Division von Summen – Polynomdivision

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Division von Summen – Polynomdivision
Mit der Polynomdivision können bestimmte Bruchterme vereinfacht werden. Anwendung
findet die Polynomdivision auch bei der Bestimmung von Nullstellen von Funktionen
höheren Grades.
Wie bei der schriftlichen Division von Zahlen zieht man auch bei der Polynomdivision vom
Dividenden nach und nach passende Vielfache des Divisors ab, bis am Ende möglichst kein
Rest mehr bleibt. Dazu wird in jedem Schritt derjenige Summand des Restes eliminiert,
bei dem x in der höchsten Potenz steht. Die Summanden des Quotienten erhält man daher
durch Division dieses Summanden der jeweiligen Reste durch den Summanden des Divisors mit der höchsten Potenz. Folgendes Beispiel erläutert das Verfahren:
Gegeben ist folgender Bruch:
x3 + 5x2 + 9x + 5
x+1
Dieser Bruch lässt sich auch so notieren:
(x3 + 5x2 + 9x + 5) : (x + 1)
|
{z
} | {z }
Dividend
Schrittweise Erklärung:
1) Der Summand des Dividends mit der
höchsten Potenz ist x3 .
Da x3 : x = x2 ist, folgt der erste Summand
des Quotienten x2 . Anschliessend wird mit
dem Divisor zurückmultipliziert:
x2 · (x + 1) = x3 + x2
Diese Zwischenprodukt wird vom Dividend
subtrahiert.
⇒ neuer Rest: 4x2 + 9x + 5
2) Von diesem Rest hat der Summand 4x2
die höchste Potenz. Da 4x2 : x = 4x ist,
folgt daraus der zweite Summand des Quotienten 4x.
Zurückmultiplizieren: 4x · (x + 1) = 4x2 + 4x
und subtrahieren vom letzten Rest.
⇒ neuer Rest: 5x + 5
3) Der Summand dieses Restes mit der
höchsten Potenz von x ist 5x. Da 5x : x = 5
ist, folgt der nächste Summand des Quotienten 5. Wiederum zurückmultiplizieren:
5 · (x + 1) = 5x + 5 und subtrahieren vom
letzten Rest. ⇒neuer Rest: 0
⇒ Somit konnte restlos dividiert werden!
Divisor
x3 + 5x2 + 9x + 5 : x + 1 = x2 + 4x + 5
− x3 − x2
4x2 + 9x
− 4x2 − 4x
5x + 5
− 5x − 5
0
Zusammengefasst:
x3 + 5x2 + 9x + 5
= x2 + 4x + 5
x+1
c Aeberhard · Martin
Zusatzmaterial
2
Weiteres Beispiel:
6x6 + 6x5 − 15x4
+ 15x2 − 9x : 3x4 − 3x2 + 3x = 2x2 + 2x − 3
− 6x6
+ 6x4 − 6x3
6x5 − 9x4 − 6x3 + 15x2
− 6x5
+ 6x3 − 6x2
− 9x4
9x4
+ 9x2 − 9x
− 9x2 + 9x
0
Aufgaben
Führen sie mit folgenden Aufgaben die Polynomdivision aus. Annahme: Der Divisor sei
Teiler des Dividenden und ist nicht gleich Null.
1. (−3x5 − 5x3 + 4x2 + 2x + 8) : (−3x3 + x + 4)
2. (8x5 + 8x4 + 4x3 − 4x2 − 4) : (4x3 + 4x2 − 4)
3. (2x8 − 5x7 + x6 +
27 5
2 x
− 41 x4 − 10x3 − 32 x2 + 2x) : (x4 − 27 x3 + 4x2 + 3x − 4)
4. (x5 + 3x4 − 3x2 + x) : (x2 + 2x − 1)
5. (2x4 + x3 + 2x2 + x) : (x3 + x)
6. (4x5 + 7x4 + 3x3 + 4x2 + 2x − 2) : (4x4 + 3x3 + 4x − 2)
7. (2x6 + 2x5 − 4x4 + 49 x3 +
59 2
10 x
+
14
5 x)
: (x2 + 2x)
8. (x5 + x4 − 4x3 − x2 + 6x + 3) : (x4 − 4x2 + 3x + 3)
9. (2x7 + 4x6 + 3x4 + x3 − 2x2 + x − 1) : (2x4 + x − 1)
10. (4x6 + 6x5 −
40 4
3 x
+
19 3
3 x
−
23 2
3 x
− 12x + 15) : (2x2 + 4x − 5)
Lösungen
1.
2.
3.
4.
5.
x2 + 2
2x2 + 1
2x4 + 2x3 − 12 x
x3 + x2 − x
2x + 1
c Aeberhard · Martin
6. x + 1
7. 2x4 − 2x3 + 94 x + 57
8. x + 1
9. x3 + 2x2 + 1
10. 2x4 − x3 + 31 x2 − 3
Zusatzmaterial

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