Stabilität von Bose-Einstein-Kondensaten im SuSy

Stabilität von Bose-Einstein-Kondensaten
im SuSy-Partner des PT -symmetrischen
Doppel-Delta-Potentials
Bachelorarbeit von
Jacques Philippe Schraft
11. September 2015
Prüfer: Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 PT -Symmetrie
3
2.1 PT -Operator und seine Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Eigenzustände und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.1 Lineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten Eigenwerten 5
2.3.2 Nichtlineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Bose-Einstein-Kondensate
3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Herleitung der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . .
3.3 Eigenschaften der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen . . . . . . . . . . .
9
9
12
13
4 Supersymmetrie
4.1 Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Besetzungszahldarstellung und Erzeuger- und Vernichteroperatoren
4.1.2 SuSy-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Nichtlinearer SuSy-Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Kanonische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Das Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Supersymmetrische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Eigenwerte und Eigenzustände der SuSy-Partner . . . . . . . . . .
4.3.2 Konstruktion des Superpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
17
19
19
20
21
22
23
24
5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential
5.1 Analytische Lösung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
5.2 Numerische Lösung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
5.2.1 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität . . . . . . . . . . .
5.2.2 Stationäre Lösungen mit Nichtlinearität . . . . . . . . . . .
25
25
27
28
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
Inhaltsverzeichnis
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
6.1 Das Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Numerische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Energien und Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
39
39
39
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
7.1 Analytischer Ansatz für das Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Vergleich der Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Diskussion der Qualität des Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Ansatz für das Superpotential über eine Differentialgleichung . . . . . . .
7.3 Diskussion der Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Weiterer Aspekt der Stabilitätsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
48
50
51
54
57
8 Zusammenfassung und Ausblick
59
Literaturverzeichnis
61
Danksagung
63
iv
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema
Um kleinste Teilchen wie Elementarteilchen beschreiben zu können, reicht die klassische
Physik nicht mehr aus. Für die physikalische Beschreibung dieser Teilchen benötigt man
die Quantenmechanik. In diesem Formalismus ersetzt man Variablen durch Operatoren. Durch solche Ersetzungsregeln gelangt man von der klassischen Hamiltonfunktion
zur Schrödingergleichung. Des Weiteren erfüllen diese Operatoren Eigenwertgleichungen.
Durch Lösen dieser Gleichungen erhält man die Eigenwerte, die mögliche Messwerte eines Quantensystems darstellen. Da diese Messwerte in unserer realen Welt auftreten, ist
eine wichtige Forderung die nach reellen Eigenwerten. Dies wird durch die Forderung
nach hermetischen Operatoren erreicht. Jedoch ist dies nur ein Spezialfall eines allgemeineren Sachverhalts. So wurde in [1] gezeigt, dass auch nichthermitesche Operatoren
ein rein reelles Eigenwertspektrum besitzen können, wenn sie PT -symmetrisch sind.
Ein einfaches System, das einen nichthermiteschen Hamiltonoperator besitzt, ist das PT symmetrische Doppel-Delta-Potential [2]. Dieses stark vereinfachte System besitzt zwei
attraktive Delta-Funktionen, die komplex konjugierte Imaginärteile beinhalten. Durch
diese Imaginärteile kann zum Beispiel eine Aus- beziehungsweise Einkopplung von Teilchen aus dem respektive in das System beschrieben werden [3]. Jedoch ist durch die
Imaginärteile die Hermitizität nicht mehr gegeben, aber der Hamiltonoperator ist PT symmetrisch.
Natürlich können die Hamiltonoperatoren beliebig durch verschiedene Terme erweitert
werden. Zum Beispiel durch eine Nichtlinearität, wie sie in der Gross-Pitaevskii-Gleichung vorkommt [4]. Mit dieser Gleichung werden Bose-Einstein-Kondensate beschrieben. Ein Bose-Einstein-Kondensat besteht aus Bosonen, Elementarteilchen mit ganzzahligem Spin, die alle bei niedrigen Temperaturen in den gleichen Grundzustand übergehen.
Eine andere Klasse von Elementarteilchen bilden die Fermionen mit halbzahligem Spin.
Im Gegensatz zu den Bosonen kann jeder Zustand nur von einem Fermion besetzt werden. Diese, auf den ersten Blick sehr unterschiedliche Teilchen, werden durch die Supersymmetrie miteinander verbunden. Durch die Supersymmetrie wird jedem Teilchen ein
1
1 Einleitung
Partnerteilchen zugeordnet, den Bosonen ein Fermion und umgekehrt [5–7]. Des weiteren
besitzen die beiden supersymmetrischen Partnersysteme das gleiche Energiespektrum,
mit Ausnahme des Grundzustands, der nur in einem System vorkommt [8–10]. Diese Eigenschaft kann mathematisch ausgenutzt werden, um aus einem Potential instabile oder
unerwünschte Zustände zu entfernen und so ein Partnerpotential mit den gewünschten
Zuständen zu konstruieren [11, 12]. Die Stabilität eines Zustandes lässt sich dabei mit
den Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen bestimmen.
Ziel dieser Bachelorarbeit ist, das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential numerisch
zu lösen und dann die Supersymmetrie auf dieses Doppel-Delta-Potential anzuwenden
[13]. Dabei sollen verschiedene Ansätze auf ihre Qualität untersucht werden, vor allem
mit Hinblick auf Nichtlinearitäten im Grundsystem und im Partnersystem. Des Weiteren soll die Stabilität des Partnersystems untersucht werden und Möglichkeiten, die
Stabilitätsuntersuchung mithilfe der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen durchzuführen,
vorgestellt werden.
1.2 Aufbau der Arbeit
Zu Beginn der Bachelorarbeit werden die wichtigsten Grundbegriffe und Eigenschaften
der PT -Symmetrie in Kapitel 2 eingeführt, da diese eine bemerkbare Auswirkung auf
das Grundsystem und das Partnersystem haben wird. In Kapitel 3 wird die mathematische Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten im Rahmen der Gross-PitaevskiiGleichung eingeführt. Zusätzlich werden auch die Booliubov-de Gennes-Gleichungen behandelt, mit denen die Stabilität eines solchen Bose-Einstein-Kondensats untersucht
werden kann. Danach wird in Kapitel 4 die Supersymmetrie vorgestellt. Ein zentraler
Begriff hierbei ist das Superpotential, das auf verschiedene Weise aus dem Grundsystem
konstruiert werden kann und es erlaubt, ein Partnerpotential für das supersymmetrische Partnersystem zu finden. In Kapitel 5 wird das PT -symmetrische Doppel-DeltaPotential zuerst im linearen Fall analytisch gelöst und daraufhin numerisch mit Nichtlinearität. Aufbauend darauf wird im nächsten Kapitel, Kapitel 6, ein Superpotential aus
dem linearen PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potential hergeleitet und das supersymmetrische Partnersystem wird unter diesem Ansatz im linearen Fall numerisch gelöst.
In Kapitel 7 werden dann verschiedene Ansätze diskutiert, die Nichtlinearität in beiden
Systemen mit einzubeziehen und ein zweiter Ansatz für das Superpotential wird vorgestellt und untersucht. Abschließend wird die Stabilität abgeschätzt und die numerische
Behandlung der Booliubov-de Gennes-Gleichungen erläutert.
2
2 PT -Symmetrie
In dieser Arbeit wird die supersymmetrische Erweiterung eines PT -symmetrischen Systems untersucht. Deshalb wird in diesem Kapitel der PT -Operator eingeführt und einige grundlegende Eigenschaften der PT -Symmetrie werden diskutiert. Die Darstellungen
folgen teilweise denen aus [13–16].
2.1 PT -Operator und seine Wirkung
Die einzelnen Operatoren, der Paritätsoperator P und Zeitumkehroperator T , sind definiert durch ihre Wirkung auf den Ortsoperator x̂ und Impulsoperator p̂. Für den POperator gilt
x̂ → −x̂,
p̂ → −p̂
(2.1)
p̂ → −p̂ .
(2.2)
und für den T -Operator
x̂ → x̂,
Der T -Operator dreht zusätzlich das Vorzeichen der imaginären Einheit i:
i → −i .
(2.3)
Daraus folgt für den PT -Operator:
x̂ → −x̂,
p̂ → p̂,
i → −i .
(2.4)
2.2 Eigenzustände und Eigenwerte
Aus der Wirkung des PT -Operators ist die Eigenschaft ableitbar, dass zweimaliges Anwenden auf einen Eigenzustand wieder diesen liefert. Dies wird ausgenutzt um die Eigenzustände und Eigenwerte zu untersuchen. Sei |Ψi ein quantenmechanischer Eigenzustand
3
2 PT -Symmetrie
zum PT -Operator mit dem Eigenwert λ, dann gilt
PT PT |Ψi = PT λ |Ψi
= λ∗ PT |Ψi
2
(2.5)
!
= |λ| |Ψi = |Ψi .
Demnach gilt |λ|2 = 1 und man erhält für die Eigenwerte
λ = eiΦ .
(2.6)
Die Eigenwerte des PT -Operators sind also komplexe Zahlen mit Betrag eins und Phase
Φ. Wie an der Wirkung des PT -Operators in (2.4) ersichtlich ist und wie es in der
Herleitung zu den Eigenwerten in (2.5) benutzt wird, ist der PT -Operator antilinear.
Das heißt aber auch, dass die Eigenwerte abhängig von einem möglichen Vorfaktor der
Eigenzustände sind. Ein möglicher Vorfaktor ist eine globale Phase eiϕ , unter der die
Schrödingergleichung invariant ist.
PT eiϕ |Ψi = e−iϕ PT |Ψi
= e−iϕ eiΦ |Ψi
= e−iϕ eiΦ e−iϕ eiϕ |Ψi
(2.7)
= eΦ̃ |Ψ̃i
Jeder Eigenzustand |Ψi mit Eigenwert eiΦ ist mit einem Vorfaktor der Form eiϕ wieder ein Eigenzustand |Ψ̃i = eiϕ |Ψi zum PT -Operator mit der Phase des Eigenwerts
Φ̃ = Φ − 2ϕ. Durch die freie Wahl der globalen Phase kann der Eigenwert folglich immer auf eins gesetzt werden. Dadurch sind die Zustände invariant unter Anwendung
des PT -Operators. Diese Zustände werden auch exakt PT -symmetrisch genannt. Dies
wird später in dieser Arbeit ausgenutzt, indem ImΨ (0) = 0 gesetzt wird. Dadurch sind
PT -symmetrischen Eigenzustände symmetrisch unter Raumspiegelung und komplexer
Konjugation und in der Ortsdarstellung erfüllen sie
Ψ(x) = Ψ∗ (−x) .
(2.8)
2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
Ein quantenmechanisches System wird durch den Hamiltonoperator Ĥ beschrieben. Ein
System heißt PT -symmetrisch, wenn Hamiltonoperator und der PT -Operator kommu-
4
2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
tieren. Für Ĥ = p̂2 /2m + V (x̂) gilt folglich:
h
i
!
Ĥ, PT = 0 ,
PT Ĥ = Ĥ ,
2
p̂
+ PT V (x̂) = Ĥ ,
2m
→ V ∗ (−x̂) = V (x̂) .
(2.9)
Ein quantenmechanisches System ist also genau dann PT -symmetrisch, wenn der Realteil des Potentials symmetrisch im Ort ist und der Imaginärteil antisymmetrisch.
Die Eigenwerte eines Operators entsprechen möglichen Messwerten der jeweiligen Observablen. Diese Messwerte sind in der Realität rein reell. Im Allgemeinen haben nichthermitesche Systeme jedoch komplexe Eigenwerte, deren physikalische Interpretation
nicht weiter ausgeführt werden soll. Im folgenden wird gezeigt, dass auch solche nichthermiteschen Systeme reelle Eigenwerte besitzen können, wenn sie PT -symmetrisch
sind.
2.3.1 Lineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten
Eigenwerten
Ein PT -symmetrisches System mit Hamiltonoperator Ĥ, nicht-entarteten Eigenwerten
µ und Eigenzuständen |Ψi, das die Eigenwertgleichung
Ĥ |Ψi = µ |Ψi
(2.10)
erfüllt, wird untersucht. Anwenden des PT -Operators auf (2.10) ergibt:
ĤPT |Ψi = µ∗ PT |Ψi .
(2.11)
Daraus lässt sich ableiten, dass wenn µ Eigenwert zum Zustand |Ψi ist, dann ist µ∗
Eigenwert zum Zustand PT |Ψi. Für einen reellen Eigenwert µ muss der Zustand PT |Ψi
kollinear zum Zustand |Ψi sein.
Wird ein PT -symmetrischer Zustand des Hamiltonoperators mit Eigenwert λ zum PT Operator betrachtet,
ĤPT |Ψi = Ĥλ |Ψi
= µλ |Ψi
= µPT |Ψi
(2.12)
(2.11)
= µ∗ PT |Ψi ,
5
2 PT -Symmetrie
so erkennt man, dass Eigenwerte zu PT -symmetrischen Eigenzuständen des Hamiltonoperators reell sind. Auch die Umkehrung gilt und lässt sich einfach beweisen.
2.3.2 Nichtlineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten
Eigenwerten
In dieser Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht. Für die mathematische,
quantenmechanische Beschreibung dieser Teilchen wird eine kurzreichweitige Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen angenommen, was in einem nichtlinearen Term der Form
g |Ψ|2 resultiert.
Der Hamiltonoperator wird zweckmäßig in einen linearen und nichtlinearen Anteil aufgespalten,
Ĥ = Ĥlin + Ĥnonlin .
(2.13)
Dabei ist der nichtlineare Anteil eine Funktion der Wellenfunktion, Ĥnonlin = f (Ψ). Um
Aussagen des linearen Falls auf den nichtlinearen Fall übertragen zu können, wird zuerst
gefordert, dass der neue Hamitonoperator und der PT -Operator kommutieren.
h
i
h
i
h
i
Ĥ, PT |Ψi = Ĥlin , PT |Ψi + Ĥnonlin , PT |Ψi
= Ĥnonlin PT |Ψi − PT Ĥnonlin |Ψi
= f (PT Ψ) PT |Ψi − PT f (Ψ) |Ψi
(2.14)
!
= 0.
Unter der Annahme, dass der lineare Hamiltonoperator PT -symmetrisch ist, ergibt sich
die Forderung f (PT Ψ) PT |Ψi = PT f (Ψ) |Ψi an den nichtlinearen Teil. Mit dieser
Eigenschaft ist wieder (2.11)
ĤPT |Ψi = µ∗ PT |Ψi
(2.15)
erfüllt. Es gilt also wieder, wenn |Ψi mit Eigenwert µ ein Eigenzustand zum Hamiltonoperator ist, dann ist PT |Ψi auch ein Eigenzustand mit Eigenwert µ∗ . Im Fall nichtentarteter Eigenwerte sind PT |Ψi und |Ψi wieder kollinear, wenn µ reell ist.
