Kapitel (Arbeit, Energie und Leistung)

Inhalt
1
8 Arbeit, Energie - Leistung
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Arbeit
Verschiedene Arten mechanischer Arbeit
Leistung
Energie
Felder
Satz von der Erhaltung der Energie
8.6.1 Energieumwandlung
8.7
Stoßprozesse
8.7.1 Gerader, zentraler, elastischer Stoß
8.7.2 Gerader, zentraler, inelastischer Stoß
8.1
Arbeit
2
Die Definition der Arbeit lautet:
G
G
Wird ein Körper unter Einwirkung einer konstanten Kraft F um einen Weg s
verschoben, wird dabei die Arbeit W verrichtet.
mathematisch ausgedrückt:
G G
W = F ⋅s
G
G
Skalarprodukt von F und s
Die Einheit der Arbeit ist
[W ] = N ⋅ m = J = Joule
Die Arbeit ist ein Skalar, also eine Größe, die nur einen Betrag hat, aber keine
Richtung, wie z. B. die Masse, die Länge eines Vektors, ...
Skalarprodukt:
G G
a ⋅ b = (ax ⋅ bx + ay ⋅ by + az ⋅ bz )
1
8.1
Arbeit
3
Kreuzprodukt:
 ax 
G G  
a × b = ay  ×
a 
 z
 bx   ay bz − az by 

  
by  =  az bx − ax bz 
 b  ax by − ay bx 
 z 

Entsprechend diesem inhaltlichem Unterschied gibt es auch zwei unterschiedliche Rechenvorschriften, wie die Multiplikation ausgeführt werden soll.
G G G G
W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α
Skalarprodukt
G
G G
G G
v = ω × r = ω ⋅ r ⋅ sin α
Vektorprodukt
Das Skalarprodukt wird also maximal, wenn beide Vektoren parallel sind, und
Null, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dies ist genau
umgekehrt zum Vektorprodukt.
Beispiel:
Welche Arbeit muss geleistet werden, um einen Stein der Masse m auf die Höhe
h zu heben?
8.1
Arbeit
4
Damit wird die Arbeit
z
h=h
G
G
F = m⋅g
h=0
G
s
 0  0 
G G
G G
W = F ⋅ s = m ⋅ g ⋅ s = m ⋅  0  ⋅  0 
 −g   h 
= m ⋅ (0 + 0 + ( −g ) ⋅ h )
G
G
F = m⋅g
= −m ⋅ g ⋅ h
Diese Arbeit muss geleistet werden, um die Masse auf die Höhe h zu heben,
deswegen hat sie auch ein negatives Vorzeichen. (Kraft ist antiparallel zu dem
Weg.)
(Umgekehrt wird der Körper von h auf 0 gebracht, dann wird die Arbeit vom
Körper verrichtet.)
Ist die Kraft längs eines Weges nicht konstant, muss man den Weg in Stücke
zerlegen, entlang derer die Kraft konstant ist. Die Gesamtarbeit Wges ist dann die
Summe der einzelnen Arbeiten Wi
Wges = ∑ Wi
i
2
8.1
Arbeit
5
Als Beispiel nehmen wir den einfachen Fall, dass man von zwei gleichen
Ziegelsteinen erst einen von h = 0 nach h und dann beide von h nach 2h heben
soll.
m1+m2
z
2h
m2
h
m1 m2
m1
G
G
G
F2 = (m1 + m2 ) ⋅ g = 2 ⋅ m ⋅ g
G
G
F1 = m1 ⋅ g
ab hier doppelt
so groß
Wie groß ist die Gesamtarbeit?
Wges = W1 + W2 = −m1 ⋅ g ⋅ h − (m1 + m2 ) ⋅ g ⋅ h
=
N
− (m ⋅ g ⋅ h + 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ h )
m1 = m2
= −3 ⋅ m ⋅ g ⋅ h
8.1
Arbeit
6
Im Allgemeinen lassen wir zu, dass sich die Kräfte, für die wir geleistete Arbeit
berechnen wollen, kontinuierlich verändern. Dann müssen die Wegstücke zu
unendlich kleinen Teilwegen werden, und wir kommen zur Integralformulierung
der Arbeit über den Zwischenschritt
G G
G
W = ∑ ∆Wi = ∑ Fi (s ) ⋅ ∆si
i
i
G
G
für endlich viele Teilwege ∆si . Im Grenzfall ∆si → 0 führt das zum Arbeitsintegral
2 G
G G
W = ∫ F (s )ds
1
allgemeine Definition der Arbeit
Arbeit = Linienintegral der Kraft
3
8.1
Arbeit
7
Bemerkungen:
Arbeitsdiagramme:
G G
F (s )
G G G G
G G
G G
Ist s & F , dann ist F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α =
N F ⋅s
G
F0
α= 0
G G
W = F0 ⋅ s0
G G
s0 s
Arbeit = Fläche unter der Kurve
G G
im F -s Diagramm
G
G G G
G
F ist eine Funktion von s, d. h. F = F (s )
G G
G
s2 G
F (s )
G
G
W = ∫ F ( s ) ⋅ ds
G
s1
G G
G
W = ∫ F ( s ) ⋅ ds
G G
s2 s
G
s1
8.1
Arbeit = Fläche unter der Kurve
G G
im F -s Diagramm
Arbeit
8
Was passiert, wenn der Körper auf der Höhe h verschoben wird?
