Lösungsblatt der ¨Ubung zur Einführung in die Physik WS2015/16

Lösungsblatt der Übung zur Einführung in die Physik WS2015/16
11.) a) Wenn das U-Boot schwimmt, wird seine Gewichtskraft durch den Auftrieb ausgeglichen.
Damit verdrängt es ein Wasservolumen, dessen Gewicht dem des U-Boots entspricht:
Fg = FA
mU boot g = ρW VW g
mU boot
VW =
ρW
also ein Volumen von VW = 10000 m3 . Dies ist das eingetauchte Volumen; da es sich dabei um
4/5 des Gesamtvolumens des U-Boots handelt, ist das Gesamtvolumen 12500 m3 .
b) Für das unter Wasser schwebende U-Boot gilt Gravitationskraft gleich Auftriebskraft; die
Auftriebskraft des voll getauchten U-Boots ist
FA = VU ρW g
Diese muss gleich der Gravitationskraft
Fg = m0 g
sein; die neue Masse m0 des U-Boots ist also m0 = VU ρW = 1250 to (1.25 106 kg), d.h. es mussten
250 to bzw. 250 m3 Wasser in das U-Boot eingelassen werden. Da das eingelassene Wasser aus
der Schleuse entnommen wird, und das U-Boot nun genau dieses Volumen zusätzlich verdrängt,
ändert sich am Wasserstand in der Schleuse nichts! Dies funktioniert allerdings nur solange, bis
das U-Boot vollständig von Wasser umgeben ist; dann kann das von ihm verdrängte Wasservolumen nicht mehr erhöht werden.
c) Weiteres eingelassenes Wasser erhöht hier nur noch die Gewichtskraft. Liegt das U-Boot mit
einer Gewichtskraft von FB = 10000 N (also der Gewichtskraft von etwa 1 to Masse) auf dem
Grund auf, gilt für die Kräfte:
Fg − FA = FB
00
m g − VU ρW g = FB
1
m00 =
FB + VU ρW ≈ 1250to + 1000kg
g
Die Masse muss sich also gegenüber der des schwebenden U-Boots nochmal um 1000 kg erhöhen;
aus der Schleuse entnommen wurde damit Wasser mit einer Masse von 1000 kg bzw. einem Volumen von etwa 1 m3 . Das Volumen in der Schleuse sinkt also um etwa 1 m3 ; der Wasserstand
damit um 2 mm.
12.)a) Taucht der Zylinder um l ein, so ist die Auftriebskraft nach dem Archimedischen Prinzip
durch die Menge des verdrängten Wassers im Volumen V gegeben:
FA = ρW gV = ρW gπr2 l = 12.3
also 12,3 N pro m Eintauchtiefe bzw. 0,12 N pro cm.
1
N
l
m
b) Die eingetauchte Fläche des Zylinder ist bei einer Eintauchtiefe von l:
A = πr2 + 2πrl
die dazugehörige Energie
E = σA
Wird der Zylinder um dz tiefer eingetaucht, wird die Energie zu
E 0 = σA0 = σ(πr2 + 2πr(l + dz))
Die geleistete Arbeit beim Eintauchen ist
W = F dz = E 0 − E = σ2πrdz
Hieraus ergibt sich die Kraft
F = σ2πr = 0.0092 N
Die Kraft ist also konstant; sie hängt nicht von der Eintauchtiefe ab.
c) Beide Kräfte sind nach oben gerichtet; sie sind gleich groß falls gilt:
12.3
N
l = 0.0092 N
m
l = 0.75mm
also bei einer im Vergleich zum Radius geringen Eintauchtiefe.Bei einem Zylinder mit 1 mm
Radius ergäbe sich für den Auftrieb
FA = ρW gπr2 l = 0.0308
N
l
m
und für die Kraft aufgrund der Oberflächenspannung:
F = σ2πr = 0.00045 N
Hier würde sich Gleichheit erst bei einer Eintauchtiefe von 1,46 cm ergeben, also dem fast
15-fachen Radius! Bei 1 mm Eintauchtiefe wäre FA = 0.012 N für den 2 cm Zylinder und
FA = 0.000031 N für den 1 mm Zylinder; die Kräfte durch die Oberflächenspannung wären
weiterhin FO = σ2πr = 0, 0092N und FO = σ2πr = 0, 00045 N. Damit dominiert bei dem
großen Zylinder der Auftrieb, bei dem kleinen die Kraft durch die Oberflächenspannung. Für
sehr kleine nicht benetzende Körper (z. B. Wasserläufer) wird also allgemein die tragende Kraft
des Wassers durch die Oberflächenspannung dominiert, für große (Boote) durch den Auftrieb.
Das liegt an den Proportionalitäten FA ∝ r2 , aber FO ∝ r, so dass das Verhältnis FA /FO ∝ r
mit der Größe r des Objekts ansteigt.
2

Download Report