Ist nun Ψ Eigenzustand zum PT -Operator, lässt sich (2.15) weiter umformen auf
ĤeiΦ |Ψi = µ∗ eiΦ |Ψi
6
(2.16)
2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme
und aufgrund der Invarianz unter einer globalen Phase, die gerade ϕ = −Φ gewählt
wird, ergibt sich
Ĥ |Ψi = µ∗ |Ψi ,
µ |Ψi = µ∗ |Ψi ,
(2.17)
wenn man fordert, dass die Nichtlinearität unabhängig von einer Phase des Eigenzustandes ist.
Zusammenfassend können einige der Eigenschaften linearer PT -symmetrischer Systeme
auf nichtlineare Übetragen werden. Ein PT -symmetrischer Eigenzustand zum nichtlinearen Hamiltonoperator hat also stets reelle Eigenwerte, wenn der nichtlineare Anteil
die Bedingungen
f (PT Ψ) = PT f (Ψ)
(2.18)
f eiΦ Ψ = f (Ψ)
(2.19)
und
erfüllt. Diese Bedingungen erfüllt der später eingeführte Term g |Ψ|2 .
7
3 Bose-Einstein-Kondensate
Bosonen sind quantale Teilchen mit ganzzahligem Spin. Anders als Fermionen mit halbzahligem Spin unterliegen sie nicht dem Pauli-Verbot. Mehrere Teilchen können folglich
den gleichen Energiezustand besetzen. In der Quantenstatistik wird dies durch die BoseEinstein-Verteilungsfunktion [17]
1
hn (E)i =
exp
E−µ
kB T
(3.1)
−1
beschrieben. Dabei beschreibt µ das chemische Potential und für Bosonen gilt stets
E > µ. Untersucht man diese Verteilung für Temperaturen T → 0, so besetzen beim
absoluten Nullpunkt alle Teilchen das niedrigste Energieniveau. Jedoch fängt diese Besiedelung des Grundzustandes bereits bei einer kritischen Temperatur nahe des absoluten
Nullpunktes an und die Teilchen können durch eine gemeinsame makroskopische Wellenfunktion beschrieben werden. Dies wird in diesem Kapitel dargestellt und ausgenutzt
um die Gross-Pitaevskii-Gleichung herzuleiten. Des weiteren beruhen die nachfolgenden
Darstellungen teilweise auf denen aus [4, 18].
3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung
Die Dynamik eines Bose-Einstein-Kondensates, also eines Vielteilchensystems mit N
Teilchen, wird durch die Vielteilchen-Schrödingergleichung beschrieben. Der VielteilchenHamiltonoperator lautet
Ĥ =
N 2
X
p
i=1
N
N
1 XX
+ Vext (ri ) +
V (|ri − rj |) .
2m
2 i=1 j6=i
i
(3.2)
Dabei ist ri der Aufenthaltsort des i-ten Teilchens, Vext ein externes Potential, mit welchem die Teilchen zum Beispiel gefangen werden, und V einem Potential das die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen im Vielteilchensystem beschreibt. Wechselwirkungen
zwischen mehr als zwei Teilchen können in einem verdünntem Gas aufgrund des sehr
9
3 Bose-Einstein-Kondensate
viel größeren Atomabstands im Vergleich zur Wechselwirkungsreichweite vernachlässigt
werden.
Wie schon erwähnt, befinden sich für T → 0 alle Teilchen im Grundzustand und man
kann im Rahmen der Mean-Field-Näherung für die Wellenfunktion des Kondensats als
Ansatz ein Tensorprodukt der identischen Einteilchenwellenfunktionen Φi wählen:
|Ψi = |Φ1 i ⊗ |Φ2 i ⊗ · · · ⊗ |ΦN i .
(3.3)
Des Weiteren wird die thermodynamische freie Energie F = E − µN minimiert, um im
Gleichgewichtszustand den richtigen Grundzustand zu finden. Dabei entspricht µ dem
chemischen Potential und die Energie folgt aus dem Erwartungswert des Hamiltonoperators. Folglich muss der Term
F = hΨ|Ĥ|Ψi − µ hΨ|Ψi
minimiert werden. Für den Term der kinetischen Energie ergibt sich
+
* N
Z
N
X p2 X
~2
i ∇i Φ∗i (ri ) ∇i Φi (ri ) dri
Ψ
Ψ =
2m
2m
i=1
i=1
Z
~2
=N
|∇Φ (r)|2 dr
2m
Z
~2
Φ∗ (r) ∇2 Φ (r) dr ,
= −N
2m
(3.4)
(3.5)
wobei im ersten Schritt der Impulsoperator einmal nach links und einmal nach rechts angewendet wird. Im zweiten Schritt wird eingesetzt, dass die Einteilchenwellenfunktionen
identisch sind und im letzten Schritt wird der Satz von Green verwendet.
Der Term für das externe Potential lautet
+
* N
Z
X
Ψ
Vext (ri ) Ψ = N Φ∗ (r) Vext (r) Φ (r) dr .
(3.6)
i=1
Der Wechselwirkungsterm ergibt
+
* N N
1 X X
Ψ
V (|ri − rj |) Ψ =
2
i=1 j6=i
N
N
1 XX
=
2 i=1 j6=i
Z Z
N (N − 1)
=
2
10
Z Z
Φ∗i (ri ) Φ∗j (rj ) V (|ri − rj |) Φi (ri ) Φj (rj ) dri drj
Φ∗ (r) Φ∗ (r̃) V (|r − r̃|) Φ (r) Φ (r̃) drdr̃
(3.7)
3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung
und der Term für das chemische Potential lautet
Z
N
∗
µ hΨ|Ψi = µ
Φ (r) Φ (r) dr
.
(3.8)
Im nächsten Schritt wird das Minimum bestimmt. Dafür werden Φ∗ und Φ als unabhängige Variablen betrachtet und die freie Energie wird nach Φ∗ variiert, um einen Ausdruck
für Φ zu erhalten.
Z ~2 2
δ hΨ|Ĥ|Ψi − µ hΨ|Ψi
δF
−
∇ Φ (r) + Vext (r) Φ (r)
=
=
N
δΦ∗
δΦ∗
2m
(3.9)
Z
!
∗
∗
+(N − 1) Φ (r̃) V (|r − r̃|) Φ (r) Φ (r̃) dr̃ − µΦ (r) δΦ (r) dr = 0
Da dies für jede Variation gelten soll, muss der Term in der eckigen Klammer verschwinden. Außerdem darf angenommen werden, dass die Teilchenzahl sehr groß ist, also
N 1. Dies liefert die zeitunabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE von GrossPitaevskii equation) mit allgemeiner Zweiteilchenwechselwirkung:
Z
~2 2
2
∇ + Vext (r) + N V (|r − r̃|) |Φ (r̃)| dr̃ Φ (r) = µΦ (r) .
(3.10)
−
2m
Als Zweiteilchenwechselwirkung wird eine stark lokalisierte interatomare Wechselwirkung angenommen. Man kann diese Wechselwirkung durch ein Pseudopotential
4π~2
aδ (r − r̃)
(3.11)
m
annähern. Dabei ist a die s-Wellen-Streulänge. Für a > 0 ist die Wechselwirkung repulsiv und für a < 0 ist sie attraktiv. Damit lautet die GPE für eine kurzreichweitige
Wechselwirkung
~2 2
2
−
∇ + Vext (r) + g |Φ (r)| Φ (r) = µΦ (r)
(3.12)
2m
V (|r − r̃|) =
2
aN . Für das weitere Vorgehen wird die GPE in dimensionslosen Größen
mit g = 4π~
m
benötigt. Dafür wird eine dimensionslose Ortskoordinate r̃ = r/l mit einer charakteristischen Länge l eingeführt. Dabei transformiert auch die Ableitung nach der Ortskoordinate:
~2 ˜ 2
2
−
∇ + Vext (r̃) + g |Φ (r̃)| Φ (r̃) = µΦ (r̃) .
(3.13)
2ml2
2
Es wird mit dem Faktor 2ml
multipliziert und es werden die neuen Größen Ṽext (r̃) =
~2
2
2ml2
2ml2
Vext (r̃), g̃ = ~2 g und µ̃ = 2ml
µ eingeführt. Man erhält
~2
~2
˜ 2 + Ṽext (r̃) + g̃ |Φ (r̃)|2 Φ (r̃) = µ̃Φ (r̃) .
−∇
(3.14)
11
3 Bose-Einstein-Kondensate
Man kann die vereinfachte Form der GPE auch in der zeitabhängigen Form
˜ 2 + Ṽext (r̃) + g̃ Φ r̃, t̃ 2 Φ r̃, t̃ = i ∂ Φ r̃, t̃
−∇
∂ t̃
mit einer skalierten Zeitskala t̃ =
~
t
2ml2
(3.15)
schreiben.
3.2 Herleitung der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen
Die Bogoliubov - de Gennes-Gleichungen (BdGE von Bogoliubov - de Gennes equations)
dienen zur Untersuchung der Stabilität von quantenmechanischen Systemen mit nichtlinearem Anteil der Form wie in der GPE. Um die Dynamik von kleinen Störungen um
eine stationäre Lösung Ψ0 zu untersuchen, wird als Gesamtwellenfunktion ein Ansatz
Ψ (r, t) = e−iµt (Ψ0 (r) + λΘ (r, t))
(3.16)
gewählt, der zusätzlich zur stationären Lösung Ψ0 noch einen Störterm Θ enthält mit
|λ| 1. Der Störterm soll dabei folgende Form besitzen
∗
Θ (r, t) = u (r) e−iωt + v ∗ (r) eiω t ,
(3.17)
an welcher erkennbar ist, dass, wenn der Eigenwert ω einen nicht verschwindenden Imaginärteil enthält, der Störterm Θ exponentiell anwächst und damit auch die Gesamtwellenfunktion Ψ. In diesem Fall ist das System nicht stabil. Als nächstes wird der Ansatz
(3.16) in die GPE (3.15) eingesetzt
2 −∇2 + Vext (r) + g e−iµt (Ψ0 (r) + λΘ (r, t)) e−iµt (Ψ0 (r) + λΘ (r, t))
(3.18)
∂ −iµt
e
(Ψ0 (r) + λΘ (r, t)) .
=i
∂t
Die Terme der nullten Ordnung, λ0 , ergeben wieder die ursprüngliche Gleichung in (3.15).
Für die erste Ordnung ergibt sich:
e−iµt −∇2 + Vext (r) + 2g |Ψ0 (r)|2 Θ (r, t) + ge−iµt Ψ20 (r) Θ∗ (r, t)
(3.19)
∂ −iµt
∗ e
Θ (r, t) = e−iµt (µ + ω)u (r) e−iωt + (µ − ω ∗ )v ∗ (r) eiω t .
=i
∂t
Terme mit Ordnung O(λ2 ) werden vernachlässigt, da nur kleine Störungen λ 1 un∗
tersucht werden. Sortieren nach e−iωt und eiω t ergibt dann die BdGE:
−∇2 + Vext (r) − µ + 2g |Ψ0 (r)|2 u (r) + gΨ0 (r)2 v (r) = ωu (r) ,
(3.20a)
2
2
∗
−∇2 + Vext
(r) − µ∗ + 2g |Ψ0 (r)| v (r) + gΨ∗0 (r) u (r) = −ωv (r) .
(3.20b)
12
3.3 Eigenschaften der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen
Die BdGE sind also zwei gekoppelte Differentialgleichungen, die als Eigenwertproblem
mit Eigenwert ±ω aufgefasst werden können. Wie zuvor beschrieben, charakterisiert der
Eigenwert ω die Stabilität der stationären Lösung Ψ0 der GPE. Bei verschwindendem
Imaginärteil oszilliert das System um die stationäre Lösung, das BEC ist stabil, und bei
Im(ω) 6= 0 entfernt sich das System exponentiell vom stationären Zustand, das BEC ist
demnach instabil.
3.3 Eigenschaften der Bogoliubov-de
Gennes-Gleichungen
An Gleichung (3.19) ist zu erkennen, dass die Phase von Θ nicht frei wählbar ist, sondern
mit der von Ψ0 verknüpft ist. So zeigt sich beim Einsetzen einer mit einer globalen Phase
versehene stationäre Lösung Ψ̃0 = eiϕ Ψ0 , dass für den Summanden
Ψ̃20 (r) Θ∗ (r, t) = e2iϕ Ψ20 (r) Θ∗ (r, t)
= Ψ20 (r) Θ̃∗ (r, t)
(3.21)
gilt, mit Θ̃ (r, t) = e−2iϕ Θ (r, t), wenn man erreichen will, dass die Bogoliubov - de
Gennes-Gleichungen (3.20) unter dieser Transformation invariant bleiben. Durch die
Wahl der Phase einer Wellenfunktion ist folglich die Phase der anderen mitbestimmt.
Jedoch ist an den Gleichungen (3.20a) und (3.20b) ersichtlich, dass aufgrund der Linearität in u (r) und v (r) die Gleichungen invariant unter einer gemeinsamen Transformation
von u (r) und v (r) sind:
ũ (r) = eiξ u (r) ,
iξ
ṽ (r) = e v (r) .
(3.22a)
(3.22b)
Diese Eigenschaft wird später benutzt, indem Im v (0) = 0 gesetzt wird.
13
4 Supersymmetrie
Die Supersymmetrie, kurz SuSy, verbindet die Welt der Bosonen mir der der Fermionen.
Sie überführt bosonische in fermionische Zustände, wobei der Hamiltonoperator invariant bleibt. Das so entstehende Energiespektrum ist entartet, bis auf den Grundzustand.
In der Quantenfeldtheorie wird sie auch verwendet, um elegant Divergenzen zu beseitigen oder abzuschwächen. In dieser Arbeit wird der Supersymmetrie-Formalismus auf
einen nichtlinearen Hamiltonoperator mit zwei Zuständen angewendet und der supersymmetrische Partnerzustand auf seine Stabilität untersucht, um möglicherweise nicht
stabile Zustände entfernen zu können. Zu diesem Zwecke werden in diesem Kapitel zuerst grundlegende Eigenschaften der linearen Bose-Fermi-Supersymmetrie erläutert und
danach die der nichtlinearen. Die nachfolgenden Darstellungen folgen teilweise denen aus
[19].
4.1 Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Ein supersymmetrischer Operator Q soll bosonische Zustände in fermionische transformieren und umgekehrt. Er muss also die Eigenschaften
Q |Bosoni ∝ |Fermioni ,
Q |Fermioni ∝ |Bosoni
(4.1)
besitzen.
4.1.1 Besetzungszahldarstellung und Erzeuger- und
Vernichteroperatoren
Für das weitere Vorgehen werden die Zustände in der Besetzungszahldarstellung |nb i
und |nf i eingeführt. Zu dieser Darstellung gehören Erzeuger- und Vernichteroperatoren, die für die bosonischen Zustände durch b+ und b− dargestellt werden und für die
fermionischen durch f + und f − .
