Federn

Federn
Motivation
Federn finden wir überall im
täglichen Leben. Sie
• speichern Energie,
• mindern Kräfte, Stösse und
• steigern den Komfort.
Lernziele
Die Studierenden sollen:
• die Klassierung der einzelnen Federn kennen,
• die charakteristischen Eigenschaften physikalisch
•
•
•
verstehen,
für einzelne Typen von Federn die Kenngrössen
bestimmen können,
in der Lage sein auch spezifische Federtypen zu
berechnen und
einen Überblick über die Werkstoffe und Eigenschaften
haben.
Überblick, Klassierung der Federn
Federn verformen sich unter Last und speichern dabei elastische Energie.
Bei Entlastung geben sie diese Energie wieder ab.
Diesen Vorgang nennt man „federn“
Einteilung nach Material und Beanspruchungsart
Federn
Metallfedern
Gasfedern
Gummifedern
Zug / Druck
Biege
Torsion
• Draht-Zugf.
• Ringfeder
• ...
• Biegestab
• Schraubenbiegefeder
• ...
• Torsionsstabfeder
• Zyl. Schraubenfeder
• ...
Zug / Druck
Schub
• Parallelschubfeder
• Drehschubfeder
• ...
Auswahl von Federn
Zylindrische
Schraubenfeder
(Druckfeder)
Schenkelfeder
Blattfeder
Zylindrische
Schraubenfeder
(Zugfeder)
Tellerfeder
Stabfeder (Biegestabfeder)
Spiralfeder
Ringfeder
Funktion von Federn
Funktion
Anwendungsbeispiele
Lageenergie speichern und
mehr oder weniger schnell abgeben
Uhrenfedern, Federmotoren,
Ver- und Entriegelungen, Rückhaltefedern,
Beschleunigungshilfen usw.
Stossenergie auffangen und auf längerem
Weg bei geringerer Kraft abbauen
Stossfedern bei Fahrzeugen, Pufferfedern,
drehelastischen Wellenkupplungen usw.
Bewegungsenergie (kinetische Energie)
erzeugen, unterstützen oder zurückführen
Ventilfedern, Rückführung von
Steuergestängen usw.
Kinetische Energie von Schwingungserzeugern isolieren, dämpfen oder
zwecks Resonanzverschiebung verstimmen
Maschinen- oder Gerätelagerungen,
Stossisolierung von Arbeitsmaschinen mit
Hammerwirkung
Kräfte verteilen
Fahrzeugfederungen, Polsterungen von Sitzund Liegemöbeln
Kräfte begrenzen
Pressen, Bohrwerkzeugen usw.
Kräfte bzw. Drücke messen und regeln
Aufgrund des für Federn typischen Zusammenhanges von Kraft und Verformweg
Verbindungskräfte bei Bewegung oder
bei Verschleiss aufrecht erhalten
Anpressen von Kontaktflächen bei
Dichtungen, Kohlen von Elektromotoren,
Strom-Durchführungen, Federgelenken
Federeigenschaften
hohe Energieaufnahme
verlustarme Arbeitsabgabe
gute Werkstoffausnutzung / Volumen-Nutzwert
hohe Ermüdungsfestigkeit
Setzfreiheit
kleiner Bauraum, angepasste Geometrie
dF
=R
Federrate:
ds
1
Nachgiebigkeit:
=N
R
Federkennlinien
— 1: progressiv
— 2: linear
F
R =
s
— 3: degressiv
Beispiele und Vorteile der Kennlinien
1: Durchschlagen verhindern;
Eigenfrequenz unabhängig von der Lastmasse
konstant halten
2: Federwaage
3: Kräfte limitieren (Puffer)
ω =
Drehfeder: Umsetzung einer Drehbewegung, Verdrehwinkel ϕ
in ein Drehmoment M dM
= Rt Drehfederrate [Rt ] = Nm
dϕ
M = Rt ⋅ ϕ lineare Drehfeder
R
m
Gekoppelte Federn: Parallelschaltung
Parallelschaltung ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Federn
den gleichen Federweg erfahren
parallel:
s1 = s2 = ... = sn = s
F1 + F2 + ... + Fn = F
F1 = R1 ⋅ s; F2 = R 2 ⋅ s; ... Fn = R n ⋅ s
F = R1 ⋅ s + R 2 ⋅ s + ... + R n ⋅ s
n
F
R =
= R1 + R 2 + ... + R n = ∑ R i
s
i =1
Bei parallelgeschalteten Federn
addieren sich die Federraten
Gekoppelte Federn: Serien- , Reihenschaltung
Reihenschaltung ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Federn
die gleiche Last tragen
F1 = F2 = ... = Fn = F
s1 + s2 + ... + sn = s
F1 = R1 ⋅ s1; F2 = R 2 ⋅ s2 ; ... Fn = R n ⋅ sn
F
F
F
= s = s1 + s2 + ... =
+
+ ...
