Kombinatorik Übungen 1. Summen- und Produktregel 1. Doris hat 8 verschiedene Pullover, 4 verschiedene Jupes und 7 Paar Schuhe. Wie viele verschiedene Kombinationen Pullover/Jupe/Schuhe kann sie tragen? 2. Wie viele siebenstellige Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es? 3. Die Ziffern einer Zahl sollen durch Werfen eines Spielwürfels bestimmt werden. Wie viele fünfstellige Zahlen sind denkbar? 4. Die nachstehende Skizze zeigt vier Ortschaften Aadorf, Bedorf, Cedorf und Dedorf und ihre Verbindungsstrassen. A B C D (a) Auf wie viele Arten kann man von Aadorf nach Dedorf über Bedorf und Cedorf fahren? (b) Wie viele verschiedene Rundreisen A–B–C–D–C–B–A gibt es? (Die zweifache Benutzung eines Weges ist erlaubt.) 5. Die nebenstehende Flagge diene als Modell: Wie viele Nationalflaggen von diesem Muster kann man mit 6 Farben entwerfen, wenn zwei nebeneinanderliegende Streifen nicht die gleiche Farbe haben sollen? 6. Zwölf Spieler bestreiten ein Schachturnier. Die erste Runde besteht aus 6 Partien, die gleichzeitig gespielt werden. Wie viele verschiedene Paarungen sind für die erste Runde möglich? 7. Aus 5 Australiern, 12 Belgierinnen und 6 Chinesen sollen 2 Personen verschiedener Nationalität ausgewählt werden. Auf wie viele Arten geht das? 1 2. Kombinatorische Grundaufgaben 1. Armin, Brigitte und Christine stellen sich in einer Reihe für ein Gruppenbild auf. Wie viele verschiedene Aufstellungen sind möglich? 2. Aus 4 Personen soll eine Delegation von 2 Personen ausgewählt werden. Wie viele verschiedene Delegationen gibt es? 3. Vier Athleten kämpfen um die Medaillen: Gold, Silber und Bronze. Wie viele Medaillenverteilungen sind möglich? 4. Ein Glücksspielautomat besteht aus drei rotierenden Rädern, auf denen je die Symbole ♣, ♦, ♥ angebracht sind und die unabhängig drehen. Werden die Räder gestoppt, erscheint auf jedem Rad ein Symbol; man sieht dann zum Beispiel: ♥ ♣ ♥ Wie viele Kombinationen sind möglich? 5. Fünf ununterscheidbare Kaninchen sollen auf drei Ställe verteilt werden. Auf wie viele Arten ist dies möglich? 3. Fakultäten 1. Vereinfache und berechne: (a) 10! 7! (b) 4 · 5! 5 · 4! (c) 12! (6!)2 (d) 26! : 2713 2 4. Permutationen ohne Wiederholungen 1. Die sieben Frauen und Herren Bundesräte sollen sich für eine Gruppenaufnahme in einer Reihe aufstellen. Auf wie viele Arten ist dies möglich? 2. Wie viele verschiedene “Wörter“ kann man bilden, wenn jeder der 26 Buchstaben A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z genau einmal verwendet werden soll. 3. Fünf Kriminalromane, drei Kochbücher und sieben Bildbände sollen auf einem Regal nebeneinander gestellt werden. (a) Auf wie viele Arten geht dies, wenn alle Bücher verschieden sind? (b) Auf wie viele Arten geht dies, wenn alle Bücher der gleichen Art nebeneinander stehen sollen? 4. Fünf Damen und fünf Herren kommen an ein Drehkreuz. Sie passieren das Drehkreuz nacheinander. (a) Auf wie viele Arten können sie das Drehkreuz passieren? (b) Wie viele Arten verbleiben, wenn die Damen den Vortritt haben? (c) Es handle sich um 5 Paare, die das Drehkreuz hintereinander passieren. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt? 5. Permutationen mit Wiederholungen 1. Eine walisische Ortschaft hat den Namen CWMFFRWD. Wie viele verschiedene Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben dieses Ortsnamens bilden? ” 3 2. Ein Signal kann durch sieben Flaggen, die untereinander hängen, gegeben werden. Man hat vier gleiche rote, zwei gleiche blaue und eine gelbe Fahne zur Verfügung. Wie viele verschiedene Signale kann man damit geben? 