15
4 Supersymmetrie
Bosonen
Die Operatoren b± sind definiert durch ihre Wirkung auf die bosonischen Zustände:
√
b+ |nb i = nb + 1 |nb + 1i ,
(4.2a)
√
−
b |nb i = nb |nb − 1i .
(4.2b)
†
Als nächstes wird gezeigt, dass die beiden Operatoren adjungiert (b± ) = b∓ zueinander
sind. Dazu wird folgendes Matrixelement untersucht:
√
√
(4.3)
hnb |b− |nb + 1i = hnb | nb + 1|nb i = nb + 1 .
Adjungieren der gesamten Gleichung
†
†
! √
hnb |b− |nb + 1i = hnb + 1| b− |nb i = nb + 1
(4.4)
führt auf
b−
†
!
|nb i =
√
nb + 1 |nb + 1i .
(4.5)
†
Der Vergleich mit (4.2) liefert (b− ) = b+ und umgekehrt. Eine weitere Eigenschaft für
b− folgt aus der physikalischen Forderung, dass kein Boson aus einem Zustand entfernt
werden kann, der keine Bosonen enthält:
b− |0i = 0 .
(4.6)
Durch Hintereinanderanwendung von b+ b− erhält man den Besetzungszahloperator n̂b ,
der durch Anwenden auf einen Zustand,
√
n̂b |nb i = b+ b− |nb i = b+ nb |nb − 1i = nb |nb i ,
(4.7)
gerade wieder den Zustand mit der Besetzungszahl als Eigenwert ergibt. Aus diesen
Eigenschaften lassen sich Vertauschungsrelationen formulieren. Zuerst wird der Kommutator der beiden Operatoren [b− , b+ ] berechnet.
− +
b , b |nb i = b− b+ |nb i − b|+{zb−} |nb i
nb
√
−
= b nb + 1 |nb + 1i − nb |nb i
(4.8)
= (nb + 1 − nb ) |nb i
→ b− , b+ = 1
Die Operatoren vertauschen also nicht. Zusätzlich findet man durch triviales Einsetzen
[b+ , b+ ] = [b− , b− ] = 0.
16
4.1 Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Fermionen
Analog werden die Operatoren f ± wie in (4.2) definiert und für ihre Wirkung auf einen
fermionischen Zustand gilt
p
f + |nf i = nf + 1 |nf + 1i ,
(4.9a)
√
−
(4.9b)
f |nf i = nf |nf − 1i .
†
Diese Operatoren sind auch adjungiert (f ± ) = f ∓ , was wie für (4.5) gezeigt werden
kann. Des weiteren kann auch der fermionische Besetzungszahloperator n̂f = f + f − definiert werden, der der Eigenwertgleichung n̂f |nf i = nf |nf i genügt. Im Unterschied zu
den Bosonen unterliegen die Fermionen dem Pauli-Prinzip, dass jeder Zustand maximal mit einem Fermion besetzt sein darf. Deshalb gilt zu der physikalischen Forderung
f − |0i = 0 noch zusätzlich f + |1i = 0. Dies wird durch die Nilpotenz
2
f± = 0
(4.10)
ausgedrückt. Aus
{f − , f + } |nf i = f − f + |nf i + f + f − |nf i
(
f − f + |0i : nf = 0
=
f + f − |1i : nf = 1
(4.11)
= 1 |nf i
folgt die Antikommutatorrelation
{f − , f + } = 1 ,
(4.12)
die das Pauli-Prinzip symbolisiert. Zusätzlich gelten aufgrund (4.10) die Relationen
{f + , f + } = {f − , f − } = 0.
4.1.2 SuSy-Operatoren
Um die Supersymmetrie anzuwenden, benötigt man nun ein System mit Bosonen und
Fermionen. Ein einfaches System ohne Wechselwirkung zwischen den Teilchen kann man
durch den Produktzustand
|nb , nf i = |nb i ⊗ |nf i
(4.13)
der Besetzungszahlzustände beschreiben. Ist nf = 0 spricht man von einem bosonischen
Zustand und ist nf = 1 von einem fermionischen Zustand. Nun bietet es sich an, zwei
17
4 Supersymmetrie
einfache SuSy-Operatoren einzuführen, wovon einer bosonische Zustände in fermionische
transformiert und der andere umgekehrt. Dies erfüllen die Operatoren
Q1 = b− f +
(4.14)
Q2 = b+ f − .
(4.15)
und
Dabei überführt Q1 nur bosonische in fermionische Zustände und Q2 fermionische in
bosonische:
Q1 |Bosoni ∝ |Fermioni ,
Q2 |Bosoni = 0 ,
Q1 |Fermioni = 0 ,
Q2 |Fermioni ∝ |Fermioni .
(4.16a)
(4.16b)
Sie erfüllen offensichtlich (4.1) nicht vollständig. Des weiteren überträgt sich die Eigenschaft der fermionischen Operatoren, die die Nilpotenz (4.10) erfüllen, auch auf die
SuSy-Operatoren,
Q21 = Q22 = 0 .
(4.17)
Als nächstes wird ein supersymmetrischer Hamiltonoperator ĤS gesucht. Dieser muss
die Beziehung
i
i h
h
(4.18)
ĤS , Q1 = ĤS , Q2 = 0
erfüllen. Unter Ausnutzung von (4.10) kann man den einfachen Ansatz
ĤS = {Q1 , Q2 }
finden, wobei der Hamiltonoperator die Relationen
h
i
(4.17)
ĤS , Q1 = Q1 Q2 Q1 + Q2 Q1 Q1 − Q1 Q1 Q2 − Q1 Q2 Q1 = 0 ,
h
i
(4.17)
ĤS , Q2 = Q1 Q2 Q2 + Q2 Q1 Q2 − Q2 Q1 Q2 − Q2 Q2 Q1 = 0
(4.19)
(4.20)
erfüllt. Unter den abgeschwächten Eigenschaften für die SuSy-Operatoren in (4.16) ist
dieser Hamiltonoperator supersymmetrisch.
Ein naheliegender Ansatz für zwei SuSy-Operatoren, die (4.1) vollständig erfüllen, ist
entweder die Summe Q+ oder die Differenz Q− von Q1 und Q2 :
Q+ = Q1 + Q2 = b− f + + b+ f − ,
Q− = Q1 − Q2 = b− f + − b+ f − .
18
(4.21a)
(4.21b)
4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Untersucht man die Hermitizität der SuSy-Operatoren, so findet man, dass Q+ hermitesch ist, Q− jedoch nicht. Dies lässt sich durch den Übergang
(4.22)
Q− → Q− = −i b− f + − b+ f −
lösen. Für die Vertauschungsrelation von Q+ und Q− erhält man
{Q+ , Q− } = {Q1 + Q2 , −i (Q1 − Q2 )}
(4.10)
(4.23)
= i{Q1 , Q2 } − i{Q2 , Q1 }
= i{Q1 , Q2 } − i{Q1 , Q2 } = 0 .
Der supersymmetrische Hamiltonoperator aus (4.19) erhält durch diese Wahl der SuSyOperatoren und durch (4.17) die einfache Form
ĤS = Q2+ = Q2− .
(4.24)
h
i
ĤS , Q± = 0
(4.25)
Dadurch ist auch mit (4.20)
erfüllt und der Hamiltonoperator ist supersymmetrisch.
4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Bis jetzt wurden nur supersymmetrische Systeme betrachtet, die keine Wechselwirkung
unter den Subsystemen der Fermionen und Bosonen zugelassen haben. Um Wechselwirkungen in den SuSy-Formalismus mit einzubeziehen, benötigt man die nichtlineare
Supersymmetrie.
4.2.1 Nichtlinearer SuSy-Hamiltonoperator
Ein erster Ansatz, der die Nichtlinearität berücksichtigt, kann durch die Ersetzung
b± → B ± b+ , b−
(4.26)
†
erfolgen. Zusätzlich sollen die neu eingeführten Operatoren (B ± ) = B ∓ erfüllen. Damit
lautet der Ansatz für die nichtlinearen SuSy-Operatoren
Q1 = B − f + ,
Q2 = B + f −
(4.27a)
(4.27b)
19
4 Supersymmetrie
und erfüllen damit auch (Q1,2 )† = Q2,1 . Eine wichtige Voraussetzung, dass der Hamiltonoperator in (4.24) supersymmetrisch ist, ist, dass die SuSy-Operatoren nilpotent sind
(4.17). Dies ist durch die f ± in (4.27) sichergestellt.
In der linearen Bose-Fermi-Supersymmetrie wird die Besetzungszahldarstellung |nb , nf i
verwendet, um einen Zustand darzustellen. Dies war sinnvoll, da der Hamiltonoperator
ĤS mit den Besetzungszahloperatoren n̂b und n̂f kommutiert. In der nichtlinearen BoseFermi-Supersymmetrie vertauscht immer noch der Hamiltonoperator ĤS mit n̂f ,
h
i (4.10)
ĤS , n̂f = Q2± , n̂f = B − B + f + f − , f + f − + B + B − f − f + , f + f − = 0 , (4.28)
aber im Allgemeinen nicht mit n̂b :
h
i ĤS , n̂b = Q2± , n̂f = f + f − B − B + , b+ b− + f − f + B + B − , b+ b− 6= 0 .
(4.29)
Die Struktur von B ± lässt nämlich keine Aussage über die bosonischen Kommutatoren
zu. Die bosonische Besetzungszahl ist also keine gute Quantenzahl mehr, jedoch die
Energie E. Die Zustände können durch |E, nf i dargestellt werden und es gilt
ĤS |E, nf i = E |E, nf i
(4.30)
n̂f |E, nf i = nf |E, nf i .
(4.31)
und
4.2.2 Kanonische Darstellung
Wie zuvor kann nf nur zwei Werte annehmen, Null und Eins. Dadurch lässt sich jeder
Zustand in zweikomponentiger Schreibweise darstellen:
|E, 0i
|E, nf i =
.
(4.32)
|E, 1i
Dabei beschreibt nf = 0 den bosonischen Zustand und nf = 1 den fermionischen. In
dieser Darstellung lassen sich die fermionischen Erzeuger- und Vernichteroperatoren und
damit auch die SuSy-Operatoren als 2 × 2-Matrizen schreiben. Für die fermionischen
Operatoren gelten die Beziehungen
f + |0i = |1i ,
f − |1i = |0i
und f + |1i = f − |0i = 0 .
(4.33)
Wählt man nun
1
|0i =
0
20
und
0
|1i =
,
1
(4.34)
4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
so ergibt sich für die fermionischen
0
+
f =
1
Operatoren
0
0 1
−
und f =
.
0
0 0
(4.35)
In dieser Darstellung lautet der Hamiltonoperator
ĤS = Q2± = B − B + f + f − + B + B − f − f +
+ − 1 0
− + 0 0
+B B
=B B
0 0
0 1
+ −
B B
0
=
.
− +
0
B B
(4.36)
Durch diese 2 × 2-Darstellung, auch kanonische Darstellung genannt, werden also die
fermionischen Operatoren geschickt umgangen. Mithilfe der Einheitsmatrix 1 und der
Pauli-Matrix σz lässt sich der Hamiltonoperator in einen Kommutator und Antikommutator aufspalten:
1 − +
1
ĤS =
B , B 1 − B − , B + σz .
(4.37)
2
2
4.2.3 Das Superpotential
Geht man nun von der Besetzungsdarstellung über zum Hamiltonoperator der Form
ĤS = p̂2 /2m + V (q̂), so kann man wie in [19] den Ansatz
1
ip̂
±
B = √ W (q̂) ∓ √
(4.38)
m
2
wählen. Dabei ist W (q̂) das Superpotential. Wie sich später herausstellen wird, lässt
sich sowohl das Potential des bosonischen Zustands, als auch das des fermionischen aus
W (q̂) konstruieren. Der Antikommutator lautet
− +
p̂2
B ,B
= W2 +
m
(4.39)
− +
i
~ dW
B , B = √ [p̂, W ] = √
,
m
m dq
(4.40)
und der Kommutator
wobei im letzten Schritt angenommen wird, dass sich W (q̂) in eine Potenzreihe von
q̂ zerlegen lässt [19]. Die Werte aus (4.39) und (4.40) eingesetzt in (4.37) ergeben den
Hamiltonoperator
1
p̂2
1
~ dW
2
√
ĤS =
W +
1−
σz ,
(4.41)
2
m
2
m dq
21
4 Supersymmetrie
der sich in zwei Hamiltonoperatoren für das bosonische und fermionische Subsystem
zerlegen lässt:
p̂2
1
~ dW
1
2
+ −
√
W +
−
,
(4.42a)
H1 = B B =
2
m
2
m dq
1
p̂2
1
~ dW
− +
2
√
H2 = B B =
W +
+
.
(4.42b)
2
m
2
m dq
Der Hamiltonoperator für die einzelnen Subsysteme unterscheidet sich also in den Potentialen, die sich beide aus dem Superpotential konstruieren lassen, auf das später genauer
eingegangen wird. Die Zerlegung in zwei Hamiltonoperatoren und das Superpotential
haben einige Vorzüge. So können zum Beispiel folgende Aussagen [19] für den Grundzustand, der bei E = 0 liegen soll, hergeleitet werden:
1. Es gibt nur einen Zustand mit E = 0 und er gehört zu H1 .
2. Es gibt nur einen Zustand mit E = 0 und er gehört zu H2 .
3. Der Grundzustand liegt bei E > 0 und ist zweifach entartet.
Im Fall 1 und 2 spricht man von exakter Supersymmetrie und im letzten Fall von gebrochener Supersymmetrie.
4.3 Supersymmetrische Quantenmechanik
Die supersymmetrische Quantenmechanik handelt von stationären Lösungen der Schrödingergleichung ĤΨ = EΨ mit dem Hamiltonoperator Ĥ = p̂2 /2m + V (q̂). Im Folgendem ist weniger die physikalische Interpretation des SuSy-Formalismus von Bedeutung,
als vielmehr das mathematische Konstrukt, das quantenmechanische Systeme miteinander verknüpft. Für das weitere Vorgehen wird deshalb in die Ortsdarstellung übergegangen. Dies wird durch die Ersetzungsregeln
q̂ → x und p̂ → −i~
d
dx
(4.43)
erreicht. Die Hamiltonoperatoren aus (4.42) haben in dieser Darstellung die Form:
~2 d2
+ V1 (x) ,
2m dx2
~2 d2
H2 = −
+ V2 (x) .
2m dx2
H1 = −
22
(4.44a)
(4.44b)
4.3 Supersymmetrische Quantenmechanik
Die Potentiale V1 und V2 lauten
1
V1 =
2
~
W − √ W0
m
2
1
und V2 =
2
~
2
0
W +√ W
m
(4.45)
und unterscheiden sich nur in einem Vorzeichen bei der Konstruktion aus dem Superpotential. In dieser Form wird auch deutlich, dass das Superpotential die Dimension
[Energie]1/2 hat und nicht mit einer potentiellen Energie verwechselt werden darf.
