Lösungen

Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“
Seite 10
Aufgaben Zentrische Streckung
1
a)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden
2. Die Strecke ZC halbieren (das entspricht
der Streckung mit k = 0.5)  C’
3. Parallelverschieben CB // durch C’  B’
4. AB // durch B’  A’
5. AE // durch A’  E’
6. vervollständigen.
b)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden
2. Die Strecke ZD verdoppeln (hier mit
dem Kreis, es geht auch mit einer
anderen Verbindung mit Z). Das
entspricht der Streckung mit k = 2  D’
3. Parallelverschieben CD // durch D’ 
C’
4. CB // durch C’  B’
5. BA // durch B’  A’
6. vervollständigen.
c)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden
2. Die Strecke ZC auf die andere Seite
abtragen (hier mit dem Kreis gezeigt)
 P. Die Strecke ZP halbieren und von
P aus noch weiter abtragen (so ergibt
sich eine Streckung mit k = (-1.5)  C’
3. vervollständigen durch
Parallelverschieben.
d)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden
(Dreiecksseiten verlängern)
2. Die Strecke ZC halbieren  M
3. MC auf die andere Seite von C abtragen
(hier mit dem Kreis). Das entspricht der
Streckung mit k = 1.5  C’
4. Parallelverschieben CB // durch C’  B’
5. vervollständigen.
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Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“
Seite 11
Aufgaben Zentrische Streckung
2
a)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1.
2.
3.
4.
b)
AB verlängern
CB // durch C’ schneiden mit AB  B’
vervollständigen.
Z = A = A’, weil A Fixpunkt ist (wird auf
sich selber abgebildet)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. AB // durch A’
2. ED // durch E’
3. AD verbinden, AD // durch A’ schneiden
mit Parallele ED durch E’  D’
4. EB verbinden, EB // durch E’ schneiden
mit Parallele AB durch A’  B’
5. BC // durch B’ schneiden mit DC // durch
D’  C’
6. vervollständigen.
7. Z muss auf AA’ und EE’ liegen. Somit
genügt es, einen weiteren Punkt mit
seinem Bild zu verbinden (hier BB’). Der
Schnittpunkt dieser Verbindungen ist Z.
c)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. AE // durch A’ schneiden mit DE // durch
D’  E’
2. EB verbinden
3. EB // durch E’ schneiden mit AB // durch
A’  B’
4. DC // durch D’ schneiden mit BC // durch
B’  C’
5. vervollständigen.
6. Z muss auf AA’ und DD’ liegen. Somit
genügt es, einen weiteren Punkt mit
seinem Bild zu verbinden (hier EE’). Der
Schnittpunkt dieser Verbindungen ist Z.
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Seiten 11 / 12
Aufgaben Zentrische Streckung
3
a)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1.
2.
3.
4.
5.
b)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
c)
DZ schneiden mit g  D’
DC // durch D’ schneiden mit CZ  C’
CB // durch C’ schneiden mit BZ  B’
BA // durch B’ schneiden mit AZ  A’
vervollständigen
EZ schneiden mit g  E’
ED // durch E’ schneiden mit DZ  D’
DC // durch D’ schneiden mit CZ  C’
CB // durch C’ schneiden mit BZ  B’
AB // durch B’ schneiden mit AZ  A’
vervollständigen
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden.
2. Für jede Lösung jeweils beim jeweiligen
Schnittpunkt mit g beginnen und parallel
verschieben. So entstehen die drei Lösungen.
3. Die grösste Bildfigur rot markieren, die
anderen beiden mit anderen Farben.
d)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Alle Bildpunkt mit Z verbinden.
2. Nun betrachten wir die Möglichkeiten und
entdecken, dass die Version mit B’ auf g am
kleinsten wird (Die Strecke wird deutlich
verkürzt. Bei C’ auf g würde CZ etwa halbiert,
bei A’ auf g wird die Figur enorm vergrössert).
3. Parallelverschieben
4. Vervollständigen.
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Aufgaben Zentrische Streckung
4
a)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
b)
1. Die Figur kann als zentrische Streckung
bezüglich des markierten Punktes Z
betrachtet werden. Wir beginnen mit einem
Rechteck (dazu brauchen wir die
Winkelhalbierende w und dazu ein Lot  D’,
C’)
2. Ein beliebiges Hilfsrechteck zeichnen, dessen
Breite der Hälfte der Länge entspricht (A’, B’)
3. Dieses Hilfsrechteck von Z aus strecken, bis A
und B auf dem Dreieck liegen.
