Zusatzaufgaben Finanzmathematik 1) Herr A überlegt, ob er sein Kapital in Höhe von 100.000 € für eine Laufzeit von 2 Jahren zu einem monatlichen Zinssatz in Höhe von 0,42 % oder zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % anlegen soll. Wozu würden Sie ihm raten? Berechnen Sie für beide Möglichkeiten den resultierenden Endwert. 2) Ihre Erbtante hat ihnen 250.000 € hinterlassen. Dieses Geld können Sie zu 5 % jährlichem Zins anlegen. Welchen konstanten Betrag können Sie sich jährlich gönnen, wenn Sie 10 Jahre von dem Erbe zehren und am Ende noch 50.000 € übrig haben möchten? 3) Frau M. verfügt über ein Kapital von 30.000 €. Nach wie vielen Jahren hat sich ihr Kapital verdoppelt, wenn sie mit einem halbjährlichen Zinssatz von 1,8 % kalkuliert? 4) Herr C. zahlt quartalsweise (jeweils am Ende eines Quartals) 200 € auf ein Altersvorsorgekonto ein, das mit einem Quartalszinssatz von 1 % verzinst wird. Über welchen Betrag kann er zum Rentenbeginn nach 8 Jahren verfügen? 5) Frau K. hat im Lotto gewonnen und erhält nun eine monatliche Rente von 2.100 € über 10 Jahre. Berechnen Sie den Barwert der Rentenzahlungen unter Berücksichtigung eines Zinses von 3,95 % pro Jahr. 6) In den letzten 10 Jahren seines Berufslebens spart Franz jährlich einen Betrag von 2.000 €, um beim Eintritt in den Ruhestand für den Kauf eines neuen Hauses einen Geldbetrag zur Verfügung zu haben. Wie groß ist dieser Betrag, wenn eine Verzinsung von 10% erzielt wird? 7) Einer alten Dame wird für ihr Haus ein Preis von 180.000 € geboten. Wie hoch müsste eine gleichwertige jährliche Leibrente sein, wenn die durchschnittliche Lebenserwartung für sie 10 Jahre und der Zinssatz 10% beträgt? Lösungen: 1) Monatlich: 100.000 ⋅ (1 + 0,0042)24 = 110.582,20 € Jährlich: 100.000 ⋅ (1,05)2 = 110.250 € Sie würden ihm also zur monatlichen Verzinsung raten, da er damit den höheren Endwert erzielt. 2) 50.000 = 250.000 ⋅ 1,0510 − 𝑧 ⋅ 1,0510 −1 0,05 ⇔ 12,5779 ⋅ 𝑧 = 407.223,6567 − 50.000 ⇔ 𝑧 = 28.400,90 € 3) 2 ⋅ 30.000 = 30.000 ⋅ 1,018𝑛 ⇔ ln(2) = 𝑛 ⋅ ln(1,018) ⇔ 𝑛 = 38,85 𝐻𝑎𝑙𝑏𝑗𝑎ℎ𝑟𝑒 = 20 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒 4) 200 ⋅ 1,0132 −1 1,01−1 = 7.498,81 € 12 5) 𝑖𝑀 = √1,0395 − 1 = 0,32% 1,0032120 −1 𝐵𝑎𝑟𝑤𝑒𝑟𝑡 𝐶0 = 2.100 ⋅ 𝑅𝐵𝐹 = 2.100 ⋅ 0,0032⋅1,0032120 = 208.983,37 € 1,110 −1 0,1 1 180.000 ⋅ 𝑅𝐵𝐹 = 6) 𝐾10 = 2.000 ⋅ = 31.874,85 € 7) 𝑧 = 180.000 ⋅ 0,1⋅1,110 1,110 −1 = 29.294,17 €