¨Ubungsblatt 12: Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

HM3
M. Eisermann / F. Stoll / K. Heil
WiSe 2015/2016
Übungsblatt 12: Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Für die Gruppenübungen am 14./15. Januar 2016
Das HM3-Team wünscht Ihnen ein frohes
Weihnachtsfest und einen guten Start in ein
erfolgreiches neues Jahr 2016!
Information zur Scheinklausur: Die zweite Scheinklausur findet statt am Samstag
den 16.01.2016 von 9 bis 11 Uhr. Je nach Anfangsbuchstabe Ihres Nachnamens kommen
Sie bitte zum Hörsaal V 53.01 für A–P und V 47.02 für R–Z. Themen der Klausur sind
die Kapitel K bis T.
VORARBEITEN
1 Wahrheit oder Pflicht: Ja, Nein, Warum? Begründen Sie die folgenden Aussagen
durch ein Ergebnis der Vorlesung oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel aus
unserem Beispielfundus.
(a) Sei f : R2 → R stetig. Dann gibt es zu jedem y0 ∈ R eine Funktion y : [−1, 1] → R
mit y(0) = y0 und y0 (x) = f (x, y(x)) für alle x ∈ R.
(b) Sei f : R2 → R stetig. Zu jedem Startpunkt (x0 , y0 ) ∈ R2 existiert ein Intervall
[x0 , x1 ] mit x1 > x0 und eine Funktion y : [x0 , x1 ] → R mit y(x0 ) = y0 und y0 (x) =
f (x, y(x)) für alle x ∈ [x0 , x1 ].
(c) Sei f : R2 → R stetig. Für je zwei Funktionen y, ỹ : [x0 , x1 ] → R mit y(x0 ) =
ỹ(x0 ) = y0 sowie y0 (x) = f (x, y(x)) und ỹ0 (x) = f (x, ỹ(x)) für alle x ∈ [x0 , x1 ] gilt
Gleichheit y(x) = ỹ(x) für alle x ∈ [x0 , x1 ].
(d) Sei f : R2 → R stetig und nach y stetig differenzierbar. Für je zwei Lösungen wie
in (c) gilt Gleichheit y(x) = ỹ(x) für alle x ∈ [x0 , x1 ].
(e) Ist jede exakte DG separierbar? Ist jede exakte DG linear?
(f) Sei y1 Lösung einer linearen DG y0 (x) + a(x)y(x) = b1 (x) und y2 Lösung der
linearen DG y0 (x) + a(x)y(x) = b2 (x). Löst y1 + y2 die DG y0 (x) + a(x)y(x) =
b1 (x) + b2 (x)? Ist y1 · y2 Lösung der DG y0 (x) + a(x)y(x) = b1 (x) · b2 (x)?
(g) Ist y(x) = c1 e ix + c2 sin(x) + c3 cos(x) mit c1 , c2 , c3 ∈ C die allgemeine Lösung
einer linearen DG dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?
2 Hauptvektoren sind dein Freund! Seien




2
1
3 −4 3
t
−2 −1 −2 3 −2
 1 




 und b(t) = 2e t ·  t  ,
1
1
0
−2
1
A=




0
 0 
0
0 −1 0 
−2 −2 −2 4 −3
−2t
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sowie die linear unabhängigen Vektoren
 
 
 
 
1
0
1
0
0
1
1 
0
 
 
 
 
 , v2 = 0 , v3 = 0 , v4 =  1  ∈ C5 .
1
v1 = 
 
 
 
 
0
1 
0
0
−2
0
0
−1
(a) Berechnen Sie für i = 1, 2, 3, 4 den Vektor Avi und schreiben Sie diesen als
Linearkombination von v1 , v2 , v3 , v4 .
(b) Aus Teil (a) kennen Sie einen vierfachen Eigenwert von A, welchen? Finden Sie
den letzten Eigenwert und dazu einen Eigenvektor v5 . Geben Sie das charakteristische Polynom von A in faktorisierter Form an.
Tipp: Man kann diesen Aufgabenteil lösen, indem man das charakteristische
Polynom als Determinante berechnet, es geht aber auch wesentlich einfacher!
(c) Sei B = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }. Zeigen Sie, dass B eine Basis von C5 ist und geben
Sie die Matrix B = B (A)B an.
(d) Bestimmen Sie zum linearen Differentialgleichungssystem y0 (t) = A y(t) ein
Fundamentalsystem und die zugehörige Fundamentalmatrix Y (t).
(e) Lösen Sie das AWP
y0 (t) = A y(t) + b(t),
 