4. Parallelverschieben
5. Vervollständigen.
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Den Mittelpunkt des Durchmessers
bestimmen (M)
2. Einen Punkt A’ auf dem Kreisdurchmesser
bestimmen, den Punkt A’
3. Parallelverschieben
4. Vervollständigen.
5
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Einen beliebigen Winkel an A anlegen.
2. Auf diesem Schenkel 13 gleiche Stücke
abtragen
3. Endpunkt auf dem Schenkel mit B verbinden.
4. Parallelverschieben
6
a)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen,
welche g schneidet (dort liegt A’)
2. Die Strecke PA’ verdoppeln ( Q)
3. Die Strecke A’Q halbieren und A’Q um diese
Hälfte verlängern (so erzeugen wir die um
zweieinhalb mal längere Strecke PB’)
4. g // durch B’ verschieben schneiden mit h 
B
5. BP verbinden, der Schnittpunkt mit g ist A.
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Aufgaben Zentrische Streckung
6
b)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen,
welche h schneidet (dort liegt B’)
2. Die Strecke PB’ auf die andere Seite von P
abtragen und verdoppeln ( A’)
3. h // durch A’ verschieben schneiden mit g 
A
4. AP verbinden, der Schnittpunkt mit h ist B.
c)
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
7
1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen,
welche h schneidet (dort liegt B’)
2. Hilfswinkel zeichnen für Streckenteilung.
Darauf tragen wir 5 gleiche Stücke ab (das
Verhältnis 3:2 ergibt 5 Stücke!)
3. Den dritten Teilpunkt mit B’ verbinden, diese
Strecke parallel durch den letzten Teilpunkt
auf dem Hilfswinkel verschieben. Der
Schnittpunkt mit der Geraden PB’ ist A’.
4. h // durch A’ verschieben schneiden mit g 
A
5. AP verbinden, der Schnittpunkt mit h ist B.
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
8
1. An den Punkt C einen Hilfswinkel anlegen.
2. Auf diesem Strahl neun (Verhältnis 5:4 ergibt
9 Stücke) gleiche Stücke abtragen.
3. Den letzten Punkt (9) mit dem Endpunkt D
verbinden.
4. Die Strecke 9D // durch den Teilpunkt 5
verschieben.  T
Konstruktionsbericht (Vorschlag):
1. Auf dem Kreis einen beliebigen Punkt P
wählen.
2. Den Punkt P und den Kreismittelpunkt M von
Z aus mit k= 1.5 strecken.  M’, P’
3. Den Kreis o’ zeichnen: o’ (M’, r= M’P’)
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Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“
Seiten 14 / 15
Aufgaben Zentrische Streckung
9
1. Parallele zu BC irgendwo in der
Nähe von A legen (da eine Seite auf
BC liegt, ist die gegenüberliegende
Seite dazu parallel
2. Die Seite S’P’ mittels Konstruktion in
drei Teile teilen.
3. Einen Teil von S senkrecht abtragen
 R’
4. Hilfsrechteck vervollständigen.
5. Hilfsrechteck von A aus strecken, so
dass R und Q auf BC liegen
6. Vervollständigen
10
1. Parallele zu zur Z gegenüberliegenden Dreieckseite irgendwo in
der Nähe von Z legen ( aus der
Skizze kann diese Lage entnommen
werden)
2. So finden sich A’ und B’.
3. Nun einen Thaleskreis über A’B’
(wegen dem rechten Winkel!)
4. Die Seite A’B’ halbieren und diesen
Abstand von A’ aus abtragen (weil
AB = 2AC)
5. Der Schnittpunkt mit dem
Thaleskreis ist C’.
6. Das Hilfsdreieck von Z aus strecken,
dass C auf der dritten Dreiecksseite
liegt.
7. Vervollständigen
11
1. Jeden Eckpunkt der Originalfigur mit
dem Streckzentrum Z verbinden.
