Exemplarische Aufgabenstellungen – Angabe für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
BHS
Oktober 2015
Angewandte Mathematik
Kompensationsprüfung (Cluster 1)
Angabe für Prüfer/innen
öffentliches Dokument
Hinweise zur standardisierten Durchführung der mündlichen
Kompensationsprüfung in Angewandter Mathematik (BHS)
Die alle Fächer betreffenden Durchführungshinweise werden vom BMBF gesondert erlassen. Die
nachfolgenden Hinweise sollen eine standardisierte Vorgehensweise bei der Durchführung der
mündlichen Kompensationsprüfung in Angewandter Mathematik unterstützen.
–Die vorgesehene Prüfungszeit beträgt maximal 25 Minuten, die Vorbereitungszeit
mindestens 30 Minuten.
–Falls am Computer gearbeitet wird, ist jede Seite vor dem Ausdrucken so zu beschriften, dass sie der Kandidatin / dem Kandidaten eindeutig zuzuordnen ist.
–Erlaubte Hilfsmittel: Die Verwendung eines durch die Schulbuchaktion approbierten
Formelhefts und elektronischer Hilfsmittel (grafikfähige Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern die Kommunikation nicht nach außen
getragen werden kann und keine Eigendaten in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.
–Schreiben Sie Beginn und Ende der Vorbereitungszeit ins Prüfungsprotokoll.
–Im Rahmen des Prüfungsgesprächs sind von der Prüferin / dem Prüfer die „verbalen
Fragestellungen“ verpflichtend zu stellen.
–Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgabe, Arbeitsblätter etc.) der Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produzierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen nicht öffentlich werden.
Das Konzeptpapier zur mündlichen Kompensationsprüfung in Angewandter Mathematik finden Sie
auf der BIFIE-Website: https://www.bifie.at/node/2315.
Relevanter Auszug aus dem Schulunterrichtsgesetz (§ 38 Abs. 5) zur Gesamtbeurteilung der
beiden Teilprüfungen:
Sofern im Rahmen einer Vorprüfung Teilprüfungen abgelegt wurden, hat die Prüfungskommission der Vorprüfung auf Grund der gemäß Abs. 1 festgesetzten Teilbeurteilungen die Beurteilung
der Leistungen des Prüfungskandidaten in diesen Prüfungsgebieten festzusetzen. Sofern im Rahmen der Klausurprüfung bei negativer Beurteilung einer Klausurarbeit eine zusätzliche mündliche
Kompensationsprüfung abgelegt wurde, hat die Prüfungskommission der Hauptprüfung auf Grund
der Teilbeurteilung der Klausurarbeit mit „Nicht genügend“ und der Teilbeurteilung der mündlichen
Kompensationsprüfung die Beurteilung der Leistungen des Prüfungskandidaten im betreffenden
Prüfungsgebiet mit „Befriedigend“, „Genügend“ oder „Nicht genügend“ festzusetzen.
Kompensationsprüfung / Oktober 2015 / AMT Cluster 1 / Prüfer/in
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S. 2/6
a)
Vasen unterschiedlicher Form werden aus Holz gedrechselt.
Für 2 unterschiedliche Vasentypen ist das Volumen angegeben:
Das Volumen einer zylindrischen Vase wird ermittelt mit: Vz = r 2 ∙ π ∙ h
Das Volumen einer kegelförmigen Vase mit r = h wird bestimmt mit: Vk = h³ ∙ π
3
– Formen Sie sowohl die Volumenformel für die zylindrische Vase als auch jene für die
kegelförmige Vase nach der Höhe h um. (B)
Die Vasen werden mit Wasser gefüllt. Das pro Zeiteinheit zufließende Wasservolumen ist
konstant.
– Argumentieren Sie, für welche der beiden beschriebenen Vasen die Wasserhöhe direkt
proportional zur Fülldauer ist. (R)
Lösung:
Vz
r2 · π
3 · Vk
π
(B): Vz = r 2 · π · h ⇒ h =
Vk = h³ ∙ π ⇒ h =
3
3
(R): Wenn konstantes Volumen zufließt, dann ist das Füllvolumen direkt proportional zur
Zeit.
In der zylindrischen Vase ist die Höhe direkt proportional zum Volumen, daher auch
direkt proportional zur Fülldauer.
