  2al 3  2l 4  2a  l  2a 
4 l  a 
(5.7)
erhält man in Abhängigkeit von a ein Minimum von qk, wodurch sich die beiden Mechanismen A
und B vergleichen lassen. Trägt man
qk  a, b   24mu
2ab  2a 2  al  2bl
 a  2b   l 3  4a 2b 
(5.8)
in Bild 5.6 (d) auf, so lässt sich für a = a0 und mit der gemäss (5.7) zugehörigen Länge b = 0.449 l
ein gegenüber dem Mechanismus A tieferes Optimum von qk,min = 22.004 mu/l2 finden. Weiter lässt
sich mit dem Differenzbetrag  qk =qA - qB zeigen, dass der Mechanismus B für alle a im Vergleich
zu Mechanismus A kritischer ist. Das heisst, mit der zusätzlichen Variation in b lässt sich ein tiefer
liegender oberer Grenzwert der Traglast finden, womit Mechanismus A nicht zur vollständigen
Lösung gehören kann. Mit dieser Feststellung entfällt auch die oben beschriebene Möglichkeit, an
den aus dem Mechanismus herausgelösten Schnittkörpern das Gleichgewicht zu formulieren,
wodurch die von Wood und Nylander aufgestellte Herleitung der Knotenkräfte in sich zusammenfällt.
Mit dem Mechanismus B lässt sich lediglich aufzeigen, dass im Vergleich zum Mechanismus A
für alle Längen a ein tieferer oberer Grenzwert existiert. Die Zugehörigkeit des erweiterten Mechanismus zur vollständigen Lösung ist indes weiterhin nicht gewährt und liesse sich erst durch den
entsprechenden verträglichen Spannungszustand bestätigen. Dieser Schritt wird an dieser Stelle
nicht vollzogen. Stattdessen sollen trotz der Unsicherheit über die Zugehörigkeit zur vollständigen
Lösung die Knotenkräfte berechnet werden. Die in Bild 5.6 (f) um die Rotationsachsen resultierenden Momentenanteile sind in Bild 5.6 (g) mit den Werten Mm und Mq für die beiden Schnittkörper
I und II aufgetragen. Dabei ist offensichtlich, dass für den ganzen Variationsbereich der Länge a die
Momente sich im Gleichgewicht halten und somit kein Differenzbetrag resultiert, der mit einer
Knotenkraft ins Gleichgewicht gebracht werden muss. Die Knotenkräfte verschwinden demnach an
den spitzen Ecken der beiden Schnittkörper in Bild 5.6 (f), was mit dem hier aufbereiteten Wissen
über den verschwindenden Querkraftübertrag am Schnittpunkt von im Vorzeichen gleichen kinematischen Diskontinuitätslinien im Einklang steht. Die hierzu gehörende vollständige Lösung des
Fliessregimes I ist mit den Bildern 5.6 (i) und (l) wiedergegeben.
Die Gleichgewichtsbetrachtung aus der „Nodal-Force“-Theorie lässt sich somit in umgekehrter
Weise in eine neue Anwendung überführen, indem gegebene Mechanismen auf notwendige Knotenkräfte überprüft werden; falls solche vorhanden sein sollten, ist der jeweilige Mechanismus als
Teil der vollständigen Lösung ausschliessbar. Umgekehrt stellen verschwindende Knotenkräfte ein
mögliches Indiz dafür dar, dass der vorliegende Mechanismus im anvisierten Teilbereich zur vollständigen Lösung gehören könnte.
Diese Feststellung lässt sich am oben diskutierten Beispiel weiterführen. Die angesprochene
Verletzung der statischen Verträglichkeit an den in Bild 5.6 dargestellten Mechanismen A und B
kann dahingehend korrigiert werden, dass die Plattenecken nun gegen das Abheben nicht behindert
84
Segmentecken
Bild 5.7:
Untersuchung der Quadratplatte mit kinematischer Methode: (a) einfach gelagerte
Quadratplatte mit gleichmässiger Beanspruchung; (b) Mechanismus A; (c) erweiterter
Mechanismus B; (d) Darstellung der beiden oberen Grenzwerte in Abhängigkeit der
Länge a; (e) von Mechanismus A abgeleitete Schnittkörper; (f) von Mechanismus B
abgeleitete Schnittkörper; (g) von Schnittkörper abgeleitete Momentenanteile für beide
Mechanismen; (h) (i) vergrösserte Darstellung des Schnittpunktes in Plattenmitte für
beide Mechanismen; (j) Ermittlung der Knotenkraft in Abhängigkeit der Länge a;
(k) (l) vollständige Lösungen der herausgetrennten Schnittkörper.
85
Querkraftfluss in Plattensegmenten
sind. Für diesen Fall ergeben sich die beiden analogen, mit den Bildern 5.7 (b) und (c) dargestellten
Mechanismen A und B. Für den ersten Mechanismus lässt sich der obere Grenzwert
qk  a  
24mu 2a 2  2al  l 2
l 2  l  2a  l  a 
(5.9)
der Traglast berechnen, welcher an der Stelle
10  1 
l
a0  1 
  0.140l
2
3 
(5.10)
das Minimum qk,min = 22.199 mu/l2 aufweist. Die an den Schnittkörpern in Bild 5.7 (e) um die jeweilige Rotationsachse formulierten Momentenanteile sind in Bild 5.7 (g) aufgetragen und zeigen wiederum beim Aufstellen des Gleichgewichts einen Fehlbetrag auf, welcher sich in Funktion der
Knotenkraft VkI beziehungsweise VkII in Bild 5.7 (j) decken lässt. Die Eigenschaft der in der Summe
verschwindenden Knotenkräfte liegt auch für das vorliegende Beispiel für den ganzen Variationsbereich von a vor, obschon deren Ermittlung durch das Aufstellen des Gleichgewichts an den vom
instabilen Mechanismus abgeleiteten Schnittkörpern grundsätzlich unzulässig ist. Die Knotenkräfte
können nach dem in dieser Arbeit aufgestellten Grundsatz wie beim vorhergehenden Beispiel in
Bild 5.6 nicht existieren. Zur Vollständigkeit sind die vollständigen Lösungen der aus dem Zentrum
der Platte von Bild 5.7 (h) herausgetrennten Schnittkörper in Bild 5.7 (k) wiedergegeben; sie zeigen
nochmals die Unmöglichkeit eines Querkraftübertrags exemplarisch auf.
Mit einer zusätzlichen Variation in b lässt sich der vorhergehende Mechanismus zu dem in
Bild 5.7 (c) dargestellten Mechanismus B erweitern. Die Variationsrechnung lässt sich zum Auffinden des kleinsten oberen Grenzwerts der Traglast ebenfalls schrittweise durchführen; man findet für
die Länge
b0  a  
16a 4  16a 3l  4a 2l 2  2al 3  2l 4  2a  l  2a 
4l  a 
(5.11)
das Minimum
qk  a, b   24mu
2ab  2a 2  al  2bl
8  ab   al 3  2bl 3
2
(5.12)
für den ganzen Variationsbereich der Länge a. Daraus ergibt sich der in Bild 5.7 (d) dargestellte
kleinste obere Grenzwert der Traglast qk,min = 22.186 mu/l2 an derselben Stelle a0 = 0.14 l. Da für
den ganzen Variationsbereich von a bis auf zwei Orte qk,B < qk,A gilt, kann die Zugehörigkeit des
ersten Mechanismus zur vollständigen Lösung vollständig ausgeschlossen werden.
Das Gleichgewicht an den vom Mechanismus B sich ergebenden Schnittkörpern in Bild 5.7 (f)
ist durch die dazugehörigen Momentenanteile in Bild 5.7 (g) ohne zusätzliche, durch Knotenkräfte
induzierte Differenzmomente erfüllt, was im Zentrum der Platte mit der vollständigen Lösung des
Fliessregimes I in den Bildern 5.7 (i) und (l) übereinstimmt. Dieses Indiz sowie die behobene Verletzung der statischen Verträglichkeit lassen die Möglichkeit zu, dass der vorliegende Mechanismus
zur vollständigen Lösung gehören könnte. Die abschliessende Sicherheit erhält man jedoch auch im
vorliegenden Beispiel nur durch den entsprechenden, plastisch verträglichen Spannungszustand.
Abschliessend kann festgehalten werden, dass mit den Ausführungen zu Bild 5.5 die Inexistenz
eines Querkraftübertrags in Schnittpunkten von im Vorzeichen gleichen kinematischen Diskontinuitätslinien bewiesen ist. Die durch Nylander und Wood postulierten Knotenkräfte können in
vollständigen Lösungen nicht vorkommen.
86
Segmentecken
5.2.3
Dritter Fall; Fliessregime II
Der dritte Fall behandelt den Schnittpunkt von im Vorzeichen ungleichen geraden kinematischen
Diskontinuitätslinien in Bild 5.8 (a). Da alle Punkte des infinitesimalen Schnittelements sowohl der
positiven als auch der negativen kinematischen Diskontinuitätslinie angehören müssen, kommen in
Bezug auf den möglichen statisch zulässigen Spannungszustand in der Darstellung der Normalmomenten-Fliessbedingung nur die Spannungspunkte auf der Schnittellipse der beiden Kegelflächen
(Fliessregime II) in Bild 5.8 (b) in Frage. Für das vorliegende Beispiel sind die bis anhin verwendeten positiven Biegewiderstände übernommen und durch einen quasi-isotropen, negativen Biegewiderstand mu = 40 kN erweitert worden. Diese lassen sich wie der gegebene Spannungszustand
aus Bild 5.8 (b) mit Mohrschen Kreisen in Bild 5.8 (d) darstellen. Die Spannungspunkte müssen
dabei sowohl auf den positiven als auch auf den negativen Fliessgeraden liegen, woraus sich bei
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Bild 5.8:
Schnittpunkt von im Vorzeichen ungleichen kinematischen Diskontinuitätslinien:
(a) Plattenausschnitt mit Schnittpunkt; (b) Normalmomenten-Fliessbedingung in
planarer Darstellung; (c) Schnittkörper des infinitesimalen Schnittelements;
(d) Darstellung des verträglichen Spannungszustandes mit Hilfe von Mohrschen Kreisen; (e) Schnittkörper der angrenzenden infinitesimalen Diskontinuitätselementen.
87
Querkraftfluss in Plattensegmenten
angenommener erster die zweite Richtung der kinematischen Diskontinuitätslinie eindeutig und in
Übereinstimmung mit (4.29) ergibt. Für die schrittweise Konstruktion eines zulässigen Spannungszustandes des Fliessregimes II wird auf das Beispiel des Fächers in Kapitel 5.3 in einer allgemein
orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte verwiesen.
Zunächst wird der Fokus auf den Querkraftfluss im Schnittpunkt von im Vorzeichen ungleichen
Diskontinuitätslinien gelegt. Mit der erarbeiteten Systematik lässt sich auch für den vorliegenden
Fall der mögliche Querkraftfluss eruieren. Dazu werden die beiden kinematischen Diskontinuitätslinien in Bild 5.8 (a) mit einer räumlichen Ausdehnung dn dargestellt, woraus sich das ergebende
infinitesimale Schnittelement in Bild 5.8 (c) als Schnittkörper heraustrennen lässt. Die geometrische Form ist dabei wegen der Geradheit der Fliessgelenklinien als Parallelogramm mit den dazugehörenden Winkeln gegeben. Mit dem Reaktionsprinzip lassen sich die Schnittmomente hinzufügen, welche durch den eindeutigen Spannungszustand festgelegt sind. Eine Variation der
Schnittmomente an den jeweils parallel zueinander verlaufenden Schnittkanten ist nicht möglich,
weil diese miteinander im Gleichgewicht stehen müssen. Weiter lässt die in jedem Punkt des
Schnittelements notwendigerweise erfüllte Fliessbedingung keine Variation von an den Ecken
angreifenden Knotenkräften zu, womit ein Querkraftübertrag über das Element vollends ausgeschlossen werden kann. Ebenso ist gemäss den Erläuterungen zu Bild 5.1 ein Querkraftfluss entlang
den schräg verlaufenden Schnittkanten nicht möglich.
Erweitert man den Fokus auf die angrenzenden Schnittkörper in Bild 5.8 (e), und verknüpft man
diese mit den Gleichgewichtsbedingungen, so müssen die Drillmomente der zwischen den Diskontinuitätslinien zu liegen kommenden Plattenelemente mit denjenigen der kinematischen Diskontinuitätslinien im Gleichgewicht sein; sie lassen sich daher nicht wie bei einem freien Rand zu einer
Knotenkraft aufsummieren. Dies führt dazu, dass die Knotenkraft am Zwischenelement ebenfalls
verschwinden muss. Somit ist bewiesen, dass im Schnittpunkt von im Vorzeichen ungleichen kinematischen Diskontinuitätslinien kein Querkraftübertrag existieren kann und dieser daher wie die
benachbarten geraden Diskontinuitätslinien als Lastscheide in Erscheinung tritt.
Dieser Grundsatz widerspricht in zwei Punkten dem von Johansen aufgestellten Theorem Nummer IV [25, 26]. Seine Begründung zum Querkraftübertrag stellt Johansen auf der für eine freie
Ecke aus den Drillmomenten resultierenden Knotenkraft ab und führt diese inmitten von Platten an
Schnittpunkten von Fliessgelenklinien ein. Davon leitet Johansen ab, dass sich nicht mehr als drei
Fliessgelenklinien mit unterschiedlichem Vorzeichen in einem Punkt schneiden dürfen. Sein erstes
Postulat fällt mit dem oben aufgestellten Grundsatz in sich zusammen. Zudem können sich für den
vorliegenden Fall infolge der gegebenen Vorzeichenvariation nur zwei im Vorzeichen ungleiche
kinematische Diskontinuitätslinien in einem Punkt schneiden. Bei drei Fliessgelenklinien hätten
zwei dasselbe Vorzeichen aufzuweisen, wodurch aus statischer Sicht die eindeutige Zuordnung
zwischen dem Fliessregime I und II nicht mehr gegeben wäre. Damit ist der zweite Punkt des Theorems ebenfalls widerlegt.
5.2.4
Schlussbetrachtung
Die ausführliche Diskussion zum Kraftfluss löst die verworrene Situation um die drei aus der
„Nodal-Force“-Theorie stammenden Fälle auf der Basis von klaren mechanischen Beweisen.
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass dem in Kapitel 4.3 in Bezug auf den Kraftfluss in einer
gleichmässig orthotrop beziehungsweise schief bewehrten Stahlbetonplatte formulierten Grundsatz
fundamentale Bedeutung zukommt. Nur unterschiedliche Bewehrungswiderstände vermögen einen
Kraftfluss transversal zur kinematischen Diskontinuitätslinie in Form einer Knotenkraft zu erzwingen. Als Spezialfall einer solchen Unstetigkeit ist der freie Plattenrand einzuordnen, bei welchem
der Bereich ausserhalb der Platte als widerstandsloses Kontinuum aufzufassen ist. Die so ermittelten Knotenkräfte sind die einzigen, welche auftreten können. Die Existenz der übrigen Knotenkräfte ist mittels der aufgeführten mechanischen Begründungen widerlegt.
88
Segmentecken
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Bild 5.9:
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Vergleich der verschiedenen Theorien: (a) Mengendarstellung der zulässigen Zustände, Schnittpunkt stellt vollständige Lösung dar; (b) Statisch zulässiger Spannungszustand unter Verwendung einer Knotenkraft; (c) kinematisch zulässiger Verformungszustand; Berechnung der Knotenkraft gemäss „Nodal-Force“-Theorie.
Damit treten in einer gleichmässig orthotrop beziehungsweise schief bewehrten Stahlbetonplatte
neben den kinematischen Fliessgelenklinien (stellvertretend für das Fliessregime III) sowohl die
dem Fliessregime I beziehungsweise II zugeordneten Schnittpunkte von Fliessgelenklinien als
Querkraftnullpunkte und somit als Lastscheiden in Erscheinung. Beim Fliessregime II ist dies
jedoch nur für Schnittpunkte von geraden Linien gültig. Die schrittweise Befreiung dieser geometrischen Einschränkung führt zu dem in den Kapiteln 5.3 und 5.4 diskutierten Kraftfluss in Fächern
beziehungsweise in Fliessregionen, womit in Bezug auf die unterschiedlichen Fliessregime der
Normalmomenten-Fliessbedingung alle möglichen Kraftflüsse abschliessend behandelt sind.
Die vorgelegte, in sich widerspruchsfreie mechanische Herleitung des möglichen Kraftflusses
unter den verschiedenen Fliessregimes ermöglicht eine Neueinordnung der vorangegangenen wissenschaftlichen Arbeiten. Die von Johansen [25, 26] ins Leben gerufene „Nodal-Force“-Theorie
fand in den Arbeiten von Kemp, Morley, Nielsen, Wood, Jones und Clyde Fortführung
[29, 58, 65, 97, 27] und führte im hier diskutierten zweiten Fall in den Arbeiten von Nylander und
Wood [67, 96] zu einem Widerspruch mit der Arbeit von Johansen [26]. Clyde revidierte darauffolgend diesen Fall und wies gleichzeitig auf die Inexistenz des dritten Falls hin, ohne jedoch für einen
der beiden Fälle eine abschliessende Beweisführung vorzulegen [5].
Sowohl die „Nodal-Force“-Theorie als auch die „Equilibrium“-Methode basieren auf der Formulierung von Gleichgewichtsbedingungen an den, von einem beliebigen Mechanismus herausgetrennten, starren Plattensegmenten. Diese unzulässige Vermischung der kinematischen Methode
mit den Gleichgewichtsbedingungen hat das Ziel, bessere obere Grenzwertlösungen ausfindig
machen zu können. Die damit einhergehenden Knotenkräfte suggerieren das Erfüllen von bestimmten Gleichgewichtsbetrachtungen, obschon die Gleichgewichtsbedingungen an einem Mechanismus, bis auf die Ausnahme des zur vollständigen Lösung gehörenden Mechanismus, per Definition
nicht erfüllt sein können und damit auch nicht darauf angewendet werden dürfen, siehe hierzu die
Ausführungen in Kapitel 2.1. Der zur vollständigen Lösung gehörende, zulässige Kraftfluss ist auf
der Basis des Verträglichkeitssatzes der Plastizitätstheorie mit der vorliegenden Abhandlung
abschliessend geklärt; der zur vollständigen Lösung gehörende Mechanismus (kinematisch zulässiger Verformungszustand) stellt den Punkt in Bild 5.9 (a) dar. Der vermeintliche Informationsgewinn sowohl durch die „Nodal-Force“-Theorie als auch durch die „Equilibrium“-Methode in Form
von Knotenkräften ist damit nichtig; die beiden Theorien können nicht zielführend sein und sind
damit widerlegt, siehe die Bilder 5.9 (a) und (c).
89
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Bei der statischen Betrachtung ist die Verwendung von Knotenkräften vom Typ II in einem
Spannungszustand statisch zwar zulässig; die Zugehörigkeit dieses Spannungszustandes zur vollständigen Lösung ist damit jedoch kategorisch ausgeschlossen, siehe dazu die Bilder 5.9 (a) und
(b).
Mit diesen Ausführungen kann auch die bis anhin bestehende Konfusion verstanden werden, wo
in den Arbeiten [52, 57, 66] weiterhin Knotenkräfte Berücksichtigung fanden. Erst die vorliegende
Abhandlung vermag hier Klarheit zu schaffen.
5.3
Fächer
Die vorangegangene Untersuchung des Kraftflusses am Schnittpunkt von im Vorzeichen ungleichen, geraden kinematischen Diskontinuitätslinien hat gezeigt, dass dieser wie die benachbarten
Diskontinuitätslinien als Lastscheide in Erscheinung tritt. Die verträglichen Spannungszustände
sind dabei in Bezug auf die Normalmomenten-Fliessbedingung der Schnittellipse und somit dem
Fliessregime II zuzuordnen. Die in Kapitel 2.3 vorgenommene Unterteilung in die einzelnen Fliessregimes und die damit einhergehende Diskussion der dazugehörenden Gaussschen Krümmung hat
weiter hervorgebracht, dass diese im Fall des Fliessregimes II nicht positiv sein kann. In Bezug auf
verträgliche Mechanismen sind die einschränkenden Bedingungen abwickelbarer Flächen und
gerader kinematischer Diskontinuitätslinien nicht zwingend. Der mit Bild 5.8 behandelte Schnittpunkt von geraden Diskontinuitätslinien ist wegen der verschwindenden Gaussschen Krümmung
als restriktivster Fall einzuordnen. Die stufenweise Befreiung dieser geometrischen Einschränkung
führt im ersten Schritt zum Fächer und in einem weiteren Schritt zur Fliessregion; der dazugehörige
Kraftfluss soll in Kapitel 5.3 beziehungsweise 5.4 untersucht werden.
Hierzu ist vorerst die in Kapitel 5.2 angesprochene Konstruktion eines für das Fliessregime II
zulässigen Spannungszustandes mit der Darstellung von Mohrschen Kreisen vorzunehmen. In
Bild 5.10 (a) muss der Spannungsbildpunkt auf der Schnittellipse liegen, welche sich für eine
orthotrope Bewehrung in der mxx myy-Ebene auf die Diagonale reduzieren und in Funktion der beiden Grössen
a
c m yu  m ' yu

d mxu  m 'xu
b  m yu  a m 'xu
(5.13)
(5.14)
darstellen lässt. Der untersuchte Spannungszustand kommt in der angegebenen Projektionsebene
im Schnittpunkt dieser Diagonalen mit den beiden Geraden zu liegen, welche von den Ecken der
zweiten Diagonale unter den Winkeln u und u wegführen. Die mit (4.29) hergeleitete Beziehung
90
Fächer
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"
Bild 5.10: Konstruktion eines dem Fliessregime II entsprechenden Spannungszustandes:
(a) Normalmomenten-Fliessbedingung in der planaren Darstellung; (b) Beziehung
zwischen den Richtungen der beiden im Vorzeichen ungleichen kinematischen Diskontinuitätslinien; (c) Vorzeichenkonvention; (d) Konstruktion mit Hilfe von Mohrschen Kreisen.
91
Querkraftfluss in Plattensegmenten
zwischen dem Winkel u und der Richtung der positiven kinematischen Diskontinuitätslinie u
kann unter Berücksichtigung der mit Bild 5.10 (c) dargestellten Vorzeichenkonvention mit
tan  'u   tan  'u 
2
(5.15)
auf die negative kinematische Diskontinuitätslinie u übertragen werden. Die nun anvisierte Verknüpfung der beiden Winkel u und u ist aus der vorhandenen geometrischen Konstruktion mit
der Beziehung
2
2
 d   1   mxu  m 'xu
tan  u tan  'u        
 c   a   m yu  m ' yu



