Der Glocken Schlag oder The Art of Change Ringing

Der Glocken Schlag
Karlsruhe, 19. Mai 2015
Arbeitskreis Anwendungsorientierter Mathematikunterricht
Hans-Wolfgang Henn
TU Dortmund, Fakultät für Mathematik, IEEM
Schauen Sie zuerst
einmal einen kleinen
Film an!
Kirche und Glöckner-Raum
Glockenstube
Die Story
Anhang über „Campanologie“
Läuten der 8 Glocken in bestimmter Reihenfolge.
Nach jedem Durchgang andere Reihenfolge.
Ziel: Alle Möglichkeiten „durchläuten“:
1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 8! = 40.320 Durchgänge
Dauer ca. 9 Stunden.
Die Technik des Change Ringing
Die Grundlagen des Change Ringing
n Glocken
1 Wechsel: voller Durchgang; speziell: Reihe: 1, 2, 3, …, n (englisch Change).
Eine erlaubte Läutesequenz erfüllt die „Change-Ringing- Axiome“:
(a) Der erste und der letzte Wechsel ist eine Reihe.
(b) Jeder mögliche Wechsel kommt genau einmal vor (bis auf ersten und letzten.
(c) Von einem Wechsel zum nächsten ändert eine Glocke in der Reihenfolge der
Glocken ihren Platz um höchstens eine Position.
Sinn der Axiome:
(a) Musikalische Gründe.
(b) Hier kommen die Permutationsgruppen ins Spiel.
(c) Hat technische Gründe der Spielbarkeit; Zeitintervall zwischen zwei
Läutevorgängen von einer und derselben Glocke praktisch immer gleich.
Extent = maximale Läutesequenz, umfasst n!+1 Wechsel.
Für n = 7 sind hierfür 5.041 Wechsel nötig, dauert 2-3 Stunden, oft gespielt.
Erlaubte Changes
Wechsel beschrieben als Permutation
1 2 3 ... n 
 

 a1 a 2 a 3 ... a n 
1 2 3
4 2 1
Zerlegen in Zykel und Transpositionen, z.B.   
4
  (143)  (13)(14)
3
123
123
13 2
2 1 3 

2 3 1  auf 5!  120 Arten anordenbar
31 2 

3 2 1 
123
Extents bei n = 3 Glocken
13 2
213
31 2
2 31
3 21
3 21
2 31
31 2
213
13 2
123
123
Erlaubte Changes bei n = 3
n = 4 ist noch teilweise „per Hand“ analysierbar:
Was kann nach 1 2 3 4 kommen?
Es gibt 23! verschiedene Reihenfolgen, aber „nur“ 10.792 Extents.
Also: Kombinatorische Explosion! Neue Ideen nötig.
Die Methods beim Change Ringing
Heute weit verbreitet: Method Ringing:
Algorithmus (englisch Method), den jeder Glöckner kennt.
Einfache Muster; der einzelne Glöckner muss nur den „Weg“ seiner Glocke kennen.
Ist kompliziert genug….
Die Gruppentheorie kommt zu Hilfe
Beschreibe durch die Transpositionen (12), (23), …, (n-1 n).
Genau zwei Glocken tauschen ihren Platz tauschen:
Transposition (a a+1) für a  {1, 2, 3, …, n-1}.
Genau zwei Glocken-Paare tauschen ihren Platz:
Permutation (a a+1)(b b+1) mit vier verschiedenen Zahlen a, a+1, b, b+1.
Analog bei mehr als zwei Glocken-Paaren.
Die Gruppentheorie kommt zu Hilfe
Beschreibe durch die Transpositionen (12), (23), …, (n-1 n).
Genau zwei Glocken tauschen ihren Platz tauschen:
Transposition (a a+1) für a  {1, 2, 3, …, n-1}.
Genau zwei Glocken-Paare tauschen ihren Platz:
Permutation (a a+1)(b b+1) mit vier verschiedenen Zahlen a, a+1, b, b+1.
Analog bei mehr als zwei Glocken-Paaren.
Idee für n = 4:
Quadratgruppe mit 8 Elementen.
Symmetrische Gruppe S4 mit 24 Elementen.
Erlaubte Permutationen:
Allgemein:

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