Verpflichtende verbale Fragestellung:
– Wie verändert sich das Volumen eines Drehzylinders, wenn der Radius halbiert und
die Höhe verdreifacht wird? (R)
Vneu =
( 2r ) · π · 3h = r4 · π · 3h = 34 · V
2
2
alt
Das Volumen verringert sich dadurch um 25 %.
Kompensationsprüfung / Oktober 2015 / AMT Cluster 1 / Prüfer/in
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S. 3/6
b) Durch Rotation des Graphen der Funktion
y = –0,00005 ∙ x 4 + 0,0047 ∙ x 3 – 0,14 ∙ x 2 + 1,3 ∙ x + 5
im Intervall [0; 22] um die x-Achse wird eine Vase beschrieben, deren Boden am unteren
Intervallrand liegt.
x, y ... Koordinaten in Zentimetern (cm)
– Zeichnen Sie den Funktionsgraphen. (B)
– Kennzeichnen Sie im Funktionsgraphen den kleinsten und den größten Vasenradius. (R)
– Berechnen Sie diese Radien. (B)
Die Vase ist mit 2 Litern Wasser befüllt.
– Berechnen Sie die Höhe des Wasserstandes in der Vase. (A, B)
Lösung:
(B, R):
y in cm
8,75
7,5
6,25
5
3,75
2,5
1,25
x1
0
2
4
6
x2
x in cm
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
(B): y ′ = 0:
x1 = 6,67... cm ⇒ rmax = 8,738... ≈ 8,74 cm
minimaler Radius am oberen Rand der Vase:
x2 = 22 cm ⇒ rmax = 4,172... ≈ 4,17 cm
(A, B): Berechnung des Wasserstandes:
h
π ∙ ∫ y 2 dx = 2 000 ⇒ h = 10,016... ≈ 10,02 cm
0
Kompensationsprüfung / Oktober 2015 / AMT Cluster 1 / Prüfer/in
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S. 4/6
Verpflichtende verbale Fragestellung:
Der Graph einer Funktion f erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper. Die Formel zur Berechnung des Volumens dieses Rotationskörpers lautet:
b
V = π ∙ ∫ [f(x)]² dx
a
– Erklären Sie, wie man diese Formel herleiten kann. (R)
Den Rotationskörper kann man näherungsweise durch Zylinderscheiben der Breite ∆x
beschreiben. Der Funktionswert an einer Stelle x stellt den Radius der entsprechenden
Zylinderscheibe dar. Die Querschnittsfläche der Zylinderscheibe wird mit [f(x)]² π berechnet. Bei beliebiger Verfeinerung der Zerlegung, also ∆x → dx , erhält man das Volumen
des Rotationskörpers als Grenzwert. Das Aufsummieren der Volumenelemente entspricht
dabei der Integration.
Kompensationsprüfung / Oktober 2015 / AMT Cluster 1 / Prüfer/in
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S. 5/6
c) Erfahrungsgemäß kann die Arbeitszeit von Studierenden an einem Projekt als annähernd
normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 136 min und der Standardabweichung σ = 9 min
angesehen werden.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Arbeitszeit um höchstens ±15 Minuten vom
Erwartungswert abweicht. (B)
Jemand behauptet, dass der Anteil der Studierenden, die mindestens 136 Minuten am
Projekt arbeiten, 50 % beträgt.
– Begründen Sie mithilfe der Dichtefunktion, warum diese Behauptung richtig ist. (R)
Lösung:
(B): P (121 ≤ X ≤ 151) = 0,9044... ≈ 90,4 %
(R): 136 Minuten entsprechen dem Erwartungswert μ. Die Dichtefunktion ist symmetrisch
um μ. Der gesamte Flächeninhalt unter dem Graphen der Dichtefunktion ist 1.
Also gilt: P(X ≥ μ ) = 0,5 = 50 %.
Verpflichtende verbale Fragestellung:
– Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Dichtefunktion ändert, wenn die Standardabweichung bei gleichbleibendem Erwartungswert kleiner bzw. größer wird. (R)
Bei einer kleineren Standardabweichung wird die Gauß’sche Glockenkurve schmäler und
höher.
Bei einer größeren Standardabweichung wird die Gauß’sche Glockenkurve breiter und
niedriger.
Kompensationsprüfung / Oktober 2015 / AMT Cluster 1 / Prüfer/in
öffentliches Dokument
S. 6/6

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