2
(5.16)
zu gewinnen, welche sich weiter mit Hilfe von (4.29) und (5.15) gemäss
tan u tan  'u 
1 mxu  m 'xu

a myu  m ' yu
(5.17)
in Funktion der Richtungen der beiden kinematischen Diskontinuitätslinien ausdrücken lässt.
Die mit (5.17) gefundene Gleichung lässt sich unter Vorgabe aller Biegewiderstände nach der
Richtung u auflösen; sie ist nur noch von der im Vorzeichen entgegengesetzten Richtung u
abhängig. Der daraus sich ergebende Funktionsverlauf ist in Bild 5.10 (b) für zwei verschiedene a
aufgetragen und zeigt, dass nur für den Wert a = 1 die beiden Diskontinuitäten in allen Richtungen
im rechten Winkel zueinander stehen. Für alle Werte a  1 ist dies nur in Richtung der orthogonalen
Bewehrung der Fall. Ferner sind für die in Bild 5.10 (d) angegebenen Biegewiderstände sowie für
den untersuchten Spannungszustand die dazugehörigen Richtungen der kinematischen Diskontinuitätslinien als Punkt in Bild 5.10 (b) gekennzeichnet.
Mit (5.17) lässt sich der zulässige Spannungszustand in der Darstellung mit Mohrschen Kreisen
in Bild 5.10 (d) konstruieren. Ausgangslage stellen dabei die beiden Mohrschen Kreise der Biegewiderstände und damit einhergehend die gleichzeitig gegebenen Gesamtbiegewiderstände als Strecken dar. Durch Vorgabe der Richtung u lässt sich mit dem Gesamtbiegewiderstand in x-Richtung
die gegenüberliegende Kathete des rechtwinkligen Dreiecks konstruieren, welche durch Umformungen von (5.17) mit der Kathete resultierend aus dem Gesamtbiegewiderstand in y-Richtung und
der Richtung u gleichzusetzen ist. Somit kann unter der Vorgabe einer Richtung sowie aller Biegewiderstände die Beziehung (5.17) grafisch gelöst werden. Die Spannungspunkte des verträglichen Spannungszustandes sind durch die Schnittpunkte aus den positiven und negativen Fliessgeraden eindeutig gegeben; der Pol und die transformierten Spannungsgrössen lassen sich damit
konstruieren.
Dieser dem Fliessregime II zugeordnete allgemeine Spannungszustand lässt sich auch in analytischer Weise auf der Basis der in Bild 5.10 (a) dargestellten Normalmomenten-Fliessbedingung
gewinnen. In einem ersten Schritt soll hierzu die Beschreibung in Abhängigkeit des Biegemoments mxx erfolgen, wodurch sich mit Hilfe von (5.13) und (5.14) die Koeffizienten des
Momententensors wie folgt finden lassen:
92
mxx  mxx   mxx
(5.18)
m yy  mxx   a mxx  b
(5.19)
mxy  mxx   tan u a  m 'xu  mxx 
(5.20)
Fächer
Mit der ebenfalls aus Bild 5.10 (a) ableitbaren Beziehung
m
yu
 m yy  tan  u   mxu  mxx 
(5.21)
können die Koeffizienten (5.18) - (5.20) in Abhängigkeit der Richtung u ausgegeben werden
mxx  u  
1
mxu  m 'xu a tan 2 u 

a tan u  1
(5.22)
m yy  u  
1
 myu a tan 2u  m ' yu 
a tan u  1
(5.23)
mxy  u  
1
tan u  m yu  m ' yu 
a tan u  1
(5.24)
2
2
2
Der gemäss (5.18) - (5.20) respektive (5.22) - (5.24) dem Fliessregime II entsprechende, allgemeine Spannungszustand stellt für spezielle Lösungen wie zum Beispiel für Fächer die Grundlage
dar.
Im Folgenden wird der Fächer bezüglich des möglichen Kraftflusses untersucht. In einem ersten
Schritt wird hierzu die Bedingung von geraden, negativen kinematischen Diskontinuitätslinien aufgehoben. Dies führt im Fall einer isotrop bewehrten Stahlbetonplatte und der Beanspruchung durch
eine Einzelkraft zu dem in Bild 5.11 (a) dargestellten Fächer, für welchen die vollständige Lösung
bekannt ist. Die Lastabtragung bei diesem rotationssymmetrischen Fall ist in radialer Richtung nur
gleichmässig verteilt möglich. Beim Ausbilden des Mechanismus ist der Durchmesser nicht eindeutig definiert; er kann einen beliebigen Wert annehmen. Das heisst, dass sich der erforderliche Spannungszustand in der Platte theoretisch in alle Richtungen bis ins Unendliche ausbilden muss und
damit einhergehend alle zum Kraftangriffspunkt konzentrisch verlaufenden Kreise mögliche negative Diskontinuitätslinien darstellen, welche nun zwingend einen Querkraftübertrag aufweisen.
Der vorliegende, transversal zur kinematischen Diskontinuitätslinie verlaufende Querkraftfluss
kann nur dank deren Krümmung im Grundriss möglich sein, was sich anhand der in Bild 5.11 (c)
dargestellten infinitesimalen Diskontinuitätslinie in polarer Darstellung überprüfen lässt. Die hierzu
mit (2.84) hergeleitete Gleichgewichtsgleichung vereinfacht sich wegen des dem Fliessregime II
zugeordneten Spannungszustands zu
vr r  2 mu
(5.25)
was beweist, dass bei im Grundriss gekrümmten kinematischen Diskontinuitätslinien zwingend ein
Querkraftübertrag existieren muss. Dies lässt sich für eine isotrop bewehrte Stahlbetonplatte mit
gleich ausfallenden positiven und negativen Biegewiderständen mittels grafischer Statik in
Bild 5.11 (e) überprüfen, indem die entlang ihrer Wirkungslinie aufsummierten, verteilten Biegemomente als Vektorgrössen addiert werden. Der Restbetrag muss dem querkraftinduzierten
Momentenanteil entsprechen. Der so festgelegte radial verlaufende Querkraftfluss ist mit den positiven, radial verlaufenden kinematischen Diskontinuitätslinien verträglich, welche ihrerseits alle
gekrümmten negativen Diskontinuitätslinien gemäss der Vorgabe nach Bild 5.10 (b) respektive
Bild 5.11 (f) orthogonal schneiden.
Obschon die oben beschriebene Herleitung am Beispiel des durch eine Einzelkraft beanspruchten Fächers aufgezeigt ist, liegt mit der allgemeinen Beschreibung des Kraftflusses am gekrümmten
infinitesimalen Plattenelement in Bild 5.11 (c) die vollständige Lösung vor, welche sich unter den
vorausgesetzten geometrischen Einschränkungen auf beliebige Problemstellungen übertragen lässt.
Mit (5.25) lässt sich der Kraftfluss am entsprechenden, aus der Platte herausgelösten infinitesimalen
Element für eine isotrop bewehrte Stahlbetonplatte in Abhängigkeit des Radius r bestimmen.
93
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Die vollständige Lösung soll nun auch für den Fächer einer orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte gefunden werden. Der dazugehörige Mechanismus in Bild 5.11 (b) und der entsprechende
obere Grenzwert der Traglast sind bekannt [96]. Eine vollständige Lösung liegt indes nicht vor; der
verträgliche Spannungszustand sowie der dazugehörige Querkraftverlauf fehlen. Wird angenommen, dass der angesprochene instabile Mechanismus zur vollständigen Lösung gehört, so muss
wegen der geraden positiven kinematischen Diskontinuitätslinien der Kraftfluss wie beim isotropen
Fall radial verlaufen. Diese Hypothese lässt sich von zwei unterschiedlichen Seiten statisch weiterverfolgen, was zusammen mit der kinematischen Betrachtung zur anvisierten vollständigen Lösung
führen wird.
Der erste Weg führt über die Vorgabe des radialen Kraftflusses, welcher sich allgemein durch
tan  
vy
vx

y
x
(5.26)
ausdrücken lässt und mit der Richtung der positiven kinematischen Fliessgelenklinie durch
cot u  
y
x
,
mit u 


2
(5.27)
in Verbindung gebracht werden kann. Die mit (5.18) - (5.20) beziehungsweise (5.22) - (5.24) gegebene Beschreibung eines dem Fliessregime II entsprechenden Spannungszustandes lässt sich durch
(5.26) und (5.27) in kartesische Koordinaten zur speziellen Lösung
mxx  x, y  
1
 mxu y 2  m 'xu a x2 
a x  y2
(5.28)
m yy  x, y  
1
 myu a x2  m ' yu y 2 
a x  y2
(5.29)
mxy  x, y  
1
xy  m yu  m ' yu 
a x  y2
(5.30)
2
2
2
reduzieren, welcher gemäss (2.81) die Querkraftkomponenten
vx  x, y   mxx , x  mxy , y  
x
 myu  m ' yu 
a x  y2
(5.31)
v y  x, y   mxy , x  m yy , y  
y
 myu  m ' yu 
a x  y2
(5.32)
entsprechen.
94
2
2
Fächer
!
# $
%
# $
%
"
&'
&%
"
% '
'
#
$
#
$
%
Bild 5.11: Fächer: (a) Fächer einer isotrop bewehrten Stahlbetonplatte; (b) Fächer einer orthotrop
bewehrten Stahlbetonplatte; (c) (d) Schnittkörper des infinitesimalen Plattenelements
in polaren Koordinaten; (e) grafisches Momentengleichgewicht für den isotropen Fall
(f) (g) transformierte Grössen in Abhängigkeit des Richtungswinkels.
95
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Die Überprüfung des Querkraftfeldes führt auf den eingangs angenommenen radialen Kraftfluss
gemäss (5.26). Dieser ist identisch mit der Hauptquerkraft (2.88)
v0  x, y   vr  x, y   vx 2  v y 2  
x2  y 2
 myu  m ' yu 
a x2  y 2
(5.33)
was mit Hilfe von
x  r cos 
,
y  r sin 
(5.34)
1
 myu  m ' yu 
r  a cos   sin 2  
(5.35)
zur polaren Beschreibung
vr  r ,    vx 2  v y 2  
2
führt. Aus dieser Beziehung wird ersichtlich, dass die Intensität des radial verlaufenden Kraftflusses
von der Richtung  abhängt. Dies wird in Bild 5.11 (b) mit den variierenden Winkeln der einzelnen
Fächersegmente illustriert, welche durch geeignete Wahl den identischen aufsummierten Kraftfluss
aufweisen.
Neben diesem, über den radialen Kraftfluss führenden Weg stellen in der zweiten Herleitung die
bereits mit (2.83) bis (2.85) hergeleiteten Gleichgewichtsbedingungen
 mrr r ,r  m  mr ,  vr r
(5.36)
m r 
(5.37)
r
,r
 m,  mr  v r
v,   vr r , r  qz r
(5.38)
in polarer Darstellung die Ausgangslage dar. Mit Hilfe von (5.27) lässt sich der für das zweite
Fliessregime allgemeingültige Spannungszustand mit (5.18) - (5.20) respektive (5.22) - (5.24) zu
den in Bild 5.11 (d) dargestellten Grössen transformieren
mr   myu  mxu  sin  cos 
(5.39)
m  mxu sin 2   m yu cos 2 
(5.40)
mrr   mxu  m 'xu 
sin 2 
cos 2   a 1  cos 2     m 'xu cos 2   m yu sin 2 
2
2 

a cos   sin 
(5.41)
Setzt man (5.39) und (5.40) in (5.37) ein
2mr  m,  2  m yu  mxu  sin  cos   2  mxu  m yu  sin  cos   v r  0
(5.42)
so sieht man, dass die tangential verlaufende Querkraft v verschwindet, was mit dem Grundsatz
bezüglich des Kraftflusses über gerade kinematische Diskontinuitätslinien vereinbar ist. Der radial
verlaufende Kraftfluss wird durch Einsetzen von (5.39), (5.40) und (5.41) in (5.36) gemäss
vr r  
a
 mxu  m 'xu 
a cos   sin 2 
2
(5.43)
bestätigt und ist mit den radial verlaufenden, geraden kinematischen Diskontinuitätslinien verträglich.
96
Fächer
Die beiden Durchmesser des elliptischen Fächermechanismus sind nur in Relation zueinander
gegeben, da wegen des Spannungszustands jede zum gegebenen Mechanismus affine Ellipse eine
mögliche, im Grundriss gekrümmte negative kinematische Diskontinuitätslinie darstellen kann.
Der Kraftfluss in Bild 5.11 (d), flankiert von den beiden geraden kinematischen Diskontinuitätslinien, erfolgt im Unterschied zum isotropen Fall schräg über eine dieser, im Grundriss gekrümmten
negativen Diskontinuitätslinien. Dabei muss der sich ergebende Schnittwinkel aus den beiden kinematischen Diskontinuitäten mit den Konstruktionen aus Bild 5.10 respektive aus Bild 5.11 (g) übereinstimmen, womit die kinematische Verträglichkeit ebenfalls gewahrt ist. Das heisst, dass die
gesonderte Betrachtung des infinitesimalen Plattenelements in Bild 5.11 (d) mit dem dazugehörigen Spannungszustand aus (5.39), (5.40) und (5.41) sowie dem Querkraftfluss aus (5.43) der vollständigen Lösung für das Fliessregime II mit der vorgegebenen geometrischen Einschränkung entspricht. Diese lässt sich wiederum auf beliebige Problemstellungen übertragen, womit der
Kraftfluss eindeutig definiert ist. Dabei ist mit den Bildern 5.11 (c) - (g) augenfällig, dass im isotropen Fall die Hauptrichtungen der Biegemomente und der Querkraft mit den Fliessgelenklinien
zusammenfallen, was die Beschreibung wesentlich vereinfacht. Bei der orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte ist dies im Allgemeinen nicht der Fall. Dies erschwert die Ermittlung des Kraftflusses
zusätzlich, insbesondere bei der in Kapitel 5.4 zur Diskussion stehenden Fliessregion, welche als
Verallgemeinerung aus dem vorliegenden Fächer hervorgeht.
Mit der am infinitesimalen Plattenelement in Bild 5.11 (d) hergeleiteten vollständigen Lösung
kann die Diskussion am Fächer in Bild 5.11 (b) fortgesetzt und zum Abschluss gebracht werden.
Das Produkt aus der Querkraft vr und dem Radius r in (5.43) ist nur von der Richtung  abhängig,
womit sich in einem ersten Schritt das Integral zwischen den zwei Grenzen A und E bilden lässt:
E
E
 tan  
V  A , E    vr r d   a atan 
  mxu  m 'xu 
 a  A
A
(5.44)
Dabei ist zu beachten, dass sich an den Stellen /2 und 3/2 aufgrund der trigonometrischen
Funktion jeweils ein Versatz von  ergibt, welcher mittels Heaviside-Funktion in (5.44) eliminiert
werden kann
E
 
 
3    

 tan  

V  A , E     a  atan 
    h    2   h    2      mxu  m 'xu 


    
 a 
 
 
A
(5.45)
Für den in Bild 5.11 (b) dargestellten, voll ausgebildeten Fächer einer orthotrop bewehrten
Stahlbetonplatte resultiert die aufsummierte Querkraft
V  0, 2   2 a  mxu  m 'xu 
(5.46)
was sich im Spezialfall der isotrop bewehrten Stahlbetonplatte auf
2
V   vr r d  4 mu
(5.47)
0
reduziert. Das mit (5.47) gewonnene Resultat entspricht im isotropen Fall der bekannten vollständigen Lösung [64].
Somit ist nur noch die Bestätigung der vollständigen Lösung für den allgemeinen orthotropen
Fall ausstehend, welche mittels der kinematischen Methode aufgrund des in Bild 5.11 (b) vorliegenden Fächermechanismus vollzogen werden kann. Mit der Beziehung (5.17) lässt sich dafür
zunächst überprüfen, ob gemäss der Normalmomentenfliessbedingung die negative Diskontinuitätslinie in Form einer Ellipse mit den positiven Diskontinuitätslinien in Form von Geraden über97
Querkraftfluss in Plattensegmenten
haupt zueinander verträglichen Charakter aufweisen. Ausgangslage bildet hierbei die Beschreibung
einer Ellipse mit den beiden Halbachsen a und b in allgemeiner Form
x2
y2

1
a2 b2
(5.48)
welche sich nach y als Funktion von x auflösen lässt
y  x 
b
a2  x 2

a
(5.49)
und nach x abgeleitet werden kann
y ' x   
b
a
x
2
a  x2
(5.50)
Die beiden Richtungswinkel der kinematischen Diskontinuitätslinien lassen sich folglich mit
den Grössen der Ellipse beschreiben
tan u 
x
y  x
(5.51)
tan  'u 
a a2  x 2
b x
(5.52)
Die miteinander multiplizierten Tangensfunktionen führen zur eingangs erwähnten Beziehung
(5.17)
2
m yu  m ' yu
 a 
tan u tan  'u      a 
mxu  m 'xu
b 
(5.53)
Die mit (5.53) zusätzlich gewonnene Verknüpfung mit der geometrischen Skalierung führt auf
das von Johansen erstmals aufgestellte Affinitätstheorem [26] und bestätigt gleichzeitig die eingangs angenommene Form der Ellipse. Die kinematischen Diskontinuitätslinien sind somit zueinander verträglich, falls die die Ellipse beschreibenden Halbachsen gemäss (5.53) auf die Biegewiderstände abgestimmt sind. Interessant ist dabei, dass die Aufteilung zwischen positivem und
negativem Biegewiderstand keinen Einfluss auf die geometrische Form hat.
98
Fächer
Der definierte Mechanismus lässt sich in Form einer Ellipse mit dem Radius
rx
r0    
a sin   cos 2 
2
(5.54)
in polarer Darstellung beschreiben. Daraus ergibt sich mit der Durchbiegung w in der Mitte des
Fächers der ebenfalls vom Richtungswinkel  abhängige Rotationswinkel am Ellipsenrand
    