1
2 
 

y(0) = 
0  .
1 
0
Tipp: In der Formel für die Lösung eines inhomogenen Differentialgleichungssystem kommt die Inverse Y (t)−1 der Fundamentalmatrix vor (sogar zweimal).
Sie müssen in dieser Aufgabe die Inverse allerdings nicht berechnen, sondern
können dies durch scharfes Hinsehen ersetzen, wenn Sie sich folgendes zu Nutze machen: Die vektorwertige Funktion Y (t)−1 b(t) ist die (eindeutige) Lösung
x(t) des linearen Gleichungssystems Y (t)x(t) = b(t) (auf den Folien S167f ist
x(t) = c0 (t)).
3 Weniger ist mehr. Gegeben ist das gekoppelte System gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen
u00 = −7u + 2u0 − v0
v00 = −34u + 6u0 − 5v0 .
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(a) Überführen Sie obige Gleichungen in ein System erster Ordnung der Form
y0 = Ay.
(b) Finden Sie für die Systemmatrix A eine Basis aus Hauptvektorketten.
(c) Geben Sie eine Fundamentalmatrix Y an, die die Gleichung Y 0 = AY erfüllt.
(d) Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten von Lösungen (u, v) zu zufällig
ausgewählten Startwerten (u0 , v0 , u00 , v00 ) und berechnen Sie limt→∞ u(t) und
limt→∞ v(t).
(e) Geben Sie die allgemeine Lösung (u, v) des gekoppelten Systems an.
4 Fix linearisiert und schon geht’s. Es sei
f (y, z) =
4yz
2 − 1+yz
4z
2 − 1+yz
!
für y, z ≥ 0.
Für Anfangswerte in der Nähe von p = (1, 1) soll das qualitative Verhalten von
Lösungen x(t) = (y(t), z(t)) des nicht linearen Systems x0 = f (x) untersucht werden.
(a) Zeigen Sie, dass p ein Fixpunkt des dynamischen Systems x0 = f (x) ist.
(b) Linearisieren Sie die Differentialgleichung x0 = f (x) um den Punkt p herum.
(c) Finden Sie alle Lösungen u : R → R2 der linearen Differentialgleichung.
(d) Finden Sie die Lösung u : R → R2 mit u(0) = (1, 0).
(e) Charakterisieren Sie den Fixpunkt p des nicht linearen Systems (Handelt es sich
um einen Wirbelpunkt, Strudel, Knoten, . . . ?)
NACHARBEITEN
5 Das hat System! Gegeben seien


 
0
4
3
1



1
A = −1 1
und y0 = 2  .
1 −3 −3
−2
(a) Finden Sie die allgemeine reelle Lösung des linearen Differentialgleichungssystems y0 (t) = Ay(t).
(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem y(0) = y0 .
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6 Konzentration! In vier Fässern sind je 100 Liter Wasser. In Fass 1 ist zu Anfang
1kg Salz gelöst, während sich in den Fässern 2, 3 und 4 anfangs kein Salz befindet. Pro
Minute wird je ein Liter Flüssigkeit von Fass 1 in Fass 2, von Fass 2 in Fass 3, von
Fass 3 in Fass 4 und von Fass 4 in Fass 1 gepumpt. Dabei wird angenommen, dass in
jedem Fass stets eine homogene Mischung vorliegt.
(a) Bezeichne yi (t) die Salzmenge in kg im i-ten Fass zur Zeit t. Warum gilt
y01 (t) =
1
(−y1 (t) + y4 (t))?
100
Stellen Sie ähnliche Gleichungen für y02 , y03 und y04 auf.
(b) Folgern Sie aus diesen Gleichungen, dass die Summe
y1 (t) + y2 (t) + y3 (t) + y4 (t)
zu jedem Zeitpunkt t gleich 1 ist.
(c) Wieviel Salz befindet sich zum Zeitpunkt t in jedem der vier Fässer?
(d) Welcher Salzgehalt stellt sich auf lange Sicht in den vier Fässern ein? Entspricht
das Ihrer Erwartung?
(e) Nun wird Fass 1 zu Anfang mit 1/2kg Salz und die Fässer 2 und 4 mit 1/4kg
Salz befüllt. Wieviel Salz befindet sich nun zum Zeitpunkt t in jedem der vier
Fässer? Ist irgendwann weniger als 1/4kg Salz in Fass 1? Wenn ja, wann?
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