Lorenz-Kurve, Gini

Lorenz-Kurve
Die Tabelle enthält die nach e sortierten Gehaltszahlungen eines Betriebes.
Die Lorenz-Kurve ermöglicht es, die Abweichung von der fiktiven Gleichverteilung
(alle erhalten das gleiche Gehalt) mit einem Blick zu erfassen.
Gehalt in e
Anzahl
2500
1
3000
9
4500
5
5000
4
10000
1
Um eine Vergleichbarkeit z. B. von Betrieben herzustellen, sind die Daten auf Anteile
an der Gesamtpersonenanzahl und Anteile an der Gesamtgehaltssumme umzurechnen.
xi
hi
fi
xi hi
pi
2500
1
0,05
2500
0,030
3000
9
0,45
27000
0,329
4500
5
0,25
22500
0,274
5000
4
0,20
20000
0,244
10000
1
0,05
10000
0,122
20
1
82000
5 % der Belegschaft erhalten einen Anteil an der Gesamtgehaltssumme von 3 %.
50 % der Belegschaft erhalten zusammen einen Gesamtgehaltssummen-Anteil von 36 %.
75 % der Belegschaft erhalten zusammen einen Gesamtgehaltssummen-Anteil von 63,3 %.
Die Tabelle wird dementsprechend ergänzt.
c Roolfs
1
Lorenz-Kurve
xi
hi
fi
xi hi
pi
ui
vi
2500
1
0,05
2500
0,030
0,05
0,030
3000
9
0,45
27000
0,329
0,50
0,360
4500
5
0,25
22500
0,274
0,75
0,633
5000
4
0,20
20000
0,244
0,95
0,877
10000
1
0,05
10000
0,122
1
1
20
1
82000
1,0
vi
bc
0,9
bc
0,8
de
0,7
bc
eil
un
gs
ge
ra
0,6
lei
ch
ve
rt
0,5
G
0,4
bc
0,3
0,2
0,1
bc
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Eine Gleichverteilung läge vor, wenn 5 % der Belegschaft auch einen
Gesamtgehaltssummen-Anteil von 5 % erhielten,
50 % der Belegschaft einen Gesamtgehaltssummen-Anteil von 50 %, usw.
c Roolfs
2
ui
Gini-Koeffizient
1,0
vi
bc
0,9
bc
0,8
de
0,7
bc
eil
un
gs
ge
ra
0,6
lei
ch
ve
rt
0,5
A
G
0,4
bc
0,3
0,2
0,1
bc
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
ui
Die Abweichung der Lorenzkurve von der Gleichverteilungsgeraden (Winkelhalbierende)
ist ein Maß für die Abweichung von identischen Gehältern.
Die Abweichung wird durch den Inhalt der Fläche A erfasst.
Der Gini-Koeffizient ist der Anteil von A an der Dreicksfläche unter der Winkelhalbierenden.
Er liegt somit im Bereich [0, 1]. Für 1 liegt völlige Ungleichheit vor.
c Roolfs
3
Gini-Koeffizient
1,0
vi
bc
0,9
bc
0,8
de
0,7
bc
eil
un
gs
ge
ra
0,6
lei
ch
ve
rt
0,5
A
G
0,4
bc
0,3
0,2
0,1
bc
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
ui
Der Inhalt von A beträgt
1 X
A= 2−
Trapezflächen
(Das 1. Trapez ist zu einem Dreieck entartet.)
1
A = 2 − 0,411 = 0,089
G=
0,089
= 0,178
0,5
a
b
a
h
ATrapez =
c Roolfs
4
a+b
·h
2
Gini-Koeffizient
1,0
vi
bc
0,9
0,8
eil
un
gs
ge
ra
de
0,7
0,6
lei
ch
ve
rt
0,5
A
G
0,4
bc
0,3
bc
0,2
bc
0,1
bc
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Der Inhalt von A beträgt
1 X
A= 2−
Trapezflächen
1
A = 2 − 0,221 = 0,279
0,279
G = 0,5 = 0,558
c Roolfs
5
0,7
0,8
0,9
1,0
ui

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