w
r0   
(5.55)
welcher zum radialen plastischen Krümmungsinkrement
   
1    

R
r
(5.56)
führt. Somit liegen für die Ermittlung des oberen Grenzwertes nach (2.131) und (2.132) alle benötigten Grössen vor. Die mechanische Leistung ergibt sich nach (2.132) aus der Multiplikation der
Einzelkraft mit der zeitlichen Ableitung der Verformung w
W  Fk w
(5.57)
Dagegen ist die Berechnung der totalen Dissipation mit etwas grösserem Aufwand verbunden.
Diese setzt sich aus den Anteilen der positiven und negativen kinematischen Diskontinuitätslinien
zusammen
r0 2 
2
0 0
0
D    m  r d dr   mrr  r0 d
(5.58)
welche sich mit Hilfe der entsprechenden Widerstandsmomenten (5.40) und (5.41) sowie den hergeleiteten geometrischen Beziehungen (5.54) - (5.56) zu folgendem Ausdruck zusammenfassen
lässt:
D  2
 mxu  m 'xu   myu  m ' yu  w
(5.59)
Aus dem Gleichsetzen von (5.57) mit (5.59) resultiert letztendlich ein oberer Grenzwert für die
Traglast des Fächers
Fk  2
 mxu  m 'xu   myu  m ' yu   Fs  Fu
(5.60)
welcher dem auf einem zulässigen Spannungszustand basierenden unteren Grenzwert von (5.46)
gleich ist. Somit sind der untersuchte Fächermechanismus und der neu ermittelte Spannungszustand
miteinander verträglich und konstituieren damit die vollständige Lösung.
Abschliessend lässt sich festhalten, dass für das Fliessregime II mit der geometrischen Befreiung
einer Geraden gemäss dem in Bild 5.11 (d) dargestellten infinitesimalen Plattenelement sowie den
dazugehörenden Schnittgrössen die vollständige Lösung für eine orthotrop bewehrte Stahlbetonplatte vorliegt. Mit dem eindeutig definierten Kraftfluss nach (5.35) respektive (5.43) wird gezeigt,
dass im Grundriss gekrümmte kinematische Diskontinuitätslinien transversal einen Querkraftübertrag aufweisen müssen. Die vollständige Lösung für das infinitesimale Plattenelement lässt sich
auch für den allgemeinen Fall qz  0  für das Konstruieren von vollständigen Lösungen auf der
Ebene von ganzen Platten verwenden. Dabei müssen in Bild 5.11 (d) die kinematischen Diskontinuitätslinien für einen gegeben Richtungswinkel die miteinander verträglichen Richtungen aufweisen.
99
Querkraftfluss in Plattensegmenten
5.4
Fliessregionen
Die schrittweise geometrische Befreiung hat ausgehend vom Schnittpunkt von geraden, im Vorzeichen ungleichen kinematischen Diskontinuitätslinien in Bild 5.8 zunächst zu dem im vorangegangen Kapitel in Bild 5.11 behandelten Fächer geführt, bei welchem noch eine kinematische Diskontinuitätslinie gerade ist. In beiden Fällen konnte die vollständige Lösung am infinitesimalen
Plattenelement hergeleitet und damit einhergehend der mögliche Kraftfluss eindeutig bestimmt
werden.
Die Befreiung von der zweiten Geraden (unter Einhaltung der negativen Gaussschen Krümmung) ermöglicht, dass beide kinematischen Diskontinuitäten im Grundriss gekrümmt sein können.
Dabei müssen sie weiterhin (5.17) erfüllen, wie dies aus Bild 5.10 (b) ablesbar ist. Die so gewonnene Freiheit wird einzig durch den zulässigen Spannungszustand begrenzt, welcher weiterhin dem
Fliessregime II zugeordnet und in seiner allgemeinen Form mit (5.18) - (5.20) respektive mit
(5.22) - (5.24) gegeben ist. Für eine konkrete Problemstellung lässt sich dieser mit den Gleichgewichtsgleichungen (2.76) - (2.78) vereinen, was ermöglicht, dass eine ganze Region der Stahlbetonplatte dem Fliessregime II zugeordnet werden kann. Das heisst, dass der Spannungszustand
jedes Plattenpunktes sowohl die hergeleitete, allgemeine Lösung nach (5.18) - (5.20) respektive
(5.22) - (5.24) als auch die Gleichgewichtsgleichungen (2.76) - (2.78) erfüllt.
Zur Illustration dient die allseitig eingespannte, isotrop bewehrte Quadratplatte mit gleichmässiger Beanspruchung in Bild 5.12 (a), für welche Fox die vollständige Lösung gefunden hat [13].
Die in Bild 5.12 (a) dunkel schattierte Fläche stellt eine solche dem Fliessregime II zugeordnete
Fliessregion dar. Ebenfalls sind die Hauptmomentenrichtungen als Trajektorien eingetragen, welche im vorliegenden, isotropen Fall nach Bild 5.11 (f) mit den Richtungen der beiden kinematischen Diskontinuitätslinien zusammenfallen. Die vergrösserte Darstellung in Bild 5.12 (b) macht
den im Grundriss gekrümmten Charakter der beiden innerhalb der Fliessregion liegenden Fliessgelenklinien deutlich.
Die Schwierigkeit beim Auffinden von vollständigen Lösungen einer solchen Fliessregion lässt
sich bereits am Beispiel des isotropen Falls feststellen. Zwar sind einerseits die Gleichgewichtsgleichungen sowie deren Einschränkung gemäss (5.18) - (5.20) respektive (5.22) - (5.24) auf das
Fliessregime II gegeben. Die mögliche, nicht positive Gaussche Krümmung ermöglicht jedoch geometrische Freiheiten, welche schwer erfassbar sind. Fox löst dieses Problem für den isotropen Fall
durch geeignete Wahl des Koordinatensystems, indem er die Gleichgewichtsbedingungen für
gekrümmte Koordinaten in Richtung der Hauptmomentenachsen formuliert. Wegen des isotropen
Charakters fallen diese Richtungen gemäss Bild 5.11 (f) mit den Richtungen der kinematischen
Diskontinuitätslinien zusammen und führen zu der in Bild 5.12 (c) illustrierten Fliessregion.
Für den orthotropen Fall gestaltet sich die Suche nach vollständigen Lösungen aus folgenden
Gründen verwickelter. Erstens entfällt wegen a  1 die Orthogonalitätsbedingung bezüglich der
Richtungen der beiden kinematischen Diskontinuitätslinien. Zweitens stimmen in Bild 5.11 (g) die
Hauptmomente aus der Beanspruchung nicht mehr mit den Biegewiderständen überein. Damit stellt
sich die Frage nach der geeigneten Beschreibungsart beziehungsweise dem geeigneten Koordinatensystem.
Es wird an dieser Stelle daher vorgeschlagen, die zu den Fliesspunkten in Bild 5.11 (g) gehörenden Richtungen der kinematischen Diskontinuitätslinien als tangentiale Richtungen des Koordinatensystems zu definieren. Erstens sind dabei die Fliesspunkte dem jeweilig transformierten Biegewiderstand gleichzusetzen, wodurch für vorgegebene Richtungen der Spannungszustand nicht
100
Fliessregionen
!"
#
$$$
!"
#
$$$
%"
!"
!"
#
$$
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!"
#
$$
&
&
Bild 5.12: Fliessregion: (a) vollständige Lösung der allseitig eingespannten Quadratplatte;
(b) vergrösserte Darstellung der Fliessregion; (c) schematische Darstellung der Fliessregion einer isotrop bewehrten Stahlbetonplatte; (d) schematische Darstellung der
Fliessregion einer orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte; (e) Darstellung des Schnittwinkels aus den beiden kinematischen Diskontinuitätslinien.
zwingend erforderlich ist. Zweitens ermöglicht das in Bild 5.12 (d) schematisch dargestellte Netz
von kinematischen Diskontinuitätslinien den dazugehörigen Mechanismus zu finden. Die beiden
Richtungen der kinematischen Diskontinuitätslinien sind weiterhin durch (5.17) verknüpft.
Die dafür geeigneten Koordinaten müssten somit nach Bild 5.12 (d) ein krummliniges Koordinatensystem darstellen, bei welchem die Koordinatenachsen schiefwinklig zueinanderstehen.
Dabei ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Achsen durch (5.17) gegeben und lässt sich beispielsweise für a = 0.3 in Bild 5.12 (e) auftragen. Auf dieser Grundlage liessen sich nun analog zu
(2.76) - (2.78) respektive (2.83) - (2.85) die Gleichgewichtsgleichungen der Platte anschreiben, um
damit vollständige Lösungen suchen zu können. Dieser mögliche Lösungsansatz soll an dieser
Stelle jedoch nicht weiterverfolgt werden.
101
Querkraftfluss in Plattensegmenten
5.5
Plattensegmente
5.5.1
Aufteilung der Eigenspannungszustände
Der Kraftfluss ist mit der vorangegangenen Diskussion für die Fliessregime I bis III klar aufgezeigt.
In Bezug auf die Platte als statisches System sind noch die zwischen den Fliessgelenklinien liegenden Plattensegmente hinsichtlich des Kraftflusses zu untersuchen. Die Plattensegmente entsprechen
bei Vorliegen der vollständigen Lösung der Plastizitätstheorie den starren Plattenteilen des Mechanismus, welche durch die Fliessgelenklinien begrenzt werden. Gelingt eine von der Platte losgelöste
Beschreibung des Kraftflusses eines einzelnen Plattensegments, kann das Problem entsprechend
vereinfacht werden. Die angestrebte Entkopplung wird mit der Vorstellung von Lastscheiden der
Fliessregime I und III erleichtert, was die Bedeutung der entsprechenden Diskussion nochmals verdeutlicht.
Das vorliegende Unterkapitel behandelt einen in die vollständige Lösung eingehenden, statisch
zulässigen Spannungszustand solcher Plattensegmente. Ein solcher statisch zulässiger Spannungszustand ist einer unter vielen möglichen Zuständen, die zusammengefasst den allgemeinen
Lösungsraum bilden. Die grosse Herausforderung besteht darin, diesen Lösungsraum hinsichtlich
des Rechenaufwands möglichst einzuschränken, ohne zur vollständigen Lösung gehörige Spannungszustände auszugrenzen. Solche Einschränkungen stellen neben den erwähnten Lastscheiden
der Fliessregime I und III die mit den Fliessgelenklinien einhergehenden Randbedingungen dar. Die
Suche beschränkt sich somit auf das Finden der verschiedenen Eigenspannungszustände, welche
superponiert in ihrer optimalsten Ausgestaltung und unter Einhalten der Normalmomenten-Fliessbedingung eine Maximierung der Belastung qz ermöglichen und im besten Fall auf die Traglast qu
führen.
Dazu ist zunächst vom allgemeinsten Lösungsraum des Querkraftfeldes auszugehen, welches
sich nach (3.1) aus drei Anteilen zusammensetzt. Das Vektorfeld v p widerspiegelt dabei die eingeprägte Belastung qz; die Vektorfelder v h1 und v h2 entsprechen den Eigenspannungszuständen, welche nach Belieben, jedoch unter Einhaltung der Randbedingungen gewählt und v p überlagert werden können. Das so formierte Querkraftfeld v muss mit den dazugehörigen Plattenmomenten
lediglich die Gleichgewichtsbedingungen (2.80) und (2.81) erfüllen.
In der Folge werden die verschiedenen Eigenspannungszustände einzeln betreffend ihrer mechanischen Bedeutung sowie bezüglich ihrer elastischen Verträglichkeit diskutiert, was jeweils in einer
Anleitung zur Generierung solcher Zustände und letztendlich durch Zusammenführen in der Entwicklung von vollständigen Lösungen ausgewählter Plattensegmente münden wird. Zur Übersicht
werden dazu nochmals alle möglichen Eigenspannungszustände kurz eingeführt.
Zu mit (3.1) beschriebenen Eigenspannungszuständen des Querkraftfeldes kommt aus der
Betrachtung der Gleichgewichtsbedingung (2.81) ein Eigenspannungszustand hinzu, welcher
div m  v  0
(5.61)
genügt, als homogene Lösung von (2.81) aufzufassen ist und im Querkraftfeld nicht erscheint. Die
elastische Verträglichkeit kann durch Gleichsetzen von (5.61) mit (3.29) gemäss
grad w  0
,
w  const
(5.62)
bestätigt werden. Das heisst, dass dieser erste Eigenspannungszustand nur aus induzierten Plattenbiegemomenten zustande kommt und nach (5.61) einen verschwindenden Querkraftfluss aufweisen
muss. Weiter folgt aus (5.62), dass die induzierten Plattenbiegemomente mit rein elastischen Verformungen verträglich sind.
102
Plattensegmente
Die beiden anderen Eigenspannungszustände sind bereits in Kapitel 3.1 eingeführt worden und
nach (3.1) anteilig im Querkraftfeld mit den Bezeichnungen v h1 und v h2 wiederzufinden. Der
Eigenspannungszustand v h2 ist durch das Verschwinden sowohl der Divergenz als auch der Rotation geprägt
div v  0
,
rot v  0
(5.63)
was zusammen mit (2.105) die elastische Verträglichkeit belegt:
w  0
(5.64)
Demgegenüber weist der Eigenspannungszustand v h1 keine verschwindende Rotation auf, woraus gemäss
div v  0
,
rot v  
(5.65)
die Wirbeldichte  resultiert. Einerseits hat die Diskussion in Kapitel 3 gezeigt, dass solche Wirbel
in der initial eigenspannungsfreien isotropen Stahlbetonplatte nicht existieren und damit elastisch
nicht verträglich sein können. Andererseits muss ein wirbelbehafteter Eigenspannungszustand v h1
zum Lösungsraum von vollständigen Lösungen gehören, wie dies mit den Ausführungen in
Kapitel 3.3 am Beispiel der gleichmässig beanspruchten, zentrisch punktgestützten Quadratplatte
gezeigt werden kann. Dies lässt sich ebenfalls mit der statischen Diskontinuitätslinie belegen, deren
Ausbildung in experimentellen Versuchen an Quadratplatten mit spezieller Bewehrungsanordnung
erzwungen werden konnte [52]. Nach den Ausführungen in Kapitel 4.2 muss eine derartige statische Diskontinuitätslinie entlang ihrer Grenze mit diskreten Wirbelschichten einhergehen, womit
die genannten Versuche implizit auch die Existenz solcher Wirbel im Querkraftfeld bestätigen.
Noch offen ist die in Kapitel 4.2.3 gestellte Frage, wie solche Wirbelfelder bei der monotonen Laststeigerung dem Querkraftfeld eingeprägt werden können. Hierzu wird in Kapitel 5.5.4 auf der Basis
der Theorie schubsteifer Platten eine kinematische Beschreibung der Wirbel nachgeliefert.
5.5.2
Eigenspannungszustand Typ „div m = 0“
Die Diskussion des Eigenspannungszustands mit verschwindendem Querkraftfluss kann von der in
Kapitel 3.1 hergeleiteten Analogie zwischen den Gleichgewichtsbedingungen der Schale und der
Platte ausgehen. Den Ausgangspunkt stellt (3.21) dar
zn  m
(5.66)
wonach der Tensor der Plattenmomente gleich dem Produkt des Tensors der Membrankräfte und
des Hebelarms z ist. Durch Anwenden der Divergenz auf (5.66) erhält man die bereits mit (3.22)
hergeleitete Beziehung
   z n   z  n  z   n  v
(5.67)
von welcher sich mittels Fallunterscheidung zwei Modellvorstellungen ableiten lassen. Für den ersten Fall eines in der xy-Ebene beliebig variierenden Hebelarms z sowie der verschwindenden, auf n
angewendeten Divergenz entfällt in (5.67) der zweite Summand, womit der Querkraftvektor
z  n  v
(5.68)
der flachen Membranschale (3.20) übrig bleibt. Dabei stellt der Hebelarm z die Formfunktion der
Membranschale dar.
103
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Setzt man dagegen den Hebelarm z = const, so folgt mit dem Verschwinden des ersten Summanden in (5.67) die Gleichgewichtsbedingung
zn  v
(5.69)
welche man durch Substitution mit (5.66) auf die zweite Gleichgewichtsbedingung (2.81) der Platte
zurückführen kann. Die Beziehung (5.69) ist somit dem Sandwichmodell zuzuordnen und kann
damit auch von den in Bild 5.13 (a) respektive (b) dargestellten Schnittgrössen des zugehörigen,
infinitesimalen Plattenelements abgeleitet werden.
Mit dem Sandwichmodell ist es möglich, eine mechanische Interpretation des ersten Eigenspannungszustandes anzugeben. Wegen des verschwindenden Querkraftflusses (5.61) folgt aus (5.69)
mit z = const, dass die auf den Tensor der Membrankräfte angewendete Divergenz verschwinden
muss:
div m  0
,
z  n  v  0
(5.70)
(5.70) beschreibt einen ebenen Spannungszustand, für welchen mit der Airyschen
Spannungsfunktion F ein elegantes mathematisches Instrument zur Lösung bereitsteht. Die Komponenten des symmetrischen Tensors n lassen sich wie folgt anschreiben
nxx  F, yy
(5.71)
nyy  F, xx
(5.72)
nxy   F, xy
(5.73)
womit (5.70) in beiden Richtungen gemäss
nxx , x  nxy , y   F, yyx  F, xyy  0
(5.74)
nxy , x  n yy , y   F, xyx  F, xxy  0
(5.75)
erfüllt ist.
Wegen (5.66) und z = const kann die Airysche Spannungsfunktion F auch direkt für die Komponenten von m verwendet werden:
mxx  F, yy
(5.76)
myy  F, xx
(5.77)
mxy   F, xy
(5.78)
Damit wird die eingangs definierte Bedingung div m  0 erfüllt.
104
Plattensegmente
Bild 5.13: Sandwichmodell: (a) infinitesimales Plattenelement des Sandwichmodells;
(b) eindimensionaler Schnittkörper des Sandwichmodells; (c) (d) Eigenspannungszustand ohne Querkraftfluss in axonometrischer und planarer Darstellung (nur Normalspannungen in x-Richtung dargestellt).
Das Generieren eines derartigen Eigenspanungszustandes soll abschliessend an einem Beispiel
demonstriert werden, welches nachfolgend bei der Entwicklung von vollständigen Lösungen ausgewählter Plattensegmente weitere Verwendung findet. Zur Illustration dient das in Bild 5.13 (c)
dargestellte trapezförmige Plattensegment, welches in den Sandwichdeckeln einen ebenen, radialen
Eigenspannungszustand aufweisen soll. Die beiden unter beliebigen Winkeln zu liegen kommenden
Flanken sollen dabei spannungsfrei bleiben. Ein möglicher Ansatz für die Airysche Spannungsfunktion, welcher alle die geforderten Bedingungen erfüllt, lässt sich für eine beliebige natürliche
Zahl n wie folgt angeben:
F C
y n2
x n 1  n  1 n  2 
(5.79)
105
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Daraus resultieren nach (5.76) - (5.78) die Komponenten
mxx  C
yn
x n 1
(5.80)
myy  C
y n2
x n 3
(5.81)
mxy  C
y n 1
xn2
(5.82)
des Momententensors, welche (5.61) erfüllen. Wählt man n = 0, so vereinfacht sich die Ansatzfunktion (5.79) zu
F C
y2
2x
(5.83)
mit den Komponenten
mxx  C
1
x
(5.84)
myy  C
y2
x3
(5.85)
mxy  C
y
x2
(5.86)
des Momententensors. Dieser Spezialfall n = 0 ist bereits in [52] aufgeführt und dadurch gekennzeichnet, dass das Biegemoment mxx beziehungsweise die verteilte Normalkraft nxx für eine feste xKoordinate in y-Richtung einen konstanten Betrag aufweist, wie dies aus den Bildern 5.13 (c) und
(d) schematisch zu entnehmen ist.
5.5.3
Eigenspannungszustand Typ v h
2
Der Eigenspannungszustand vom Typ v h2 lässt sich in analoger Weise zum partikulären Fall in
(3.3) mit einem Potential
v h2  grad h2
(5.87)
beschreiben, wodurch die Bedingung
rot v h2  ,hyx2  ,hxy2  0
(5.88)
erfüllt ist. Durch Anwenden von (2.80) auf (5.87) resultiert mit dem Laplace-Operator eine zu
(3.10) und (3.11) analoge elliptische Differentialgleichung
 h2  0
(5.89)
für deren Lösung nur harmonische Funktionen in Frage kommen.
Die Schwierigkeit beim Generieren eines solchen Eigenspannungszustandes besteht darin, dass
sich im Gegensatz zum Querkraftfeld die Momente infolge des Integrationsschritts in (2.81) nicht
mehr eindeutig bestimmen lassen. Dies wird zusätzlich erschwert, indem die beiden Beziehungen
(2.76) und (2.77) eine Kopplung durch das Drillmoment erfahren.
106
Plattensegmente
Um dennoch eine Anleitung für das Generieren eines Eigenspannungszustandes geben zu können, sind folgende Hilfsgleichungen nützlich. Ausgangspunkt stellt dabei die Gleichsetzung des
Querkraftfeldes (5.87) mit der Gleichgewichtsbedingung (2.81) und der darauffolgenden Ableitung
nach x beziehungsweise y dar, womit sich die gemischte Ableitung des Drillmoments
mxy , xy  ,hxx2  mxx , xx  ,hyy2  myy , yy
(5.90)
ergibt. Aus der doppelten Integration von (5.90) in x- beziehungsweise y-Richtung folgt
h2  mxx  x mxy , y  h  y 
(5.91)
h2  m yy  y mxy , x  g  x 
(5.92)
woraus durch Addition die bereits mit (3.34) angegebene Beziehung
h2 
1
 mI  x mxy , y  y mxy , x  g  x   h  y  
2
(5.93)
resultiert. Auf der Basis von (5.90) - (5.93) lässt sich nun ein mögliches Vorgehen skizzieren: Ausgangspunkt ist eine beliebige Funktion mxy,xy, wobei die Funktionsterme mit vorderhand nicht
bestimmten Koeffizienten skaliert sind. Zweifache Integration in x- beziehungsweise y-Richtung
führt auf den Term xmxy,y in (5.91) beziehungsweise auf den Term ymxy,x in (5.92). Durch geschickte
Wahl sind die restlichen Terme dieser beiden Hilfsgleichungen so zu bestimmen, dass daraus das
identische Potential h2 resultiert. Dieses lässt sich mit (5.89) auf rein harmonische Funktionen
überprüfen, woraus sich letztendlich Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten ableiten lassen. In einem letzten Schritt ist zu kontrollieren, ob Teile der gewählten Momentenansätze zusätzlich die Bedingung (5.61) erfüllen und damit streng genommen dem Eigenspannungszustand Typ
div m  0 zuzuordnen sind.
Diese Ausführungen lassen sich anhand des Beispiels von Potenzreihen illustrieren, womit im
Anschluss ein möglicher Eigenspannungszustand abgeleitet werden soll. Dazu werden die gemäss
Bild 5.14 (a) gebildeten Produkte verwendet. Durch Drehung um 45° entsteht die Pyramidendarstellung in Bild 5.14 (b), deren Zeilen konstante Exponentensummen aufweisen. Alle Funktionsansätze einer Zeile können gemäss (5.91) sowohl in h2 als auch in mxx eingesetzt werden, woraus sich
die in Bild 5.14 (c) dargestellten Ansätze für mxy ergeben. Analog kann man mit (5.92) und myy
umgehen.
Als Beispiel davon wird der Eigenspannungszustand mit der Exponentensumme vier angegeben. Mit den Funktionsansätzen der zweiten Zeile in Bild 5.14 (b) respektive der ersten beiden
Spalten in Bild 5.14 (c) ergeben sich die Momente
C
C

