Ausführliches Beispiel zur Polynomdivision Das

Ausführliches Beispiel zur Polynomdivision
Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden.
Man teilt den ersten Summanden der ersten Klammer x³ durch den ersten Summanden der
zweiten Klammer x 
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)
Hinweis:
=
x²
x³ = x·x²
Dann multipliziert man x² mit der Klammer (x + 5) und subtrahiert diesen Term:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
(x³ + 5x²)
Hinweis: (x³ + 5x²) = (x + 5)·x²
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)
-(x³ + 5x²)

x² + 3x - 10
Hinweis:
x²
=
x²
= 6x² - 5x²
Jetzt dividiert man nur noch x² durch den ersten Summanden der zweiten Klammer x
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5)
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
=
x² + x
Das x wird wieder mit dem Divisor (x+5) multipliziert und vom Rest abgezogen:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) =
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
-(x² + 5x) 
= (x+5)·x
-2x - 10
x² + x
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x - 2
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
-(x² + 5x)
-2x - 10
-(-2x - 10)
0
 Es geht ohne Rest auf.
Übungen:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
Teile (x3 + 3x2 - x - 3) durch (x+3), durch (x+1) und durch (x-1)
Teile (x3 - 13x - 12) durch (x+3) , durch (x+1) und durch (x-4)
Teile (x4 + 6x3 - 4x2 - 54x - 45) durch (x+5), (x+3), (x-3) und (x+1)
Teile (9x2 - 121) durch (3x + 11) und (3x - 11)
*Teile (x7 - 1) durch (x - 1)
Lösungen zu den Übungsaufgaben:
zu 1)
zu 2)
zu 3)
(x3 + 3x2 - x - 3) : (x+3)
= x² – 1
(x3 + 3x2 - x - 3) : (x+1)
= x² +2x – 3
(x3 + 3x2 - x - 3) : (x–1)
= x² + 4x + 3
(x3 - 13x - 12) : (x+3)
= x² – 3x – 4
(x3 - 13x - 12) : (x+1)
= x² – x – 12
(x3 - 13x - 12) : (x-4)
= x² + 4x + 3
(x4 + 6x3 - 4x2 - 54x - 45): (x+5) = x³ + x² – 9x – 9
(x4 + 6x3 - 4x2 - 54x - 45): (x+3) = x³ + 3x² – 13x – 15
(x4 + 6x3 - 4x2 - 54x - 45): (x-3) = x³ + 9x² + 23x + 15
(x4 + 6x3 - 4x2 - 54x - 45): (x+1) = x³ + 5x² – 9x – 45
Wer’s noch mag …
4)
(9x2 - 121) : (3x + 11) = (3x – 11)
(9x2 - 121) : (3x – 11) = (3x + 11)
5)
(x7 - 1): (x - 1) = x6 + x5 + x4 +x³ + x² + 1 
Erkenne: „3.“ Binomische Formel

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