R
R1 R 2
F
F
F
F
=
+
+ ... +
R R1 R 2
Rn
n
1
1
1
1
1
=
+
+ ... +
= ∑
R R1 R 2
Rn i =1 Ri
Bei in Reihe geschalteten Federn
addieren sich die Nachgiebigkeiten
Kombiniert (Beispiele)
Fh1
R1 =
h1
für F < Fh1
Fh 2 − Fh1
R1 + R 2 =
h2 − h1
für Fh1 < F < Fh 2
F − Fh 2
R1 + R 2 + R 3 =
;für F > Fh
2
s − h1
Kombiniert (Beispiele)
I:
II :
III :
1
R ges
1
R ges
1
R ges
1
1
1
=
+
+
R1 R 2 R 3
1
1
=
+
R2 R3
1
=
R2
Federarbeit
dW = F(x) ⋅ dx
s
∫ F(x) ⋅ dx
W =
0
— Für lineare Kennlinie:
s
W = ∫ R ⋅ x ⋅ dx =
0
1
1
⋅ R ⋅ s2 = ⋅ F ⋅ s
2
2
Arbeit einer Zugstabfeder
F⋅s
2
σ
s = ε ⋅l = ⋅l
E
Wa =
F = σ⋅A
σ⋅A σ
σ2 ⋅ V
Wa =
⋅ ⋅l =
2
E
2 ⋅E
maximale Arbeit, wenn σzul
erreicht:
σ2zul ⋅ V
Wa(Zugstabfeder) =
2⋅E
Arbeit eines Biegebalkens
Wa =
F ⋅ l3
(eingespannter Balken)
s=
3EI
F 2 ⋅ l3
Wa =
6EI
2 σ zul I
MB
F⋅l h
σ=
=
⋅ = σ zul ⇒ F =
l ⋅h
WB
I 2
eingesetzt in Wa
Wa =
mit
4 σ2zul I2
2
2
l h
b ⋅ h3
I=
12
⋅
F⋅s
2
l3
6EI
=
und
4 σ2zul I l
6 h2 E
V = b ⋅h⋅ l
2
1 σ zul V
Wa =
⋅
18
E
1
Wa = Wa ( Zugstabfeder )
9
Wa = ∫ F ( s )ds = ∫ Aτ (γ ) ⋅ bdγ = VG ∫ γ ⋅ dγ
1
Wa = V τ ⋅ γ , τ = Gγ
2
b
Arbeit einer Schubfeder
Umrechnung auf Zugspannungsbeanspruchung
τ zul =
Wa =
1
σ zul
3
, G=
2
σ zul
V 2(1 +ν )
3⋅ 2 ⋅ E
E
2(1 + ν )
= 0.9
2
σ zul
V
2E
, ν = 0.3
= 0.9Wa ( Zugstabfeder )
Ausnutzungsfaktor, Gestaltnutzwert
Der Ausnutzungsfaktor charakterisiert das Arbeitsvermögen in
Bezug auf das Arbeitsvermögen, wenn das eingesetzte
Werkstoffvolumen vollständig bis an die Grenze beansprucht ist.