mxx  mu  1 x 4  2 x 2 y 2 
2
 4

(5.94)
C
C

myy  mu  1 y 4  2 x 2 y 2 
2
 4

(5.95)
mxy  mu
C3 3
 x y  xy 3 
2
(5.96)
sowie das dazugehörige Potential
 C C 

 C 3C 
  mu   1  3   x 4  y 4    2  3  x 2 y 2 
8 
4 
 2
 4

(5.97)
107
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Bild 5.14: Potenzreihen: (a) Generieren der Potenzreihen; (b) um 45° gedrehte Darstellung;
(c) Exponenten der Ansatzfunktionen.
Die Forderung nach harmonischen Funktionen lässt sich mit Hilfe von (5.89) gemäss


 h2  mu  3C1  C2  3C3   x 2  y 2   0
(5.98)
befriedigen, indem die Bestimmungsgleichung
3C1  C2  3C3  0
(5.99)
der Koeffizienten erfüllt wird. Analog liessen sich aus den anderen Zeilen in Bild 5.14 (b) weitere
Eigenspannungszustände generieren, welche einander beliebig überlagert werden dürfen. Abschliessend ist zu bemerken, dass die verwendeten Potenzreihen nicht die einzig möglichen Ansätze darstellen, um harmonische Funktionen als Lösung der elliptischen Differentialgleichung zu erhalten.
Weitere Ansätze sind der Literatur zu entnehmen [3].
108
Plattensegmente
5.5.4
Eigenspannungszustand Typ v h
1
Wie bereits in Kapitel 5.5.1 ausgeführt, unterscheidet sich der dritte Eigenspannungszustand durch
eine nicht verschwindende Wirbeldichte  und die damit in schubstarren Platten einhergehende
elastische Unverträglichkeit grundlegend von den zwei vorangegangenen Eigenspannungszuständen, welche beide elastisch verträglichen Charakter aufweisen. Die Frage, wie dem Querkraftfeld
Wirbelfelder im monotonen Laststeigerungsprozess eingeprägt werden können, soll im zweiten
Teil des vorliegenden Kapitels beantwortet werden.
Zuerst wird aufbauend auf der bereits in Kapitel 3.1 hergeleiteten Definition ein mögliches Vorgehen zum Generieren eines Eigenspannungszustandes mit nicht verschwindendem Wirbelfeld aufgezeigt. Die alle Eigenspannungszustände verbindende Bedingung der verschwindenden, auf das
Querkraftfeld angewendeten Divergenz sowie die nun vorhandene Wirbeldichte ermöglichen die
Beschreibung der beiden Vektorkomponenten
vxh1   , y
(5.100)
v yh1   , x
(5.101)
in Funktion eines Potentials, wobei die Ansätze von (5.100) und (5.101) in ähnlicher Weise zu der
im Kapitel 5.5.2 verwendeten Airyschen Spannungsfunktion gewählt sind. Die Kontrolle der
Ansatzfunktion führt einerseits mit der auf die Querkraft angewendeten Divergenz auf die eingangs
aufgestellte Bedingung
div v h1   , yx   , xy  0
(5.102)
und anderseits mit der Anwendung der Rotation auf die elliptische Differentialgleichung
rot v h1   , xx   , yy    
(5.103)
mit der Wirbeldichte  als Störfunktion, welche dem Ausdruck linkerhand in (3.12) gleichgesetzt
werden kann. Im Gegensatz zu den Querkraftkomponenten in (5.100) und (5.101) können wiederum die Momente durch den Integrationsschritt in (3.12) nicht eindeutig bestimmt werden. Weiter
lassen sich im Gegensatz zum vorangegangenen Eigenspannungszustand keine Hilfsgleichungen
herleiten, welche dem Generieren eines Eigenspannungszustands dienlich wären. Der einzige gangbare Weg besteht in der Wahl einer geeigneten Ansatzfunktion für das Potential , von welchem
mit (5.100) und (5.101) die dazugehörigen Querkraftkomponenten eindeutig abgeleitet werden
können. Für das nachfolgende Finden der dazugehörigen Momente bleibt letztendlich nur der Weg
über Versuch und Irrtum.
109
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Die angesprochene Problematik soll am folgenden Beispiel [52] verdeutlicht werden. Die
Ansatzfunktion
C
y
x
(5.104)
führt mit (5.100) und (5.101) auf die Querkraftkomponenten
vx  C
1
x
(5.105)
vy  C
y
x2
(5.106)
die wegen v y vx  y x einem radialen Querkraftfluss entsprechen. Die Integration sowie eine
geschickte Aufteilung führt beispielsweise zu den Momenten
mxx  0
(5.107)
m yy  C
y2
x2
(5.108)
mxy  C
y
x
(5.109)
welche bei der Entwicklung von vollständigen Lösungen ausgewählter Plattensegmente in
Kapitel 5.5.5 und 5.5.6 weitere Verwendung finden.
Nach diesen Ausführungen zum Generieren des Eigenspannungszustands sowie dem Aufzeigen
eines Beispiels soll nun der Fokus auf die in Kapitel 5.5.1 formulierte Fragestellung betreffend der
plastischen Verträglichkeit von Wirbeln in schubstarren Platten gerichtet werden. Dazu ist der
Exkurs zur Theorie schubsteifer Platten nach Reissner/Mindlin notwendig [75, 53], bei welcher im
Unterschied zu schubstarren Platten Querkraftverformungen Berücksichtigung finden. Bei der in
Bild 5.15 (a) dargestellten Sandwichplatte treten die in Bild 5.15 (b) dargestellten Verformungsgrössen w und  auf. Dabei ist festzuhalten, dass von der nach Bernoulli und Navier benannten
Hypothese nur das Ebenbleiben der Querschnitte weiterhin seine Gültigkeit behält; die Berücksichtigung der Querkraftverformungen löst die Restriktion des Senkrechtbleibens bezogen auf die verformte Achse. Damit lassen sich die kinematischen Relationen in x-Richtung
 x   x  w, x
(5.110)
und in y-Richtung
 y   y  w, y
(5.111)
aus Bild 5.15 (b) ableiten. Mit der zum Balken analogen Schubsteifigkeit von 5G h 6 resultieren
unter der Annahme eines homogenen und isotropen, linear elastischen Verhaltens die Stoffgleichungen
x 
6
vx
5G h
,
y 
6
vy
5G h
(5.112)
Nebenbei sei bemerkt, dass eine Schubsteifigkeit von G av  1G h dem Verformungsverhalten
des hier behandelten Sandwichmodells gerechter würde. Auf das Ziel, eine mechanische Interpretation der Wirbel zu finden, hat dies jedoch keinen Einfluss.
110
Plattensegmente
(
"!
%
&'&(
!
!
!
%
&'&(
!
"!
!
"!
"!
)
*
$#
$#
$#
$#
)
*
)
*
)
*
Bild 5.15: Schubsteife Platte: (a) Sandwichmodell; (b) Verformungen; (c) Darstellung der Verzerrungen aus den Schubwinkeln im Plattenkern; (d) Darstellung der Schubwinkeländerungen mit Hilfe des Mohrschen Kreises; (e) Schubwinkeländerungen separiert in
die verschiedenen Verformungsanteile.
111
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Aus Bild 5.15 (b) lässt sich über die infinitesimale Differenz der beiden Rotationswinkel x und
y der elastische Krümmungstensor
 1
2
grad   grad  T 
(5.113)
in Symbolschreibweise ableiten und mit Hilfe der kinematischen Relationen (5.110) und (5.111)
gemäss
  xx

 yx
 xy    x , x  w, xx

 yy   sym.

1
2

  y , x  2 w, xy  

 y , y  w, yy

x, y
(5.114)
in Indexschreibweise darstellen. Der in Kapitel 2.2 verwendete Krümmungstensor schubstarrer
Platten ergibt sich mit = 0 als Spezialfall aus (5.114).
Dagegen haben die Gleichgewichtsbedingungen gemäss (2.80) und (2.81) nach wie vor Bestand,
womit alle Teile für die Herleitung der partiellen Differentialgleichung bereitstehen. Aus der Verknüpfung des Krümmungstensors mit den verallgemeinerten Stoffgesetzen der Momente
gemäss (2.102) und der Querkräfte (5.112) folgen die Plattenmomente
mxx   D  w, xx   w, yy  
6D
 1    vx, x  qz  
5G h
 m xx 
(5.115)
myy   D  w, yy   w, xx  
6D
 1    vy , y  qz  
5G h
 m 
(5.116)
myy   D 1    w, xy 
6 D 1   
10G h
v
x, y
yy
 vy, x 
(5.117)
von welchen sich mit der Gleichgewichtsbedingung (2.81) die Querkraftkomponenten
vx   D  w , x 
6D
 1    vx  1    qz , x  
10G h
 m 
(5.118)
v y   D  w , y 
6D
 1    vy  1    qz , y  
10G h
 m 
(5.119)
xx , x
yy , y
ableiten lassen. Das Querkraftfeld lässt sich in divergente und wirbelbehaftete Anteile aufspalten,
woraus sich durch Gleichsetzen mit der negativen Kraftdichte qz respektive der Wirbeldichte die
beiden gekoppelten partiellen Differentialgleichungen
div v   Dw 
rot v 
6 D 1   
10G h
6D
qz 
5G h
 v
x, y
 m
xx , xx
 m yy , yy    qz
 v y , x   
(5.120)
(5.121)
ergeben; diese beschreiben das Verhalten schubsteifer Platten vollumfänglich. Weiter lässt sich
(5.121) mit (5.112) und unter der Beachtung von rot   rot  in Funktion der Schubwinkel gemäss
rot v 
D 1   
ausdrücken.
112
2
rot  
D 1   
2
  rot    
(5.122)
Plattensegmente
Es sind dabei folgende Bemerkungen anzubringen: Die in den Beziehungen (5.115) - (5.120)
auftretenden Momentenbeiträge m xx  m xx  qz h 2 10 1     resultieren aus der Krafteinleitung in vertikaler Richtung. Sie sind der Vollständigkeit halber aufgeführt, nehmen jedoch bei der
hier zu behandelnden Fragestellung eine untergeordnete Rolle ein. Wichtiger ist, dass mit einer konstanten Belastung qz = const die beiden partiellen Differentialgleichungen (5.120) und (5.122) entkoppelt betrachtet werden können; nur die dazugehörigen Lösungen sind in den Randbedingungen
miteinander verknüpft, sofern man die Wirbeldichte als äussere Belastung auffasst. Somit lassen
sich mit den damit einhergehenden, verschwindenden Momentenbeiträgen m xx und m yy in
(5.120) die bekannten Lösungen der schubstarren Platte bis auf die Randbedingungen auf (5.120)
übertragen. Ferner ist der wirbelbehaftete Anteil der Querkraft einzig der Schubtragwirkung und
somit dem Plattenkern zuzuordnen, was nachfolgend den Ausgangspunkt zur Beantwortung der
noch offen stehenden Frage nach der plastischen Verträglichkeit von Wirbeln im Querkraftfeld
schubstarrer Platten markiert.
Die Momente in (5.115) - (5.117) lassen sich ohne Verknüpfung mit der verallgemeinerten
Stoffgleichung der Querkraft zunächst auch in Funktion der Verformung w sowie der
Schubwinkel x respektive y gemäss
mxx   D  w, xx   w, yy   D   x , x    y , y  
 m xx 
(5.123)
m yy   D  w, yy   w, xx   D   y , y    x , x  
 m 
(5.124)
mxy   D 1    w, xy 
D 1   
2

x, y
  y,x 
yy
(5.125)
ausdrücken. In dieser Formulierung fällt die auf den Schubwinkel x respektive y angewendete
Ableitung ins Auge, welche zusammenfassend den Komponenten des auf den Schubwinkelvektors  angewendeten Gradienten entsprechen und am Plattenelement in Bild 5.15 (c) die infinitesimale Änderungen dieser Winkel darstellen. Der aus diesen Komponenten resultierende Tensor
zweiter Stufe ist im Allgemeinen nicht symmetrisch, was jedoch die Darstellung mit einem Mohrschen Kreis nicht beeinträchtigt. Dieser bildet die Transformation beliebiger Tensoren zweiter
Stufe ab, auch von solchen mit nicht symmetrischem Charakter, wie sich dies anhand von
Bild 5.15 (d) aufzeigen lässt. Dabei stellen die Koordinaten des Kreismittelpunkts die skalierte, auf
die Querkraft angewendete Divergenz respektive Rotation dar. Die Eigenwerte des Tensors sind
weiterhin durch die Schnittpunkte des Kreises mit der Abszisse gegeben, wobei sie im Unterschied
zum symmetrischen Fall nun auch imaginäre Werte annehmen können. Ebenso sind die dazugehörigen Eigenvektoren in den entsprechenden Drehungen um den Pol zu den Eigenwerten wiederzufinden.
Der in Bild 5.15 (d) dargestellte Verformungszustand lässt sich mit den vier in Bild 5.15 (e)
separierten Verformungsanteilen an der Plattenscheibe z = +h/2 erklären. Die ersten beiden Anteile
beschreiben die möglichen Starrkörperverformungen (Translation und Rotation), wobei in der Darstellung mit dem Mohrschen Kreis nur die Rotation durch eine Verschiebung in Ordinatenrichtung
sichtbar wird. Demgegenüber stehen die gesamten Verzerrungen der Scheibe, welche sich mittels
Volumen- und Gestaltänderungsanteilen aufspalten lassen. Wegen des symmetrischen Charakters
muss der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises in beiden Fällen auf der Abszisse liegen; bei reiner
Gestaltänderung fällt er mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen.
Für die angestrebte kinematische Interpretation der Wirbeldichte ist aus den gesamten Verzerrungen der Rotationsanteil einzeln auszusondern, was sich im Fall von infinitesimalen Verformun113
Querkraftfluss in Plattensegmenten
gen mit der additiven Dekomposition bewerkstelligen lässt. Hierfür sind die in Bild 5.15 (c) dargestellten Schubwinkeländerungen als Winkel

 x   y,x
1
2
h
,

 y   x, y
1
2
h
(5.126)
in der Scheibe z = +h/2 zu definieren und in Bild 5.16 (a) darzustellen. Gleichermassen kann für
eine Scheibe z = -h/2 vorgegangen werden. Mit der angesprochenen Dekomposition lässt sich der
isochore Anteil (reine Gestaltänderung) von der reinen Rotation gemäss

  
 rot  1 2   x   y   1 2   y , x   x , y  1 2 h


(5.127)

  
 Schub  1 2   x   y   1 2   y , x   x , y  1 2 h


(5.128)
trennen, welcher üblicherweise für die Bestimmung der Schubspannungen einer Scheibe von Interesse ist. Dagegen wird der Rotation normalerweise wenig Bedeutung zugemessen, da diese als
Starrkörperverformung keine Spannungen verursachen soll. Im vorliegenden Fall mit der Modellvorstellung einer aus Scheiben zusammengesetzten Platte resultieren jedoch aus der, über die Plattendicke linear veränderlichen Rotation trotzdem Schubspannungen, was anhand der in den
Bildern 5.16 (a) und (b) dargestellten Verformung der beiden Scheiben z = +/- h/2 einleuchten
muss.
Das gleiche Vorgehen kann auf die Verformung w übertragen werden, woraus die Darstellungen
der beiden Scheiben in den Bildern 5.16 (c) und (d) resultieren. Die Rotation einer Scheibe muss
dabei gemäss

rot  1 2  w, yx  w, xy   0
(5.129)
immer verschwinden, sofern nach dem Satz von Schwartz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen keine Rolle spielt. Dieses Resultat führt unter Vernachlässigung der Schubverformungen zu der
bereits in Kapitel 3.2 gemachten Feststellung, dass das Querkraftfeld der schubstarren, elastischen
Platte wirbelfrei ist. Im Fall der schubsteifen Platte sind dagegen die Verformungsanteile für die
Scheiben z = +h/2 aus den Bildern 5.16 (a) und (c) respektive für z = -h/2 aus (b) und (d) zu überlagern.
Obschon der Rotationsanteil einer Scheibe eine reine Starrkörperverformung darstellt, resultieren daraus mit der Betrachtung über die Plattendicke Verzerrungen, welche sich aus den einzelnen
Rotationsanteilen der Scheiben zu dem in Bild 5.16 (e) dargestellten Verformungsbild formieren.
Aus den Stoffgleichungen der verallgemeinerten Querkraft sowie der auf die Querkraft angewendeten Rotation folgt die Beziehung
rot v 
5G h
rot    0, 0,   
6
(5.130)
welche zusammen mit der Darstellung in Bild 5.16 (e) als verallgemeinertes Stoffgesetz der Wirbeldichte bezeichnet werden kann. Dieses lässt sich folgendermassen interpretieren: Die
Wirbeldichte  greift paarweise als verteiltes Moment um die z-Achse in entgegengesetzter Richtung an und verursacht dabei eine Verdrillung des Plattenkerns, welche zum dargestellten Verformungsbild führt. Bei der Theorie der schubsteifen Platte ist eine solche Verdrillung des Plattenkerns
nur unter Einhaltung der zweiten partiellen Differentialgleichung gemäss (5.121) respektive (5.122)
elastisch verträglich.
Aus der Grenzwertbetrachtung Gav   reduziert sich das Differentialgleichungssystem
bestehend aus (5.120) und (5.121) auf den Spezialfall der schubstarren Platte in Form einer partiel114
Plattensegmente
Bild 5.16: Plattenkern des Sandwichmodells: (a) Schubwinkeländerungen der Scheiben z = +h/2;
(b) Schubwinkeländerungen der Scheiben z = -h/2; (c) Änderungen der Rotationswinkel infolge der Verformung w der Scheiben z = +h/2; (d) Änderungen der Rotationswinkel infolge der Verformung w der Scheibe z = -h/2; (e) der Wirbeldichte 
entsprechendes Verformungsbild; (f) Stoffgleichung der Querkraft nach der Theorie
schubsteifer respektive schubstarrer Platten.
115
Querkraftfluss in Plattensegmenten
len Differentialgleichung gemäss (2.105), welche die in Bild 5.16 (e) dargestellte Verformung wie
auch die damit einhergehenden, elastisch verträglichen Wirbel im Querkraftfeld nicht mehr zulässt.
Die Querkraft kann dabei nur noch über die Gleichgewichtsbedingung (5.69) bestimmt werden; der
übliche Weg über die verallgemeinerten Stoffgleichungen ist mit der Grenzwertbetrachtung in
(5.112) gemäss
lim  
G av 
1
v0
G av
(5.131)
nicht mehr zielführend, wie dies die beiden Darstellungen in Bild 5.16 (f) verdeutlichen. Die initial
eigenspannungsfreie, schubstarre Platte muss somit wirbelfrei sein. Dies lässt sich ebenfalls mit der
auf (5.130) angewendeten Grenzwertbetrachtung von (5.131) gemäss
lim
G av 
rot v
 rot   0
G av
(5.132)
zeigen.
Die Beziehung (5.132) lässt sich nun auch zum Aufzeigen der Existenz plastisch verträglicher
Wirbel zu Nutze machen. Durch die Grenzwertbildung in (5.132) muss nämlich lediglich die auf
den Schubwinkelvektor angewendete Rotation verschwinden; die auf die Querkraft angewendete
Rotation kann dabei ähnlich zu (5.131) einen beliebigen Wert annehmen. Ein
Eigenspannungszustand v h1 lässt sich somit in einer schubstarren Platte wie folgt einprägen: Die
schubstarre Platte weist im initial eigenspannungsfreien Zustand keine Wirbel auf. Infolge des
monotonen Laststeigerungsprozesses werden fortlaufend an verschiedenen geometrischen Orten in
der Platte die Momente durch die Normalmomenten-Fliessbedingung begrenzt, was beim Fortsetzen der Laststeigerung zwingend zum Einprägen eines Eigenspannungszustandes führt. Ein Eigenspannungszustand des Typs v h1 entsteht dabei durch Momente, welche gemäss (2.81) dem Querkraftfeld Wirbel aufzwingen. Diese Wirbelfelder entstehen somit durch Kombination der
Plattenmomente mit der vorhandenen Begrenzung in Form der Normalmomenten-Fliessbedingung
und weisen deshalb mit (5.132) plastisch verträglichen Charakter auf, womit die in Kapitel 4.2 aufgestellte Hypothese bestätigt ist.
5.5.5
Orthotrop bzw. schief bewehrtes Trapezsegment
Die Entkopplung des Kraftflusses in Form von Lastscheiden der Fliessregime I bis III (ohne Fächer
und Fliessregionen) und die Separierung der verschiedenen Eigenspannungszustände sowie deren
Beschreibung in der allgemeinsten Form bilden zusammen mit den in Kapitel 2 aufbereiteten
Grundlagen die Basis, um eine vollständige Lösung für das in Bild 5.17 (a) dargestellte orthotrop
beziehungsweise schief bewehrte Trapezsegment zu entwickeln.
Hierzu ist folgende Bemerkung für die Steuerung des Kraftflusses hilfreich. Ein radial verlaufender Kraftfluss lässt sich mit Hilfe der Hauptquerkraftrichtung (2.89) sowie der polaren Darstellung durch die Bedingung
tan 0 
vy
vx

y
x
(5.133)
definieren. Aus (5.133) lassen sich beliebige, radial verlaufende Querkraftfelder generieren und mit
der darauf angewendeten Divergenz respektive Rotation dem entsprechenden Eigenspannungszustand oder der partikulären Lösung zuordnen. Dies ist für eine Auswahl von Querkraftfeldern in
Tabelle 5.1 aufgezeigt. Als Ausgangsfunktionen stellen die in Spalte 1 dargestellten Funktionsargumente x und y Querkraftkomponenten dar, welche wegen der nicht verschwindenden Divergenz der partikulären Lösung zugehörig sind. Mittels Multiplikation beziehungsweise Division mit
116
Plattensegmente
einem Funktionsargument lassen sich daraus die Spalten 2 bis 6 generieren, wovon mit Ausnahme
von Spalte 2 alle dem Eigenspannungszustand Typ v h1 angehören. Dieser Schritt kann auch mit
einem beliebigen Term vollzogen werden, wie zum Beispiel mit dem Term 1  x 2  y 2  in Spalte 7.
Bei dem so generierten Querkraftfeld verschwindet sowohl die Divergenz als auch die Rotation,
womit der Eigenspannungszustand dem Typ v h2 entspricht; zudem besteht mit der Quellen- respektive Senkenströmung aus Bild 4.3 (b) eine Analogie zur Fluidmechanik.
4
6
2
3
vx
x
1
1
x
x
y2
yn
x n 1
x n 1
y n2
x
x  y2
vy
y
y
x
y
x2
1
y
y n 1
xn2
xn
y n 1
y
x  y2
div v 2
1
x
0
rot v 0
y
 2
x
2 y 2x
 3
x y3
0
5
7
1
2
0
0