G
s23
h
G
s12
G G
G G
W = F ⋅ s12 + F ⋅ s23
 0 
0 
x
G 
G
G



F =  0  , s12 = 0  , s23 =  0 
 −m ⋅ g 
h 
 0 
G G
⇒ F ⋅ s12 = −m ⋅ g ⋅ h
G G
F ⋅ s23 = −m ⋅ g ⋅ 0 + 0 ⋅ x = 0
G
G G
Bei einer Verschiebung der Masse senkrecht zur Kraft F (d. h. s ⊥ F ) wird
keine Arbeit verrichtet.
4
8.1
Arbeit
9
Die Hubarbeit ist nur abhängig von der Höhendifferenz und nicht vom Weg.
h
In all diesen drei Fällen muss dieselbe Hubarbeit geleistet werden.
8.2
Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit
10
a) Hubarbeit auf der Erde
Um einen Körper gegen eine konstante Gewichtskraft m · g um die Höhe h
anzuheben, ist die Hubarbeit WH nötig.
WH = m ⋅ g ⋅ h
b) Beschleunigungsarbeit
G
Um einen Körper zu beschleunigen, muss auf einer Strecke s die
G
G
Beschleunigungskraft FB = m ⋅ a wirken.
G G
W = ∫ m ⋅ a ⋅ ds =
G
G
G
v2
v2
G ds
G G
dv G
v2
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
m
d
s
m
d
v
m
v
d
v
m
∫ dt
∫ N
∫
dt
2
s
v
v
s2
1
=
1
G
=: v
1
G
v2
G
v1
m G2 G2
⋅ (v 2 − v1 )
2
WB =
G
G
1
⋅ m ⋅ (v 22 − v12 )
2
Beschleunigungsarbeit, um den Körper
G
G
von v1 auf v 2 zu bringen
5
8.2
Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit
11
G
Sonderfall: v1 = 0 (d. h. Beschleunigung aus dem Stand)
WB =
G
1
⋅ m ⋅v 2
2
G
Bem.: WB hängt nicht von a und t ab, sondern nur von v .
c) Spannarbeit bei einer elastischen Feder
Wie groß ist die Arbeit, die in das Spannen einer Feder gestreckt werden
G
G
muss, die von ihrer Ruhelage x1 = 0 bis x2 = x′ gespannt werden soll?
WS =
G
x2
G G
G
F(x) ⋅ d x
G∫
x1
Die Kraft einer Feder ist nach dem Hooke‘schen Gesetz
G
G
F = −k ⋅ x
mit der Federkonstanten k.
8.2
W =
Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit
G
x2
∫
G
x1
G
G G
x2
−k ⋅ x ⋅ d x = −k ⋅
2
G G
F(x)
G
x2
G
x1
=−
G
G
F =k⋅ x
12
k G2 G2
⋅ ( x2 − x1 )
2
da Arbeit verrichtet werden muss
WS
G
x1
G
x2
G
x
d) Reibarbeit
Ein Körper werde auf horizontaler Ebene (WH = 0) mit konstanter
G
Geschwindigkeit v = const. (WB = 0) bewegt. Zur Überwindung der Reibkraft
G
FR = µ ⋅ m ⋅ g ist Reibarbeit WR nötig.