Normalspannungen:
Schubspannungen:
ηA =
Wa(Feder)
W (Feder)
= a
Wa(Zugstabfeder)
σ2zul ⋅ V
2 ⋅E
η ASchub
Für einen einseitig
eingespannten Biegebalken
Für einen Vollkreisquerschnitt
als Torsionsstab
Wa ( Feder )
Wa ( Feder )
=
=
2
V
τ zul
Wa ( Schubfeder )
2G
ηA =
1 18 ⋅ σ2zul ⋅ V E
η ASchub
1
2 ⋅ σ2zul
⋅V E
=19
2
τ zul
Wa ( Feder )
V 4G 1
=
= 2
=
Wa ( Schubfeder ) τ zulV 2G 2
Ausnutzungsfaktor
Wirkungsgrad / Dämpfungswert
durch innere und äussere Reibung
geht gespeicherte Energie verloren
zurückgewonnene Arbeit
abgegebene Federarbeit
W´
Wirkungsgrad ηW = aufgewendete Arbeit = aufgenommene Federarbeit = W
W − W´
Verlustarbeit
δ =
=
Dämpfungswert
W + W´
Arbeitsumsatz
innere Reibung durch Material: z.B. Gummifedern
äussere Reibung durch Kontaktreibung: z.B. Tellerfedern
Federvorspannung
Faussen
1/2 FFeder
1/2 FFeder
abnehmend bis 0
FFeder
FFeder
bleibt konstant
Federschwingsystem
ω =
R
m
Vorlesung 4:
Wiederholung Vorlesung 3
Lötverbindungen:
- Weich – Hart – und Hochtemperaturlöten
- Gestaltung einer Lötverbindung
- Auslegung bei verschiedenen Beanspruchungsarten
Federn:
- Reihen – und Parallelschaltung
- Federarten
- Ziel: Potentielle Energie speichern, Kräfte verteilen
- Kennlinie progressiv / degressiv
- Vorspannung
- Gestaltnutzwert
- Federarbeit, Federwirkungsgrad
- Schwingungen
Zug- und Druckbeanspruchte Federn
Beispiel Federungen
in Eisenbahnpuffern
Biegefedern
Einseitig eingespannte Biegestabfeder
3
Fl
s=
3 E I0
R =
M 6 Fl
σ max =
= 2
W bh
1
⇒ ηa =
9
F 3 E I0
=
s
l3
bh 3
I0 =
12
2
V
1 σ zul
⇒ Wa =
9 2E
Biegefedern
Einseitig eingespannte Trapezfeder
F=
σb0 h 2
6l 3
Fl
2σl 2
=ψ
s =ψ
3EI 0
3Eh
1 3EI 0
R=
ψ l3
F 2l 3
1
Wa = Fs = ψ
2
6 EI 0
1
⇒ ηa ≈
3
2 ψ
ηa =
9 1 + be b0
Formfaktor
ψ = 1.5
bei be = 0
ψ = 1.0
bei be = b0
bessere Ausnutzung bei Dreiecksfedern
(geschichtete Blattfeder)
Biegefedern
geschichtete Blattfeder
Î gute Dämpfung durch Reibung zwischen den einzelnen Blättern
vermeiden
Anbindung nur in der Mitte
2 Trapezfedern parallel
Schraubenbiegefedern, Drehfedern
Voraussetzungen:
1.) fest eingespannte auf einer
Kreisbahn geführte Federenden
2.) Durchbiegung der Schenkel
vernachlässigbar.
3.) Unsymmetrische Spannungsverteilung
aus Vorkrümmung wird vernachlässigt
4.) Drehwinkel im Bogenmass
Schraubenbiegefedern, Drehfedern
M B = Fr
MB = const.
in jedem Drahtquerschnitt
Î Analogie zu langem Biegestab
mit konstantem Moment
l = n⋅D⋅ π
MB
w'' =
EI
n: Anzahl Wicklungen
Biegelinie
d4 π
I=
Flächenträgheitsmoment
64
Verdrehung ϕ:
ϕ = w' = ∫ w'' ⋅ du =
n⋅2π
∫
0
MB D
M
⋅ dϕ = n D π B
EI 2
EI
Schraubenbiegefedern, Drehfedern
MB
EI
Drehfederrate
=
R=
ϕ
nπD
Bei eng gewundenen Federn ist Spannung an der Innenseite
grösser als aussen
Î zulässig nur Beanspruchung im Windungssinn
(Druckspannungen innen)
D/d
2
3
4
6
8
15
MB
σx = q ⋅
WB
q
1.59 1.36 1.25 1.16 1.12 1.06
2
Taylorreihe:
d
⎛d⎞
q = 1 + 0.87 + 0.64⎜ ⎟ + ...