2

y n 1 n  x 2  y 2   2 y 2
x
n3

0

x n 1 n  x 2  y 2   2 x 2
y
n3

0
Tabelle 5.1: Beispiele für Querkraftfelder mit radial verlaufendem Kraftfluss.
Die Ausführungen zum radial verlaufenden Kraftfluss sind als weitere Konstruktionshilfe zu
sehen, womit in der Folge für das Trapezsegment ein statisch zulässiger Spannungszustand kreiert
werden soll; dieser soll wenn möglich zur vollständigen Lösung gehören. Hierzu sind durch
geschickte Wahl Ansatzfunktionen für die Momente zu wählen, welche den möglichen Kraftfluss
sowie die übrigen Randbedingungen nicht von vornherein offensichtlich verletzen und der nachfolgenden Prüfung aller Bedingungen standhalten. Im besten Fall führt dies auf den zur vollständigen
Lösung gehörenden, statisch zulässigen Spannungszustand.
Das in Bild 5.17 (a) und (b) dargestellte Trapezsegment weist eine gleichmässig orthotrope
beziehungsweise schiefe Bewehrung auf und ist an der grösseren Grundlinie einfach gelagert. Die
übrigen Kanten stellen Fliessgelenklinien und demzufolge Lastscheiden dar, womit die aus der
gleichmässigen Belastung qu resultierende Querkraft v nur zum Linienauflager fliessen kann. Der
Kraftfluss muss dabei nicht zwingend radial verlaufen; im vorliegenden Fall weist er jedoch radialen Charakter auf. Das Koordinatensystem hat den Ursprung im Schnittpunkt der beiden Flanken,
und die x-Richtung ist senkrecht zu den Grundlinien. Daraus leiten sich die in den Bildern 5.17 (a)
und (b) dargestellten Abmessungen ab.
117
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Die Ansatzfunktionen
1
mxx   qu x 2  0
6
 C5
1
 C1
x
(5.134)
1
1
y2
m yy   qu y 2  qu C4 a 2 2
6
2
x
 C5
y2
 C2
x3
(5.135)
1
1
y
m xy   qu xy  qu C4 a 2
6
2
x
 C5
y
 C3
x2
(5.136)
setzen sich aufgrund des Kraftflusses aus einem partikulären Anteil und den in Kapitel 5.5.2 und
5.5.4 eingeführten Eigenspannungszuständen sowie einer Konstanten zusammen. Sie stellen eine
vereinfachte Form der in [52] verwendeten Ansatzfunktionen dar, welche dort lediglich als statisch
zulässiger Spannungszustand Verwendung finden. Zudem weisen sie Ähnlichkeit zu den Ansatzfunktionen in [64] auf, welche die vollständige Lösung für das isotrop bewehrte Trapezsegment
beschreiben.
Anwenden der Gleichgewichtsbedingungen (2.80) und (2.81) auf (5.134) bis (5.136) führt auf
die Querkraftkomponenten
1
1
1
vx   qu x  qu C4 a 2
2
2
x

0
1
1
y
v y   qu y  qu C4 a 2 2
x
2
2



0

vp
v h1
m
(5.137)
(5.138)
h
welche den eingangs angenommen radialen Charakter gemäss (5.133) aufweisen, sowie auf die
Belastung
div v   qz  qu
(5.139)
Mit diesen Schritten ist gezeigt, dass mit den gewählten Ansatzfunktionen für die Momente
(5.134) - (5.136) ein statisch zulässiger Spannungszustand im Platteninnern vorliegt und der dazugehörige Querkraftfluss gemäss (5.137) und (5.138) mit den dreiseitigen Lastscheiden des Trapezsegments verträglich ist; die Randbedingungen sind bezüglich der Querkraft in allen Punkten
erfüllt.
An den Rändern des Schnittkörpers in Bild 5.17 (b) müssen sich neben der Querkraft auch die
Schnittmomente im Gleichgewicht befinden. Dafür muss an den drei Seiten durch die ausgebildeten
Fliessgelenklinien zwingend die Fliessbedingung erfüllt sein, und die damit verträgliche kinematische Diskontinuitätslinie muss in Richtung der Schnittkante zeigen. Beim Linienauflager hat dagegen nur das gleichgerichtete Biegemoment mxx zu verschwinden. Die Überprüfung erfolgt zweckmässigerweise in polarer Darstellung, wofür die folgenden Grössen hilfreich sind:

sin 2   sin 2 atan

y
y2


x  x2  y 2
(5.140)

cos 2   cos 2 atan

y
x2


x  x2  y2
(5.141)
sin  cos  
118
xy
x  y2
2
(5.142)
Plattensegmente
Bild 5.17: Entwicklung der vollständigen Lösung für ausgewählte Plattensegmente:
(a) (b) Trapezsegment in axonometrischer und planarer Darstellung; (c) Mohrscher
Kreis des Biegewiderstandes; (d) (e) Dreiecksegment in axonometrischer und planarer
Darstellung.
119
Querkraftfluss in Plattensegmenten
An den Flanken resultiert aus den Ansatzfunktionen (5.134) - (5.136) mit Hilfe der Transformationsregeln (2.90) und (2.91) sowie den Hilfsgrössen (5.140) - (5.142) das zur Schnittkante gleichgerichtete Biegemoment
1


mtt   C1  qu C4 a 2  sin 2   C2 cos 2   2C3 sin  cos 
2


(5.143)
sowie das Drillmoment

1


mnt   C2   C1  qu C4 a 2   sin  cos   C3  cos 2   sin 2  
2



(5.144)
Wegen der Wahl der Ansatzfunktionen hängen die beiden Schnittmomente nur vom
Richtungswinkel  ab und weisen zu den Transformationsgleichungen (2.90) und (2.91) ähnlichen
Charakter auf.
Erweitert man das infinitesimale Plattenelement der orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte in
Bild 2.8 (b) mit einem Drillmomentenwiderstand mxyu, so ergeben sich die Widerstände
mttu  mxu sin 2   m yu cos 2   2mxyu sin  cos 
(5.145)
mntu   m yu  mxu  sin  cos   mxyu  cos 2   sin 2  
(5.146)
in Abhängigkeit des Richtungswinkels , was eine Beschreibung der Biegewiderstände resultierend aus orthotroper Bewehrung mit beliebiger Ausrichtung respektive ganz allgemein aus schiefer
Bewehrung ermöglicht, siehe hierzu die Ausführungen in Kapitel 2.3. Der Vergleich mit (5.143)
und (5.144) führt auf die Bestimmungsgleichungen
1
mxu  C1  qu C4 a 2
2
(5.147)
m yu  C2
(5.148)
mxyu  C3
(5.149)
welche sich mit dem Mohrschen Kreis in Bild 5.17 (c) darstellen lassen. Die Schnittmomente
(5.143) und (5.144) erfüllen neben den Schnittkanten die Gleichgewichtsbedingungen in jedem
Punkt des Trapezsegments, was in Kombination mit den drei Identitäten (5.147) - (5.149) vermuten
lässt, dass die Normalmomenten-Fliessbedingung in jedem Punkt erfüllt wird. Dazu ist die mit
(2.113) für orthotrope Biegewiderstände hergeleitete Normalmomenten-Fliessbedingung durch den
Drillmomentwiderstand mxyu zu erweitern:
m
 mxy    mxu  mxx   m yu  m yy 
2
xyu
(5.150)
Setzt man die zum statisch zulässigen Spannungszustand gehörenden Ansatzfunktionen (5.143)
und (5.144) sowie die Identitäten für die Biegewiderstände gemäss (5.147) - (5.149) in (5.150) ein,
wird ersichtlich, dass jeder Punkt des Trapezsegments die erweiterte Normalmomenten-Fliessbedingung erfüllt. Das heisst, dass in Bezug auf das Trapezsegment in Bild 5.17 (b) die orthotrope
beziehungsweise schiefe Bewehrung eine beliebige Ausrichtung aufweisen kann, was sich nur in
den Koeffizienten der drei Bestimmungsgleichungen niederschlägt; die Normalmomenten-Fliessbedingung bleibt für alle Punkte immer erfüllt.
Mit den Bestimmungsgleichungen (5.148) und (5.149) sind C2 und C3 gegeben. Somit sind
neben der Traglast qu noch die Koeffizienten C1, C4 und C5 zu bestimmen, was unter Berücksichti120
Plattensegmente
gung von (5.147) drei weitere Bedingungen erfordert. Zusätzliche Bedingungen lassen sich hierfür
an den beiden Grundlinien aufstellen. Für x = a und alle y gilt
mxx  a, y   mxu
(5.151)
mxy  a, y   mxyu
(5.152)
Diese Beziehungen sind linear abhängig und reduzieren sich auf
1
1
1
 qu a 2  qu C4 a 2  C5  0
6
2
a
(5.153)
Entlang von x = l ist mxx  0 , was auf eine weitere Bestimmungsgleichung
1
1
1
mxx  l    qu l 2  C5  mxu  qu C4 a 2  0
6
l
2
(5.154)
führt. Die Koeffizienten C1, C4 und C5 lassen sich mit den drei Bestimmungsgleichungen (5.147),
(5.153) und (5.154) in Funktion der Traglast qu auflösen und wie folgt darstellen:
1
a
C1  qu  l 2  al  a 2   mxu
6
l a
(5.155)
C4 
m
1 2
2l
l  al  a 2   xu2
2 
3a
qu a l  a
(5.156)
C5 
al 
1
2
2 
 mxu  qu  l  a  
l a
6

(5.157)
Die Traglast qu lässt sich mit der Momentenbedingung um das Linienlager in Bild 5.17 (b)
bestimmen. Mit der Trapezfläche
b 2
l  a2 
2a
A
(5.158)
und dem dazugehörigen Schwerpunktsabstand
s
l  a l  2a

la
3
(5.159)
von x = l resultiert
M qu  qu A s  qu
b
2
 l  a   l  2a 
6a
(5.160)
Die Schnittmomente lassen sich zu
1
l

 l
M m   C1  qu C4 a 2  b  mxu b
a
2

 a
(5.161)
zusammenfassen. Gleichsetzen der Ausdrücke (5.160) und (5.161) liefert die Traglast
qu 
6l
 l  a   l  2a 
2
mxu
(5.162)
121
Querkraftfluss in Plattensegmenten
Bemerkenswert ist, dass neben den Abmessungen l und a nur der Biegewiderstand mxu in die
Berechnung der Traglast qu eingeht, obschon eine orthotrope beziehungsweise schiefe Bewehrung
mit beliebiger Ausrichtung vorliegt.
Mit der nun vorliegenden Traglast qu lassen sich abschliessend alle Koeffizienten (insbesondere
C1, C4 und C5) entkoppelt in Funktion der Abmessungen l und a sowie des Biegewiderstands mxu
gemäss
C1 
2a 3  l 3
 l  a   l  2a 
2
(5.163)
mxu
C2  m yu
(5.164)
C3  mxyu
(5.165)
C4  1
(5.166)
C5  
2a 3l
 l  a   l  2a 
2
(5.167)
mxu
angeben und auf die eingangs aufgestellten Ansatzfunktionen der Momente gemäss
mxx 
x  2a 3  l 3   l  2a 3  x 3 
x  l  a   l  2a 
2
(5.168)
mxu
y 2 l  x  a   x  2a 
m yy  m yu  3
mxu
x  l  a  2  l  2a 
(5.169)
y l  x  a   x  2a 
mxu
 2
x  l  a  2  l  2a 
(5.170)
2
2
mxy  mxyu
übertragen.
Die mit (5.168) - (5.170) gewonnenen Komponenten des Momententensors entsprechen der
vollständigen Lösung für ein gleichmässig belastetes Trapezsegment mit orthotroper beziehungsweise schiefer Bewehrung unter beliebiger Ausrichtung, vorausgesetzt, dass die negativen Biegewiderstände nicht limitierend wirken. Das heisst, dass im vorliegenden Fall von positiven Fliessgelenklinien vor allem in den Eckbereichen eine obere Bewehrung notwendig ist. Der benötigte
negative Biegewiderstand lässt sich mit den Ansatzfunktionen (5.168) - (5.170) sowie der negativen Normalmomenten-Fliessbedingung ermitteln, welche sich aus (2.114) durch Erweitern mit dem
negativen Drillmomentenwiderstand mxyu gemäss
 m
xyu
 mxy
   m
2
xu
 mxx
 m
yu
 m yy

(5.171)
ableiten lässt. Um die maximal benötigten negativen Biegewiderstände zu erhalten, ist nur der
Schnittpunkt der längeren Flanke mit dem Linienauflager zu untersuchen. Durch Zusammenführen
von (5.168) - (5.170) und (5.171) folgt
2

y
y2 

 mxyu ,tot  mxu   mxu  m yu ,tot  mxu 2 
l
l 


122
(5.172)
Plattensegmente
Mit tan   y l erhält man daraus die Bedingung
tan  
mxu mxyu ,tot  mxu mxu  mxu ,tot m yu ,tot  mxyu ,tot 2 
mxu mxu ,tot
(5.173)
für die Winkel der Flanken. Weiter müssen die Biegemomente die zugeordneten Bedingungen
mxu  mxx  0 beziehungsweise myu  m yy  0 erfüllen. (5.173) reduziert sich im isotropen Fall auf
die bereits in [64] wiedergegebene Bedingung
tan  
mxu
mxu
(5.174)
Falls die negativen Biegewiderstände die Lösung begrenzen sollten, ist der vorliegende Mechanismus mit geraden kinematischen Diskontinuitätslinien nicht zielführend. In diesem Fall tritt
wahrscheinlich eine Kombination aus Fächer und Fliessregion auf, was die Komplexität insbesondere bei orthotrop bewehrten Stahlbetonplatten erheblich steigert. Hierzu wären auf der Basis der
Ausführungen in Kapitel 5.4 die Grundlagen zu erweitern, um für derartige Fälle vollständige
Lösungen generieren zu können.
Für den isotropen Fall reduziert sich der Mohrsche Kreis in Bild 5.17 (c) zu einem Punkt, was
dazu führt, dass in den Ansatzfunktionen der Drillmomentenwiderstand mxyu verschwindet und die
beiden Biegewiderstände durch mu substituiert werden können. Dieser Fall ist bereits in [64] aufgeführt und findet in [57] Verwendung.
5.5.6
Orthotrop bzw. schief bewehrtes Dreiecksegment
Die vollständige Lösung für das Dreiecksegment in den Bildern 5.17 (d) und (e) mit orthotroper
beziehungsweise schiefer Bewehrung unter beliebiger Ausrichtung lässt sich als Spezialfall der
Lösung für das Trapezsegment ableiten. Mit der Grenzwertbetrachtung a  0 folgen aus (5.168) (5.170) die Komponenten des Momententensors
1
mxx  mxu  qu x 2
6
(5.175)
1
m yy  m yu  qu y 2
6
(5.176)
1
mxy  mxyu  qu xy
6
(5.177)
sowie aus (5.162) die Traglast
qu 
6mxu
l2
(5.178)
Die Problematik des erforderlichen negativen Biegewiderstands bleibt bestehen und kann wie
oben diskutiert behandelt werden. Die Transformation in Bild 5.17 (c) der orthtropen beziehungsweise schiefen Bewehrung unter beliebiger Ausrichtung kann dabei weiterhin verwendet werden;
für den isotropen Fall reduziert sich der Mohrsche Kreis wiederum auf einen Punkt. Die sich daraus
ergebende Lösung ist ebenfalls in [64] aufgeführt und findet in [57] Verwendung.
123
124
6
Anwendungsbeispiele
6.1
Einleitung
Mit den Ausführungen der Kapitel 2 bis 5 ist es möglich, vollständige Lösungen ausgewählter Plattenbeispiele zu generieren, die eine gleichmässig orthotrope beziehungsweise schiefe Bewehrung
aufweisen.
Hierzu sind rekapitulierend die gewonnenen Erkenntnisse nochmals in Erinnerung zu rufen. In
Kapitel 4.2 und 4.3 wurde gezeigt, dass dem Fliessregime III zugeordnete kinematische Diskontinuitätslinien keine Drillmomentensprünge zulassen und keinen transversalen Querkraftfluss aufweisen. Treffen sich bezüglich des plastischen Krümmungsinkrements im Vorzeichen gleiche kinematische Diskontinuitätslinien in einem Punkt, so muss nach den Ausführungen in Kapitel 5.2.2 der
Querkraftübertrag ebenfalls verschwinden. Die den Fliessregimes I und III zugeordneten plastischen Krümmungsinkremente treten somit als Lastscheiden in Erscheinung. Die kinematischen
Diskontinuitätslinien lassen sich mit Blick auf den zur vollständigen Lösung gehörenden Mechanismus als Begrenzung des Kraftflusses auffassen, was sich bei den in Kapitel 5.5.5 und 5.5.6 entwickelten vollständigen Lösungen in den entsprechenden Randbedingungen niederschlug.
Die bezüglich der Fliessregionen in Kapitel 5.4 nicht zu Ende geführte Diskussion des Kraftflusses erfordert bei der Definition der Beispiele die folgende Einschränkung: Damit die vollständige
Lösung gefunden werden kann, kommen lediglich Beispiele infrage, welche ausschliesslich plastische Krümmungsinkremente des Fliessregimes I und III aufweisen; solche der Fliessregionen
(Fliessregime II) dürfen nicht vorkommen. Wie später gezeigt werden kann, erfordert dies in den
Eckbereichen einfach gelagerter Platten negative Biegewiderstände. Die dafür erforderliche obere
Bewehrung hat auf die Bestimmung der positiven Biegewiderstände minimalen Einfluss und wird
bei der Ermittlung der Traglast vernachlässigt. Das heisst, dass bezüglich des vorliegenden Mechanismus nur positive oder negative Fliessgelenklinien auftreten; die aus dem statisch zulässigen
Spannungszustand erforderlichen negativen beziehungsweise positiven Biegewiderstände wirken
nicht limitierend.
Weitere Einschränkungen hinsichtlich der behandelbaren Plattenprobleme leiten sich aus den in
Kapitel 5.5.5 und 5.5.6 behandelten Plattensegmenten ab. Die aus dem Mechanismus sich ergebenden starren Plattenteile müssen den beschriebenen Grundformen des Trapezes respektive des Dreiecks mit den dazugehörigen Randbedingungen entsprechen. Dabei kann die Bewehrung beliebig
gewählt werden; sie muss lediglich gleichmässigen Charakter aufweisen.
Sind alle oben aufgeführten Voraussetzungen erfüllt, lässt sich für das Finden der vollständigen
Lösung das vom Balken etablierte Vorgehen auf die Platte übertragen, indem ausgehend von einer
Mechanismuskonfiguration in einem ersten Schritt der dazugehörige obere Grenzwert der Traglast
minimiert wird. Die sich daraus ergebenden starren Plattenteile müssen mit den beiden Grundformen abgedeckt werden können. Im zweiten Schritt erfolgt mittels der in den Kapiteln 5.5.5 und
5.5.6 hergeleiteten vollständigen Lösungen der beiden Plattensegmente die Plastizitätskontrolle,
125
Anwendungsbeispiele
wonach die daraus sich ergebenden Traglasten dem Minimum des oberen Grenzwertes entsprechen
müssen. Ist dies der Fall, so liegt nach dem Verträglichkeitssatz der Plastizitätstheorie die vollständige Lösung vor. Mit dem dazugehörigen Spannungszustand lassen sich abschliessend die erforderlichen negativen Biegewiderstände ermitteln.
Druckfestigkeit des Betons (Bemessungswert)
fcd = 20 N/mm2
Fliessspannung des Betonstahls (Bemessungswert)
fsd = 435 N/mm2
Untere Bewehrungslage in x-Richtung
(Verteilbewehrung)
12, e = 200 mm;
as = 565 mm2/m
Untere Bewehrungslage in y-Richtung
(Hauptbewehrung)
14/16, e = 150 mm;
as = 1183 mm2/m
Plattenbreite
b = 7.0 m
Plattendicke
h = 250 mm
Tabelle 6.1:
Gleichbleibende Parameter der drei Beispiele.
Die drei in der Folge behandelten Beispiele unterscheiden sich lediglich durch leichte Modifikationen in der Form des Grundrisses beziehungsweise in der Ausrichtung der Bewehrungsanordnung. Die Gemeinsamkeiten bilden die Wahl der Bemessungswerte der Festigkeitsgrenzen, die
Bewehrungsmengen sowie die Abmessungen der Plattendicke h und der Breite b, welche zusammengefasst der Tabelle 6.1 zu entnehmen sind. Daraus ergeben sich mit den üblichen Überdeckungen die Biegewiderstände mxud = 50 kN und myud = 100 kN, bei welchen nachfolgend auf den Index
d verzichtet wird. Weiter sind alle drei Platten entlang ihrer Kanten einfach gelagert und weisen eine
gleichmässige Belastung qz auf, welche durch monotone Laststeigerung zur gesuchten Traglast qu
führt.
126
Rechteckplatte mit orthotroper Bewehrung
6.2
Rechteckplatte mit orthotroper Bewehrung
Das erste Beispiel behandelt die in Bild 6.1 (a) dargestellte Reckteckplatte mit der Länge l = 10.5 m
und der Breite b = 7.0 m. Aus der vorgegebenen Bewehrung leiten sich die Biegewiderstände
mxu = 50 kN und myu = 100 kN ab, welche wegen ihrer Orthogonalität den Hauptbiegewiderständen
des in den Bildern 6.1 (d) und (f) dargestellten Mohrschen Kreises entsprechen.
Für den in Bild 6.1 (b) dargestellten Mechanismus mit der noch zu bestimmenden Länge a lässt
sich mit Hilfe der beiden plastischen Rotationswinkel
 