4.3.1 Eigenwerte und Eigenzustände der SuSy-Partner
Gegeben sei das supersymmetrische System mit den Hamiltonoperatoren H1 und H2 ,
die die Eigenwertgleichungen
(1) (1)
H1 Ψ(1)
n = En Ψn ,
(4.46a)
(2) (2)
H2 Ψ(2)
n = En Ψn
(4.46b)
erfüllen. Zunächst wird untersucht, wie die beiden Systeme zusammenhängen. Dazu wird
die Definition der beiden Hamiltonoperatoren aus (4.42) verwendet und es gilt:
−
(1)
(1)
H2 B − Ψ(1)
= B − B + B − Ψ(1)
B − Ψ(1)
,
n
n = B H1 Ψn = En
n
+ (2)
+ − + (2)
+
(2)
(2)
+ (2)
H1 B Ψn = B B B Ψn = B H2 Ψn = En B Ψn .
(4.47a)
(4.47b)
(1)
Also sind die Energien En auch Eigenwerte zu H2 und umgekehrt. Die beiden Subsysteme haben also das gleiche Energiespektrum. Im Fall der exakten Supersymmetrie
besitzt jedoch nur eines der Subsysteme den Grundzustand bei E = 0, dies sei H1 . Also
gilt für das Energiespektrum des Systems mit n ∈ {0, 1, 2, ..., ∞}:
(1)
(1)
E0 = 0 und En(2) = En+1 .
(4.48)
(2)
Des weiteren ist in (4.47b) mit (4.48) ersichtlich, dass B + Ψn ein Eigenzustand zu H1
(1)
(2)
(1)
mit Eigenwert En+1 ist. Daraus folgt, dass B + Ψn ∝ Ψn+1 . Insgesamt findet man
1
(1)
B − Ψn+1
Ψ(2)
n = q
(1)
En+1
1
(1)
und Ψn+1 = q
B + Ψ(2)
n ,
(2)
En
(4.49)
wobei schon ein Vorfaktor berücksichtigt ist, um die Norm zu erhalten.
23
4 Supersymmetrie
4.3.2 Konstruktion des Superpotentials
Im Folgenden werden zwei Möglichkeiten vorgestellt, wie man das Superpotential bestimmen kann. Zum einen kann (4.45) umgestellt werden,
~
W 2 − √ W 0 = 2V1 ,
m
(4.50)
und man erhält eine nichtlineare Differentialgleichung für W aus dem Potential V1 des
(1)
Grundsystems H1 . Ein anderer Weg führt über den Grundzustand Ψ0 des Grundsystems. Zunächst wird davon ausgegangen, dass die Supersymmetrie exakt ist, also das
Grundsystem die Eigenwertgleichung
(1)
H1 Ψ0 = 0
(4.51)
erfüllt. Einsetzen von (4.45) führt auf
~2 d2 (1) 1
Ψ +
−
2m dx2 0
2
~
(1)
2
0
W − √ W Ψ0 = 0
m
(4.52)
und nach umstellen der Gleichung und unter Verwendung der Kettenregel (Ψ0 /Ψ)0 =
Ψ00 /Ψ − (Ψ0 /Ψ)2 ergibt sich:
√
2 √
0
m
m
W −
W =
~
~
(1)
1 dΨ0
(1)
Ψ0 dx
!2
d
+
dx
(1)
1 dΨ0
(1)
Ψ0 dx
!
.
(4.53)
Vergleicht man auf beiden Seiten die Terme gleicher Ordnung, erhält man eine weitere
Bestimmungsgleichung für das Superpotential:
(1)
~ 1 dΨ0
.
W = −√
dx
m Ψ(1)
0
(4.54)
Beide Möglichkeiten, das Superpotential und damit H2 zu konstruieren, werden später
in dieser Arbeit verwendet.
24
5 PT -symmetrisches
Doppel-Delta-Potential
In der GPE (3.14) ist noch die Wahl eines externen Potentials möglich. Für dieses externe
Potential wird in dieser Arbeit das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential gewählt.
Es ist die vereinfachte Form des Doppel-Mulden-Potentials, welches Atome fangen kann
und zur Kondensation bringen kann. Außerdem erlaubt es die Ein- und Auskopplung
von Atomen in das und aus dem Kondenstat. Der Vorteil des Doppel-Delta-Potentials
ist, dass es im linearen Fall analytisch gelöst werden kann. Außerdem können ermittelte
Eigenschaften auf das Doppel-Mulden-Potential in gewisser Weise übertragen werden.
Im folgenden Kapitel wird erklärt, wie das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential
numerisch behandelt wird und einige Eigenschaften werden dargelegt.
5.1 Analytische Lösung des PT -symmetrischen
Doppel-Delta-Potentials
Das verwendete Doppel-Delta-Potential hat die Form
V (x) = (V0 + iγ) δ (x − a) + (V0 − iγ) δ (x + a)
= νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) ,
(5.1)
wobei V0 die Tiefe“ der Delta-Distributionen ist, γ die Stärke der Ein- und Auskopplung
”
und 2a der Abstand der beiden Delta-Funktionen. Die GPE aus (3.14) lautet für das
Doppel-Delta-Potential
d2
2
∗
(5.2)
− 2 + νδ (x − a) + ν δ (x + a) + g |Ψ (x)| Ψ (x) = µΨ (x) .
dx
Zunächst wird die Nichtlinearität nicht beachtet, um das Problem anfangs zu vereinfachen. Später in der numerischen Behandlung wird die Nichtlinearität wieder berücksichtigt. Die Gleichung (5.2) kann man in drei Bereiche einteilen, in denen die Lösungen
25
5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential
unterschiedlich sind. Als Ansatz für Ψ wird eine Superposition von zwei Exponentialfunktionen gewählt. Außerdem soll die Wellenfunktion im Unendlichen verschwinden,
was insgesamt auf den Ansatz


: x < −a
A exp (λx)
Ψ (x) = B exp (λx) + C exp (−λx) : −a < x < a
(5.3)


D exp (−λx)
:x>a
für die verschiedenen Bereiche führt. Dabei gilt −λ2 = µ und Re (λ) > 0. Damit man
eine physikalische sinnvolle Lösung hat, muss die Wellenfunktion stetig sein, was in den
Forderungen
x = −a :
x=a:
A exp(−λa) = B exp(−λa) + C exp(λa) ,
D exp(−λa) = B exp(λa) + C exp(−λa)
(5.4a)
(5.4b)
für die Koeffizienten mündet. Die Wirkung des Doppel-Delta-Potentials auf die Wellenfunktion zeigt sich in einer Sprungbedingung für die Ableitung. Dazu integriert man
(5.2) in einer kleinen Umgebung ±a ± um die Delta-Funktionen und man erhält
− [Ψ0 (−a + ) − Ψ0 (−a − )] + ν ∗ Ψ0 (−a) = 0 ,
− [Ψ0 (a + ) − Ψ0 (a − )] + νΨ0 (a) = 0 ,
(5.5a)
(5.5b)
wobei aufgrund der Forderung nach Stetigkeit alle Terme, die nur Ψ enthalten, verschwinden. Setzt man nun die Ansätze für die richtigen Bereiche aus (5.3) in (5.5) ein
und eliminiert mit (5.4) A und D, dann erhält man das lineare Gleichungssystem
2λ
exp
(2λa)
B
0
1
1
+
∗
ν
=
.
(5.6)
2λ
C
0
1 + ν exp (2λa)
1
Für nichttriviale Lösungen muss die Determinante der Matrix verschwinden:
2λ
2λ
exp (−4λa) = 1 + ∗
1+
.
ν
ν
(5.7)
Gibt man ν vor, hat man also eine Bestimmungsgleichung für die Energie in Abhängigkeit vom Abstand. In Abbildung 5.1 ist die Gleichung numerisch gelöst. Dafür wird eine
Potentialtiefe V0 = −1 gewählt, um gebundene Zustände zu erhalten. Aus der Abbildung
ist zu entnehmen, dass erst bei einem kritischen Abstand acrit = 1 zwei Energieeigenwerte
existieren. Dieses Verhalten bleibt auch für eine nichtverschwindende Ein- und Auskopplungsstärke γ erhalten. Da später der SuSy-Formalismus auf das Doppel-Delta-Potential
angewendet werden soll, benötigt man mindestens zwei Energieeigenwerte. Deshalb wird
im weiteren Verlauf der Arbeit ein Abstand a = 1.1 gewählt.
26
5.2 Numerische Lösung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
0.2
Energie µ
0
-0.2
-0.4
-0.6
Re(µ)(a, γ = 0)
Re(µ)(a, γ = ±0.3)
Im(µ)(a, γ = ±0.3)
-0.8
-1
0
0.5
1
Abstand a
1.5
2
Abbildung 5.1: Numerisch bestimmte Lösung der Bestimmungsgleichung (5.7) mit V0 =
−1 und µ = −λ2 für zwei verschiedene Werte der Ein- und Auskopplungsstärke γ.
5.2 Numerische Lösung des PT -symmetrischen
Doppel-Delta-Potentials
Um Lösungen zu erhalten, wird die GPE in (5.2) numerisch integriert. Dafür wird eine Nullstellensuche und ein Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung verwendet. Das
Runge-Kutta-Verfahren integriert die GPE jeweils ausgehend von den vorher festgelegten Startwerten und x = 0 nach x = ∞ und nach x = −∞. Dabei muss die so
erzeugte stationäre Lösung Ψ physikalischen Bedingungen genügen. Zum einen muss sie
die Norm
Z
∞
|Ψ (x)|2 dx = 1
−∞
erfüllen, da die Wellenfunktion mit einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Verbindung
gebracht wird. Des Weiteren soll die stationäre Lösung nur in einem sinnvollen Bereich
um das Potential existieren, mit anderen Worten; sie soll im Unendlichen verschwinden:
Re (Ψ) (±∞) = Im (Ψ) (±∞) = 0 .
27
5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential
0.4
Re(µ)
Im(µ)
0.3
Energie µ
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.7
0.8
Abbildung 5.2: Energiespektrum für den linearen Fall in Abhängigkeit von γ. Ab dem
kritischen Wert γcrit ∝ 0.4005 kommt es zur Bifurkation.
Als Startwerte benötigt das Runge-Kutta-Verfahren:
Re (Ψ) (0)
Re (µ)
Re (Ψ0 ) (0)
Im (µ) .
Im (Ψ0 ) (0)
Ein Startwert für Im (Ψ) (0) wird nicht benötigt, da unter Ausnutzung der Invarianz
der GPE unter einer globalen Phase der Imaginärteil der Wellenfunktion bei x = 0
immer auf Null gesetzt werden kann. Die physikalischen Bedingungen erfüllt Ψ nur unter
einigen bestimmten Startwerten, diese werden mithilfe der Nullstellensuche ermittelt.
Dabei variiert die Nullstellensuche die Startwerte, bis die Bedingungen erfüllt sind.
5.2.1 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität
Zuerst wird das System im linearen Fall g = 0 betrachtet, um einen ersten Eindruck
von dessen Verhalten und Eigenschaften zu erlangen. Abbildung 5.2 zeigt das Spektrum
im linearen Fall. Man erkennt, dass ab einem kritischen Wert γcrit ∝ 0.4005 sich das
Spektrum verändert; es kommt zu einer Bifurkation.
Für γ < γcrit existieren zwei Lösungen mit verschiedenen rein reellen Eigenwerten.
Für diesen Bereich sind zwei Paare von Wellenfunktionen in Abbildung 5.3 dargestellt. Dabei gehört der Grundzustand zur kleineren Energie als der angeregte Zustand,
28
5.2 Numerische Lösung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
0.6
0.3
0.5
0.2
0.4
0.1
0.3
0
Ψ
Ψ
Re(Ψ)(x)
0.2
-0.1
0.1
-0.2
0
-15
-10
-5
0
x
5
10
-0.3
-80
15
(a) Grundzustand für γ = 0.
-60
-40
-20
0
x
20
40
60
80
(b) Angeregter Zustand für γ = 0.
0.5
0.4
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
-0.3
-0.3
-15
-10
-5
0
x
5
10
(c) Grundzustand für γ = 0.3.
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.3
Ψ
Ψ
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
15
-0.4
-40
-30
-20
-10
0
x
10
20
30
40
(d) Angeregter Zustand für γ = 0.3.
Abbildung 5.3: Wellenfunktionen für verschiedene Werte von γ im linearen Fall. Für größer werdende Werte von γ gehen die Wellenfunktionen bis zur Bifurkation
ineinander über.
29
5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential
0.5
0.5
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
-0.3
-0.3
-0.4
-15
-10
-5
0
x
5
10
(a) Zustand mit Im(µ) < 0.
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.4
Ψ
Ψ
0.4
15
-0.4
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
(b) Zustand mit Im(µ) > 0.
Abbildung 5.4: Wellenfunktionen nach der Bifurkation im linearen Fall für γ = 0.41.
µgrund < µangeregt im Energiespektrum 5.2. Die Eigenzustände sind in diesem Bereich PT symmetrisch. Mit (2.12) sind also auch rein reelle Eigenwerte zu erwarten. Die Knicke in
den Wellenfunktionen treten dabei an der Stelle der beiden Delta-Potentiale bei x = ±1.1
auf. Diese werden durch die Sprungbedingungen in (5.5) verursacht. Des Weiteren nähern
sich die Energieeigenwerte für steigende γ an. Dies ist auch an den Wellenfunktionen zu
erkennen; für steigende Werte von γ gehen die Formen der Wellenfunktionen ineinander
über, bis sie an der Bifurkation identisch werden.
Nach der Bifurkation besitzt das System zwei zueinander komplex konjugierte Eigenwerte. Der Hamiltonoperator des Systems ist immer noch PT -symmetrisch, jedoch sind
die Eigenzustände, wie Abbildung 5.4 zeigt, nicht mehr PT -symmetrisch. Laut (2.10)
und (2.11) existiert zu einem Zustand Ψ mit Eigenwert µ auch ein Zustand PT Ψ mit
komplex konjugiertem Eigenwert µ∗ , was hier offensichtlich der Fall ist, da die beiden
Wellenfunktionen in Abbildung 5.4 sich durch Anwenden des PT -Operators ineinander
überführen lassen.