D
⎝D⎠
D Windungsdurchmesser
=
= Wickelverhältnis
d
Drahtdurchmesser
Gestaltnutzwert:
η A ≈ 0.25
nur Biegemoment einleiten (Gestaltung)
D/d ≈ 4–20
Spiralfedern
Verwendung der gleichen Formeln wie für Drehfedern
M
ϕ = T ⋅L;
EI
Mt E I
R =
=
ϕ
L
L: abgewickelte Länge
R: Federkonstante
Für Rechteckfeder
b t3
I=
12
Entwurfsrichtlinien
⇒ Drehmoment in Windungsrichtung einleiten
⇒ Enden einspannen
⇒ Wickeldistanz genügend gross, so dass keine
Berührung stattfindet
Torsionsfedern: Drehstabfedern
ϕ=
Mt l 32 Mt l
=
G It
G π d4
R =
Mt
M t2l
1
τ max =
Wa = M tϕ =
Wt
2
2GI t
2
2
Wt 2l
V
τ zul
τ zul
Wa max =
, Wa max = η a
2GI t
2G
Wt 2
⇒ ηa =
It A
Für Vollkreisquerschnitte:
It =
πd 4
32
η a = 0.5
, Wt =
πd 3
16
,
A=
Dünnwandige Querschnitte:
Bredtsche Formel
πd 2
4
G It
l
Reihenschaltung
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Zylindrische Schraubenfedern
häufigst eingesetzter Federtyp
Vorteile:
• lineare Kennlinie,
• praktisch keine Dämpfung,
• grosse Federwege bei begrenzter Bauhöhe möglich,
• günstiger Ausnutzungsfaktor wie Torsionsstab (ηA = 0.5) und
• rechnerisch gut zu erfassen.
• Beanspruchung auf Zug oder Druck
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Kräfte / Momente an einer zylindrischen Schraubenfeder
bei zentrisch angreifender Kraft
FN = F ⋅ sin α
FQ = F ⋅ cos α
Da α klein und Querkräfte vernachlässigbar
D
⇒ Mt = F ⋅
⇒
Torsionsfeder!
2
und alle anderen = 0
D
Mt = F ⋅ ⋅ cos α
2
D
MB = F ⋅ ⋅ sin α
2
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Da die Beanspruchung hauptsächlich auf Torsion erfolgt, kann
die Schraubenfeder als gewundene Drehstabfeder aufgefasst
werden.
Abgewickelte Länge der Feder
l = πDn
D M tl D
s =ϕ =
2 GI t 2
πd 4
It =
32 3
8nD F
s=
Gd 4
R =
G d4
3
8nD
Federweg als Verdrehwinkel mal
Abstand zur Federmitte
Torsionsträgheitsmoment
Federweg
Federrate
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Schubspannungsverteilung
D
Mt
8FD
2
τt =
=
=
3
Wt
d
π d3
π⋅
16
F⋅
Inhomogene Verteilung der Spannungen
τmax = k ⋅ τ t
D/d: Wickelverhältnis
D/d
2
k
2
4
6
8
12
2.05 1.38 1.23 1.17 1.13 1.09
3
5 d 7⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞
+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... nach Bergsträsser
k = 1+
4 D 8⎝D⎠ ⎝D⎠
Dimensionierung Durchmesser:
Maximale Federkraft:
10
d=
π d3 τ zul
F=
8Dk
3
k⋅
8FD
π ⋅ τ zul
Auslegung dynamisch beanspruchter Federn
Spannungen bei linearer
Feder proportional
zu s und F
Ermittlung der unteren Schubspannung,
Ermittlung der wirkenden Hubspannung
Modifiziertes Smith - Diagramm
τ kh < τ kH
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Entwurfsrichtlinien: Gestaltung der Ösen
Druckfedern:
— meist rechtsgewickelt
— Steigung der letzten Wicklung
verringern
(reduziert Knickgefahr)
— Federenden um 180° versetzt
(somit ungerade Wicklungszahl)
— je ¾ Windungen anschleifen
zur Verminderung Knicken
— Kraft zentrisch einleiten
Zugfedern:
— bevorzugen!