w
,
a
2w
 
b
(6.1)
gemäss (2.131) die totale Dissipationsleistung
b
2l 

D  2w  mxu  m yu 
a
b

(6.2)
bestimmen, was durch Gleichsetzen mit der gesamten mechanischen Leistung
1 
1
W  qkin w  bl  ab 
3 
2
(6.3)
auf den oberen Grenzwert der Traglast
qkin ( a)  12
b
2l
 m yu
a
b
3bl  2ab
mxu
(6.4)
führt. Für den so vorliegenden oberen Grenzwert stellt sich in Abhängigkeit des Quotienten aus den
beiden Biegewiderständen   m yu mxu sowie der Abmessungen ein Minimum für die Länge
a  
b

b2  3  l 2  b
2l

(6.5)
ein. Für das in Bild 6.1 (a) dargestellte Beispiel ergibt sich aus (6.5) mit den konkreten Werten die
Länge a = 3.276 m, was mit (6.4) auf den minimalen oberen Grenzwert qkin,min = 27.96 kN/m2 führt.
Mit der kinematischen Methode und der ausgeführten Minimierung liegt eine Mechanismuskonfiguration vor, deren Zugehörigkeit zur vollständigen Lösung zu überprüfen ist. Hierzu sind die
starren Plattensegmente vom Mechanismus herauszutrennen und einzeln zu untersuchen, siehe
dazu die Bilder 6.1 (c) und (e). Liegt die vollständige Lösung vor, müssen die Schnittgrössen an den
einzelnen Plattensegmenten die Normalmomenten-Fliessbedingung erfüllen und die Richtungen
der kinematischen Diskontinuitätslinie mit denjenigen der Schnittkanten übereinstimmen. Weiter
stellen die kinematischen Diskontinuitätslinien Lastscheiden dar, womit alle Schnittgrössen gegeben sind. Die Schnittmomente lassen sich hierbei als transformierte Grössen aus dem jeweiligen
Mohrschen Kreis der Biegewiderstände in Bild 6.1 (d) respektive (f) entnehmen. Mit den in
Kapitel 5.5.5 und 5.5.6 entwickelten vollständigen Lösungen für das Trapez- respektive das Dreiecksegment lässt sich die dazugehörige Traglast bestimmen und mit dem minimalen oberen Grenzwert der Traglast qkin vergleichen. Für das in Bild 6.1 (c) dargestellte Dreiecksegment folgt mit den
konkreten Werten a =3.276 m sowie dem Biegewiderstand mxu = 50 kN gemäss (5.178) die Traglast qu = 27.96 kN/m2. Gleichermassen kann für das in Bild 6.1 (e) dargestellte Trapezsegment vorgegangen werden; mit den Abmessungen ymax = 5.60 m und ymax-b/2 = 2.10 m sowie dem Biegewiderstand myu = 100 kN ergibt sich gemäss (5.162) eine Traglast von qu = 27.96 kN/m2. Dabei ist bei
127
Anwendungsbeispiele
der Bestimmung der Traglasten gemäss (5.162) und (5.178) auf das Koordinatensystem zu achten,
damit in Bezug auf den Index der korrekte Biegewiderstand verwendet wird.
Der abschliessende Vergleich des minimierten oberen Grenzwertes der Traglast qkin mit den
Traglasten der beiden Plattensegmente führt gemäss dem Verträglichkeitssatz der Plastizitätstheorie dazu, dass die vollständige Lösung vorliegt. Das heisst, dass der in Bild 6.1 (b) dargestellte
Mechanismus mit dem aus den dazugehörenden Grössen sich ergebenden Spannungszustand des
Trapezsegments gemäss (5.168) - (5.170) respektive mit demjenigen des Dreiecksegments gemäss
(5.175) - (5.177) verträglich ist.
Somit können abschliessend die erforderlichen negativen Biegewiderstände ermittelt werden.
Für die Bestimmung des Maximalwerts ist hierzu die entfernteste Ecke mit den aus (5.168) (5.170) respektive aus (5.175) - (5.177) folgenden Momenten
mxx  x  l , y   0
(6.6)
m yy  x  l , y   m yu 
y2
mxu
l2
(6.7)
mxy  x  l , y   mxyu 
y
mxu
l
(6.8)
zu untersuchen, welche für beide Plattensegmente ihre Gültigkeit haben. Für das Dreiecksegment
ist dieser Spannungszustand mit der Bezeichnung P1 als Mohrscher Kreis in Bild 6.1 (d) wiedergegeben. Es bietet sich an, in einem ersten Schritt die erforderlichen negativen Biegewiderstände mit
den üblicherweise verwendeten Bemessungsmomenten
mxu   mxx  k  mxy
(6.9)
myu  m yy  k  mxy
(6.10)
zu ermitteln, welche sich für die negative Normalmomenten-Fliessbedingung aus der zu (2.112)
analogen Beziehung mit k   tan u ergeben. Für das vorliegende Beispiel des Dreiecksegments
folgen daraus die negativen Biegewiderstände
mxu  53.42 kN
(6.11)
myu  10.52 kN
(6.12)
welche in Bild 6.1 (d) die Schnittpunkte der beiden Fliessgeraden mit der Abszisse und damit die
Hauptwerte des Mohrschen Kreises des negativen Biegewiderstandes bilden. Anstelle von ' = 45°
für k' = 1 könnte auch ein beliebiger Winkel gewählt werden, zum Beispiel derjenige, bei welchem
die beiden negativen Biegewiderstände den gleichen Betrag aufweisen. Damit reduziert sich der
dazugehörige Mohrsche Kreis des Widerstandes auf einen Punkt, welcher in Bild 6.1 (d) gleichzeitig auf dem Mohrschen Kreis des Spannungszustandes liegen muss und sich mit dem kleineren
128
Rechteckplatte mit orthotroper Bewehrung
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Bild 6.1:
Rechteckplatte mit orthotroper Bewehrung: (a) statisches System mit Abmessungen
und vorgegebener Bewehrung; (b) Mechanismuskonfiguration; (c) Schnittkörper des
Dreiecksegments mit dazugehörendem Kraftfluss; (d) Mohrsche Kreise für den Biegewiderstand sowie für ausgewählte Spannungszustände; (e) Schnittkörper des Trapezsegments mit dazugehörendem Kraftfluss; (f) Mohrscher Kreis für den
Biegewiderstand.
129
Anwendungsbeispiele
Hauptmoment eindeutig definieren lässt. Der isotrope, negative Biegewiderstand lässt sich aus
(2.93) durch Einsetzen des vorhandenen Spannungszustandes gemäss
2
 1 

1
y2
y2
y


mu   m yu  2 mxu  
m
mxu   4  mxyu mxu 

 yu
2
2
l
l
l


 2 

2
(6.13)
gewinnen. Am Beispiel des Dreiecksegments ergibt sich aus (6.13) der isotrope, negative Biegewiderstand von
mu  36.1kN
(6.14)
der in Bild 6.1 (d) als auf einen Punkt reduzierter Mohrscher Kreis abgebildet ist.
Das Vorgehen zur Ermittlung der maximal erforderlichen negativen Biegewiderstände lässt sich
auf das Trapezsegment in Bild 6.1 (e) übertragen, woraus sich gemäss (6.11) und (6.12) mit k' = 1
die negativen Biegewiderstände mxu = 131.65 kN und myu = 93.75 kN ergeben; mit (6.13) erhält
man den äquivalenten isotropen, negativen Biegewiderstand mu = 114.6 kN.
Abschliessend sind zwei Bemerkungen anzubringen: Die für beide Plattensegmente sowohl
orthtrop als auch isotrop maximal erforderlichen, negativen Biegewiderstände erfüllen mit den
übrigen Widerstandsmomenten für die äusserste Ecke gerade die Beziehung (5.173), womit erstens
der Begriff Äquivalenz erklärt ist. Zweitens stellen die ermittelten negativen Biegewiderstände die
erforderlichen Maximalwerte dar, welche mit zur Ecke zunehmender Entfernung rasch abnehmen,
wie dies der Punkt P2 am Beispiel des Dreiecksegments in Bild 6.1 (c) und (d) verdeutlicht. Das
heisst, dass die beträchtlichen, teils im Betrag grösser als die positiven Biegewiderstände ausfallenden, negativen Maximalwerte nur im Eckbereich benötigt werden. Diesem Problem lässt sich mit
einer dem Spannungszustand entsprechenden Abstufung der oberen Bewehrung begegnen.
6.3
Trapezplatte mit orthotroper Bewehrung
Das in Bild 6.2 (a) dargestellte Beispiel unterscheidet sich von der in Kapitel 6.2 behandelten
Rechteckplatte lediglich in der modifizierten Grundrissform, welche als Trapezplatte durch die entsprechenden Abmessungen definiert ist. Die orthogonalen Biegewiderstände von mxu = 50 kN
sowie myu = 100 kN bleiben erhalten, womit sich der dazugehörige Mohrsche Kreis in den
Bildern 6.2 (d) und (f) sowie in den Bildern 6.3 (b) und (c) auftragen lässt.
Für die Ermittlung der zur vollständigen Lösung gehörenden Traglast ist das in Kapitel 6.1 skizzierte und am Beispiel der Reckteckplatte in Kapitel 6.2 angewendete Vorgehen auf die vorliegende
Problemstellung zu übertragen. Hierfür ist zuerst nach der kinematischen Methode für den in
Bild 6.2 (b) dargestellten Mechanismus der obere Grenzwert für die Traglast zu ermitteln. Für die
Beschreibung der Mechanismuskonfiguration sind drei voneinander unabhängige Variablen notwendig. Neben den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der positiven kinematischen Diskontinuitätslinien ist wegen der notwendigen Parallelität der in der Plattenmitte liegenden kinemati-
130
Trapezplatte mit orthotroper Bewehrung
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Bild 6.2:
)
Trapezplatte mit orthotroper Bewehrung: (a) statisches System mit Abmessungen und
vorgegebener Bewehrung; (b) Mechanismuskonfiguration; (c) Schnittkörper des Dreiecksegments mit dazugehörendem Kraftfluss; (d) Mohrscher Kreis für den Biegewiderstand; (e) Schnittkörper des Trapezsegments mit dazugehörendem Kraftfluss;
(f) Mohrscher Kreis für den Biegewiderstand.
131
Anwendungsbeispiele
schen Diskontinuitätslinie zu den beiden parallelen Kanten der dazugehörige senkrechte Abstand b1
als Unbekannte zu betrachten. Die übrigen Abmessungen
c1 
l2  l1
b1  l1   a1  a2 
b
c2  b  b2
w1  w
(6.15)
l2  l1
l2   a1  a2 
(6.16)
l2  l1
l2   a1  a2 
(6.17)
sowie die plastischen Rotationswinkel
 1 
w
,
a1
 2 
w
,
c1
w
 1  ,
b1
w
 2  ,
b2
 
w1
c2
(6.18)
lassen sich in Funktion dieser drei Variablen beschreiben. Durch Integration der spezifischen Dissipationsleistung gemäss (2.131) über die ganze Platte folgt die totale Dissipationsleistung
1

b
  
D  mxu wb
 
 a1 b1  l2  l1   b  l1   a1  a2   
2
l

 l2  l1 
l
  m yu w  1  2 

 b1 b2 b1  l2  l1   b  l1   a1  a2   
(6.19)
welche durch Gleichsetzen mit der totalen mechanischen Leistung

q wb
W  kin
l1  l2  a2 
6
(6.20)
auf den oberen Grenzwert der Traglast
qkin  a1 , a2 , b1  
führt.
132
6 D  a1 , a2 , b1 
 l1  l2  a2 
wb
(6.21)
Trapezplatte mit orthotroper Bewehrung
Das sich daraus ergebende Minimierungsproblem lässt sich durch Nullsetzen der nach den drei
Variablen ausgeführten partiellen Ableitungen gemäss
 qkin , a1  a1 , a2 , b1    0 

  
 qkin ,a2  a1 , a2 , b1     0 

 0
 qkin ,b1  a1 , a2 , b1    
(6.22)
in einem Gleichungssystem lösen. Für das vorliegende Beispiel lässt sich jedoch keine analytische
Lösung finden, womit nur der Ausweg über die numerische Auswertung auf der Basis von konkreten Werten bleibt. Das Minimum
qkin ,min  30.21 kN m 2
(6.23)
des oberen Grenzwerts der Traglast stellt sich bei den Abmessungen
a1  3.152 m
(6.24)
a2  2.929 m
(6.25)
b1  3.429 m
(6.26)
ein.
Der Mechanismus ist mit (6.24) - (6.26) eindeutig definiert, womit sich die damit einhergehenden starren Plattensegmente herauslösen und einzeln in den Bildern 6.2 (c), (d) sowie 6.3 (a) und
(c) darstellen und untersuchen lassen. Mit den Abmessungen und den entsprechenden Biegewiderständen folgt gemäss (5.162) für die beiden Trapezsegmente respektive gemäss (5.178) für die beiden Dreiecksegmente die zum minimierten oberen Grenzwert identische Traglast
qu  30.21 kN m 2
(6.27)
womit nach dem Verträglichkeitssatz wiederum die vollständige Lösung vorliegt. Hervorzuheben
ist hierbei die Ermittlung der zum zweiten Dreiecksegment in Bild 6.3 (a) gehörenden Traglast qu,
wozu der lokale Biegewiderstand mxu benötigt wird. Die dafür erforderliche Bestimmung bedarf
einer Erläuterung, da das lokale Koordinatensystem infolge der schiefen Grundlinie um einen Winkel ungleich von ±90° gedreht ist und damit im Unterschied zu den übrigen Plattensegmenten in
den Bildern 6.2 (c), (e) und 6.3 (c) keiner der beiden Hauptbiegewiderstände verwendet werden
kann. Die Bestimmung des korrekten Biegewiderstands lässt sich jedoch einfach bewerkstelligen,
indem sich die zum Spannungszustand (5.175) - (5.177) gehörenden Koeffizienten C1 bis C3 direkt
vom Mohrschen Kreis des Biegewiderstands in Bild 6.3 (b) mit der dazugehörenden Richtung als
transformierte Widerstandsgrössen ablesen lassen. Für das vorliegende Dreiecksegment in
Bild 6.3 (a) folgt aus der Transformation in Bild 6.3 (b) der Biegewiderstand mnu = 53.8 kN.
Mit dem zur vollständigen Lösung gehörenden Spannungszustand lassen sich wiederum die
maximal erforderlichen negativen Biegewiderstände bestimmen, entweder solche mit orthotropem
Charakter mittels den Bemessungsmomenten gemäss (6.9) und (6.10) oder der dazu äquivalente
isotrope negative Biegewiderstand gemäss (6.13). Dies ist für alle vier in den Bildern 6.2 (c), (e)
sowie 6.3 (a) und (c) dargestellten Plattensegmenten vollführt; die Resultate sind der Tabelle 6.2 zu
entnehmen. Erwähnenswert sind dabei die erforderlichen negativen Biegewiderstände für das in
Bild 6.3 (c) dargestellte Trapezsegment, da der Maximalwert im Vergleich mit dem grösseren der
beiden gegebenen positiven Biegewiderstände mehr als doppelt so gross ausfällt. Dieses Beispiel
einer enormen negativen Kapazitätsanforderung lässt sich auf zwei Merkmale zurückführen. Für
die Ermittlung der erforderlichen, negativen Biegewiderstände mit den Bemessungsmomenten wird
der Spannungszustand (6.6) - (6.8) verwendet. Im Betrag grosse negative Biegewiderstände entste133
Anwendungsbeispiele
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Bild 6.3:
134
Trapezplatte mit orthotroper Bewehrung: (a) Schnittkörper des zweiten Dreiecksegments mit dazugehörendem Kraftfluss; (b) Mohrscher Kreis für den Biegewiderstand;
(c) Schnittkörper des zweiten Trapezsegments mit dazugehörendem Kraftfluss;
(d) Mohrscher Kreis für den Biegewiderstand.
Schiefe Platte mit schiefer Bewehrung
hen dabei erstens durch eine ausgeprägt orthotrope, unten liegende Bewehrung, wobei der daraus
im lokalen Koordinatensystem in x-Richtung resultierende Biegewiderstand grösser sein muss.
Zweitens wird mit zunehmendem Winkel  der massgebenden Flanke des Plattensegments der
erforderliche negative Biegewiderstand erhöht. Diese Erkenntnisse zeigen das Zusammenspiel der
positiven und negativen Biegewiderstände auf und könnten insbesondere für die Wahl der unten liegenden Bewehrungsanordnung genutzt werden.
Dreiecksegment in Bild 6.2 (c)
n = 3.152 m
myy = +35.8 kN
mxu = 56.7 kN
t = 3.571 m
mxy = -56.7 kN
myu = 20.9 kN
mu = 41.5 kN
Trapezsegment in Bild 6.2 (e)
n = 5.232 m
mxx = -34.2 kN
mxu = 125.9 kN
t = 4.80 m
mxy = -91.7 kN
myu = 91.7 kN
mu = 91.7 kN
Dreiecksegment in Bild 6.3 (a)
n = 3.268 m
mtt = -14.3 kN
mnu = 90.3 kN
t = -4.684 m
mnt = +90.3 kN
mtu = 104.6 kN
mu = 97.8 kN
Trapezsegment in Bild 6.3 (c)
n = 4.953 m
mxx = -103.1 kN
mxu = 226.8 kN
t = 6.129 m
mxy = -123.7 kN
myu = 123.7 kN
mu = 185.6 kN
Tabelle 6.2: Trapezplatte: Zusammenstellung der erforderlichen negativen Biegewiderstände.
6.4
Schiefe Platte mit schiefer Bewehrung
Das dritte Beispiel behandelt die in Bild 6.4 (a) dargestellte Parallelogramm-förmige Platte mit zu
den Kanten parallel verlaufender, unten liegender Bewehrung. Damit soll gezeigt werden, dass die
auf der Vorgabe einer orthotrop bewehrten Stahlbetonplatte in den Kapiteln 2 bis 5 geführte Diskussion ebenso für schiefe Bewehrungsführungen gültig bleibt. Der Grund dafür liegt in der geometrischen Form der Normalmomenten-Fliessbedingung, welche bei schief zueinander wirkenden
Biegewiderständen nach wie vor aus zwei Kegeln besteht, welche sich wiederum in einer Schnittellipse schneiden. Daraus folgen analog zu Kapitel 2.3 drei Fliessregimes I bis III, womit sich die
in den Kapiteln 4 und 5 aufgezeigten Eigenschaften bezüglich des Kraftflusses auf schiefe Bewehrungsanordnungen übertragen lassen. Die schief zueinander wirkenden Biegewiderstände sind
dabei zum dazugehörigen Mohrschen Kreis zusammenzufassen, wie dies beispielsweise in
Bild 5.17 (c) illustriert ist.
Das Vorgehen für die Bestimmung der vollständigen Lösung ändert sich gegenüber Kapitel 6.2
und 6.3 nicht. Zuerst wird mit der kinematischen Methode aufgrund des in Bild 6.4 (b) dargestellten
Mechanismus der obere Grenzwert der Traglast qkin minimiert. Der Mechanismus lässt sich wegen
135
Anwendungsbeispiele
der vorhandenen Symmetrien mit einer einzigen Variablen a beschreiben. Mit den daraus sich ergebenden plastischen Rotationswinkeln
 
w
a
(6.28)
2w
 
e
(6.29)
sowie mit der zur Hauptbewehrungslage orthogonalen Vermassung gemäss
e  b2  c2
(6.30)
d  l sin 
(6.31)
erhält man mittels Integration von (2.131) über die ganze Platte die totale Dissipationsleistung
b
l