5.2.2 Stationäre Lösungen mit Nichtlinearität
Als Nächstes wird das gleiche System bei einer nichtverschwindenden Nichtlinearität
untersucht. Dabei wird eine Nichtlinearität kleiner Null, g = −0.5, gewählt, was einer
attraktiven Wechselwirkung entspricht. In Abbildung 5.5 befindet sich das Energiespektrum mit dieser Nichtlinearität. Es ist zu sehen, dass durch die attraktive Wechselwirkung die Eigenzustände stärker gebunden sind, da die Energieeigenwerte kleiner sind
als die aus Abbildung 5.2. Außerdem nähern sich wieder, wie zuvor, Grundzustand und
angeregter Zustand einander, wenn γ vergrößert wird, bis sie identisch sind und es treten
ab einem bestimmten Wert für γcrit wieder zwei PT -gebrochene Lösungen auf, die kom-
30
Energie µ
5.2 Numerische Lösung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
Re(µ)
Im(µ)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.7
0.8
Abbildung 5.5: Energiespektrum in Abhängigkeit von γ bei einer nichtverschwindenden
Nichtlinearität von g = −0.5.
plex konjugierte Eigenwerte zueinander besitzen. Jedoch spalten diese Zustände schon
für ein γcrit < 0.4005 vom Grundzustand ab. Das bedeutet, dass es einen Bereich gibt,
in dem insgesamt vier Eigenzustände existieren. Dieser Bereich beginnt beim Abspalten
der PT -gebrochenen Eigenzustände und endet an der Stelle, an der Grundzustand und
der angeregte Zustand in einen identischen Zustand übergehen.
Zuletzt werden noch die Eigenzustände untersucht. Zum Vergleich mit 5.3 befinden sich
die Wellenfunktionen für die gleichen Werte von γ, aber mit Nichtlinearität, in Abbildung
5.6. Sie erfüllen alle die Sprungbedingungen des Doppel-Delta-Potentials und weisen
einen Knick bei x = ±1.1 auf. Vergleicht man die Wellenfunktionen des Grundzustands,
mit und ohne Nichtlinearität, so ist keine merkliche Änderung zu erkennen. Untersucht
man jedoch die Wellenfunktionen des angeregten Zustands, so ist zu sehen, dass sich die
Wellenfunktion im nichtlinearen System über einen kleineren Bereich erstrecken und eine
größere Amplitude besitzen. Physikalisch gesehen beschreiben die Wellenfunktionen ein
Kondensat aus vielen einzelnen Atomen. Das bedeutet, durch die Nichtlinearität, die eine
attraktive Wechselwirkung der Teilchen beschreibt, zieht sich das Kondensat zusammen
und die Dichte erhöht sich. Dieser Effekt ist beim Grundzustand nur gering zu erkennen,
da sich die Wellenfunktionen schon über einen relativ kleinen Bereich erstrecken.
31
5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential
0.6
0.4
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.5
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.3
0.2
0.1
0.3
Ψ
Ψ
0.4
0
-0.1
0.2
-0.2
0.1
-0.3
0
-15
-10
-5
0
x
5
10
-0.4
-40
15
(a) Grundzustand bei γ = 0.
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.3
0.1
Ψ
Ψ
0.2
0
-0.1
-0.2
-0.3
-15
-10
-5
0
x
5
10
(c) Grundzustand bei γ = 0.3.
-20
-10
0
x
10
20
30
40
(b) Angeregter Zustand bei γ = 0.
0.5
0.4
-30
15
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-30
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
-20
-10
0
x
10
20
30
(d) Angeregter Zustand bei γ = 0.3.
Abbildung 5.6: Wellenfunktionen im nichtlinearen Fall mit g = −0.5 für verschiedene
Werte von γ.
32
6 Supersymmetrische Erweiterung des
PT -symmetrischen Doppel-DeltaPotentials
In diesem Kapitel wird der SuSy-Formalismus auf das Doppel-Delta-Potential angewendet. Dafür werden zwei Methoden zur Erzeugung des Superpotentials gegenüber gestellt
und das Energiespektrum und die Eigenzustände untersucht.
6.1 Das Superpotential
Wie zuvor in dieser Arbeit beschrieben, gibt es zwei Möglichkeiten das Superpotential
zu konstruieren. Um diese Möglichkeiten zu untersuchen, wird im Folgenden die Supersymmetrie exakt konstruiert. Dies wird erreicht, indem die Energie des zu entfernenden
Zustands vom Hamiltonoperator subtrahiert wird und somit in das Potential einbezogen
wird. Die zu lösende Differentialgleichung nimmt die Form
d2
2
∗
(6.1)
H1 Ψ = − 2 + νδ (x − a) + ν δ (x + a) − µ + g |Ψ (x)| Ψ (x) = 0
dx
an. Als Potential wird V1 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) − µ identifiziert. Das Superpotential
wurde mit dem Ansatz für die bosonischen Operatoren B ± eingeführt. Jedoch ist die
GPE nun in dimensionslosen Größen formuliert und man benötigt einen neuen Ansatz
d
,
dx
der dies berücksichtigt. Mit diesem Ansatz wird (4.50) zu
B ± = W (x) ∓
W 2 − W 0 = V1
(6.2)
(6.3)
und (4.54) zu
(1)
1 dΨ0
W = − (1)
.
Ψ0 dx
(6.4)
33
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
Aus beiden Gleichungen kann ein Superpotential bestimmen werden. Im weiteren Verlauf wird außerdem die Nichtlinearität nicht in das Superpotential mit einbezogen,
sondern im Partnersystem H2 gesondert behandelt. Dadurch kann (6.4) durch einsetzen des analytischen Ansatzes (5.3) gelöst werden. Man erhält aus (5.4) und (5.5)
C = −B(2λ/ν + 1) exp(2λa) und damit


−λ
: x < −a


1+(1+ 2λ
exp(−2λ(x−a))
)
ν
: −a < x < a
(6.5)
W = −λ 1− 1+ 2λ
exp(−2λ(x−a))
(

ν )


λ
:x>a
für das Superpotential und

2λ
λ2 4(1+ ν ) exp(−2λ(x−a)) 2
exp(−2λ(x−a))]
[1−(1+ 2λ
W0 =
ν )

0
: −a < x < a
(6.6)
: sonst
für die Ableitung. Hieraus können nun die Potentiale der beiden Partnersysteme bestimmt werden. Wie zu erkennen ist, sind beide Potentiale außerhalb der Delta-Distributionen konstant V1 = V2 = λ2 = −µ, was für V1 zu erwarten war. Außerdem macht
das Superpotential einen Sprung bei x = ±a, was durch den Knick der Wellenfunktion
vererbt wird. Um diesen Sprung zu untersuchen, integriert man wieder in einer kleinen
Umgebung ±a ± . Es wird über W 0 integriert, da man den Sprung von W untersuchen
möchte:
"
#
Z a+
Z a+
(1)
d
1 dΨ0
0
W (a + ) − W (a − ) =
W (x)dx =
− (1)
dx
Ψ0 dx
a−
a− dx
"
#
(6.7)
(1)
(1)
1
1
dΨ0 (a + )
dΨ0 (a − )
− (1)
=−
.
(1)
dx
dx
Ψ0 (a + )
Ψ0 (a − )
(1)
Da die Wellenfunktion Ψ0 stetig ist, kann (6.7) weiter zu
"
#
(1)
(1)
1
dΨ0 (a + ) dΨ0 (a − )
−
W (a + ) − W (a − ) = − (1)
dx
dx
Ψ0 (a)
(6.8)
vereinfacht werden. Mit (5.5) erhält man die Sprungbedingung für das Superpotential
W (a + ) − W (a − ) = −ν
(6.9a)
W (−a + ) − W (−a − ) = −ν ∗ .
(6.9b)
und analog
34
6.1 Das Superpotential
0.8
0.8
Re(W)
0.6 Im(W)
0.4
0.4
0
W
0.2
0
W
0.2
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-4
-2
0
x
2
-0.8
4
(a) Aus Grundzustand mit γ = 0.
-2
0
x
2
4
2.5
Re(W)
0.6 Im(W)
0.4
1.5
0.2
1
0
0.5
-0.2
0
-0.4
-0.5
-0.6
-1
-4
Re(W)
Im(W)
2
W
W
-4
(b) Aus angeregtem Zustand mit γ = 0.
0.8
-0.8
Re(W)
Im(W)
0.6
-2
0
x
2
4
(c) Aus Grundzustand mit γ = 0.3.
-1.5
-4
-2
0
x
2
4
(d) Aus angeregtem Zustand mit γ = 0.3.
Abbildung 6.1: Superpotentiale berechnet aus den Wellenfunktionen aus 5.3.
Dies bedeutet auch, dass in der Ableitung W 0 die Delta-Potentiale −νδ(x − a) und
−ν ∗ δ(x + a) enthalten sein müssen. Insgesamt ergibt sich für die Potentiale
V1 = W 2 − W 0 = λ2 + νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a)
= −µ + νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a)
(6.10)
und
V2 = W 2 + W 0 = −νδ (x − a) − ν ∗ δ (x + a)

2
exp(−2λ(x−a))] +4(1+ 2λ
exp(−2λ(x−a))
 [1+(1+ 2λ
ν )
ν )
2
2λ
1−
1+
exp(−2λ(x−a))
[
(
)
]
−µ
ν

1
: −a < x < a
(6.11)
: sonst
für das Partnerpotential.
Numerisch wird dieses Superpotential mit (6.4) aus den Wellenfunktionen bestimmt.
Einige Superpotentiale sind in Abbildung 6.1 dargestellt. Wie zu erkennen ist, besitzen
sie alle Sprünge bei den Delta-Funktionen x = ±1.1 und nehmen für x < −1.1 den Wert
35
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
−λ an und für x > 1.1 den Wert λ. Des Weiteren divergiert das Superpotential 6.1(b),
das aus dem angeregtem Zustand bei γ = 0 konstruiert wird. Dies ist auch an der Wellenfunktion in 5.3(b) erkennbar, da sie einen Knoten zwischen den Delta-Distributionen
aufweist. Wie sich später herausstellen wird, können aufgrund dieser Divergenz keine
Eigenzustände im Partnerpotential V2 für zu kleine γ gefunden werden.
Eine andere Möglichkeit, ein gültiges Superpotential zu konstruieren, führt mit (6.3)
über das Potential V1 . Da die Supersymmetrie exakt konstruiert sein soll, enthält V1
nicht nur das Doppel-Delta-Potential, sondern auch die Energie des Zustandes:
V1 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) − µ .
(6.12)
Mit (6.3) und −λ2 = µ erhält man die Differentialgleichung
W 2 − W 0 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) + λ2 ,
(6.13)
die sich abseits der Delta-Distributionen durch Separation der Variablen auf die Form
dW
= dx
W 2 − λ2
(6.14)
bringen lässt. Durch Substitution mit Hyperbelfunktionen,
W
= tanh(Θ) ,
λ
dW
1
=λ
,
dΘ
cosh2 (Θ)
(6.15)
lässt sich die linke Seite von (6.14) auf
1
dΘ
1
dΘ
1
=
2
2
2
λ cosh (Θ) tanh (Θ) − 1
λ sinh (Θ) − cosh2 (Θ)
(6.16)
umformen. Mithilfe des Additionstheorem cosh2 (Θ)−sinh2 (Θ) = 1 und durch Integration
erhält man
Z
Z
1
Θ !
−
dΘ = − = dx = x − ξ ,
(6.17)
λ
λ
wobei ξ eine Integrationskonstante darstellt. Einfache algebraische Umformungen und
Rücksubstitution Θ = Artanh(W/λ) führen letztlich auf
W (x) = −λ tanh [λ (x − ξ)] .
(6.18)
Dabei existieren für die drei verschiedenen Bereiche, innerhalb und außerhalb der DeltaDistributionen, verschiedene ξ, die jedoch durch die Sprungbedingungen (6.9) miteinander verknüpft sind. Letztendlich ist also nur für einen Bereich ξ frei wählbar, beziehungsweise kann durch Startbedingungen vorgegeben werden.
36
6.1 Das Superpotential
Vergleicht man beide Ansätze, erkennt man verschiedene Vorteile. Das Superpotential (6.5) hat außerhalb der Delta-Distributionen eine besonders einfach Lösung; das
Superpotential aus (6.18) hat hingegen eine einfachere Lösung innerhalb der DeltaDistributionen und ist genauer, da in die Konstruktion nicht die gesamte Wellenfunktion
eingeht, sondern nur ein konstanter Wert, die Energie µ. Außerdem lässt (6.18) aufgrund
von ξ eine Vielzahl an Superpotentialen zu.
Um alle Vorteile nutzen zu können, wird im Folgenden gezeigt, dass (6.5) ein Spezialfall
von (6.18) ist. Dazu wird (6.18) zuerst umgeformt:
W = −λ tanh [λ (x − ξ)] = −λ
exp(λ(x − ξ)) − exp(−λ(x − ξ))
exp(λ(x − ξ)) + exp(−λ(x − ξ))
1 − exp(−2λ(x − ξ))
.
= −λ
1 + exp(−2λ(x − ξ))
(6.19)
Dies wird gleichgesetzt mit (6.5),
1+ 1+
1 − exp(−2λ(x − ξ)) !
W = −λ
= −λ
1 + exp(−2λ(x − ξ))
1− 1+
2λ
exp (−2λ(x
ν 2λ
exp (−2λ(x
ν
− a))
α
=: −λ ,
β
− a))
(6.20)
und weiter umgeformt:
[1 − exp(−2λ(x − ξ))] β = [1 + exp(−2λ(x − ξ))] α ,
→ (β + α) exp(−2λ(x − ξ)) = β − α ,
1
β−α
→ξ=
ln
+ x.
2λ
β+α
(6.21)
Mit β − α = −2(1 + 2λ/ν) exp(−2(x − a)) und β + α = 2 erhält man nach Elimination
der Exponentialfunktionen aus dem Logarithmus
1
2λ
ξ =a+
ln − 1 +
(6.22)
2λ
ν
für die Integrationskonstante. Dadurch kann man


−λ
W = −λ tanh [λ(x − ξ)]


λ
für das Superpotential
: x < −a
: −a < x < a
:x>a
ansetzen. Die Ableitung ergibt
(
−λ2 cosh−2 [λ(x − ξ)] : −a < x < a
W0 =
,
0
: sonst
(6.23)
(6.24)
37
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
0.8
0.8
Re(W)
Im(W)
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
W
W
0.6
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-4
-2
0
x
2
-0.8
4
(a) Für Grundzustand mit γ = 0.
2
1.5
0.2
1
0
0.5
W
W
-2
0
x
2
4
2.5
Re(W)
Im(W)
0.4
-0.2
0
-0.4
-0.5
-0.6
-1
-0.8
-4
(b) Für angeregten Zustand mit γ = 0.
0.8
0.6
Re(W)
Im(W)
-4
-2
0
x
2
4
(c) Für Grundzustand mit γ = 0.3.
-1.5
Re(W)
Im(W)
-4
-2
0
x
2
4
(d) Für angeregten Zustand mit γ = 0.3.
