P21 Statistischen Physik WS 15/16 Prof. Jan Plefka ¨Ubungsblatt 3

P21 Statistischen Physik
WS 15/16
Prof. Jan Plefka
Übungsblatt 3
Abgabe Donnerstag 5.11 vor der Vorlesung – Besprechung am 6.11 bzw. 9.11
H6 - Ungekoppelte klassische harmonische Oszillatoren im mikrokanonischen
Ensemble [2P]
Wir betrachten ein System von N ungekoppelten eindimensionalen harmonischen Oszillatoren
beschrieben durch die Hamiltonfunktion
H=
N
X
p2i
1
+ mω 2 qi2
2m 2
i=1
a) Klassischer Fall: Berechnen Sie die Phasenraumoberfläche Ω(E), die Entropie S und die
Temperatur T für dieses System im mikrokanonischen Ensemble für große N . Bestimmen Sie
E(T,N ).
b) Quantenmechanischer Fall: Bestimmen Sie den statistischen Operator im mikrokanonischen Ensemble und bestimmen Sie ebenso die Entropie S = k ln Ω(E) und die Temperatur
T für dieses System für große N . Bestimmen Sie ebenfalls E(T,N ).
Vergleichen Sie diese Ergebnisse im Grenzfall ~ω kT .
H7 -Unbestimmtheitsmaß nach Shannon [1P]
Es sei bekannt, dass in Adlershof am 1. Juni 2016 die Wahrscheinlichkeit für Regen 0.4 und
für keinen Niederschlag 0.6 ist. Am 1. Januar 2016 hingegen beträgt die Wahrscheinlichkeit für
Regen 0.65, für Schneefall 0.15 und für keinen Niederschlag 0.2. An welchem der beiden Tage
ist eine Wetterprognose unbestimmter (im Sinne des Shannon’schen Unbestimmtheitsmaß (auch
bekannt als Entropie), wenn man unter einer Wetterprognose die Angabe versteht
a) ob es an den fraglichen Tagen regnet, schneit oder keinen Niederschlag gibt?
b) ob es an den fraglichen Tagen Niederschlag gibt oder nicht.
Diskutieren Sie Ihr Ergebnis!
H8 - Entropieerhaltung und Extremaleigenschaft [1P]
In der Vorlesung haben wir die Definition der Entropie durch den statistischen Operator ρ eines
Ensembles mittels S = −k Sp(ρ log ρ) kennengelernt.
a) Zeigen Sie, dass die Entropie zeitlich konstant ist. Hier ist die Bewegungsgleichung von ρ, die
von-Neumann Gleichung, zu benutzen.
b) Zeigen Sie weiterhin, dass von allen Ensembles deren Energie im Intervall [E,E + ∆] liegt, die
Entropie des mikrokanonischen Ensembles maximal ist. Interpretieren Sie dies!
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