D  2w  mu  2mu sin 2 
a
b


(6.32)
Durch Gleichsetzen mit der mechanischen Leistung

q wb
W  kin
3l  2a 
6
(6.33)
folgt durch Auflösen der obere Grenzwert der Traglast
qkin  12
mu
b
l
 2mu sin 2 
a
b
b  3l  2a 
(6.34)
Für die Minimierung in Abhängigkeit der Länge a lohnt sich der Vergleich von (6.34) mit (6.4).
Die dazugehörige Lösung (6.5) lässt sich nämlich mittels Substitutionen von mxu  mu ,
m yu  mu sin 2  sowie   m yu mxu auf das anstehende Minimierungsproblem übertragen. Damit
stellt sich unter Verwendung der konkreten Werte mit der Länge
a  3.164 m
(6.35)
gemäss (6.34) das Minimum
qkin,min  29.97 kN m 2
(6.36)
des oberen Grenzwertes der Traglast ein.
Mit (6.35) sind der Mechanismus und die daraus sich ergebenden starren Plattenteile geometrisch definiert, welche nachfolgend die Grundlage für die Bestimmung der Traglast der vollständigen Lösung bilden und dafür in den Bildern 6.4 (c) und (e) einzeln dargestellt sind. Hierfür ist aus
den schief aufeinander wirkenden Biegewiderständen mu = 50 kN sowie mu = 100 kN der dazugehörige Mohrsche Kreis zu ermitteln, was sich durch Superposition der einzelnen nach (2.90) 136
Schiefe Platte mit schiefer Bewehrung
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Bild 6.4:
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Schiefe Platte mit schiefer Bewehrung: (a) statisches System mit Abmessungen und
vorgegebener Bewehrung; (b) Mechanismuskonfiguration; (c) Schnittkörper des Dreiecksegments mit dazugehörendem Kraftfluss; (d) Mohrscher Kreis für den Biegewiderstand; (e) Schnittkörper des Trapezsegments mit dazugehörendem Kraftfluss;
(f) Mohrscher Kreis für den Biegewiderstand.
137
Anwendungsbeispiele
(2.92) ins globale Koordinatensystem rücktransformierten Widerstände bewerkstelligen lässt. Daraus folgt
mxu  57.55kN
(6.37)
m yu  92.45kN
(6.38)
mxyu  26.42 kN
(6.39)
mit den dazugehörenden Hauptbiegewiderständen mu1 = 106.66 kN und mu2 = 43.33 kN, womit der
Mohrsche Kreis des Biegewiderstandes in den Bildern 6.4 (d) und (f) konstruiert werden kann.
Für die Bestimmung der Traglast des in Bild 6.4 (c) dargestellten Dreiecksegments wird der in
Richtung der Auflagerlinie wirkende Biegewiderstand benötigt, welcher sich durch Transformation
am Mohrschen Kreis in Bild 6.4 (d) mit dem Wert C1 = 46.2 kN direkt ablesen lässt. Daraus ergibt
sich gemäss (5.178) die Traglast qu = 29.97 kN/m2 der vollständigen Lösung. Für das Trapezsegment lässt sich gleichermassen vorgehen, wobei hier die beim Dreiecksegment notwendige Transformation entfällt, da der benötigte Biegewiderstand mit myu = 92.45 kN mit dem Mohrschen Kreis
in Bild 6.4 (f) bereits vorhanden ist. Damit folgt für das Trapezsegment gemäss (5.162) die sowohl
zum Dreiecksegment als auch zum minimierten oberen Grenzwert identische Traglast von
qu = 29.97 kN/m2, womit gemäss dem Verträglichkeitssatz für die ganze Platte in Bild 6.4 (a) die
vollständige Lösung vorliegt.
Abschliessend lassen sich auf der Basis des zur vollständigen Lösung gehörenden Spannungszustandes die maximal erforderlichen negativen Biegewiderstände ermitteln, was sich wie in den
Kapiteln 6.2 und 6.3 entweder über die Bemessungsmomente nach (6.9) und (6.10) oder den dazu
äquivalenten isotropen negativen Biegewiderstand gemäss (6.13) bewerkstelligen lässt. Für die in
den Bildern 6.4 (c) und (e) dargestellten Plattensegmente resultieren daraus die in Tabelle 6.3
zusammengestellten Maximalwerte des erforderlichen negativen Biegewiderstands. Hervorzuheben ist dabei der bereits in Kapitel 6.3 auftretende Effekt des beträchtlichen Betrags des erforderlichen Maximalwerts bei der entferntesten Ecke am Trapezsegment. Die in Kapitel 6.3 gefundenen
Merkmale für das Auftreten dieser enormen Kapazitätsanforderung (ausgeprägte Orthotropie mit
grösserem Biegewiderstand mxu sowie grosser Winkel der massgebenden Flanke) lassen sich auf
das vorliegende Beispiel übertragen. In Kombination mit dem zur vollständigen Lösung gehörenden Mechanismus lässt sich daraus ableiten, dass einfach gelagerte schiefe Platten vor allem in den
spitzen Ecken einen beträchtlichen negativen Biegewiderstand benötigen. Abschliessend sei noch
anzumerken, dass sich durch Aufsummieren der entsprechenden Drillmomente in Tabelle 6.3 die
erforderliche Eckkraft ausgeben lässt.
Dreiecksegment in Bild 6.4 (c)
n = 3.042 m
mtt = 2.70 kN
mnu = 81.54 kN
t =-4.50 m
mnt = -81.54 kN
mtu = 78.84 kN
mu = 80.2 kN
Trapezsegment in Bild 6.4 (e)
n = 4.70 m
mxx = -73.23 kN
mxu = 209.6 kN
t = 5.59 m
mxy = -136.4 kN
myu = 136.4 kN
Tabelle 6.3:
138
mu = 177.8 kN
Schiefe Platte: Zusammenstellung der erforderlichen negativen Biegewiderstände.
Schiefe Platte mit schiefer Bewehrung
Bei der vorliegenden vollständigen Lösung der schiefen Platte mit schiefer Bewehrung gilt es
zuletzt noch eine Besonderheit zu beachten. Die infolge der schief aufeinander wirkenden Biegewiderstände ebenfalls schief aufeinander treffenden Druckspannungen der beiden Druckzonen
erfordern nach der Ermittlung der Traglast streng genommen eine Kontrolle der Druckzonenhöhe x.
Da mit der eingangs gewählten Bewehrung im Bruchzustand ein ausgeprägt duktiles Verhalten zu
erwarten ist, wird an dieser Stelle auf den angesprochenen Nachweis verzichtet.
139
140
7
Zusammenfassung und Folgerungen
7.1
Zusammenfassung
In der vorliegenden Abhandlung wird der zum Traglastzustand gehörende Kraftfluss in orthogonal
beziehungsweise schiefwinklig bewehrten Stahlbetonplatten ins Zentrum gestellt. Hierzu ermöglicht erstens eine mit sogenannten Fliessgeraden erweiterte Darstellung von Mohrschen Kreisen
unter Einbezug des Biegewiderstandes die Konstruktion von verträglichen Spannungszuständen
auf der Basis der Normalmomenten-Fliessbedingung; die mit der kinematischen Diskontinuitätslinie verträglichen Mohrschen Kreise müssen sich dabei in sogenannten Angelpunkten schneiden.
Zweitens lassen sich von den infinitesimalen Diskontinuitäten mittels räumlicher Ausdehnung
Schnittkörperdiagramme erzeugen, an welchen sich die Gleichgewichtsbedingungen von Platten
formulieren lassen. Diese beiden Darstellungen stellen den zentralen Punkt der vorliegenden
Abhandlung dar; damit gelingt auf Basis des Verträglichkeitssatzes der Plastizitätstheorie eine
abschliessende Diskussion des Kraftflusses an Diskontinuitätslinien sowie deren Schnittpunkten, in
Fächern, Fliessregionen und in Plattensegmenten.
Die daraus sich ergebenden Folgerungen sind als Verallgemeinerung der von Nielsen bezüglich
des Kraftflusses in isotropen Stahlbetonplatten geführten Diskussion einzuordnen [64, 66]. Ebenso
gelingt damit eine abschliessende Klärung über die in der vollständigen Lösung mögliche Existenz
von den aus der sogenannten „Nodal-Force“-Theorie bekannten Knotenkräften. Knotenkräfte des
Typs I können auftreten; hingegen wird die Existenz von Knotenkräften des Typs II widerlegt. Daraus lässt sich weiter folgern, dass der vermeintliche Informationsgewinn sowohl durch die „NodalForce“-Theorie als auch durch die „Equilibrium“-Methode in Form von Knotenkräften nichtig ist;
die beiden Theorien können nicht zielführend sein und sind damit widerlegt. Die Gleichgewichtsbetrachtung der „Nodal-Force“-Theorie ist trotzdem in eine neue Anwendung überführbar, indem
sich gegebene Mechanismen auf allfällige Knotenkräfte des Typs II überprüfen lassen. Sind solche
Knotenkräfte erforderlich, kann der entsprechende Mechanismus nicht zur vollständigen Lösung
gehören; die daraus folgende Last entspricht lediglich einem oberen Grenzwert der Traglast.
Auf der Basis der in den Kapiteln 4 und 5 gewonnenen Erkenntnisse gelingt die Entwicklung der
vollständigen Lösung für gleichförmig belastete, dreieck- oder trapezförmige Plattensegmente. Die
Segmente sind an der längsten Kante einfach gelagert und weisen eine beliebig wählbare orthogonale beziehungsweise schiefwinklige Bewehrung auf. Die entwickelten Lösungen ermöglichen mittels einfacher Handrechnung das Auffinden der vollständigen Lösung für ausgewählte Plattenbeispiele; die in Kapitel 1.2 definierte Zielsetzung einer direkten Verknüpfung zwischen
Lastabtragung (Steuerung des Kraftflusses) sowie Anordnung und Menge der Bewehrung ist damit
erreicht. Die vorliegende Methodik ermöglicht dem konstruktiv tätigen Ingenieur das ihm ureigene
und von Balkenkonstruktionen vertraute Konstruieren auch bei Stahlbetonplatten.
141
Zusammenfassung und Folgerungen
7.2
Folgerungen
Aus den Erkenntnissen der vorliegenden Abhandlung leiten sich bezüglich des Kraftflusses in
Stahlbetonplatten die nachfolgend aufgeführten Folgerungen ab. Diese sind aus Gründen der Übersichtlichkeit in der Reihenfolge der Kapitel aufgelistet.
Folgerungen aus Kapitel 2
• Unter Ausschluss von viskosen Vorgängen ist das plastische Potential mit Hilfe der LegendreTransformation thermodynamisch begründbar und damit direkt vom zweiten thermodynamischen Hauptsatz ableitbar, siehe hierzu die Beziehung (2.44).
• Das von Mohr postulierte plastische Potential in Form einer Hüllkurve folgt durch Verwenden
der entsprechenden Dissipationsleistung (2.36) direkt aus dem zweiten thermodynamischen
Hauptsatz; es ist damit thermodynamisch begründet.
• Die beiden Orthogonalitätsbeziehungen nach Ziegler sind unter Ausschluss von viskosen Vorgängen in der Legendre-Transformation vereint. Die Einführung der integralen Dissipation
führt auf eine zusätzliche Orthogonalitätsbeziehung, was eine thermodynamische Interpretation
des irreversiblen Entropievorgangs ermöglicht. Das nach Ziegler benannte Orthogonalitätsprinzip ist damit um eine Identität zu erweitern, siehe hierzu die Beziehung (2.43).
• Der Einspielsatz gilt auch für eine einzelne Belastungsgruppe. Dabei entspricht die Einspiellast
der Traglast; der entsprechende, optimal eingeprägte Eigenspannungszustand ermöglicht das
Erreichen der Traglast ohne zusätzliche plastische Verformungen auf Basis rein elastischer Formänderungen. Dementsprechend stellt der zur vollständigen Lösung gehörende Spannungszustand eine Superposition aus der mit der Traglast skalierten elastischen Lösung und des
entsprechenden Eigenspannungszustands dar.
Folgerungen aus Kapitel 3
• Das Querkraftfeld lässt sich in allgemeinster Form als Vektorfeld in divergenz- und rotationsfreie Anteile aufspalten, womit eine Beschreibung in Funktion von Potentialen gelingt. Der
rotationsfreie Anteil stellt die Quellen und Senken dar, welche sich im Fall der Platte in der
Beanspruchung beziehungsweise in den Auflagerreaktionen widerspiegeln. Der divergenzfreie
Anteil entspricht dem wirbelbehafteten Eigenspannungszustand.
• Die Anwendung des Laplace-Operators auf beide Potentialfunktionen führt durch Gleichsetzen
mit der negativen Kraftdichte beziehungsweise mit der negativen Wirbeldichte auf zwei elliptische Differentialgleichungen. Im ersten Fall entspricht die gewonnene Beziehung der Gleichgewichtsdifferentialgleichung der Platte; im zweiten Fall beschreibt die neue Beziehung (3.11)
das Gleichgewicht des wirbelbehafteten Eigenspannungszustandes (3.12), was die Identifizierung von Wirbelfeldern in Gleichgewichtslösungen zulässt.
• Aus der Gegenüberstellung der Gleichgewichtsbedingungen der Platte und der Membranschale
folgt, dass jeder statisch zulässige Spannungszustand der Stahlbetonplatte als statisch zulässiger Membranspannungszustand einer flachen Membranschale interpretiert werden kann, siehe
hierzu die Beziehungen (3.23) - (3.25). Es lässt sich demzufolge eine dem zulässigen Spannungszustand in der Stahlbetonplatte entsprechende Membranschale finden, welche als Druckgewölbe mit der Bewehrung im Gleichgewicht steht.
• Der Querkraftfluss einer initial eigenspannungsfreien elastischen, homogen isotropen, schubstarren Platte entspricht dem auf eine Potentialfunktion angewendeten Gradienten; das heisst,
er ist rotationsfrei.
142
Folgerungen
Folgerungen aus Kapitel 4
• Der Querkraftfluss an statischen Diskontinuitätslinien in einer Stahlbetonplatte verhält sich
analog zum Geschwindigkeitsfeld des Freistrahls in einem idealen Fluid. An statischen Diskontinuitätslinien werden zwei diskrete Wirbelschichten erzeugt, welche in der Fluidmechanik
zwei Grenzschichten entsprechen, die wiederum aus aneinander gereihten Potentialwirbeln
zusammengesetzt sind. Von statischen Diskontinuitätslinien ausgehende kontinuierliche Wirbelfelder können somit ausgeschlossen werden.
• Das Ausbilden von statischen Diskontinuitätslinien ist an Rechteckplatten mit spezieller
Bewehrungsanordnung experimentell erzwungen worden [51]. Nach den Ausführungen in
Kapitel 4.2 muss eine derartige statische Diskontinuitätslinie entlang ihrer Grenze mit diskreten
Wirbelschichten einhergehen, womit die genannten Versuche implizit auch die Existenz solcher
Potentialwirbel im Querkraftfeld bestätigen.
• Die mit Fliessgeraden erweiterte Darstellung von Mohrschen Kreisen ermöglicht die Konstruktion von verträglichen Spannungszuständen. Hierzu müssen die die NormalmomentenFliessbedingung erfüllenden Spannungspunkte auf den entsprechenden Fliessgeraden liegen.
Die Darstellung ist in der vorliegenden Abhandlung als zentraler Punkt zu verstehen.
• Ein Drillmomentensprung an einer statischen Diskontinuitätslinie im Innern einer orthogonal
beziehungsweise schiefwinklig bewehrten Stahlbetonplatte muss unter der Bedingung der beidseitig erfüllten Normalmomenten-Fliessbedingung mit unterschiedlichen Richtungen der kinematischen Diskontinuitätslinien einhergehen.
• Fallen die Richtungen der kinematischen und der statischen Diskontinuitätslinien zusammen,
existiert zwischen den angrenzenden Platten kein Drillmomentensprung; es liegt eine verträgliche kinematische Diskontinuitätslinie vor. Die zugehörigen Mohrschen Kreise schneiden sich
in sogenannten Angelpunkten.
• Mit einer vorgegebenen Richtung der kinematischen Diskontinuitätslinie verträgliche Spannungszustände werden in der mxx-myy-Ebene auf eine Gerade projiziert, siehe hierzu die Beziehung (4.29).
• Gerade kinematische Diskontinuitätslinien treten sowohl in orthogonal als auch schiefwinklig
bewehrten Stahlbetonplatten als Lastscheiden in Erscheinung (4.31). Der beidseitig transversal
dazu verlaufende Kraftfluss wie auch die angrenzenden Plattenmomente mtt sind voneinander
unabhängig.
Folgerungen aus Kapitel 5
• Statische Diskontinuitätslinien sind bezüglich des Kraftflusses geraden Fliessgelenklinien
unterzuordnen. Das heisst, dass statische Diskontinuitätslinien die Fliessgelenklinie schneiden
dürfen, der Schnittpunkt muss jedoch mit dem Querkraftnullpunkt des dazugehörigen konzentrierten Kraftflusses zusammenfallen. Weiter muss sich im Fall des versteckten Unterzugs
gleichzeitig beim Schnittpunkt ein einzelnes Fliessgelenk ausbilden, damit die kinematische
Verträglichkeit gewahrt bleibt.
• Der am Schnittpunkt einer kinematischen Diskontinuitätslinie mit einem Plattenrand postulierte Querkraftübertrag in Form einer Knotenkraft ist mittels Verträglichkeit bestätigt; die in
der „Nodal-Force“-Theorie mit Typ I bezeichnete Knotenkraft existiert, siehe hierzu die Beziehungen (5.1) und (5.2).
• Der am Schnittpunkt einer kinematischen Diskontinuitätslinie und einer Bewehrungsunstetigkeit auftretende Querkraftübertrag in Form einer Knotenkraft ist mittels Verträglichkeit bestätigt, siehe hierzu die Beziehung (5.4).
• Im Schnittpunkt von im Vorzeichen gleichen kinematischen Diskontinuitätslinien existiert kein
Querkraftübertrag; die Existenz von in der „Nodal-Force“-Theorie mit Typ II bezeichneten
Knotenkräften ist damit widerlegt. Der verträgliche Spannungszustand ist bezüglich der
143
Zusammenfassung und Folgerungen
Fliessfigur durch eine der beiden Kegelspitzen definiert.
• Im Schnittpunkt von im Vorzeichen ungleichen geraden kinematischen Diskontinuitätslinien
existiert kein Querkraftübertrag (Knotenkräfte vom Typ II) und das Theorem IV von Johansen
wird widerlegt.
• Die Diskussion bezüglich der Knotenkräfte ist abschliessend geführt. Die Existenz von Knotenkräften (Nodal-Forces) vom Typ II ist wegen der Verträglichkeit in vollständigen Lösungen
nicht möglich.
• Der vermeintliche Informationsgewinn sowohl durch die „Nodal-Force“-Theorie als auch
durch die „Equilibrium“-Methode in Form von Knotenkräften ist nichtig; die beiden Theorien
können nicht zielführend sein und sind damit widerlegt.
• Die Gleichgewichtsbetrachtung der „Nodal-Force“-Theorie ist in umgekehrter Weise in eine
neue Anwendung überführbar, indem sich gegebene Mechanismen auf notwendige Knotenkräfte des Typs II überprüfen lassen. Sind solche Knotenkräfte erforderlich, kann der entsprechende Mechanismus nicht zur vollständigen Lösung gehören; die daraus folgende Last
entspricht lediglich einem oberen Grenzwert der Traglast.
• Die mit einem Fächermechanismus verträglichen Spannungszustände liegen bezüglich der
Normalmomenten-Fliessbedingung auf der Schnittellipse (Fliessregime II). Mit Hilfe der in
Kapitel 4 eingeführten, um die Fliessgeraden erweiterten Darstellung von Mohrschen Kreisen
und unter Berücksichtigung des positiven wie auch des negativen Biegewiderstandes gelingt
die Beschreibung des verträglichen Spannungszustandes, woraus sich die vollständige Lösung
für einen Fächermechanismus in othogonal oder schiefwinklig bewehrten Stahlbetonplatten allgemein ableiten lässt.
• Das von Johansen aufgestellte Affinitätstheorem lässt sich gemäss (5.53) erweitern.
• Die mit dem Spannungszustand in Fliessregionen verträglichen Richtungen der beiden kinematischen Diskontinuitätslinien sind durch (5.53) gegeben.
• Der Eigenspannungszustand setzt sich allgemein aus drei Anteilen zusammen: Der erste Anteil
ist allein durch Membrankräfte definiert, welche sich infolge des verschwindenden Querkraftflusses in Funktion einer Airyschen Spannungsfunktion beschreiben lassen. Beim zweiten
Anteil verschwindet sowohl die darauf angewendete Divergenz als auch die Rotation; induzierte Plattenbiegemomente sind demzufolge mit rein elastischen Verformungen verträglich.
Der dritte Anteil entspricht dem wirbelbehafteten Eigenspannungszustand.
• In schubsteifen Platten können elastisch verträgliche Wirbel existieren, welche durch folgende
Modellvorstellung definiert sind: Die Wirbeldichte greift paarweise als verteiltes Moment um
die z-Achse in entgegengesetzter Richtung an und verursacht eine Verdrillung des Plattenkerns.
Bei der Theorie der schubsteifen Platte ist eine solche Verdrillung des Plattenkerns nur unter
Einhaltung der entsprechenden partiellen Differentialgleichung elastisch verträglich.
• Ein wirbelbehafteter Eigenspannungszustand lässt sich in einer schubstarren Platte trotz initial
eigenspannungsfreiem Zustand wie folgt einprägen: Infolge des monotonen Laststeigerungsprozesses werden fortlaufend an verschiedenen Orten in der Platte die Momente durch die Normalmomenten-Fliessbedingung begrenzt, was beim Fortsetzen der Laststeigerung zwingend
zum Einprägen eines Eigenspannungszustands führt. Ein Eigenspannungszustand des Typs v h1
entsteht dabei durch Plattenmomente, welche gemäss (2.81) dem Querkraftfeld Wirbel aufzwingen. Diese Wirbelfelder entstehen somit durch die Plattenmomente in Kombination mit
der vorhandenen Begrenzung in Form der Normalmomenten-Fliessbedingung und weisen deshalb gemäss (5.132) plastisch verträglichen Charakter auf. Damit ist die in Kapitel 4.2 aufgestellte Hypothese bestätigt.
• Vollständige Lösungen sind für gleichförmig belastete, dreiecks- und trapezförmige Plattensegmente erarbeitet. Die Segmente sind an der längsten Kante einfach gelagert und weisen eine
beliebig wählbare orthogonale oder schiefwinklige Bewehrung auf. Die entwickelten Lösungen
144
Ausblick
ermöglichen mittels einfacher Handrechnung das Auffinden der vollständigen Lösung für ausgewählte in Kapitel 6 aufgeführte Plattenbeispiele. Der mit der vollständigen Lösung in beiden
Segmenten einhergehende Kraftfluss weist radialen Charakter auf.
• Die von Nielsen bezüglich des Kraftflusses, in isotropen Stahlbetonplatten geführte Diskussion
wird mit den Ausführungen in den Kapiteln 4 und 5 auf orthogonal beziehungsweise schiefwinklig bewehrte Stahlbetonplatten verallgemeinert. Mit Ausnahme der Fliessregionen ist der
Querkraftfluss abschliessend geklärt.
7.3
Ausblick
Anhand der in dieser Abhandlung bezüglich des Kraftflusses in Stahlbetonplatten vorgestellten
Erkenntnisse sowie der in Kapitel 7.2 zusammengestellten Folgerungen sind abschliessend einige
Anregungen für weiterführende Arbeiten vorzubringen:
• Die an zwei Plattensegmenten aufgezeigte Entwicklung der vollständigen Lösung ist auf weitere Plattensegmente auszuweiten, welche sich in Grundrissform, Lagerungs- und Belastungsart unterscheiden. Es kann dabei hilfreich sein, als Zwischenschritt zunächst die Lösung für
eine isotrope Bewehrung zu suchen; das Ziel muss hinsichtlich der angestrebten Steuerung des
Kraftflusses jedoch im Auffinden der vollständigen Lösung von orthogonal beziehungsweise
schiefwinklig bewehrten Stahlbetonplatten liegen.
• Insbesondere die Fliessregionen beinhaltende Plattensegmente sind zu untersuchen. Die
Schwierigkeit beim Auffinden von vollständigen Lösungen solcher Fliessregionen lässt sich
am Beispiel der gleichmässig belasteten, allseitig eingespannten isotrop bewehrten Quadratplatte erahnen. Fox löste das Problem durch geeignete Wahl des Koordinatensystems [13],
indem er die Gleichgewichtsbedingungen in gekrümmten, jedoch orthogonal zueinander
gerichteten Koordinaten formulierte; dabei fallen die Richtungen der Hauptmomenten mit denjenigen der kinematischen Diskontinuitätslinien zusammen. Bei orthtroper Bewehrung sind die
Richtungen zueinander verschieden, und die Hauptmomente entsprechen nicht mehr den Biegewiderständen. Eine geeignete Formulierung hätte dementsprechend in krummlinigen, schiefwinkligen Koordinaten zu erfolgen.
• Der Aufbau einer Bibliothek von Plattensegmenten wird es ermöglichen, auf der Basis einfacher Handrechnungen vollständige Lösungen für Plattenbeispiele mit unterschiedlichen Randbedingungen zu generieren. Damit lässt sich das Wissen betreffend des Kraftflusses in
Stahlbetonplatten stetig ausbauen, mit dem Ziel, ein tieferes Verständnis der Tragwirkung zu
erlangen.
• Die in der vorliegenden Abhandlung anhand der Normalmomenten-Fliessbedingung durchgeführte Diskussion des verträglichen Kraftflusses lässt sich auf andere Fliessbedingungen übertragen; dabei kann die Diskussion auf beliebige Strukturelemente mit entsprechender
Fliessbedingung ausgedehnt werden.
• Weiter zu untersuchen ist der Effekt des mit der Normalmomenten-Fliessbedingung überschätzten Widerstands bei reiner Drillmomentenbeanspruchung und hohen Bewehrungsgehalten. Hierzu wäre zunächst eine auf Basis der Sandwichmodellvorstellung verfeinerte
Fliessbedingung zu entwickeln, worauf entweder eine zur Normalmomenten-Fliessbedingung
analoge Diskussion bezüglich des Kraftflusses geführt oder die auf Basis der Normalmomenten-Fliessbedingung entwickelten vollständigen Lösungen ausgewählter Plattenbeispiele auf
Bereiche mit Verletzungen der Fliessbedingung untersucht werden könnten.
• Mit der in der vorliegenden Abhandlung bis auf die Fliessregionen abschliessend geführten
Diskussion des Kraftflusses ist es möglich, für ein vorgegebenes statisches System die aus
unterschiedlichen Bewehrungsführungen resultierenden vollständigen Lösungen miteinander
145
Zusammenfassung und Folgerungen
zu vergleichen. Beispielsweise wird bei der Problemstellung des Durchstanzens von Platten
versucht, genauere Modellvorstellungen zu entwickeln. In Anbetracht des spröden Versagens in
Kombination mit immer vorhandenen, jedoch nicht quantifizierbaren Eigenspannungszuständen stellt sich allerdings die Frage nach der geforderten Genauigkeit der Modellvorstellung.
Das angestrebte duktile Verhalten durch Ausbilden der entsprechenden plastischen Lösung
kann auch bei ausreichender Querkraftbewehrung in der Regel nicht erreicht werden [20]. Es
wird daher vorgeschlagen, diese Problemstellung auf der Basis der vorliegenden Abhandlung
mittels geschickter Bewehrungsführung zu lösen.
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[87] Szabó, I., Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen, 2.,
neubearbeitete und erweiterte Auflage, Birkhäuser, Basel u.a., 1979, 491 pp.
[88] Symonds, P.S., „Shakedown in Continuous Media“, Journal of Applied Mechanics, Vol. 18,
1951, pp. 85-89.
[89] Tarnai, T., „Existence and Uniqueness Criteria of the Membrane State of Shells: I. Hyperbolic Shells“, Acta Technica Academiae Scientiarum Hungaricae, Vol. 91, 1980, pp. 81-110.
[90] Tarnai, T., „Existence and Uniqueness Criteria of the Membrane State of Shells: II. Parabolic
Shells“, Acta Technica Academiae Scientiarum Hungaricae, Vol. 92, 1981, pp. 67-88.
[91] Tarnai, T., „Existence and Uniqueness Criteria of the Membrane State of Shells: III. Elliptic
Shells“, Acta Technica Academiae Scientiarum Hungaricae, Vol. 96, 1983, pp. 59-85.
[92] Timoshenko, S.P., and Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, Mc Graw-Hill,
International Student Edition, 1959, 580 pp.
[93] Tresca, H., „Mémoires sur l'écoulement des corps solides“, Mem. pres. p. div. Savants à
l'Academie des Sciences, 18, 1868, pp. 733-799.
[94] Torre, C., „Über die physikalische Bedeutung der Mohrschen Hüllkurve“, Zeitschrift für
angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM), Bd. 31, Nr. 8/9, 1951, pp. 275-277.
[95] Wolfensberger, R., Traglast und optimale Bemessung von Platten, Institut für Baustatik und
Konstruktion, IBK Bericht Nr. 2 (Dissertation), ETH Zürich, Zürich, 1964, 119 pp.
[96] Wood, R.H., und Jones, L.L., Plastic and Elastic Design of Slabs and Plates, Thames and
Hudson, London, 1961, 344 pp.
[97] Wood, R.H., „New Techniques in Nodal-Force Theory for Slabs“, Magazine of Concrete
Research Special Publication, 1965, pp. 31-62.
151
[98] Wood, R.H., und Armer, G.S.T., „The Theory of the Strip Method for Design of Slabs“,
Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Vol. 41, 1968, pp. 285-307.
[99] Ziegler, H., „An Attempt to Generalize Onsager's Principle, and its Significance for Rheological Problems“, Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, Vol. 9b, 1958, pp. 748763.
[100] Ziegler, H., „Thermomechanics“, Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 30, 1972, pp. 91107.
[101] Ziegler, H., „Eine neue Begründung des Orthogonalitätsprinzips“, Ingenieur-Archiv,
Vol. 43, 1974, pp. 381-394.
[102] Ziegler, H., Grundprobleme der Thermomechanik, ETHZ, Zürich, 1976, 16 pp.
152
Bezeichnungen
Lateinische Grossbuchstaben
A
A, B, C
C
C1 ,..., C5
D
D
Di
Dˆ i
E
F
F
F
G
G
H
M
Mtt
Pint
Pext
Q
R
S
St
Su
S
Sr
U
T
Vt
V
W
Y
Y
Y
Fläche der Platte
Kennzeichnung; beispielsweise für verschiedene Spannungszustände
Elastizitätstensor (Tensor 4. Stufe)
Koeffizienten
Plattensteifigkeit
Dissipationsleistung in globaler Form
Dissipationsleistung in lokaler Form
integrale Dissipation in lokaler Form
Elastizitätsmodul
angreifende Kraft
Airysche Spannungsfunktion
Helmholzsche freie Energie (thermodynamisches Potential)
Gibbssche freie Energie (thermodynamisches Potential)
Schubmodul
Enthalpie (thermodynamisches Potential)
Einzelmoment
konzentriertes Balkenmoment um die t-Achse
Leistung resultierend aus der inneren Arbeit
Leistung der äusseren Kräfte
thermische Leistung
Transformationstensor (reine Rotation)
Gesamte Oberfläche eines Körpers
Bereich der Oberfläche von eingeprägten Spannungen
Bereich der Oberfläche von eingeprägten Verformungen
totale Entropie in globaler Form
reversible Entropie in globaler Form
innere Energie (thermodynamisches Potential)
kinetische Energie
konzentrierte Querkraft in t-Richtung
Volumen eines Körpers
Inkrementelle äussere Arbeit
allgemeine Fliessbedingung
Fliessfläche der positiven plastischen Krümmungsinkremente
Fliessfläche der negativen plastischen Krümmungsinkremente
Lateinische Kleinbuchstaben
a, b
a0 , b0
a, b, c, d
a  , b
av
dn
d
fc
fcd
fct
fsd
Abmessungen der Definitionspunkte von den kinematischen Diskontinuitätslinien
Abmessungen zum Erreichen des minimalen oberen Grenzwertes
Hilfsgrössen zur Beschreibung der Normalmomenten-Fliessbedingung
Halbachsen des Ellipsen-Mechanismus
Schubfläche (reduzierte Querschnittsfläche)
infinitesimale Breite der Diskontinuitätslinie (räumliche Ausdehnung)
statische Höhe
zulässige Betondruckspannung
zulässige Betondruckspannung (Bemessungswert)
Betonzugspannung
Fliessspannung des Betonsstahls (Bemessungswert)
153
fy
h
h
l
m
mxx , myy
mxy
mxu , myu
mxyu
mu
mxu , myu
mxyu
mu
mnn , mtt
I
II
mnn
, mnn
mnt
mntI , mntII
mnu , mtu
mntu
mrr , m
mr
m1 , m2
mI
n
n
n
nxx , nyy
nxy
q
qt
qz
qu
qkin
r
r
r
t
t
u
v
vp
v h1
v h2
vx
vy
vn
vnI , vnII
vt
vr
v
v0
v
v
w
154
Fliessspannung des Betonsstahls
Plattendicke
Cauchy-Entropiefluss
Länge der Platte
Tensor der Plattenmomente (Spannungszustand)
Plattenbiegemoment um die x-Achse beziehungsweise y-Achse
Drillmoment
positiver Biegewiderstand um die x-Achse beziehungsweise y-Achse
positiver Drillmomentenwiderstand
positiver Biegewiderstand der isotrop bewehrten Stahlbetonplatte
negativer Biegewiderstand um die x-Achse beziehungsweise y-Achse
negativer Drillmomentenwiderstand
negativer Biegewiderstand der isotrop bewehrten Stahlbetonplatte
transformiertes Plattenbiegemoment um die n-Achse beziehungsweise t-Achse
Biegemomente beiderseits der statischen Diskontinuitätslinie
transformiertes Drillmoment
Drillmomente beiderseits der statischen Diskontinuitätslinie
transformierter Biegewiderstand um die n-Achse beziehungsweise t-Achse
transformierter Drillmomentenwiderstand
Plattenbiegemomente in Polarkoordinaten
Drillmoment in Polarkoordinaten
Hauptmomente in Richtung 1 beziehungsweise in Richtung 2
1. Invariante des Momententensorsm
natürliche Zahl
Normalenvektor (Tensor 1. Stufe)
Normalspannungstensor der Schale beziehungsweise der Platte (Tensor 2. Stufe)
Komponente des Normalspannungstensors n in x- beziehungsweise y-Richtung
Schubspannungskomponente des Normalspannungstensors n
Volumenkraftdichte
Cauchy-Wärmefluss
verteilte Beanspruchung der Platte
Traglast der vollständigen Lösung gemäss Plastizitätstheorie
Oberer Grenzwert der Traglast
räumliche Wärmequelle
räumliche Entropiequelle
Radius
Zeit
Spannungsvektor
Verformungsvektor eines materiellen Punktes
Querkraftvektor (Tensor 1. Stufe)
Querkraftvektor der partikulären Lösung
Querkraftvektor der homogenen Lösung (wirbelbehafteter Anteil)
Querkraftvektor der homogenen Lösung (wirbelfreier Anteil)
Querkraftkomponente in Richtung der x-Achse
Querkraftkomponente in Richtung der y-Achse
transformierte Querkraftkomponente in n-Richtung
Querkraftkomponenten senkrecht zur statischen Diskontinuitätslinie
transformierte Querkraftkomponente in t-Richtung
radiale Querkraftkomponente in Polarkoordinaten
tangentiale Querkraftkomponente in Polarkoordinaten
Hauptquerkraft
Geschwindigkeitsvektor eines materiellen Punktes
eindimensionale Geschwindigkeit eines materiellen Punktes
Verformung der Platte in z-Richtung
w
n, t
x, y, z
x
zx
zy
z
Inkrementelle Verformung der Platte
transformierte Koordinatenachsen des rechtwinkligen Koordinatensystems
Koordinatenachsen des rechtwinkligen Koordinatensystems
Höhe der Druckzone
innerer Hebelarm des Biegewiderstandes um die x-Achse
innerer Hebelarm des Biegewiderstandes um die y-Achse
Formfunktion der Schale beziehungsweise der Membranschale
Griechische Grossbuchstaben


