Aufgabenblatt 3

Institut für Physikalische Chemie
SoSe 15
der Universität München
Blatt 3
R. de Vivie-Riedle, F. Rott und S. Oesterling
19.06.2015
Übung zur Vorlesung Quantenchemie II
Abgabe: 26.06.2015
In dieser und der nächsten Übung werden Aufgaben gestellt, zu deren Lösung kleine Programme geschrieben werden müssen. Ihnen steht dabei frei, mit welchem Programm oder in
welcher Programmiersprache Sie diese lösen (solang es auf meinem Rechner kompilierbar ist).
Alle Aufgaben sind mit den Zellenfunktionen in Excel lösbar (keine Makros). Bei Programmen wie Matlab, etc. dürfen keine Funktionen genutzt werden, die über die Grundrechenarten hinausgehen. (Also v.a. kein Ableiten, Diagonalisieren, Invertieren, etc.) Ihre scripte,
sourcecodes und Excelmappen etc. schicken Sie bitte bis Freitag 13:30 Uhr an
[email protected].
1. Newton-Raphson
Gegeben sei die Funktion
2
f (x) = −(0.2 + (x − 0.2)2 )e−x .
a) Bilden Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f (x) per Hand. Skizzieren Sie
f (x) und f 0 (x) im Intervall von -3 bis 3. (Mit Stift und optimalerweise ohne Unterstützung durch ein Graphenzeichneprogramm.)
b) Wie lautet die Vorschrift für eine Extremwertsuche nach Newton-Raphson?
c) Der Formalismus für eine gradientenbasierte Optimierungsroutine sei: xn+1 = xn − b ∗
f 0 (x) mit b = 0.1. Implementieren Sie sowohl diesen, als auch den Newton-RaphsonAnsatz in dem von Ihnen bevorzugten Programm (oder der Programmiersprache).
(Vorsicht: Openoce calc (vllt. auch Excel?) hat Probleme mit Punkt vor Strich und
wertet ein (−A12 ) als (−A1)2 , man muss also explizit −(A12 ) schreiben.)
d) Starten Sie ausgehend vom Punkt x = −1.2 mit beiden Routinen eine Extremwertsuche.
Welche Extremwerte nden sie in beiden Fällen? (Betrachten Sie ihr Ergebnis bei f 0 (x) <
10−3 als konvergiert.) Vergleichen Sie weiterhin das Konvergenzverhalten der beiden
Routinen. Was passiert, wenn b = 1 gesetzt wird?
e) Wohin laufen die Routinen vom Startpunkt x = −1.31? Was ist der Grund für das
Verhalten der NR-Routine?
f) Wie lieÿe sich mit den beiden Verfahren der Extremwert bei 0.25 nden? Falls Sie für
die gradientenbasierte Methode eine Möglichkeit gefunden haben, lieÿe sich damit auch
für mehr Dimensionen ein Übergangszustand optimieren?
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2. 2D Newton-Raphson
Gegeben sei die Funktion
h(x, y) = 4x2 −
√
7xy + y 2 .
Optimieren Sie per Hand einen Extremwert von h(x, y), ausgehend vom Startpunkt P = (1, 1).
Gehen Sie dazu folgendermaÿen vor:
a) Bestimmen Sie den Gradientenvektor g sowie die Hessematrix H von h(x, y).
b) Geben Sie die Vorschrift für die Newton-Raphson Optimierung in zwei Dimensionen an.
c) Diagonalisieren Sie die Hessematrix und stellen Sie die Transformationsmatrix U auf.
d) Transformieren Sie alle nötigen Gröÿen und führen Sie einen Optimierungsschritt aus.
e) Konvergenz ist erreicht, wenn beide Einträge des Gradienten kleiner 10−3 sind. Wo liegt
das Minimum?
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