Abbildung 6.2: Superpotentiale berechnet mit (6.23).
wobei zu beachten ist, dass sie aufgrund der Sprungbedingungen wieder die DeltaFunktionen enthält. Daraus erhält man erwartungsgemäß
V1 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) − µ
für das Potential des Grundsystems und
(
1 − 2 cosh−2 [λ(x − ξ)] : −a < x < a
V2 = −νδ (x − a) − ν ∗ δ (x + a) − µ
1
: sonst
(6.25)
(6.26)
für das Partnerpotential.
In Abbildung 6.2 sind einige Superpotentiale abgebildet. Sie besitzen alle die Sprünge
bei den Delta-Funktionen x = ±1.1 und sind außerhalb der Delta-Funktionen konstant.
Wie zu erkennen ist, divergiert auch mit dieser Methode das Superpotential für den
angeregten Zustand bei einem zu kleinen γ. Insgesamt sind keine Unterschiede zu den
Superpotentialen aus 6.1 zu erkennen. Jedoch sind mit dieser Methode, wie zuvor erwähnt, die Superpotentiale weniger anfällig für numerische Fluktuationen, die in den
Wellenfunktionen auftreten können.
38
6.2 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität
6.2 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität
6.2.1 Numerische Behandlung
Für die numerische Behandlung wird das Programm aus dem vorherigen Kapitel um eine
zweite Nullstellensuche und ein zweites Runge-Kutta-Verfahren erweitert. Das RungeKutta-Verfahren integriert dabei die GPE
d2
2
(6.27)
− 2 + V2 + gS |Ψ (x)| Ψ (x) = µS Ψ (x)
dx
mit dem Potential V2 aus (6.26), gS der Stärke der Nichtlinearität und µS dem Energieeigenwert des Partnersystems. An die so erzeugte Wellenfunktion werden wieder die
physikalischen Bedingungen
Z ∞
|Ψ (x)|2 dx = 1
−∞
und
Re (Ψ) (±∞) = Im (Ψ) (±∞) = 0
gestellt. Des weiteren benötigt das Runge-Kutta-Verfahren analog wie zuvor die Startwerte
Re (Ψ) (0) ,
Re (µ) ,
Re (Ψ0 ) (0) ,
Im (µ) ,
Im (Ψ0 ) (0) ,
die solange von der Nullstellensuche variiert werden, bis die physikalischen Forderungen
erfüllt sind.
6.2.2 Energien und Wellenfunktionen
Um eine grobe Vorstellung von den Lösungen zu bekommen, befinden sich in Abbildung 6.3 einige Partnerpotentiale. Die Partnerpotentiale bilden alle zwischen x = ±1.1
einen Art Potentialtopf. Man erwartet also in diesem Bereich die größte Amplitude der
Wellenfunktion. Des weiteren besitzt das Partnerpotential, wie auch das Superpotential,
Sprünge bei x = ±1.1, welche in einem Knick der Wellenfunktion an den selben Stellen
resultieren werden. Außerdem werden die Wellenfunktionen des Partnersystems bei entferntem Grundzustand sich weiter erstrecken und nicht so stark gebunden sein wie die
des Partnersystems bei entferntem angeregten Zustand, da die Potentialtöpfe in 6.3(a)
und 6.3(b) nicht so tief sind wie der in 6.3(c).
39
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
0.4
0.3
0.2
V2
0.1
0
-0.1
-0.2
Re(V2 )
Im(V2 )
-0.3
-0.4
-4
-2
0
x
2
4
(a) Für entfernten Grundzustand mit γ = 0.
0.6
0.4
0.2
V2
V2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Re(V2 )
Im(V2 )
-4
-2
0
x
2
4
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
Re(V2 )
Im(V2 )
-4
-2
0
x
2
4
(b) Für entfernten Grundzustand mit γ = (c) Für entfernten angeregten Zustand mit
0.3.
γ = 0.3.
Abbildung 6.3: Partnerpotentiale berechnet aus (6.26).
40
6.2 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität
0.4
Re(µS )
Im(µS )
0.2
µS
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.7
0.8
Abbildung 6.4: Energiespektrum im linearen Fall bei entferntem Grundzustand in Abhängigkeit von γ.
Entfernter Grundzustand
Das Potential in (6.26) ist so konstruiert, dass die Supersymmetrie exakt ist. Dies bedeutet, dass die Energie des supersymmetrischen Partnersystems die Relation
µS = µangeregt − µgrund
(6.28)
erfüllt. Vergleicht man die Abbildungen 5.2 und 6.4, ist, wie erwartet, die Energie µS
bis zur Bifurkation rein reell und an der Bifurkation Null, da beide Zustände dort im
Grundsystem identisch sind.
Nach der Bifurkation sind in Abbildung 5.2 die Realteile der Energie gleich. Dies erkennt
man in 6.4 wieder, da der Realteil verschwindet. Vergleicht man die Imaginärteile in
beiden Abbildungen, so kommt man zu dem Schluss, dass nach der Bifurkation der
Zustand mit positivem Imaginärteil als Grundzustand“ gewählt wurde, da der Zustand
”
im supersymmetrischen Partner einen negativen Imaginärteil zeigt. Diese Wahl ist im
Allgemeinen willkürlich.
Abbildung 6.5 enthält einige Wellenfunktionen zu diesem Partnersystem. Wie zuvor angedeutet, befindet sich das Maximum der Amplitude an der Stelle des Potentialtopfs und
41
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
0.45
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.4
0.35
0.3
Ψ
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-60
-40
-20
0
x
20
40
60
(a) γ = 0
0.6
0.8
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.5
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.6
0.4
0.4
0.2
Ψ
Ψ
0.3
0.1
0.2
0
0
-0.2
-0.1
-0.2
-40
-30
-20
-10
0
x
(b) γ = 0.3
10
20
30
40
-0.4
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
(c) γ = 0.45
Abbildung 6.5: Wellenfunktionen im Partnerpotential bei entferntem Grundzustand im
linearen Fall für verschiedene Werte von γ.
42
6.2 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität
0.8
Re(µS )
Im(µS )
0.6
µS
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.7
0.8
Abbildung 6.6: Energiespektrum im linearen Fall bei entferntem angeregten Zustand in
Abhängigkeit von γ. Für kleine Werte von γ < 0.039 bricht die numerisch
bestimmte Lösung zusammen. Der Grund dafür sind die in Abschnitt 6.1
bereits diskutierten Divergenzen im Superpotential.
die Wellenfunktion erstreckt sich über einen relativ großen Bereich. Dies kommt zu Stande, da der Grundzustand entfernt wird und der Partnerzustand die Energie des weniger
gebundenen angeregten Zustand besitzt. Des Weiteren besitzen die Wellenfunktionen
einen Knick, aufgrund der Sprungbedingung durch die Delta-Funktionen bei x = 1.1
und x = −1.1. Wie auch im Grundsystem ist die PT - Symmetrie nach der Bifurkation
gebrochen.
Entfernter angeregter Zustand
Um den angeregten Zustand zu entfernen, wird zur Bestimmung von ξ in (6.22) und von
V2 in (6.26) nicht wie zuvor der Energieeigenwert µgrund des Grundzustands, sondern
µangeregt des angeregten Zustands verwendet. In diesem Fall lässt sich die Energie mit
µS = µgrund − µangeregt
(6.29)
berechnen. Das zugehörige Energiespektrum ist in Abbildung 6.6 dargestellt. Für zu kleine Werte von γ < 0.038 können keine Lösungen mehr gefunden werden. Dies liegt am
Superpotential, das für kleine Werte von γ divergiert, vergleiche dazu Abbildung 6.2(b),
43
6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials
da der angeregte Zustand in diesem Bereich einen Knoten besitzt. Des weiteren ist auch
hier zu erkennen, dass nach der Bifurkation das System einen rein imaginären Eigenwert
besitzt, da die beiden Zustände im Grundsystem komplex konjugierte Eigenwerte aufweisen. Bei diesem System ist der Zustand mit negativem Imaginärteil der Energie aus
5.2 entfernt.
Zum Vergleich mit den Wellenfunktionen aus 6.5 bei entferntem Grundzustand sind in
Abbildung 6.7 Wellenfunktionen äquivalenter Parameter bei entferntem angeregten Zustand abgebildet. Im Bereich kleiner Werte von γ vor der Bifurkation erstrecken sich
die Wellenfunktionen über einen kleineren Bereich und haben eine größere Amplitude, was wie zuvor angedeutet an der Form des tieferen Potentialtopfes liegt. Befindet
sich der Wert von γ im Bereich der Bifurkation, gehen die Wellenfunktion aus beiden
Partnersystemen ineinander über, da dort auch die Zustände des PT -symmetrischen
Doppel-Delta-Potentials ineinander übergehen. Nach der Bifurkation sind auch hier die
Zustände PT -gebrochen. Vergleicht man jedoch 6.5(c) und 6.7(c) explizit, erkennt man,
dass sich die Wellenfunktionen durch Anwenden des PT -Operators ineinander überführen lassen. Dies kommt daher, dass das bereits für die beiden Zustände im ursprünglichen
System gilt. Diese Eigenschaft überträgt sich dann über das Superpotential W auf das
Partnerpotential V2 und schließlich auch auf die Wellenfunktion des einzig verbleibenden
Zustands in beiden Fällen. Vergleicht man die Energiespektren 6.4 und 6.6, ist zu sehen,
dass die Energieeigenwerte der beiden Systeme nach der Bifurkation komplex konjugiert
zu einander sind. Es liegt quasi der gleiche Fall komplex konjugierter Eigenwerte wie im
PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potential vor.
44
6.2 Stationäre Lösungen ohne Nichtlinearität
3
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
2.5
2
1.5
Ψ
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(a) γ = 0.0383
1
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
0.8
0.6
0.2
Ψ
Ψ
0.4
0
-0.2
-0.4
-0.6
-15
-10
-5
0
x
(b) γ = 0.3
5
10
15
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-15
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
-10
-5
0
x
5
10
15
(c) γ = 0.45
Abbildung 6.7: Wellenfunktionen im Partnerpotential bei entferntem angeregten Zustand im linearen Fall für verschiedene Werte von γ.
45
7 Verschiedene Ansätze zur
Behandlung der Nichtlinearität im
SuSy-Formalismus
Bisher wurde nur das lineare Partnersystem des linearen PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials untersucht. Da jedoch Bose-Einstein-Kondensate eine Zwei-Teilchen-Wechselwirkung aufweisen, die durch eine Nichtlinearität g |Ψ|2 beschrieben werden kann,
stellt sich nun die Frage, wie eine Nichtlinearität im Grundsystem im SuSy-Formalismus
berücksichtigt werden kann. Zu diesem Zweck werden in diesem Kapitel Ansätze, eine
Nichtlinearität zu behandeln, untersucht.
7.1 Analytischer Ansatz für das Superpotential
Bisher wird das Superpotential aus (6.23) verwendet. Außerhalb der Delta-Funktionen
ist es konstant und innerhalb wird es durch eine tanh-Funktion berechnet. Des Weiteren
wird auch die Integrationskonstante aus (6.22) durch den natürlichen Logarithmus berechnet. Durch die Verwendung analytischer Funktionen bietet dieser Ansatz eine hohe
numerische Stabilität, da das Superpotential kein Rauschen besitzt und wenig anfällig gegen Fluktuationen ist. Eine Nichtlinearität kann nun unterschiedlich mit diesem
Ansatz im SuSy-Formalismus behandelt werden. Zum einen kann eine Nichtlinearität
g |ΨGrund |2 im Grundsystem gewählt werden. Wie sich gezeigt hat, kommt es zu einer
Energieverschiebung im Spektrum des Grundsystems durch eine solche Nichtlinearität.
√
Diese Energieverschiebung geht in das Superpotential über den Eigenwert λ = −µ ein
und wird dadurch im SuSy-Partner berücksichtigt. Es wird also ein nichtlineares Grundsystem betrachtet. Dann wird so getan, als kämen dessen Energien aus einem linearen
Doppel-Delta-System, da das Superpotential aus (6.23) verwendet wird, und damit wird
ein lineares Partnersystem aufgebaut. Dieser Weg hat den Vorteil, dass das Konzept der
Supersymmetrie exakt angewendet werden kann, aber das nichtlineare System abgebildet
wird.
47
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
0.385
0.38
µS
0.375
ideal
g = −0.01, gS = 0
g = gS = −0.01
g = 0, gS = −0.01
0.37
0.365
0.36
0.355
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
γ
Abbildung 7.1: Verschiedene Ansätze für die Nichtlinearität im Grundsystem g und Partnersystem gS . Der ideale Wert ist mit (6.28) berechnet für eine Nichtlinearität im Grundsystem vom Wert g = −0.01.
Eine andere Möglichkeit ist die Nichtlinearität erst in dem SuSy-Partner zu berücksichtigen. Dabei hat sie die Form gS |ΨSuSy |2 , wobei ΨSuSy die Wellenfunktion aus dem Partnersystem ist. In diesem Fall ist das Potential nur vom linearen Grundsystem abhängig und
eine Energieverschiebung wird erst nach Anwenden der Supersymmetrie berücksichtigt.
Der große Unterschied hierbei ist, dass die Energieverschiebung von der Wellenfunktion
im SuSy-Partner ΨSuSy abhängt und nicht von der im Grundsystem ΨGrund . Hier geht
es also um die Frage, wie sich das Partnersystem eines linearen Doppel-Delta-Potentials
verhält, wenn im Partner zusätzlich eine Nichtlinearität wirksam ist.
Auch eine Kombination beider Ansätze ist möglich. Das bedeutet also, dass es um die
Frage geht, wie gut sich über den Supersymmetrieformalismus ein nichtlinearer Partner
eines nichtlinearen Grundsystems finden lässt, der die exakte Reproduktion des nicht
entfernten Eigenzustands möglichst gut wiedergibt.
7.1.1 Vergleich der Energieeigenwerte
Um den Einfluss der verschiedenen Ansätze der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus zu
untersuchen, sind in Abbildung 7.1 Ausschnitte aus den Energiespektren der Ansätze
dargestellt. Der ideale Wert ist mit (6.28) aus dem PT -symmetrischen Doppel-Delta-
48
7.1 Analytischer Ansatz für das Superpotential
System mit einer Nichtlinearität der Stärke g = −0.01 berechnet. Die Unterschiede der
einzelnen Ansätze zum idealen Wert sind gering, aber deutlich erkennbar.
Wie aus der Abbildung zu entnehmen ist, reproduziert der Ansatz mit g = −0.01 und
gS = 0 den idealen Wert am besten. Mit diesem Ansatz geht die Energieverschiebung
über das Superpotential in das Partnersystem ein. Trotzdem kommt es zu einer Abweichung vom idealen Wert, die zu groß ist, um sie auf numerische Probleme zurückführen
zu können. Die Ursache hierfür wird im kommenden Abschnitt erläutert.