(keine Knickgefahr)
— Kraft zentrisch einleiten
— Zugfedern sind meist
vorgespannt
Torsionsfedern: Schraubenfedern
LB = (n + 2)d
LB = (n + 3.5)d
Ln = LB + sa
L0 = LB + sa + sn
sa
sn
Blocklänge für angeschliffene Enden
Blocklänge für nicht angeschliffene Enden
Federlänge bei höchster Kraft
Federlänge unbelastet
Mindestabstand zwischen Windungen (DIN 2095)
Einfederung bei höchster Kraft
⎞
⎛
D2
sa = n⎜⎜ 0.0015
+ 0.1d ⎟⎟ nach DINEN13906 für kaltgeformte Federn
d
⎠
⎝
nach DINEN13906 für warmgeformte Federn
sa = 0.02n( D + d )
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Knicken von Druckfedern: Je grösser der Schlankheitsgrad, d.h. das
Verhältnis zwischen Feder länge L0 und Federdurchmesser D,
und je höher die Einfederung, desto eher knickt die Feder aus.
2⎤
⎡
⎛
⎞
L0
⎢1 − (1 − G E ) ⋅ ⎜ πD ⎟ ⎥
sk =
2(1 − G E ) ⎢
0.5 + G E ⎜⎝ vL0 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
Kein Knicken für: s
Lagerungsbeiwert v:
< sk
und
0 > sk
Fall 1
Torsionsfedern: Schraubenfedern
Führung nicht
knicksicherer Federn
in Hülsen
Dabei Reibverschleiss
beachten
Tellerfedern
h0
Tellerfedern sind kegelstumpfförmig ausgebildete, in axialer
Richtung belastete Ringscheiben
s
s = Federweg;
t = Dicke der Tellerfeder;
h0= Eintiefung Teller, max.
Federweg
Vorteile:
- Erzielung unterschiedlicher Kennlinien,
- progressive Kennlinie durch Kombination Reihenschaltung,
- degressive Kennlinie bei grossem h0/t
- Geringe Dämpfung bei einschichtiger Anordnung
- Hohe Dämpfung bei Parallelschaltung
- Geringer Bauraum
- Hohe Dauerstandfestigkeit bei Stahlfedern
Tellerfedern
Tellerfedern, Kombination
Kennlinien mit Hysterese bei geschichteten Tellerfedern,
ohne Hysterese bei Reihenschaltung
Tellerfedern
F=F0 , s=h0 : Feder auf Block,
Tellerfedern
Berechnung als Kegelschale als Näherung nach Almen und Laszlo
t 4 s ⎡⎛ h0 s ⎞⎛ h0 s ⎞ ⎤
4E
F=
⎜ − ⎟⎜ − ⎟ + 1⎥
⎢
2
2
1 −ν K1 De t ⎣⎝ t t ⎠⎝ t 2t ⎠ ⎦
2
2
⎤
h0 s 3 ⎛ s ⎞
dF
t 3 ⎡⎛ h0 ⎞
4E
R=
=
+ ⎜ ⎟ + 1⎥
⎟ −3
2
2 ⎢⎜
ds 1 −ν K1 De ⎢⎣⎝ t ⎠
t t 2⎝ t ⎠
⎥⎦
⎛ δ −1 ⎞
⎟
⎜
1 ⎝ δ ⎠
K1 =
π δ +1 − 2
δ − 1 ln δ
2
De
mit δ =
Di
Tellerfedern: Spannungen
⎤
4E
t 2 s ⎡ ⎛ h0 s ⎞
σI = −
K 2 ⎜ − ⎟ + K3 ⎥
⎢
2
2
1 −ν K1 De t ⎣ ⎝ t 2t ⎠
⎦
⎤
4E
t 2 s ⎡ ⎛ h0 s ⎞
σ II = −
K 2 ⎜ − ⎟ − K3 ⎥
⎢
2
2
1 −ν K1 De t ⎣ ⎝ t 2t ⎠
⎦
⎤
4E
t2 s ⎡
⎛ h0 s ⎞
(K 2 − 2 K 3 )⎜ − ⎟ − K 3 ⎥
σ III = −
⎢
2
2
1 −ν K1 De δ t ⎣
⎝ t 2t ⎠
⎦
⎤
4E
t2 s ⎡
⎛ h0 s ⎞
(K 2 − 2 K 3 )⎜ − ⎟ + K 3 ⎥
σ IV = −
⎢
2
2
1 −ν K1 De δ t ⎣
⎝ t 2t ⎠
⎦
δ −1
−1
3 δ −1
6 ln δ
, K3 =
K2 =
π ln δ
π ln δ
σI
= absolut grösste
Spannung
und für die statische
Auslegung massgeblich
Tellerfedern
σI
= absolut grösste Spannung und für die statische Auslegung
massgeblich
σ II σ III = grösste Zugspannung und für die dynamische
Auslegung massgeblich.