2. Eine Verbindungsstrecke (hier EZ) in
drei gleichgrosse Teile teilen
(konstruktiv). Zwei weitere Teile
anhängen auf dem Hilfswinkel und
diesen Endpunkt parallel zur Strecke
Punkt3-E durch den Endpunkt 5
verschieben  P’ (ist jetzt die um
5
3 gestreckte Strecke EZ)
3. P’ an Z punktspiegeln (somit ist der
5
Faktor (–3 )
4. Parallelverschieben und so
vervollständigen.
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Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“
Seiten 23 / 24 / 25
Aufgaben Ähnlichkeit
1
Vorbemerkung: Alle abgebildeten Dreiecke sind ähnlich (weil sie lauter gleiche Winkel haben). Also
gilt jeweils:
kurze Seite Dreieck 1 lange Seite Dreieck 1 Basis Dreieck 1
kurze Seite Dreieck 2 = lange Seite Dreieck 2 = Basis Dreieck 2
a)
b)
c)
d)
14
8
x
12
x
30
x
36
x
= 18
40
= 16
36
= 48
35
= 45
14  18
 x=31.5
8
40  12
 16x =4012  x = 16  x = 30
30  36
 48x =3036  x = 48  x=22.5
35  36
 45x =3536  x = 45  x = 28
 8x =14  18 x =
8
y
8  21
14 = 21  15y =218  y = 14  y = 12
16
y
22  16
40 = 22  40y =2216  y = 40  y = 8.8
48
y
48  54
=

36y
=4854

y
=
36 54
36  y = 72
y mit Pythagoras: y =
z mit Pythagoras: z =
452 - 362 = 27
352 - 282 = 21 (ginge auch mit
Ähnlichkeit)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
Nach 2. Strahlensatz gilt:
6m
3
1.69 m
2
x
40
40  36
y
32
37  32
36 = 32 32x =4036  x = 32  x = 45
37 = 40  40y =3732  y = 40  y = 29.6
x
144
144  100
100 = 120 120x=144100x= 120 x=120
x
1.2
2.1  1.2
y 2.1+x
6.  2.8
2.1 = 4.6 4.6x=2.11.2 x= 4.6  x = 0.55 6 = 2.1  2.1y =6  2.8  y = 2.1  y = 8
x 1.5
4  1.5
y
2.5
2.5  7
z 6
67
4 = 2.5  x= 2.5  x = 2.4
7 = 2.5 + 1.5  y= 4 y = 4.375
7 = 4  z = 4  z = 10.5
x
12
25  12
y
16
16  30
25 = 16  x = 16  x = 18.75
30 = 25  y = 25  y =19.2
x
5g
5g  9f
y
12f
6g  12f
 y = 9f
9f = 6g  x = 6g  x = 7.5f
6g = 8g  y =
8g
3.5 m
x
x+3.5
6
=
3.5
1.69
¦¦ HN
1.69(x+3.5)
=
63.5
¦¦ vereinfachen
¦¦ -5.915
¦¦ : 1.69
1.69x + 5.915 =
1.69x
=
x
=
21
15.058
8.926
Der Scheinwerfer steht 8.926m entfernt.
b)
3.6 m
1.69 m
Nach 2. Strahlensatz gilt:
15m
4
x
x+15
3.6
=
x
1.69
1.69(x+15)
=
3.6x
1.69x + 25.35 =
25.35
=
x
=
¦¦ HN
¦¦ vereinfachen
3.6x
¦¦ -1.69x
1.91x
¦¦ : 1.91
13.27225
Der Schatten wird 13.27m lang.
Konstruktionsbericht:
a)
1.
2.
3.
4.
Hilfsrechteck mit Seitenlängen 4cm und 5cm
(richtiges Seitenverhältnis)
Auf der Diagonale von A aus 5cm abmessen  C
Strecken des Hilfsrechteckes (Parallelverschieben
durch C)
Lösung rot markieren
(Lösung ist verkleinert gezeichnet)
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Aufgaben Ähnlichkeit
4
b)
Konstruktionsbericht:
1. Diagonale BD’ = 5cm
2. Mittelsenkrechte auf diese Diagonale (Im Rhombus
stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander)
3. k (B, r= 3cm) schneiden mit Mittelsenkrechte
 C’, A’
 Hilfsrhombus mit Verhältnis 5:3 von B’D’ zu B’C’
4. Auf der Diagonale BD 7cm abmessen (dies ist, wie
man sieht, die längere Diagonale)  D
5. Strecken des Hilfsrhombus (D’C’ // durch D und
D’A’ // durch D, mit dem Strahl BC’ rsp. BA’
schneiden)
6. Lösung rot markieren
Konstruktionsbericht:
1. Hilfstrapez zeichnen (rechtwinklig, Parallelseiten
verhalten sich wie 3:2, Höhe zur kürzeren
Parallelseite wie 2:1  Also längere Parallelseite
3cm, kürzere 2cm, Höhe 4cm.)