Des Weiteren liefert der Ansatz mit einem nichtlinearen Term nur im SuSy-Partner die
größte Abweichung. Die durch die Nichtlinearität verursachte Energieverschiebung hängt
von der Wellenfunktion im SuSy-Partner ab, aber nicht von der im Grundsystem. Wie
zu sehen ist, kommt es dadurch zu einer größeren Energieabsenkung. Dies lässt sich auch
anhand der Wellenfunktionen verstehen. Zur Erinnerung, in Abbildung 5.2 befinden sich
die Wellenfunktionen ohne Nichtlinearität des Grundsystems und in 6.5 die des SuSyPartners bei entferntem Grundzustand. Durch die Nichtlinearität der Form −0.01 |Ψ|2
entsteht in der GPE stets ein zusätzliches attraktives Potential. Dies hängt dabei von
der Form der Wellenfunktion ab. Die Wellenfunktionen des Grundzustands im DoppelDelta-Potential weisen zwei Extrema an den Stellen der Delta-Funktionen auf, die Wellenfunktionen bei entferntem Grundzustand im SuSy-Partner weisen nur ein Extremum
bei x = 0 auf, haben dort aber eine höhere Amplitude im Vergleich mit denen aus dem
Grundsystem. Dies bedeutet, dass das durch die Nichtlinearität entstehende Potential im Partnersystem stärker lokalisiert ist und eine, bildhaft gesprochen, größere Tiefe
aufweist. Dadurch wirkt dieses stärker anziehend und verursacht eine größere Energieverschiebung. Anschaulich physikalisch erklärt, bedeutet die Nichtlinearität, dass sich
die Teilchen vorzugsweise an der selben Stelle aufhalten. Die Wellenfunktionen symbolisieren die Dichte des Kondensates beziehungsweise die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
der Teilchen. Durch die Nichtlinearität zieht sich nun das Kondensat zu den Punkte
der maximalen Dichte zusammen. Im SuSy-Partner gibt es nur einen solchen Punkt; im
Grundsystem jedoch zwei, die sozusagen um die Teilchen konkurrieren.
Naiv könnte man für den dritten Fall erwarten, dass bei Nichtlinearitäten in beiden
Systemen sich die Energieverschiebungen addieren würden. Dies ist aber nicht der Fall.
Durch die unterschiedlichen Energien des Grundsystems mit und ohne Nichtlinearität
haben die daraus konstruierten Superpotentiale eine verschieden Form. Folglich haben
auch die Wellenfunktionen ein leicht verschiedene Form. Dadurch ist die Nichtlinearität
nicht derart anziehend wie beim Ansatz zuvor.
Um die Stabilität mit den BdGE (3.20) untersuchen zu können, wird eine Nichtlinearität
im Partnersystem benötigt. Für diesen Fall erweist sich der mit gleichen Stärken der
Nichtlinearität g = gS als besserer Ansatz. Insgesamt liefert keiner der Ansätze den
idealen Wert.
49
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
0.4
0.2
0
µS
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Re(µS )
Im(µS )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
γ
0.5
0.6
0.7
0.8
Abbildung 7.2: Energiespektrum des Partnersystems bei entferntem Grundzustand bei
einer nichtverschwindenden Nichtlinearität der Stärke g = gs = −0.05.
7.1.2 Diskussion der Qualität des Ansatzes
Zur Veranschaulichung und Untersuchung der Qualität wird der allgemeinste der zuvor eingeführten Ansätze mit einer Stärke der Nichtlinearität von g = gS = −0.05
gewählt. In Abbildung 7.2 ist ein Energiespektrum für diese Stärke der Nichtlinearität
bei entferntem Grundzustand zu sehen. Wie zu erkennen ist, spaltet ein Zustand kurz
vor der Bifurkation ab. Es gibt also auch hier in einem kleinen Bereich mehrere Lösungen. Dies erbt das Partnersystem vom Grundsystem. Des Weiteren ist die Energie auch
schon vor der Bifurkation nicht rein reell. Dies kann bedeuten, dass die Wellenfunktionen
oder der Hamiltonoperator des Partnersystems nicht PT -symmetrisch sind. Eine andere
Ursache kann in dem endlichen Integrationsbereich liegen, durch den ein zusätzliches
Potential entsteht. Dieses Potential ist ein unendlich hohes Kastenpotential, das nur
bemerkbar wird, wenn die Wellenfunktion am Ende des Integrationsbereich noch nicht
vollständig abgefallen ist. Wie schon vorher zu sehen war, sind die Wellenfunktionen bei
entferntem Grundzustand sehr weitläufig und fallen nur langsam ab. Jedoch hat sich bei
genauerer Untersuchung gezeigt, dass der Ansatz für das Superpotential der ausschlaggebende Grund ist. Bei verschwindender Nichtlinearität im Grundsystem ist es sinnvoll,
den Ansatz aus (6.23) zu wählen und so durch die Wahl der Integrationskonstanten zu
erzwingen, dass sich die Wellenfunktionen aus Exponentialfunktionen zusammensetzen.
Dadurch wird eine hohe Stabilität erreicht, da kein Rauschen auf dem Superpotential durch die Wellenfunktionen ist. Allerdings versagt diese Methode schon recht früh
für große Werte von γ, falls das Grundsystem eine nichtverschwindende Nichtlinearität
50
7.2 Ansatz für das Superpotential über eine Differentialgleichung
besitzt.
Wie hier zu sehen ist, besitzt das Energiespektrum des SuSy-Partners komplexe Energieeigenwerte in einem Bereich, in dem das Grundsystem nur rein reelle Eigenwerte besitzt.
Dies liegt daran, dass bei der Herleitung von (6.23) eine Nichtlinearität im Grundsystem nicht berücksichtigt wurde und dass durch diesen Ansatz des Superpotentials ein
Grundsystem erzwungen wird, das die Bestimmungsgleichung aus (5.7) erfüllt. Wird nun
eine Nichtlinearität im Grundsystem eingeführt, wird gegenüber des linearen Falls die
Energie verschoben und die Bestimmungsgleichung (5.7) ist nicht mehr für ein festen
Abstand a und dem Parameterpaar λ und ν erfüllt. Dies kompensiert das Superpotential über die Integrationskonstante ξ aus Gleichung (6.22), die für das Parameterpaar
λ und ν nun passende Abstände für die Delta-Funktionen erzwingt. Dadurch ist jedoch
das so simulierte“ Grundsystem nicht mehr PT -symmetrisch, das Superpotential nicht
”
mehr PT -antisymmetrisch und es kommt zu einem PT -gebrochenen Partnerpotential
V2 . In diesem Partnerpotential existieren nun im Allgemeinen Lösungen mit komplexen
Eigenwerten und PT -gebrochenen Wellenfunktionen. Dies ist auch der Grund für die
Abweichungen der Energien in Abbildung 7.1 bei nichtverschindender Nichtlinearität
im Grundsystem. Wie schon in [13] gezeigt wurde, kann also im nichtlinearen Fall die
Supersymmetrie nie exakt umgesetzt werden.
7.2 Ansatz für das Superpotential über eine
Differentialgleichung
Wie sich gezeigt hat, liefert der Ansatz über die Differentialgleichung (6.13) für das
Superpotential gute Ergebnisse im linearen Fall. Jedoch nimmt die Qualität bei einer
Nichtlinearität im Grundsystem schnell erheblich ab. Eine naheliegende Möglichkeit,
diesen Ansatz des Superpotentials zu erweitern, ist die Nichtlinearität explizit zu berücksichtigen. Die Nichtlinearität wird nun in das Potential V1 mit einbezogen. Man
erhält folglich die Differentialgleichung
V1 = W 2 − W 0 = λ2 + νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) + g |ΨGrund |2 ,
(7.1)
mit der Wellenfunktion ΨGrund des zu entfernenden Eigenzustands im Grundsystem.
Dabei enthält W 0 wieder die Delta-Funktionen und W genügt den Sprungbedingungen
aus (6.9). Es muss also die Gleichung
W 0 = W 2 − λ2 − g |ΨGrund |2
(7.2)
numerisch gelöst werden. Diese benötigt Startwerte für W (0), die beliebig gewählt werden dürfen, da jedes Superpotential, dass die Differentialgleichung (7.1) erfüllt, ein richtiges Partnerpotential V2 = W 2 + W 0 ergibt. Wie sich jedoch in [13] gezeigt hat, liefert die
51
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
Re(W)
Im(W)
0.5
Re(W)
Im(W)
0.5
0
W
W
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-10
-5
0
x
5
10
-10
-5
(a) g = 0
0
x
5
10
(b) g = 0.5
Abbildung 7.3: Superpotentiale aus (7.2) für γ = 0.3 und für zwei verschiedene Werte
der Stärke der Nichtlinearität g.
3
3
Re(V2 )
Im(V2 )
2
Re(V2 )
Im(V2 )
2
1
0
0
V2
V2
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-10
-5
0
x
(a) g = 0
5
10
-4
-10
-5
0
x
5
10
(b) g = 0.5
Abbildung 7.4: Partnerpotentiale für γ = 0.3 und für zwei verschiedene Werte der Stärke
der Nichtlinearität g.
Startbedingung W (0) = 0 wieder PT -antisymmetrische Superpotentiale. Durch diese
wird auch die PT -Symmetrie in V2 erhalten, was im Allgemeinen bei anderen Startwerten W (0) 6= 0 nicht der Fall ist. In Abbildung 7.3 befinden sich zwei Superpotentiale,
die mit Gleichung (7.2) numerisch bestimmt sind. Sie zeigen den Fall, dass der Grundzustand des Ausgangssystem entfernt wird. Innerhalb der Delta-Funktionen, x = ±1.1,
ähneln sie den vorherig verwendeten Superpotentialen aus 6.2. Jedoch sind sie außerhalb der Delta-Funktionen nicht konstant, sondern nehmen einen nichttrivialen Verlauf
an. Sie streben auch anders als die in Abbildung 6.2 dargestellten Potentialverläufe am
linken Rand gegen einen positiven Wert und rechts gegen einen negativen. Vergleicht
man die Superpotentiale im linearen Fall und im nichtlinearen Fall aus 7.3, so erkennt
man, dass die Form gleich bleibt und nur die Funktionswerte sich verändern. Dies wird
deutlich beim Vergleich der aus diesen Superpotentialen bestimmten Partnerpotentiale
52
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-30
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
Ψ
Ψ
7.2 Ansatz für das Superpotential über eine Differentialgleichung
-20
-10
0
x
(a) g = 0
10
20
30
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-30
Re(Ψ)(x)
Im(Ψ)(x)
-20
-10
0
x
10
20
30
(b) g = 0.5
Abbildung 7.5: Wellenfunktionen in den neuen Partnerpotentialen aus 7.4.
in Abbildung 7.4. Auch hier ist zu erkennen, dass innerhalb der Delta-Funktionen sich
die neuen Partnerpotentiale und die alten aus 6.3 ähneln. Jedoch enthalten die neuen
Partnerpotentiale außerhalb von x = ±1.1 noch zwei Mulden“. Durch eine Nichtlinea”
rität im Grundsystem vergrößert sich die Tiefe“ dieser Mulden und das Potential wirkt
”
anziehender.
Diese Form des Partnerpotentials geht auch in die Wellenfunktionen in Abbildung 7.5
ein. So befinden sich die Maxima der Wellenfunktionen innerhalb der Delta-Funktionen
und in den Mulden. Ein Unterschied durch die Nichtlinearität ist in den Wellenfunktionen nicht direkt erkennbar, erst wenn man die Werte explizit vergleicht. Wie zu erkennen
ist, besitzen sowohl das Superpotential als auch das Partnerpotential Sprünge bei den
Delta-Funktionen, die in Knicke in den Wellenfunktionen an der gleichen Stelle resultieren. Bei der weiteren Untersuchung des neuen Ansatzes des Superpotentials stellt sich
heraus, dass die Differentialgleichung aus (7.2) für eine verschwindende Nichtlinearität,
g = 0, und für Werte von γ → 0 numerisch instabil wird. Dies zeigte sich in Divergenzen
des Superpotentials für |x| > 10. Dort sind aber die Wellenfunktionen noch nicht ausintegriert und es können in diesem Bereich für die Parameter keine Lösungen gefunden
werden. Dies ist in den folgenden Abbildungen nicht zu erkennen, da dies erst für sehr
kleine Werte von γ der Fall ist.
Wie zuvor werden nun verschiedene Ansätze, die Nichtlinearität in beiden Systemen
zu berücksichtigen, verglichen. Dazu enthält Abbildung 7.6 Ausschnitte aus den Energiespektren der verschiedenen Möglichkeiten. Wie sofort auffällt, reproduziert die Wahl
g = −0.01 und gS = 0 den idealen Wert erstaunlich gut, sogar etwas besser als es in
[13] vermutet wurde. Dies ist der Fall, da in dieser Arbeit die Nichtlinearität des Grundsystems konsequenter in das Superpotential mit einbezogen wird und eine anziehende
Nichtlinearität auch als solche gewertet wird. Des weiteren ist die gleiche Tendenz wie
in Abbildung 7.1 zu erkennen. Der Ansatz mit g = 0 und gS = −0.01 hat die größte Ab-
53
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
0.385
0.38
µS
0.375
ideal
g = −0.01, gS = 0
g = gS = −0.01
g = 0, gS = −0.01
0.37
0.365
0.36
0.355
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
γ
Abbildung 7.6: Vergleich von Auschnitten aus den Enrgiespektren der verschiedenen
Möglichkeiten eine Nichtlinearität zu berücksichtigen. Der ideale Wert
ist mit (6.28) aus dem Grundsystem mit g = −0.01 berechnet.
weichung vom idealen Wert. Der Grund dafür ist wieder, dass die Nichtlinearität erst im
Partnersystem berücksichtigt wird und sie so nur von der Wellenfunktion im Partnersystem abhängt. Auch hier liegt wieder der Ansatz mit g = gS in Bezug auf die Abweichung
zwischen den anderen beiden. Wie zuvor addieren sich die Energieverschiebungen nicht,
sondern die Nichtlinearität g im Grundsystem verändert die Wellenfunktionen im Partnersystem derart, dass eine zusätzliche Nichtlinearität gS im Partnersystem nicht so
stark ins Gewicht fällt.
Abschließend kann noch eine Aussage über die Qualität des Ansatzes aus (7.1) getroffen
werden. Durch diesen Ansatz sind die Partnerpotentiale auch für große Werte von γ und
g PT -symmetrisch. Dadurch treten auch keine komplexe Energieeigenwerte auf solange
das Grundsystem ein reelles Spektrum besitzt.
7.3 Diskussion der Stabilität
Eine Aussage über die Stabilität kann mithilfe der Bindungsenergie EB getroffen werden.
