Übungen zur LV Theoretische Mechanik für Lehramt Physik Dr. Christine Bräuning/Dr. Reinhard Mahnke 4. Januar 2016 Übungsaufgaben Doppel–Serie 5+6 zum Doppelmuldenpotential (bitte zur 5. Übung am 15.01.2016 die Ergebnisse mitbringen, Vorrechnen und Zeigen an der Tafel am 29.01.2016) Gruppe 6A: Carsten Thieme, Tim Liebrecht, Annalena Scheibner Aufgabe 6A: Das Kettenkarussell Untersuchen Sie die Dynamik einer Masse unter Einfluss von Schwerkraft und Rotation. Siehe Abb. 1. Abb. 1: Modell eines Kettenkarussells mit Schwerkraft und Rotationskraft. Bestimmen Sie die resultierende Kraft aus Komponenten der Schwerkraft und Rotationskraft (Zentrifugalkraft). Ermitteln Sie die potentielle Energie (Potential) aus der Gesamtkraft einschliesslich Normierung und diskutieren Sie das Potential (Doppelmulde, Einfachmulde, Gleichgewichtszustände, Stabilität), siehe Grafiken in Abb. 2. Hinweis: A = a/l, Ω = ω 2 /ω02 , wobei ω02 = g/l. 2 1.5 1.5 1 0.5 1 0.5 0 0 -0.5 Ω=0.1, A=0.3 Ω=1.0, A=0.3 Ω=2.0, A=0.3 2 V (α) V (α) 2.5 Ω=0.0, A=0.0 Ω=0.8, A=0.0 Ω=2.0, A=0.0 -0.5 -3 -2 -1 0 α 1 2 -1 3 -3 -2 -1 0 α 1 2 3 Abb. 2: Potential des Kettenkarussells ohne (links) und mit Ausleger. Gruppe 6B: Benjamin Geilert, Andreas Gruncz, Heinrich Hoder Aufgabe 6B: Das mathematisches Pendel mit Anregung Das mathematisches Pendel ohne Anregung ist bekannt. Die Hamilton-Funktion und die Bewegungsgleichungen lauten p2α + mgl(1 − cos α) = E , 2ml2 pα α̇ = , ml2 ṗα = −mgl sin α . H(α, pα ) = (1) (2) (3) Verschaffen Sie sich (nochmals) einen Überblick über das Potential und das Phasenraumporträt des mathematischen Pendels, das von den beiden Variablen Winkel α und Drehimpuls pα aufgespannt wird. Erweitern Sie das o. g. Pendel um eine äußere periodische Anregung. Diese Vibration in vertikaler Richtung ist so zu wählen, dass der obere instabile Fixpunkt stabilisiert wird. Dieses vibrating pendulum ist als Kapitza-Pendel (Pjotr L. Kapitza, 1894–1984, russischer Physiker) bekannt, siehe Abb. 3. 2 θ a Abb. 3: Kapitza pendulum von Chetvorno - Eigenes Werk. Lizenziert unter CC0 über Wikimedia Commons, abgerufen am 16.12.2015. 3 Gruppe 6C: Christian Ewert, Marc-Maurice Kruse, Kim Zech Aufgabe 6C: Gekreuzte Federn in der Ebene Vier identische Federn (Federkonstante k, Länge l) sind kreuzweise an einer Masse m befestigt. Wenn sich die Masse im Koordinatenursprung befindet, seien die horizontalen Federn (x-Achse) entspannt und die vertikalen Federn (y-Achse) auf den Bruchteil q ihrer Ausgangslänge l zusammengedrückt. Die Masse m möge sich zunächst nur längs der x–Achse bewegen können. a) Bestimmen Sie die potentielle Energie der Masse m als Funktion der horizontalen Auslenkung x. b) An welchen Stellen (xst , yst = 0) besitzt das System Gleichgewichtslagen (Fixpunkte)? c) Untersuchen Sie in Abhängigkeit von q die Stabilität dieser Gleichgewichtszustände. Es handelt sich um ein eindimensionales konservatives mechanisches System mit einem harmonischen Federpotential V (x) ∼ x2 , das durch die vertikalen Federn (Kontrollparameter q) modifiziert wird. Die Bezeichnungen zur Lösung der Aufgaben sind aus der Abb. 4 ersichtlich. Abb. 4: Schematische Darstellung zweier gekreuzter Federn in der Ebene. 4 Gruppe 6D: Sebastian Bongarz, Albert Ramthun, Lisa Schulz Aufgabe 6D: Rauschinduzierte Phasenübergänge Das deterministische System bistabiler chemischer Oszillator, gegeben durch dx =v dt ; m dv dU = −γv − dt dx mit a b U (x) = − x2 + x4 , 2 4 ist zu analysieren (Zustandraumportrait, Fixpunkte). Diskutieren Sie die Dynamik bei verschiedenen Dämpfungsraten γ (γ → 0 , γ < 8a , γ > 8a). Das chemische System verliert ständig Energie. Wie lautet die Energiebilanz? Was passiert in einem stochastischem System unter Berücksichtigung einer Zufallskraft? dx =v dt ; m dv dU √ = −γv − + 2D ξ(t) dt dx Erläutern Sie den Einfluß des weißen Rauschens ξ(t). Was bedeutet D? Ergänzung am 04.01.2016: Student Tim Langbein wurde vergessen. Bitte wählen Sie sich eine Aufgabe aus. Wir empfehlen Aufgabe 6B. 5
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