G
FR
G
s
G
G
F entgegengesetzt zu s ⇒ Minus-Zeichen
6
8.2
Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit
G
WR = −µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s
13
Arbeit muss verrichtet/geleistet werden
G
G
e) Fall, bei dem F und s nicht parallel sind
Welche Arbeit bringt der Motor einer Schiffsschaukel auf, der das „Schiff“ der
Masse m reibungsfrei aus der Gleichgewichtslage von unten nach oben
dreht? Der Abstand von der Achse zur Masse sei r.
m
m
G
FG
m
G
FG
ϕ
r
y
G
FG
α
x
G
ds
G
FG
Nachdem was wir bislang wissen, müssen wir über den Halbkreis integrieren,
G
G
da sich der Winkel α zwischen der Schwerkraft F und den Wegstückchen ds
kontinuierlich ändert. Genauer gesagt, ist
8.2
Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit
oben
W =
∫
unten
14
G G π
F ⋅ ds = ∫ m ⋅ g ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ cos α
0
G
G
mit F = −FG = m ⋅ g, wobei wir ausgenutzt haben, dass ein kleines KreisbogenG
stück gerade gleich Radius mal Winkeländerung ist (ds = r ⋅ dϕ). Drücken wir
α durch ϕ (α = π 2 − ϕ) aus, wird aus unserem Integral
π
W = m ⋅ g ⋅ r ⋅ ∫ cos( π 2 − ϕ) dϕ
0
mit cos( π 2 − x ) = sin x ergibt dies:
π
W = m ⋅ g ⋅ r ⋅ ∫ sin ϕ dϕ = m ⋅ g ⋅ r ⋅ ( − cos ϕ) 0π = m ⋅ g ⋅ r ⋅ [1 − ( −1)]
0
W = 2⋅m⋅g ⋅r
Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn die Schiffsschaukel senkrecht
auf die Höhe h = 2r gehoben hätten.
⇒ Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg
7
8.3
Leistung
15
Bei technischen Anwendungen spielt oft nicht nur die geleistete Arbeit eine
Rolle, sondern auch die Zeit, in der die Arbeit verrichtet wird. Wir führen deshalb
den Begriff der Leistung P („power“) ein. Sie entspricht einer geleisteten Arbiet
pro Zeiteinheit, ist ein Skalar und wird mit P bezeichnet.
P=
W
t
[P ] =
N⋅m J
= = W(att)
s
s
Für eine sich kontinuierlich ändernde Kraft gibt es einen entsprechenden
differentiellen Ausdruck
dW ( t )
dt
G
G
G
ds G
P ( t ) = F (t ) ⋅
= F (t ) ⋅ v (t )
dt
P (t ) =
G
der die momentane Leistung angibt, wenn mit einer Kraft F und einer
G
Geschwindigkeit v Arbeit verrichtet wird. Die gesamte verrichtete Arbeit
ergibt sich wieder aus dem Integral über die Leistung
W =∫
8.3
G
G
dW
d t = ∫ P (t )d t = ∫ F (t ) ⋅ v (t )d t
dt
Leistung
16
Größenordnungen von Leistungen
Kraftwerke
1500 MW
Flugzeugtriebwerke (Boeing 727)
Lokomotiven
3 × 5 MW
einige MW
Automotoren
Öfen für Zimmerheizung
Dauerleistung eines Menschen
Glühlampen
20 … 200 kW (1 PS = 736 W)
1 … 10 kW
100 W
10 … einige 100 W
8
8.4
Energie
17
Einer der wichtigsten Begriffe in der Physik ist Energie. Die an einem
abgeschlossenen System verrichtete Arbeit wird in irgendeiner Form
gespeichert. Diese gespeicherte Arbeit heißt Energie. Da die gespeicherte Arbeit
wieder freigesetzt werden kann, ist Energie die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
Man vereinbart daher die Vorzeichen bei der Arbeit so, dass an einem System
geleistete Arbeit dessen Energie vergrößert. Einfaches Beispiel dieses
Konzeptes ist die hochgehobene Masse m. Lässt man sie los, fällt sie wieder
herunter. Mit dem Hochheben hat man an ihr Arbeit verrichtet, sie speichert im
hochgehobenen Zustand so genannte potentielle Energie. Diese potentielle
Energie kann durch Herunterfallen in Bewegungsenergie umgesetzt werden.
Die Verwendung des Begriffs potentielle Energie ist nur erlaubt, wenn die Kraft
ausschließlich ortsabhängig ist.
Kräfte, die diese Eigenschaften haben, werden konservativ genannt.
(Beispiele: Gravitationskraft – Massenanziehung,
Coulombanziehung – elektrostatische Anziehung, …)
Die Arbeit gegen eine konservative Kraft führt also zur Speicherung in Form von
potentieller Energie.
8.4
Energie
18
Es gilt demnach für die Änderung in der potentiellen Energie Epot
2 G
G
∆Epot = − ∫ F ⋅ ds
1
G
Das Minuszeichen drückt aus, dass wir die Arbeit gegen eine Kraft F verrichten.