Sie wird aus der Energie µgrund des Grundzustands aus dem Ausgangssystem und der
Energie des Zustandes µS berechnet, da das Partnerpotential V2 für große Werte von |x|
54
7.3 Diskussion der Stabilität
0.02
Angeregter Zustand des Grundsystems
g = −0.01, gS = 0
g = gs = −0.01
g = 0, gS = −0.01
0.018
EB
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0
0.05
0.1
γ
0.15
0.2
Abbildung 7.7: Bindungsenergien der verschiedenen Ansätze für die Nichtlinearität und
mit dem Superpotential aus (6.23). Zum Vergleich ist die Bindungsenergie des angeregten Zustands aus dem Grundsystem mit enthalten.
gegen den Wert −µgrund konvergiert:
EB = µgrund − µS .
(7.3)
In Abbildung 7.3 befinden sich die Bindungsenergien für den Ansatz aus (6.23). Erneut
wird der Fall behandelt, dass der Grundzustand des Ausgangssystems entfernt wird.
Zusätzlich ist die des angeregten Zustandes aus dem Grundsystem mit eingetragen, da
nach der Anwendung des SuSy-Formalismus der Zustand im Partnersystem äquivalent
zum angeregten Zustand im Grundsystem sein sollte. Wie zu erkennen ist, steigt die
Bindungsenergie für größer werdende Werte von γ. Dies bedeutet, dass auch die Stabilität
der Zustände zunimmt. Das ist gerade umgekehrt zum Ausgangssystem. Dort nimmt die
Bindungsenergie des Grundzustands für steigende Werte von γ ab, wie in Abbildung 5.2
gesehen werden kann.
Der stabilste Zustand ist der des Partnersystems bei einer verwendeten Nichtlinearität
der Form g = gS . Hier bringt die Berücksichtigung einer Nichtlinearität in beiden Systemen eine höhere Stabilität, da beide Nichtlinearitäten anziehend und damit bindend
wirken. Die Zustände bei verwendetem Ansatz mit g = −0.01 und gS = 0 werden relativ gesehen zu den anderen Zuständen immer instabiler. So haben sie anfangs noch die
zweithöchste Bindungsenergie, die jedoch für steigende Werte von γ zuerst kleiner wird
als die des Ansatzes mit g = 0 und g = 0.01 und daraufhin kleiner als die Bindungsenergie des angeregten Zustands des Ausgangssystems. Insgesamt sind auch für große Werte
von γ zwei der drei Ansätze stabiler als der angeregte Zustand des Ausgangssystems.
55
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
0.02
Angeregter Zustand des Grundsystems
g = −0.01, gS = 0
g = gs = −0.01
g = 0, gS = −0.01
0.018
EB
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0
0.05
0.1
γ
0.15
0.2
Abbildung 7.8: Bindungsenergien für die verschiedenen Ansätze der Nichtlinearität mit
dem Superpotential aus (7.2). Zum Vergleich ist die Bindungsenergie des
angeregten Zustands aus dem Grundsystem mit enthalten.
In Abbildung 7.8 befinden sich Bindungsenergien für die verschiedenen Ansätze der
Nichtlinearität für das Superpotential aus (7.2). Es wird wieder auf den Fall des entfernten Grundzustands aus dem Ausgangssystem eingegangen. Wie auch zuvor, bringt die
doppelte Berücksichtigung der Nichtlinearität, also im Grundsystem und im Partnersystem, eine höhere Stabilität. So ist die Bindungsenergie für g = gS am höchsten. Bei
exakter Supersymmetrie ist zu erwarten, dass die Bindungsenergien des angeregten Zustands des Grundsystems und des verbleibenden Zustands im Partnersystem die selben
sind. Wie sich gezeigt hat, ist die Supersymmetrie sehr gut für den Ansatz g = −0.01 und
gS = 0 erfüllt. Dies ist auch bei den Bindungsenergien zu erkennen. Die Bindungsenergie
für diesen Ansatz und die des angeregten Zustands liegen stets sehr nahe aneinander.
Jedoch ist die des Partnersystems immer etwas größer, was sich darauf zurückführen
lässt, dass die Supersymmetrie nicht exakt ist. Die Bindungsenergie mit dem Ansatz
g = 0 und gS = −0.01 schneidet in diesem Vergleich am schlechtesten ab. Zwar liegt sie
nahe an der des angeregten Zustands aus dem Grundsystem, dennoch entfernt sie sich
für große Werte von γ immer weiter von ihr. Letztendlich liegen alle Energien im gleichen
Bereich und auch aus dem Vergleich der Bindungsenergie kann eine Aussage über die
Qualität der Ansätze für eine Nichtlinearität im SuSy-Formalismus getroffen werden. So
ergibt der Ansatz mit g = 0.01 und gS = 0 nahezu die gleiche Bindungsenergie, was für
eine sehr genaue Umsetzung der Supersymmetrie mit diesem Ansatz spricht.
56
7.4 Weiterer Aspekt der Stabilitätsuntersuchung
7.4 Weiterer Aspekt der Stabilitätsuntersuchung
In nichtlinearen Systemen gibt es die Möglichkeit, eine lineare Stabilitätsuntersuchung
unter Berücksichtigung der Dynamik mithilfe der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen
(BdGE) durchzuführen. Dies entspricht dann einer dynamischen Stabilität gegen kleine
Auslenkungen aus dem stationären Zustand, wie es als Fluktuationen in jedem Experiment auftreten. Ein Zustand eines Systems wird als stabil bezeichnet, wenn er nach einer
kleinen Störung wieder in den Ausgangszustand zurückkehrt oder um diesen oszilliert.
Instabile Zustände haben den großen Nachteil, dass ihre experimentelle Untersuchung
sich schwer realisieren lässt, da diese durch Fluktuationen oder kleine äußeren Störungen
zerfallen.
Die Frage ist nun, ob die Zustände der durch den SuSy-Formalismus konstruierten Systeme stabil oder instabil sind. Für Bose-Einstein-Kondensate lässt sich dies beantworten
durch das Studium der in dieser Arbeit eingeführten BdGE der Partnersysteme. Diese
dynamische Untersuchung übersteigt den Umfang dieser Bachelorarbeit, die erforderliche
Vorgehensweise soll jedoch für weitere Betrachtungen erläutert werden. Das numerische
Vorgehen gleicht dem des Doppel-Delta-Potentials und des Partnersystems. In diesem
Fall muss jedoch nicht nur eine Differentialgleichung ausintegriert werden sondern die
beiden gekoppelten aus (3.20):
−∇2 + Vext (r) − µS + 2gS |Ψ0 (r)|2 u (r) + gS Ψ0 (r)2 v (r) = ωu (r) ,
(7.4a)
2
2
∗
−∇2 + Vext
(r) − µ∗S + 2gS |Ψ0 (r)| v (r) + gS Ψ∗0 (r) u (r) = −ωv (r) .
(7.4b)
Dabei stammt die Wellenfunktion Ψ0 mit dem zugehörigen Eigenwert µS aus dem Partnersystem mit Vext = V2 und gS als Stärke der Nichtlinearität. Zum Integrieren wird
wieder ein Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung verwendet, welches für die BdGE
die Startwerte
Re(u)(0) ,
Re(v)(0) ,
Re(ω) ,
Im(u)(0) ,
Re(v 0 )(0) ,
Re(ω)
Re(u0 )(0) ,
Im(v 0 )(0) ,
Im(u0 )(0) ,
benötigt. Dabei kann Im(v)(0) immer auf Null gesetzt werden, da u und v invariant sind
unter einer gemeinsamen Transformation mit exp(iξ) wie in (3.22).
Die physikalischen Bedingungen sind die gleichen wie die aus den beiden Kapiteln davor,
Re(u)(±∞) = 0 ,
Re(v)(±∞) = 0 ,
Im(u)(±∞) = 0 ,
Im(v)(±∞) = 0 ,
57
7 Verschiedene Ansätze zur Behandlung der Nichtlinearität im SuSy-Formalismus
jedoch mit einer Ausnahme; die Wellenfunktionen müssen eine gemeinsam Norm
Z ∞
Z ∞
2
|Θ(x)| dx =
|u(x) + v ∗ (x)|2 dx = 1
(7.5)
−∞
−∞
erfüllen. Die Nullstellensuche variiert nun die Startwerte bis die physikalischen Bedingungen erfüllt sind.
Man kann das Problem noch um eine Dimension reduzieren. Zum Beispiel kann man
auch Re(v)(0) auf einen festen Wert setzen, wenn man die Norm aus (7.5) offen lässt.
Dies ist erlaubt, da u und v linear in den BdGE (7.4) vorkommen. Dadurch erfüllen
alle ũ = b · u und ṽ = b · v mit b ∈ R die BdGE, falls u und v dies tun. Die Norm
unterscheidet sich lediglich um den Faktor b2 . Durch Lösen der BdGE aus (7.4) kann ein
Eigenwertspektrum von ω in Abhängigkeit systemspezifischer Variablen wie γ, g oder gS
gefunden werden. Für reelle Eigenwerte ist der so untersuchte Zustand hinsichtlich der
Dynamik unter dem gewählten Satz an Variablen stabil und bei komplexen Eigenwerten
instabil.
58
8 Zusammenfassung und Ausblick
Ziel dieser Bachelorarbeit war es, den Supersymmetrie-Formalismus auf das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential anzuwenden. Dabei sollten verschiedene Ansätze, ein
Superpotential zu konstruieren, hinsichtlich ihrer Qualität gegenübergestellt werden, vor
allem unter Berücksichtigung von Nichtlinearitäten in beiden Systemen. Des weiteren
sollte eine Aussage über die Stabilität getroffen werden.
Zuerst wurden in dieser Bachelorarbeit vorherige Ergebnisse nachvollzogen und dazu das
PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential analytisch gelöst. Dieses enthält die Ein- und
Auskopplungskonstante γ, die als Imaginärteil in das Potential eingeht. Der Abstand der
beiden Delta-Funktionen wurde dabei so gewählt, dass zwei Zustände existieren. Dies
war nötig, um später den SuSy-Formalismus anwenden zu können. Es zeigte sich, dass
das Eigenwertspektrum bis zu einem kritischen Wert von γ zwei reelle Lösungen besitzt.
Ab diesem Wert treten zwei komplex konjugierte Eigenwerte auf. Es zeigte sich, dass
dies an den Eigenzuständen liegt. Vor dem kritischen Wert sind die Eigenzustände PT symmetrisch und danach sind sie PT -gebrochen. Daraufhin wurde die Gross-PitaevskiiGleichung für das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential mit einer Nichtlinearität
numerisch gelöst. Es stellte sich heraus, dass durch die Nichtlinearität die PT -gebrochenen Eigenzustände sich schon vor dem kritischen Wert von γ vom Grundzustand
abspalten.
Als nächstes wurde der SuSy-Formalismus angewendet. Es wurde ein analytisch bestimmtes Superpotential aus dem linearen Doppel-Delta-System reproduziert. Dabei
stellte sich heraus, dass dieses numerisch genauer bestimmt werden kann als das aus
den Wellenfunktion gewonnene Superpotential. Im linearen Fall konnte dadurch die Supersymmetrie exakt angewendet werden und es konnten sowohl Grundzustand als auch
angeregter Zustand jeweils entfernt werden. Dann wurden erstmals verschiedene Ansätze, die Nichtlinearität zu behandeln, eingeführt. Es stellte sich heraus, dass sich das
analytische Superpotential für eine nichtverschwindende Nichtlinearität schlecht eignet.
Es traten komplexe Eigenwerte im Eigenwertspektrum des Partnerpotentials auf, obwohl das Grundsystem rein reelle Eigenwerte besaß. Daraufhin wurde ein weiterer Ansatz vorgestellt, die Nichtlinearität explizit bei der Konstruktion des Superpotentials
zu berücksichtigen. Die dadurch gewonnen Differentialgleichung wurde numerisch gelöst
und es zeigte sich, dass das so bestimmte Superpotential die Supersymmetrie auch im
59
8 Zusammenfassung und Ausblick
nichtlinearen Fall erstaunlich genau wiedergibt.
Die Stabilität des Partnersystems bei entferntem Grundzustand konnte relativ zum angeregten Zustand des Grundsystems diskutiert werden. Die Bindungsenergien liegen alle
im Bereich der des angeregten Zustands des Grundsystems. Bei einer Nichtlinearität im
Grundsystem und im Partnersystem konnte eine erhöhte Stabilität festgestellt werden.
Zuletzt wurden noch die Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen (BdGE) eingeführt und
erklärt, wie diese numerisch gelöst werden können.
Der nächste Schritt in weiteren Arbeiten wäre nun, diese BdGE zu lösen und die lineare Stabilität unter Berücksichtigung der Dynamik zu untersuchen. Außerdem kann der
erweiterte Ansatz zur Konstruktion des Superpotentials weiter untersucht werden, um
festzustellen, wie genau die Supersymmetrie mit diesem Superpotential erfüllt ist.
60
Literaturverzeichnis
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Having PT Symmetry. Phys. Rev. Lett. 80, 5243–5246 (1998).
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in a δ-function double-well potential. Phys. Rev. A 86, 013612 (2012).
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Cambridge (2011).
[4] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii und S. Stringari. Theory of Bose-Einstein
condensation in trapped gases. Rev. Mod. Phys. 71, 463–512 (1999).
[5] Yu. A. Gelfand und E. P. Likhtman. Extension of the Algebra of Poincare Group
Generators and Violation of P invariance. JETP Lett. 13, 323–326 (1971).
[6] A. Neveu und J. H. Schwarz. Factorizable dual model of pions. Nucl. Phys. B 31,
86 – 112 (1971).
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[11] M.-A. Miri, M. Heinrich und D. N. Christodoulides. Supersymmetry-generated
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[12] M.-A. Miri, M. Heinrich, R. El-Ganainy und D. N. Christodoulides. Supersymmetric
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Theoretische Physik / Wolfgang Nolting. Springer (2014).
[18] J. Rogel-Salazar. The Gross-Pitaevskii equation and Bose-Einstein condensates.
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[19] H. Kalka und G. Soff. Supersymmetrie. Teubner Studienbücher Physik. Teubner
Verlag (1997).
62
Danksagung
Ich möchte mich bei allen bedanken, die mich beim Schreiben dieser Bachelorarbeit
unterstützt haben. Ein besonderer Dank geht an Dr. Holger Cartarius, der mich bei
Fragen mit Rat und Tat unterstützt hat. Prof. Dr. Günter Wunner möchte ich für die
Möglichkeit danken, eine Bachelorarbeit am 1. Institut für Theoretische Physik schreiben
zu können. Des Weiteren danke Robin Schuldt für die gute Zusammenarbeit und Cedric
Sommer für die gute Büroatmosphäre. Bei den Mitarbeitern des Instituts bedanke ich
mich für die angenehme Arbeitsatmosphäre. Zuletzt möchte ich mich noch bei meiner
Familie bedanken, die mich während dieser Zeit unterstützt hat.
63
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre,
• dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder
sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet
habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es
sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
• und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars
übereinstimmt.
Stuttgart, den 11. September 2015
Jacques Philippe Schraft

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