2. Auf zweiter Schrägseite 5.5 cm abmessen  C
3. Strecken des Hilfstrapezes an B.
4. Lösung rot markieren
(Lösung ist verkleinert gezeichnet)
c)
 Hier wäre auch eine „umgekehrte Lösung denkbar,
wo der rechte Winkel bei B liegt.
(Lösung ist verkleinert gezeichnet)
d)
Konstruktionsbericht:
1. Hilfsdreieck zeichnen (Winkel β = 65°, A’B’ = 5cm,
B’C’ = 4cm)
2. Im Hilfsdreieck die Höhe einzeichnen ( F’)
3. Einen Höhenstreifen // zu A’B’ mit Abstand 5cm
(für die Höhe des gesuchten Dreiecks)
4. Strecken des Hilfsdreiecks an B (BC’ schneiden mit
Höhenstreifen = C, danach A’C’ durch C parallel
verschieben  A) .
5. Lösung rot markieren
(Lösung ist verkleinert gezeichnet)
e)
Konstruktionsbericht:
1. Hilfshypothenuse mit Länge 9cm zeichnen (wegen
Teilverhältnis 4:5), darauf den Punkt F’ (A’F’ = 4cm,
F’B’ = 5cm)
2. Höhe als Senkrechte auf Hypothenuse einzeichnen
und mit Thaleskreis über A’B’ schneiden  C’
3. Das Hilfsdreieck ist fertig
4. Auf der kürzeren Kathete 4.5cm abtragen  C
5. Hilfsdreieck an A strecken (B’C’ // durch C  B)
6. Lösung rot markieren.
AB
AC
BC
Wegen der Ähnlichkeit gilt: A'B' = A'C' = B'C'
(Lösung ist verkleinert gezeichnet)
5
a)
Skizze:
C
C’
2cm
4cm
B
A
A’
AC
4
44.5
1. AC: 4.5 = 6.5  AC = 6.5 = 2.769cm
4.5 cm
B'C'
6.5 cm
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6.5
26.5
2. B’C’: 2 = 4  B’C’ = 4.5 = 2.889cm
B’
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Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“
Seiten 27 / 28
Aufgaben Ähnlichkeit
5
b)
Skizze:
C
90cm2
1. ha berechnen (damit man zugeordnete
C’
ha
Verhältnisse erhält)  AABC =
15cm
Also ha =180 : 15 = 12 cm
4cm
18cm
B
A
AB
12
2112
18 = 14 cm
2. AB: 21 = 18  AB =
21 cm
A’
B’
B'C'
18
3. B’C’: 15 = 12  B’C’ =
6
1518
12 = 22.5 cm
Alle Dreiecke sind ähnlich (gleiche Winkel)
AB
45
1. Es gilt: 45 = 36  AB =
25mm
36mm
BC
45
4545
36 = 56.25mm
2545
2. Ebenso: 25 = 36  BC= 36 =31.25 mm
45mm
ED
25
3. und 36 = 45  ED =
7
ha15
2 
2536
45 = 20 mm
4. Damit ist der Streckenzug
ABCDE = 56.25+31.25 + 25 + 20=132.5 mm
Dies ist eine Strahlensatzfigur (1.Strahlensatz).