Grössenverhältnis abhängig von
Federgeometrie
- Federsäule durch Bolzen führen mit
Durchmesser D=Di -1mm
- Schwingend beanspruchte Tellerfedern
sind zur Vermeidung von Anrissen
bei I mit 0.15 bis 0.2 h0 vorzuspannen
Gemischtbeanspruchte
Federn
Tellerfedern
S=Federweg; t=Dicke der Tellerfeder;
h= Tellerhöhe unbelastet
• Gruppen:
Unterschiedliche Charakteristika
der Einzelfedern
Gruppe 1
Kaltgeformt
Gruppe 2
Kaltgeformt,
Innen- und Aussendurchmesser spanend bearbeitet,
Kanten am Innen- und Aussenrand gerundet
Gruppe 3
Warmgeformt,
allseitig spanend bearbeitet, mit Auflagefläche und
gerundeten Kanten am Innen- und Aussenrand
Werkstoffe
Werkstoff
Streckgrenze Re
[N / mm2]
Zugfestigkeit Rm
[N / mm2]
38Si7
1’050
1’200 – 1’400
51Si7
1’150
1’350 – 1’600
60SiCr7
1’150
1’350 – 1’600
55Cr3
1’200
1’400 – 1’650
50CrV4
1’200
1’400 – 1’650
58CrV4
1’350
1’500 – 1’700
45CrMoV6-7
1’100
1400 - 1700
Warmfest bis 450°C
CuSn6
250 - 700
350 – 750
Cu6Zn
580 - 700
620 - 770
CuNi18Zn20
300 - 550
380 - 620
Festigkeit abhängig
von den
Abmessungen.
E ≈ 115‘000 N / mm2
G ≈ 42‘000 N / mm2
Siehe auch:
DIN 17221
DIN 17222
DIN 17224
Höchstbeanspruchung
Werkstoffe
Massnahmen zur Erhöhung der
— Bruchfestigkeit / Streckgrenze — Wechselfestigkeit
—starke Kaltverformung
—Härtung
(z.B. durch hohen
—höhere Anlasstemperatur
Ausziehgrad bei
—Randentkohlung und
der Drahtherstellung)
Randoxidation vermeiden
—Härtung
—Oberflächenfehler vermeiden
—niedrige Anlasstemperatur
(Härterisse, Zunderstellen,
Fertigungsriefen,
Scheuerstellen)
—Glattschleifen und / oder
Polieren der Oberfläche
—Kaltverfestigen der
Oberflächen durch Drücken
oder Kugelstrahlen
Gasfedern
— Beispiel:
1 Kolbenstange
2 Öl – Schmutzabstreifer
4 O – Ring
5 Gasdichtung
6 Mechanischer Anschlag
7 Kolbenführungsband /
Dichtung
9 Hochleistungs- /
Füllventil
Dimensionierung ausgewählter Federn
Schubbeanspruchte Gummifedern
R=
G⋅A
h
Lieferkataloge konsultieren
Herleitung Skript
Dämpfer
Bemerkung:
Ein Dämpfer ist keine Feder!!
Wird aber häufig im Umfeld von Federn
eingesetzt!
F
Ekin
m ⋅ v2
=
2
oder rotativ:
Ekin
Wärmeerzeugung:
J ⋅ ω2
=
2
W = F⋅s
F(s) vielfach konstant
W = Ekin
WWärme = W ⋅
Hub
Std
Dämpfer

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