G
G
Für den Fall der Masse m, die von h = 0 auf die Höhe h gehoben wird (F = −m ⋅ g ),
erhöht sich die potentielle Energie um
Epot = + m ⋅ g ⋅ h
Für eine gespannte Feder ist die potentielle Energie
1
Epot = + k ⋅ x 2
2
Wird die Kraft hingegen ausschließlich zur Änderung der Geschwindigkeit
verwendet, ist die gespeicherte Energie eine Funktion der Geschwindigkeit.
Sie heißt Bewegungsenergie oder kinetische Energie Ekin.
9
8.4
Energie
19
2 G
G 2
G G
Ekin = ∫ F ⋅ ds = ∫ m ⋅ a ⋅ ds
1
Ekin =
1
G
1
⋅ m ⋅v 2
2
Die kinetische Energie nimmt also quadratisch mit der Geschwindigkeit zu.
G
G
Mit dem vorhin definierten Impuls p := m ⋅ v können wir die kinetische Energie
auch folgendermaßen ausdrücken
Ekin =
G
p2
2⋅m
Bem.:
Die Reibarbeit WR = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s wird nicht in eine der mechanischen Energieformen (Epot oder Ekin ) gespeichert, sondern in Form von Wärmeenergie.
WR = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s → Wärme
8.5
Felder
20
Es gibt noch einen Begriff, den wir zu unserer Erleichterung einführen wollen
und zwar ist es der des Feldes. Ein Feld gibt es uns die Möglichkeit, räumlich
variierende Vektoren zu beschreiben. Für jeden Punkt eines Feldes muss
demnach eine Richtung und ein Betrag angegeben sein.
G
Ein Beispiel ist das Gravitationsfeld EGr , bei dem die Gravitationskraft immer
in Richtung der sie verursachenden Masse zeigt und betragsmäßig mit dem
Quadrat des Abstandes abnimmt. Ein anderes Beispiel ist das elektrische Feld.
Vergleich Gravitationsfeld und elektrisches Feld
Gravitationskraft (-gesetz):
Coulombgesetz:
G
m ⋅m G
FGr = −G ⋅ 1 2 2 ⋅ e21
r12
G
G
FGr = m2 ⋅ EGr
G
FCol =
G
m G
EGr = −G ⋅ 21 ⋅ e21
r12
G
FCol
Gravitationsfeld
1 q1 ⋅ q2 G
⋅ 2 ⋅ e21
4πε0
r
G
= q2 ⋅ ECol
G
ECol =
1 q1 G
⋅ ⋅ e21
4πε0 r 2
elektrische
Feldstärke
10
8.5
Felder
21
Beschreibt das Feld eine konservative Kraft, ist es ein konservatives Kraftfeld.
Für konservative Kraftfelder gelten Besonderheiten:
a) Die Arbeit, die gegen ein konservatives Kraftfeld verrichtet wird, ist unabhängig vom eingeschlagenen Weg und damit ausschließlich von Anfangsund Endpunkt bestimmt.
2 G
G
W = ∫ F ⋅ ds = Epot,2 − Epot,1
für konservative Kraftfelder
1
b) Es folgt die äquidistante Aussage, dass die Arbeit entlang eines geschlossenen Weges in einem konservativen Kraftfeld Null ist.
G
G
v∫ F ⋅ ds = 0
Bem.:
Der Feldbegriff ist von der Probemasse bzw. Probeladung unabhängig und
beschreibt die Kraftwirkung auf sie (allgemeine Theorien möglich).
8.6
Satz von der Erhaltung der Energie
8.6.1
Energieumwandlung
22
Die beiden mechanischen Energieformen Epot und Ekin können schon bei sehr
einfachen mechanischen Vorgängen ineinander umgewandelt werden. Dabei
entsteht im idealen Fall kein Verlust an Energie.
Beispiele:
a) Fadenpendel
U1, U2 = Umkehrpunkte
Epot = m ⋅ g ⋅ h0
U1
U2
N
G
v0
Ekin = 0
h0
bei Nulldurchgang:
Epot = 0 und Ekin =
G
1
⋅ m ⋅ v 02
2
Epot (U ) = Ekin (N )
m ⋅ g ⋅ h0 =
G
G
1
⋅ m ⋅ v 02 ⇒ v 0 = 2 ⋅ g ⋅ h
2
11
8.6
Satz von der Erhaltung der Energie
23
b) Tanzende Stahlkugel
Die Kugel wird aus der Höhe h0 fallengelassen und erreicht nach elastischer
Reflexion an der Glasplatte fast wieder die volle Höhe h0:
m ⋅ g ⋅ h0 →
h0
G
G
1
1
⋅ m ⋅ v 02 → ... → ⋅ m ⋅ v 02 → m ⋅ g ⋅ h0
2
2
Glasplatte
8.6
Satz von der Erhaltung der Energie
24
Energiesatz (für mechanische Größen):
In einem abgeschlossenen System bleibt die mechanische Gesamtenergie Eges
= Epot + Ekin konstant, wenn nur konservative Kräfte walten.
