Checkliste Integrale

Checkliste Integrale
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Checkliste Integrale
Hier sollst du dein Wissen über Integrale überprüfen. Lies dir die Aussagen durch und entscheide , ob du
A: dir sicher bist.
B: dir fast sicher bist
C: du noch üben musst
D: du noch Hilfe brauchst und _________ um Hilfe bittest.
A
B
C
D
1 Ich kann Integral grafisch veranschaulichen.
2 Ich kann die Aussage: „Eine Integralfunktion ist eine Rekonstruktion“ erklären.
3 Ich kann ein Integral mit Hilfsflächen näherungsweise berechnen.
4 Ich kann Zusammenhänge und Unterschiede von Fläche und Integral beschreiben.
5 Ich kann eine Integralfunktion bestimmen und überprüfen.
6 Ich kann ein Integral mit einer Integralfunktion exakt berechnen.
7 Ich kann einige Anwendungen von Integralen nennen.
Übungsaufgaben
Zu 1)
Veranschauliche folgende Integrale an einem Graphen:
3
1.
1
−2
∫ 0,5 x 2 dx
2.
1
∫ 2− x dx
−4
3.
∫
x − x 2 dx
−2,5
Veranschauliche und notiere ein Integral, dass komplett unterhalb der xAchse verläuft.
Zu 2)
Eine Funktion beschreibt, wie viel Wasser in einem Stausee zu und abfließt. Mit der zugehörigen Integralfunktion lässt sich das Wasservolumen im Stausee berechnen.
Wieso kann man die Integralfunktion als „Rekonstruktion“ beschreiben und was wird eigentlich rekonstruiert?
Zu 3)
Berechne näherungsweise (zum Beispiel mit Rechteckflächen) folgende Integrale:
4
4
2
1 2
1 3
1. ∫ x dx
2. ∫ x dx
3. ∫
x 2 dx
1
2 4
0 10
Zu 4)
2
Veranschauliche ∫ x 3 −3x 2 2x dx an einem Graphen und erkläre, warum das Integral den 0
Wert 0 hat, obwohl die Fläche nicht 0 ist.
Beschreibe, wie bei der Berechnung von Integralen über Rechteckflächen auch negative Werte 2
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auftreten können
Zu 5)
2
4
3
Bestimme eine Integralfunktion zu ∫ x dx und ∫ 0,2 x − x  2 dx . Beschreiben, wie du überprüfen kannst, ob die gefundene Funktion eine passende Integralfunktion ist.
Zum Weiterdenken: Gibt es noch mehr passende Integralfunktionen?
Zu 6)
Bestimme folgende Integrale exakt:
2
1.
∫ 0,4 x 3 dx
1
2.
1
3
∫ 2x − x 4 dx
3.
−3
∫ 4x− x 3 dx
2
Zu 7)
Finde einige reale Zusammenhänge, in denen man ein Änderungsverhalten betrachtet und überlege anschließen, welche Größe man daraus rekonstruieren kann.
Lösungen
Zu 1)
1.
1.
2.
3.
Zu 2)
Als Ausgangspunkt für diese Aufgabe ist nur eine Funktion der Änderung des Wasservolumens gegeben. Durch Überlegungen, dass die Fläche unter dem Graphen der Funktion das bisher geflossene Wasservolumen beschreibt, kommt man zur Integralfunktion, die dann das bisher geflossene Wasservolumen zu einem beliebigen Zeitpunkt beschreibt. Wir können also sagen, dass wir aus der Funktion der Änderung des Wasservolumens die Funktion des Wasservolumens rekonstruiert haben.
Die Integralfunktion ist also die Rekonstruierte aus ihrer Änderungsfunktion.
Zu 3)
Hier die exakten Werte der Integrale zum Vergleich.
4
4
15
1
14
1. ∫ x dx =
2. ∫ x 2 dx =
2
3
1
2 4
2
3.
1 3
22
x 2 dx =
∫ 10
5
0
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3
Zu 4)
Die Flächen haben beide dieselbe Größe. Ein Integral betrachtet jedoch orientierte Flächeninhalte, das heißt mit Vorzeichen behaftete Flächeninhalte. Da die eine Teilfläche mit positivem und die andere mit negativem Vorzeichen behaftet sind, gleichen sich beide beim Integral aus, auch wenn die echte Fläche größer als 0 ist.
Wenn man Rechtecke zwischen xAchse und Graph einzeichnet und als Berechnungsvorschrift die Rechteckbreite mal Funktionswert berechnet, kommt man unweigerlich auch auf negative Flächen, da die Rechteckbreite immer positiv ist, die Höhe, also in diesem Fall der Funktionswert, auch negativ sein kann.
Zu 5)
[ ]
[
]
1 3
1 5 1 4
x und ∫ 0,2 x 4 − x 3 2 dx =
x − x 2x
3
25
4
Durch das bilden der Ableitung der Integralfunktion kann man herausfinden, ob die Funktion auch wirklich eine passende Integralfunktion ist. Stimmt die Ableitung der Integralfunktion mit der Funktion überein, hat man eine passende Integralfunktion gefunden.
Wenn man als Maßgabe nimmt, dass die Ableitung der Integralfunktion mit der Funktion übereinstimmen muss, gibt es unendlich viele Integralfunktionen. Man kann zu einer gefundenen Integralfunktion eine beliebigen, aber konstante Zahl hinzuaddieren. Konstante Zahlen fallen beim Ableiten weg, daher stimmt die Ableitung wieder mit der Funktion überein.
1 3
1 3
2
Beispiel: ∫ x dx = x = x 4 , denn die Ableitungen beider Funktionen sind x 2 .
3
3
∫ x 2 dx =
[ ][
]
Zu 6)
2
∫ 0,4 x dx = 32
1
3
1.
1
284
2. ∫ 2x − x dx =−
=−56,8
5
−3
4
3
3.
∫ 4x− x 3 dx = 34
2
Zu 7)
•
•
•
Aus der Geschwindigkeit eines LKW (Fahrtenschreiber) lässt sich mit der Integralrechnung die gefahrene Strecke ermitteln.
Aus dem Stromfluss (Veränderung des Stroms) an einem elektrischen Bauteil lässt sich der bisher verbrauchte Strom rekonstruieren. Eine mögliche Anwendung ist der Rückschluss auf den Ladestand eines Akkus.
Aus der Beschleunigung eines Düsenflugzeugs lässt sich die Geschwindigkeit des selbigen rekonstruieren (und daraus, sozusagen als doppeltes Integral, die geflogene Strecke).
Feedback
Ich möchte gerne wissen, an welchen Stellen dir diese Checkliste geholfen hat, aber genauso auch, wo sie dir gar nicht geholfen hat und eher für Verwirrung sorgte. Warum war eine Formulierung besonders hilfreich oder eben nicht? Gibt es ganz bestimmte Wörter oder Sätze, die für dich verständlich oder nicht sind? Warum passte eine Übungsaufgabe besonders gut oder auch nicht? Gibt mir dazu bitte einen schriftlichen Kommentar – nur so kann es besser werden...

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