Anleitung - Der Fachbereich Mathematik

Universität Tübingen, Fachbereich Mathematik
Wintersemester 15/16
Dr. Stefan Keppeler
Proseminar Algebraische Kategorien
Anleitung
Lernziele
• Die Studierenden erarbeiten sich mathematische Inhalte selbständig aus einem (englischsprachigen) Text.
• Die Studierenden treffen eine Auswahl geeigneter Themen (innerhalb eines vorgegebenen
Rahmens) und präsentieren diese sinnvoll für die anderen TeilnehmerInnen. Dabei setzen
sie passende Hilfsmittel ein (Tafel, Projektor, Handout etc.).
• Die Studierenden tauschen sich untereinander über mathematische Themen aus, sowohl
mündlich im Seminar als auch schriftlich im Webforum.
• Die Studierenden fassen ihre Ergebnisse sinnvoll schriftlich zusammen.
Inhalte
Wir erlernen die Grundzüge der Sprache der Kategorientheorie. Dabei betrachten wir überwiegend Objekte und Strukturen, die uns bereits aus der Linearen Algebra bekannt sind. Wir
orientieren uns an einem Buch (ca. Kapitel 2-24) von Robert Geroch, mit dem (möglicherweise
etwas irreführenden) Titel Mathematical Physics.
Literatur
Robert Geroch, Mathematical Physics, The University of Chicago Press (1985)
Lesen mathematischer Texte
Im Gegensatz zu anderen Lehrveranstaltungen, in denen mathematische Sachverhalte von Lehrenden erklärt werden, oft ergänzt durch wöchentlich passende Übungsaufgaben, erarbeiten Sie
sich in einem Proseminar neue mathematische Inhalte selbst anhand eines Textes. Das Lesen
mathematischer Texte kann dabei mühsamer sein und deutlich länger dauern als das Lesen von
Alltagstexten.
Sie haben den Text also gelesen aber nicht alles verstanden?
Gut, hier beginnt der eigentliche Spaß!
Identifizieren Sie eine Stelle, die Sie nicht verstehen. Grenzen Sie das Problem, so weit wie möglich ein. Zerlegen Sie das fragliche Argument in so viele Teilschritte wie möglich. Machen Sie
sich klar, welche davon Sie bereits verstehen. Das sind oft mehr als man beim Blick auf ein
größeres Argument anfangs glaubt. Spielen Sie dann mit dem verbliebenen Schritt: In welchen
Beispielen tritt wirklich ein Problem auf, in welchen nicht? Was unterscheidet sie voneinander?
Gibt es einfache Spezialfälle? Oder umgekehrt: Lässt sich die Frage verallgemeinern? Manchmal
ist nämlich pradoxerweise das allgemeinere Problem einfacher als der Spezialfall.
Das Ganze dient dem Formulieren der richtigen Fragen, das ist der entscheidende Schritt! Am
Ende steht entweder eine konkrete Frage, die Sie nun anderen stellen können (im Webforum,
Ihren Kommilitonen, Ihren DozentInnen,. . . ), oder sehr häufig gar keine Frage mehr. Denn beim
Versuch, den problematischen Schritt zu identifizieren und die Frage präzise zu stellen, finden
Sie oft bereits selbst die Lösung.
Der Mathematiker Paul Halmos beschrieb diesen Prozess einmal so:1
1
Paul Halmos, I Want to Be a Mathematician, Springer-Verlag (1985)
1
Don’t just read it; fight it!
Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs.
Is the hypothesis necessary?
Is the converse true?
What happens in the classical special case?
What about the degenerate cases?
Where does the proof use the hypothesis?
. . . oder kurz:2
Anstatt mit dem Drachen zu kämpfen, dürfen Sie die Mathematik auch umarmen und eins mit
ihr werden – das ist vielleicht sogar noch besser.
Wir üben das jedenfalls alles in zwei Stufen:
• Bei den ersten (und letzten) Terminen, lesen alle Teilnehmer das gleiche Kapitel und lösen
die zugehörigen Übungsaufgaben. Jede(r) bereitet die Präsentation ausgewählter Aufgaben
detaillierter vor.
• Im Hauptteil des Proseminars bereiten Einzelne ein bis zwei Kapitel detailliert vor und
präsentieren die Inhalte für alle anderen. Die HörerInnen unterstützen durch Diskussion
und Fragen.
Terminplan & Anleitung
20.10.15 – Wir besprechen 2 Categories, v.a. die Übungsaufgaben.