Erweiterung zum Allgemeinen:
Satz von der Erhaltung der Energie
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtenergieinhalt konstant.
⇒ Die Energie ist eine Erhaltungsgröße.
Folgerung:
Energie kann weder vernichtet noch aus dem nichts erzeugt werden, sie kann
nur von einer Form in eine andere Energieform umgewandelt werden.
⇒ Es gibt kein Perpetuum mobile 1. Art.
12
8.7
Stoßprozesse
25
Bei einem Stoß berühren sich (mindestens) zwei Körper kurzzeitig, wobei sie
abrupt ihre Bewegungszustände ändern. Typisch ist eine sehr kurze Kontaktzeit,
in der meist hohe Kräfte auftreten.
Beispiele: Billardstöße, Autounfälle, Stöße zwischen Atomen, …
Die Einteilung der Stöße erfolgt nach zwei Kriterien:
a) nach dem geometrischen Ablauf
b) nach der Aufteilung der Geometrie
8.7.1
Gerader, zentraler, elastischer Stoß
Zwei vollkommen elastische Körper bewegen sich auf einer geraden Linie
aufeinander zu und erleiden einen geraden zentralen elastischen Stoß.
G
G
v2
v1
m1
m2
vor dem Stoß
G
u1
8.7
m1
m2
G
u2
Stoß
nach dem Stoß
Stoßprozesse
26
a) Da das System abgeschlossen ist, gilt der Impulssatz:
G
G
G
G
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2
Impulssatz, Impulserhaltung
b) Da der Stoß vollkommen elastisch sein soll (ideal), geht keine kinetische
Energie verloren.
m1 ⋅
G
G
G
G
v12
v2
u2
u2
+ m2 ⋅ 2 = m1 ⋅ 1 + m2 ⋅ 2
2
2
2
2
Energiesatz, Energieerhaltung
Annahme:
G G
v1, v 2 vor dem Stoß seien bekannt
G G
u1, u2 nach dem Stoß seien gesucht
⇒ zwei Gleichungen, zwei Unbekannte
Durch Umformen erhalten wir:
aus Energiesatz:
G
G
G
G
m1 ⋅ (v12 − u12 ) = m2 ⋅ (v 22 − u22 )
G G
G G
G
G
G
G
m1 ⋅ (v1 − u1) ⋅ (v1 + u1) = m2 ⋅ (v 2 − u2 ) ⋅ (v 2 + u2 )
13
8.7
Stoßprozesse
27
G G
G
G
m1 ⋅ (v1 − u1) = m2 ⋅ (v 2 − u2 )
aus Energiesatz:
Division beider Gleichungen ergibt:
G G
G
G
v1 + u1 = u2 + v 2
G G
G G
⇒ v1 − v 2 = −(u1 − u2 ) (∗)
Vom Körper 2 aus gesehen, bewegt sich Körper 1 nach dem Stoß mit derselben
Relativgeschwindigkeit weg (−), mit der er vor dem Stoß auf Körper 2 zugelaufen
ist.
Setzt man (∗) in den Impulssatz ein, so erhält man:
G m − m2 G
2 ⋅ m2 G
⋅ v1 +
⋅ v2
u1 = 1
m1 + m2
m1 + m2
G
2 ⋅ m1 G m2 − m1 G
⋅ v1 +
⋅ v2
u2 =
m1 + m2
m1 + m2
Stoßgesetze für den
elastischen Stoß
8.7
Stoßprozesse
8.7.1
Gerader, zentraler, inelastischer Stoß
28
Sind die beiden Stoßparameter völlig inelastisch, dann treten beim Stoß keine
Rückstellkräfte auf. Nach dem Stoß bleiben die beiden Stoßparameter zusammen
G
und bewegen sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit u.
m1
G
v1
G
v2
m1+m2
mit dem Impulssatz:
G
u
m2
vor dem Stoß
nach dem Stoß
G
G
G
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = (m1 + m2 ) ⋅ u
G
G
G m ⋅ v + m2 ⋅ v 2
u= 1 1
m 1+ m 2
G
Bem.: u lässt sich allein aus dem Impulssatz bestimmen.
Energieerhaltung:
G
G
G
v2
v2
u2
m1 ⋅ 1 + m2 ⋅ 2 = (m 1+ m2 ) ⋅
+ ∆E
2
2
2
∆E = Verlust an kinetischer Energie
(Verformungsarbeit und Wärme)
14

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