Wirbeldichte des Querkraftfeldes v
Zirkulation einer Strömung
Griechische Kleinbuchstaben


u
u

x
y

 el
 pl

 pl

el
el. Haut
h2


0
1
kI, kII
u
u
sI, sII
x, y


s
k
u







Verallgemeinerter, plastischer Verzerrungstensor
Verallgemeinertes, plastisches Verzerrungsinkrement
projizierter Winkel in der positiven Normalmomenten-Fliessbedingung
projizierter Winkel in der negativen Normalmomenten-Fliessbedingung
Schubwinkelvektor
Schubwinkel um die y-Achse
Schubwinkel um die x-Achse
Cauchy Verzerrungstensor (kleine Deformationen, kleine Verzerrungen)
elastischer Anteil des Cauchy Verzerrungstensors 
plastischer Anteil des Cauchy Verzerrungstensors 
zeitliche Ableitung des Cauchy Verzerrungstensor 
plastisches Verzerrungsinkrement
Potentialfunktion  zur Beschreibung des Querkraftfeldes v p
Potentialfunktion der isotropen elastischen Platte
Potentialfunktion der elastischen Haut respektive der Membranschale
zum Querkraftfeld v h2 zugehörige Potentialfunktion
Reibungswinkel 
Richtungswinkel 
Richtung der Hauptquerkraft v0
Richtung des Hauptmoments m1
Richtungen der kinematischen Diskontinuitätslinien I und II
Richtung der positiven Fliessgelenklinie
Richtung der negativen Fliessgelenklinie
Richtungen der statischen Diskontinuitätslinien I und II
Rotationswinkel des infinitesimalen Plattenelements bei schubsteifer Platten
totale Entropie in lokaler Form
Skalierungsfaktor des Fliessgesetzes; Einheit Geschwindigkeit
Skalierungsfaktor der statischen Methode; unterer Grenzwert
Skalierungsfaktor der kinematischen Methode; oberer Grenzwert
Skalierungsfaktor der vollständigen Lösung
1. Lamé-Konstante
2. Lamé-Konstante
Querkontraktionszahl (auch Poisson-Zahl genannt)
Verformungsenergie
komplementäre Verformungsenergie
absolute Temperatur
Cauchy Spannungstensor nach Theorie 1. Ordnung
155
g




xx , yy
xy
 xx ,  yy
 xy
x , 
y


Generalisierter Spannungstensor
eindimensionale Normalspannung
eindimensionale Schubspannung
Tensor der elastischen Krümmungen
Tensor der plastischen Krümmungsinkremente
Komponenten des elastischen Krümmungstensors in x- und y-Richtung
Komponente des elastischen Krümmungstensors in xy-Richtung
plastisches Krümmungsinkrement in x-Richtung beziehungsweise y-Richtung
plastisches Krümmungsinkrement in xy-Richtung
plastischer Rotationswinkel um die x-Achse beziehungsweise y-Achse
Potentialfunktion zur Beschreibung des Querkraftfeldes v h1
Operatoren / Differentialoperatoren der Tensoranalysis (in Symbolschreibweise)






div , 
rot , 
grad , 
Naplaoperator
Laplaceoperator
skalarer Multiplikator
doppelter skalarer Multiplikator
vektorieller Multiplikator
tensorieller Multiplikator
Divergenz (Differentialoperator)
Rotation (Differentialoperator)
Gradient (Differentialoperator)
Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen)
h(x)
(x)
Heaviside-Funktion
Dirac-Delta-Funktion
Sonderbezeichnungen und Zeiger


i
k
s
0
u

156
Zugehörigkeit zu einem kinematisch zulässigen Verformungszustand
Zugehörigkeit zu einem statisch zulässigen Spannungszustand
spezifische Grösse (auf infinitesimales Volumenelement bezogen, lokale Form)
Zugehörigkeit zu einem kinematisch zulässigen Verformungszustand
(nach der kinematischen Methode gemäss Plastizitätstheorie)
Zugehörigkeit zu einem statisch zulässigen Spannungszustand des aplastischen
Bereichs (nach der statischen Methode gemäss Plastizitätstheorie)
eingeprägte Grössen (Belastungen, Spannungen oder Verschiebungen)
Zugehörigkeit zur vollständigen Lösung gemäss Plastizitätstheorie
Differenz zwischen zwei Beträgen (nicht zu verwechseln mit Laplaceoperator 

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