• Lesen Sie 2 Categories.
• Wenn Ihnen etwas unklar ist, dann grenzen Sie die kritische Stelle so gut wie möglich ein
(siehe Lesen mathematischer Texte). Diskutieren Sie verbliebene Fragen im Webforum.3
• Bearbeiten Sie alle Übungsaufgaben am Ende des Kapitels.
• Verfahren Sie mit Fragen zu Aufgaben ebenso wie zuvor mit Fragen zum Text.
• Bereiten Sie Lösungen zu Aufgaben, für deren Präsentation Sie eingeteilt sind, so vor, dass
Sie sie in ca. fünf Minuten erklären können.
2
http://abstrusegoose.com/353
Schauen Sie nach, ob das Thema, die Definition, der Satz, der Beweis, das Beispiel oder die Aufgabe bereits
diskutiert werden. Falls ja, steigen Sie mit ein. Falls nein, erstellen Sie einen neuen Thread; wählen Sie als
Threadnamen z.B. Nummer und Name des Kapitels oder des Theorems oder der Übungsaufgabe.
3
2
27.10.15 – Wir besprechen 3 The Category of Groups, v.a. die Übungsaufgaben.
• Lesen Sie 3 The Category of Groups und bearbeiten Sie die Übungsaufgaben.
• Gehen Sie ansonsten so vor wie in der Vorwoche.
Ab dem 03.11.15 – Je eine Person stellt ein bis zwei Kapitel vor.
Bereiten Sie Ihren Vortrag in drei Schritten vor:
1. Inhalte erschließen
• Lesen Sie das/die entsprechende(n) Kapitel.
• Verfahren Sie mit Fragen zum Text wie in den ersten beiden Wochen (siehe auch
Lesen mathematischer Texte). Erstellen Sie insbesondere im Webforum einen Thread
zu Ihrem/Ihren Kapitel(n), in dem Sie Fragen und Antworten sammeln.
• Bearbeiten Sie alle Übungsaufgaben am Ende des Kapitels.
• Verfahren Sie mit Fragen zu Aufgaben ebenso wie mit Fragen zum Text. Sammeln Sie
insbesondere Fragen und Antworten im Webforum.
• Vereinbaren Sie nun einen Termin mit dem Betreuer des Proseminars.
– Fragen, die Sie diskutieren möchten, müssen Sie vorab im Forum formulieren.
– Der Termin soll mindestens zwei Wochen vor dem Vortragstermin liegen.
2. Vortrag gliedern und vorbereiten
Orientieren Sie sich an den folgenden Leitfragen.
• Was soll im Vortrag vorkommen?
– An was sollen sich hinterher alle noch erinnern?
– Welche Definitionen benötige ich?
– Welche Sätze möchte ich formulieren?
– Welche Sätze möchte ich beweisen?
– Welche Beispiele sind geeignet? (aus dem Text, aus den Übungsaufgaben, eigene
oder aus anderen Quellen)
– Wieviel Zeit benötige ich? (Ihr Vortrag sollte, ohne Diskussion/Fragen, ca. 60 bis
70 Minuten dauern.)
• Welche Medien/Hilfsmittel möchte ich verwenden? (Tafel, Beamer, Handout,...)
Was ist für was geeignet? (z.B. eine Definition oder ein Satz im Handout, ein Beweis
oder ein Beispiel an der Tafel etc.)
Vereinbaren Sie einen Termin mit dem Betreuer des Proseminars, um Ihren Plan durchzusprechen. Dieser Termin soll mindestens eine Woche vor dem Vortragstermin liegen.
3. Handout erstellen
Das Handout (typischerweise ein bis zwei Seiten A4) kann mehrere Funktionen haben, z.B.:
• Wenn Sie selbst oder die anderen Teilnehmer das Handout zu einem späteren Zeitpunkt zur Hand nehmen, sollte es sie an die wichtigsten Punkte erinnern und ihnen
ermöglichen, den Vortrag zu rekonstruieren. Diese Funktion soll Ihr Handout auf jeden
Fall haben.
• Wenn Sie möchten, können Sie Ihr Handout auch zur Unterstützung des Vortrags
verwenden, z.B. durch vorformulierte Definitionen oder Sätze, oder vorbereitete Aufgaben zum gemeinsamen Bearbeiten.
Ich empfehle, das Handout mit LATEX zu erstellen. Ein Template wird im Webforum bereitgestellt.
Bei den letzten Terminen kehren wir nochmals zum Modus aus den ersten beiden
Wochen zurück.
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