Daher gilt:
a)
x
15 cm
4.5 cm
18 cm
hc
x + 4.5
18
5(x+4.5)
5x +22.5
22.5
x
15
6x
6x
x
=
=
=
=
¦¦  HN (90)
¦¦ v
¦¦ - 5x
Das Dreieck war 27cm hoch (hc = x + 4.5).
b)
21
a
1. Es gilt: 30 = 12  a=
c
27
2112
30 = 8.4
2. Ebenso: a = 21  c =
b
13
8.427
21 = 10.8
2113
3. und 21 = a  ED = 8.4 = 32.5
c)
Die Dreiecke AFC und CFB sind ähnlich. Dabei
haben die Seiten folgende Funktion:
5
x
8
AF: kurze Kathete im Dreieck AFC
CF: kurze Kathete im Dreieck BFC und lange Kathete im
Dreieck AFC
FB: lange Kathete im Dreieck BFC.
kurze Kathete
kurze Kathete
AF
CF
Also gilt: lange Kathete = lange Kathete  CF = FB
x
5
55
somit : 5 = 8  x = 8 = 3.125
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Aufgaben Ähnlichkeit
7
d)
Die Dreiecke AFC und BFC sind ähnlich. Dabei
haben die Seiten folgende Funktion:
AF: kurze Kathete im Dreieck AFC
CF: kurze Kathete im Dreieck BFC und lange Kathete im
Dreieck AFC
FB: lange Kathete im Dreieck BFC.
AC: Hypotenuse im Dreieck AFC
CB: Hypotenuse im Dreieck BFC
10
8
Mit Pythagoras lässt sich die Seite CF berechnen:
x
CF = 102 - 82 = 6
Durch Ähnlichkeit gilt:
kurze Kathete kurze Kathete
CF BF
=

lange Kathete lange Kathete
AF = CF
6
8
a)
Seitenverhältnis = 1 :
b)
x
66
somit : 8 = 6  x = 8 = 4.5
Das Flächenverhältnis beträgt 3 : 9. Dies entspricht dem Verhältnis 1: 3.
Das heisst, dass das Seitenverhältnis = 1 : 3 und damit
3  Der Streckfaktor ist also k =
3
Das grössere Quadrat hat eine Fläche von 100cm2. Also ist die Seitenlänge im grossen Quadrat =
100 = 10
3
x
Das Seitenverhältnis ist 3:5, somit gilt 5 = 10 , also x = 6 cm.
anderer Weg:
Seitenverhältnis 3:5  Flächenverhältnis 9 : 25. Somit ist die Fläche des kleinen Quadrates 36cm2.
Also x = 6cm
c)
Das kleinere Quadrat hat eine Seitenlänge von 6cm.
Seitenverhältnis: 3 :6  Flächenverhältnis 9 : 36.
Das grössere Rechteck hat 504cm2 Fläche und eine Seite von 42cm.
Also ist die andere Seite = 504 : 42 = 12cm.
Entsprechend die Seitenlängen im kleinen Rechteck:
3 Länge
6 = 42  Länge = 21cm
9
a)
3 Breite
6 = 12  Breite = 6cm
Somit hat das kleine Rechteck die Länge 21cm und die Breite 6cm.
Das Flächenverhältnis entspricht 9:36 oder 1:4
Idee:
Vierfache Fläche heisst doppelte Seitenlänge
(weil Flächenverhältnis 1:4  Seitenverhältnis
1:2)
Konstruktionsbericht:
1. AB verdoppeln  B’
2. Figur von A aus strecken (mit
Parallelverschieben zur Lösung kommen!)
3. Lösung rot markieren
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Seite 30
Aufgaben Ähnlichkeit
9
b)
Idee:
Doppelte Fläche heisst 2 -fache Seitenlänge (weil
Flächenverhältnis 1:2  Seitenverhältnis 1: 2 ). eine
um 2 längere Strecke kann mittels Diagonale im
Quadrat konstruiert werden (siehe Pythagoras, „Die
Diagonale im Quadrat“
10
a)
Konstruktionsbericht:
1. halbes Quadrat zeichnen (hier z.B. über AC
 ergibt Punkt H. Die Strecke AH ist jetzt
2 länger als AC.
2. AH auf dem Strahl AC abtragen  C’
3. Figur strecken (Parallelverschieben
ausnützen)
4. Lösung rot markieren.
Konstruktionsbericht:
1. AA’ und BB’ schneiden  Z
2. TZ mit A’B’ schneiden  T’
b)
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Konstruktionsbericht:
1. Parallele zu D’C’ durch C
2. T und D auf die Parallele drehen (
Zentrische Streckung funktioniert nur bei
parallelen Geraden, also bringen wir die
Strecke CD in eine parallele Lage zu C’D’.
3. D1 mit D’ und CC’ verbinden , schneiden
Z
4. T1 mit Z verbinden, mit C’D’ schneiden
 T’
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