6. Variationen mit Wiederholungen 1. Der PIN-Code einer EC-Karte besteht aus einer Ziffernfolge von 6 Ziffern (a) Wie viele verschiedene PIN-Codes sind möglich? (b) Wenn man pro Code-Eingabe 5 Sekunden benötigt, wie viele Tage bräuchte man höchstens, um einen PIN-Code zu erraten“? ” 2. Auf wie viele Arten kann Franz acht voneinander unterscheidbare Murmeln in seinen beiden Hosentaschen unterbringen? 3. Wie viele Teilmengen hat eine n-elementige Menge? 7. Variationen ohne Wiederholungen 1. Auf wie viele Arten können sich 7 Gäste auf 10 Stühle setzen? 2. Die schweizerische Postverwaltung will eine neue Briefmarkenserie mit vier verschiedenen Frankaturwerten herausgeben. Die Druckerei kann 8 verschiedene Farben offerieren. Wie viele Möglichkeiten bieten sich für den Druck, wenn jede Markenart eine andere Farbe haben soll? 3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, (a) 5 Autos (b) 11 Autos zu parkieren, wenn 12 Parkplätze frei sind? 4 (c) 12 Autos 4. Auf wie viele Arten kann man 7 Personen in einem Hotel einquartieren, in dem 20 Einzelzimmer frei sind? 5. Bei einem Wettbewerb kommen 1743 Einsendungen in die Schlussverlosung, in der fünf verschiedene Preise vergeben werden. Wie viele verschiedene Auslosungen sind möglich? 8. Binomialkoeffizienten 1. Berechne ohne Taschenrechner: (a) 143 143 17 (b) 16 (c) 101 99 9. Kombinationen ohne Wiederholungen 1. Auf wie viele Arten kann man aus 11 Personen einen Viererausschuss wählen? 2. An zwei Tischen gibt es drei bzw. vier freie Plätze. Auf wie viele Arten kann man sieben Gäste auf die beiden Tische verteilen? 3. Auf wie viele Arten kann man aus 10 Frauen und 5 Männern einen Ausschuss aus 6 Frauen und 3 Männern auswählen? 4. In der Ebene sind 45 Punkte gegeben. (a) Wie viele Geraden sind durch sie höchstens bestimmt? (b) Wie viele Kreise sind durch sie höchstens bestimmt? 5 5. Auf wie viele Arten kann man aus 10 Volleyballspielern zwei Fünfermannschaften bilden? 6. Aus wie vielen Personen besteht eine Gesellschaft, wenn beim Anstossen 190 mal die Gläser klingen? 7. Lehrer Frei wohnt in (0, 0) und arbeitet in (8, 8). (8, 8) (a) Wie viele kürzeste Arbeitswege (wie den eingezeichneten) gibt es? (3, 4) (b) Herr Frei nimmt jeden Morgen seine Kollegin mit, die in (3, 4) wohnt. Wie viele verschiedene Wege gibt es nun? (0, 0) 10. Kombinationen mit Wiederholungen 1. Auf wie viele Arten kann man 12 gleiche Tafeln Schokolade auf 3 Kinder verteilen, wenn kein Kind leer ausgehen soll? 2. Ein Eishockeyspiel endet mit 8 : 5. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Drittelsresultate? 3. Zauberformel: Sieben Bundesratssitze sind auf vier Parteien zu verteilen. Wie viele Möglichkeiten ( Zauberformeln“) gibt es? ” 11. Vermischte Aufgaben 1. Auf wie viele Arten kann man 54 Parlamentssitze auf vier Parteien verteilen? 2. Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 37-Eck? Wie viele Diagonalen hat allgemein ein regelmässiges n-Eck? 6 3. Eine Klasse mit 10 Schülerinnen und 8 Schülern möchte eine vierköpfige Delegation bilden, in der beide Geschlechter vertreten sein sollen. Auf wie viele Arten ist dies möglich? 4. Am Sporttag trägt jeder Schüler einer 15-köpfigen Klasse eine Startnummer. Es gibt 6 rote, 5 blaue und 4 gelbe Startnummern, die fortlaufenden Nummern versehen sind. (a) Auf wie viele Arten können die Leibchen auf die Klasse verteilt werden? (b) Wie gross ist die Anzahl Verteilungsmöglichkeiten, wenn André, Brigitte und Christian blaue Startnummern tragen? 5. Am Sporttag trägt jeder Schüler einer 15-köpfigen Klasse ein T-Shirt mit dem Logo der Schule. Es gibt 6 rote, 5 blaue und 4 gelbe T-Shirts. (a) Auf wie viele Arten können die Leibchen auf die Klasse verteilt werden? (b) Wie gross ist die Anzahl Verteilungsmöglichkeiten, wenn André, Brigitte und Christian blaue Leibchen tragen? 6. In einem Raum gibt es 10 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele verschiedene Beleuchtungsarten gibt es . . . (a) insgesamt? (b) wenn genau 7 Lampen brennen sollen? (c) wenn höchstens 2 Lampen brennen sollen? 7. Wie viele verschiedene Wörter kann man mit den 13 Buchstaben des Wortes ANTEATEREATER bilden? 7 8. Eine Tafel Schokolade besitzt fünf Rillen, an denen sie gebrochen werden kann. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Schokolade in (a) drei Teile, (b) vier Teile, (c) beliebig“ viele Teile ” zu zerlegen? 9. Auf einem Parkplatz sind noch 6 Parkplätze frei. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die freien Parkplätze den ankommenden Autos zuzuteilen, wenn (a) 3 Autos, (b) 6 Autos, (c) 8 Autos ankommen? 10. Jassen (a) Die Herren Amberg, Brechbühl, Christinger und Dietler jassen einen Schieber. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 36 Karten gleichmässig auf die vier Spieler aufzuteilen? (b) Herr Dietler ist krank und die andern spielen zu dritt. Jeder bekommt 12 Karten. Gibt es nun mehr oder weniger Verteilungsmöglichkeiten als beim Schieber? (c) Wie viele Verteilungen beim Schieber gibt es, bei denen Amberg vier Nell (d.h. vier Neuner) und Dietler vier Bauern hat? 8 11. Drei Studentinnen und zwei Studenten fahren mit einem Auto in die Ferien. Nur zwei Studentinnen haben einen Führerschein. Wie viele Sitzverteilungen gibt es, wenn es genau 5 Plätze im Auto gibt? 12. Eine Fahrschülerin muss bei einer Prüfung 8 von 12 Fragen beantworten. (a) Wie viele Auswahlmöglichkeiten hat sie? (b) Wie viele Auswahlmöglichkeiten bleiben ihr, wenn sie die ersten vier Fragen beantworten muss? (c) Wie viele Möglichkeiten bleiben ihr, wenn sie genau vier von den ersten sieben Fragen beantworten muss? (d) Wie viele Möglichkeiten bleiben ihr, wenn sie mindestens vier von den ersten sieben Fragen beantworten muss? 13. (a) Auf wie viele Arten können 17 Skifahrer auf drei Gondeln verteilt werden, wenn alle drei Gondeln für sämtliche Personen genügend Platz hätten? (b) Wie viele Möglichkeiten verbleiben, wenn die eine Gondel noch 6, die zweite noch 4 und die dritte noch 7 freie Plätze haben? (c) Wie viele Möglichkeiten verbleiben, wenn ausserdem (neben den Bedingungen von Teilaufgabe (b) die beiden Freundinnen Nicole und Ruth zusammen in der gleichen Gondel fahren möchten? 14. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sieben nicht unterscheidbare Äpfel auf drei Schalen zu verteilen, wenn keine Schale leer bleiben soll? 9 Kombinatorik Lösungen Übungen 1. Summen- und Produktregel 1. 224 2. 78 125 3. 7776 4. (a) 48 (b) 2304 5. 150 6. 10 395 7. 162 2. Kombinatorische Grundaufgaben 1. 6 Aufstellungen 2. 6 Delegationen 3. 24 4. 27 5. 21 Verteilungen 3. Fakultäten 1. (a) 720 (b) 4 (c) 924 4. Permutationen ohne Wiederholungen 1. 5040 2. 4.033 · 1026 3. (a) 1.308 · 1012 (b) 21 772 800 4. (a) 3 628 800 (b) 14 400 (c) 3 840 5. Permutationen mit Wiederholungen 1. 10 080 2. 105 10 (d) 128 6. Variationen mit Wiederholungen 1. (a) 106 (b) ca. 58 Tage 2. 256 3. 2n 7. Variationen ohne Wiederholungen 1. 604 800 2. 1680 3. (a) 95 040 (b) 479 001 600 (c) 479 001 600 (b) 17 (c) 5 050 4. 390 700 800 5. 1.600 · 1016 8. Binomialkoeffizienten 1. (a) 1 9. Kombinationen ohne Wiederholungen 1. 330 2. 35 3. 2100 4. (a) 990 (b) 14 190 5. 126 (wenn nicht zwischen einer 1. und einer 2. Mannschaft unterschieden wird) 6. x = 20 7. (a) 12 870 (b) 4410 10. Kombinationen mit Wiederholungen 1. 55 2. 945 3. 120 Zauberformeln 11 11. Vermischte Aufgaben 1. 29 260 2. 629 bzw. n(n − 3)/2 3. 2780 4. (a) 15! ≈ 1.31 · 1012 (b) 60 · 12! = 28 740 096 000 5. (a) 630 630 (b) 13 860 6. (a) 1024 (b) 120 (c) 56 7. 3 603 600 8. (a) 10 (b) 5 (c) 31 9. (a) 120 (b) 720 (c) 20 160 (b) 3.39 · 1015 (c) 1.61 · 1014 12. (a) 495 (b) 70 (c) 175 13. (a) 317 (b) 4 084 080 (c) 1 261 260 10. (a) 2.15 · 1019 11. 48 14. 15 12 (d) 460
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