Mathe an Stationen

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Jan-Christoph Frühauf
Mathe an Stationen
SPEZIAL
Geometrische Abbildungen
Punktspiegelung/Drehung
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Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
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I
Mathe an Stationen
SPEZIAL
Geometrische Abbildungen
Punktspiegelung/Drehung
Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel
Mathe an Stationen SPEZIAL Geometrische Abbildungen
Übungsmaterial zu den Kernthemen der Bildungsstandards
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Punktspiegelung / Drehung
In diesem Themengebiet sind Stationsblätter sowohl zur Punktspiegelung als auch zur Drehung zu
ﬁnden. Die beiden Abbildungen wurden zu einem Themengebiet zusammengefasst, da die Punktspiegelung nur sich wiederholende Konstruktionen fordern würde und in einem geringen Zusammenhang
zur Drehung steht. Die Stationsblätter können somit zur Erschließung der Konstruktionsvorgänge von
Punktspiegelungen und Drehungen sowie deren Eigenschaften, aber auch von Zusammenhängen
zwischen Punktspiegelung – Drehung – Achsenspiegelung eingesetzt werden.
Sterndrehung
Drehungseigenschaften: Bitte gesonderte Blätter für Aufgabe 2 bereitlegen.
Punktspiegelung gleich Drehung?
Gedrehte Flächen
Konstruktionsbeschreibung: Bitte gesonderte Blätter bereitlegen.
Drei Abbildungen auf einmal
Wo ist der Punkt?
Sonne, Erde, Mond: Evtl. gesonderte Blätter für Nebenrechnungen bereitlegen.
M
us
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Station 1
Station 2
Station 3
Station 4
Station 5
Station 6
Station 7
Station 8
Zentrische Streckung
Neben Übungen zu zentrischen Streckungen und deren Konstruktion gehen die Stationsblätter zur
zentrischen Streckung auch besonders auf den Streckungsfaktor ein und lassen diesen gezielt untersuchen, z. B. wie dieser sich auf Längen, Flächen und Volumen auswirkt bzw. was ein Vorzeichenwechsel des Streckungsfaktors bewirkt. Für die Stationen sind so weit keine besonderen Konstruktionshilfsmittel erforderlich.
Station 1
Station 2
Station 3
Station 4
Station 5
Station 6
Station 7
Station 8
Streckungsformel
Streckungsfaktor
Gestrecktes Volumen
Strecken, Strecken, Strecken: Bitte gesonderte Blätter für Aufgaben 3 und 4 bereitlegen.
Streckungen vergleichen
Streckungsfaktor ﬁnden
Eigenschaften von zentrischen Streckungen: Bitte gesonderte Blätter für Aufgabe 2 bereitlegen.
Konstruktionsbeschreibung: Bitte gesonderte Blätter für Aufgabe 2 bereitlegen.
Gemischte Übungen
Anhand dieser Stationen können auf unterschiedliche Art und Weise noch einmal alle geometrischen
Abbildungen wiederholt, vertieft und auch verglichen werden.
Station 1
Station 2
Station 3
Station 4
Station 5
Station 6
Station 7
Station 8
6
Barockgarten: Bitte Zirkel bereitlegen.
Drehen und Spiegeln
ABC
Eckenbezeichnungen: Bitte gesonderte Blätter für Notizen bereitlegen.
Spiegeln und Falten: Bitte Zirkel bereitlegen.
Alle Abbildungen I: Bitte Zirkel bereitlegen.
Alle Abbildungen II: Bitte Zirkel bereitlegen.
Kreuzworträtsel
Name:
Station 1
Sterndrehung
Aufgabe 1
Drehe den Stern mit 140° um den Punkt Z.
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M
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G
H
F
I
E
D
J
B
C
A
Z
[
Aufgabe 2
Notiere eine Konstruktionsbeschreibung für zwei Bildpunkte, indem du beschreibst, wie du vom Urbildpunkt zum Bildpunkt gekommen bist.
Hier ist Platz für deine Notizen:
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Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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Punktspiegelung /
Drehung
Name:
Station 2
Drehungseigenschaften
Aufgabe 1
Fertige zu jeder der fünf Eigenschaften von Drehungen eine einfache Beispielzeichnung an.
M
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A te
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geradentreu
Punktspiegelung /
Drehung
längentreu
Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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parallelentreu
winkeltreu
orientierungstreu (Eckbezeichnungen)
Aufgabe 2
Zeichne auf ein Extrablatt die Fixpunktﬁgur einer Drehung.
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Station 3
Name:
Punktspiegelung gleich
Drehung?
Aufgabe 1
Überlege, welche besondere Drehung einer Punktspiegelung gleichkommt.
Überprüfe dies an verschiedenen Beispielaufgaben.
Aufgabe 2
Wie kann man eine Punktspiegelung auch durch Achsenspiegelungen erhalten? Überlege und zeige.
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M
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Punktspiegelung /
Drehung
Hier ist Platz für deine Notizen:
Z
Um 135°
Z
M
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Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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Um 90°
Um 300°
Um 60°
Punktspiegelung /
Drehung
Station 4
Name:
Gedrehte Flächen
Aufgabe
Drehe die Figuren an Z.
Um 45°
Z
Z
Um 210°
Z
Z
29
Name:
Station 5
Konstruktionsbeschreibung
Aufgabe
c) Drehe den Punkt P an Z um 30°, 90°, 180°, 270°, 360° und schreibe Schritt für Schritt auf, welche
Konstruktionsschritte du mit deinen geometrischen Werkzeugen vornimmst.
Hilfestellung:
Was machst du mit deinem Geodreieck, wie legst du es an? Was misst du?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
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M
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Punktspiegelung /
Drehung
a) Zeichne in den Kasten einen Punkt Z ein.
b) Zeichne einen weiteren Punkt P ein, der nicht mit Z zusammenfällt.
Name:
Station 6
Drei Abbildungen auf einmal
Aufgabe 1
Spiegle den Punkt X an A und den Bildpunkt X' an B. Man erhält den Bildpunkt X''.
M
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k
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A
X
AB
Punktspiegelung /
Drehung
B
Aufgabe 2
Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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Führe folgende Achsenspiegelungen durch:
a) Spiegle den Punkt X an der Geraden k.
b) Spiegle den erhaltenen Bildpunkt X1' an der Geraden AB.
c) Spiegle den erhaltenen Bildpunkt X1'' an der Geraden g.
d) Spiegle den erhaltenen Bildpunkt X1''' wieder an der Geraden AB.
Welchen Punkt erhält man? Kennst du diesen? Was könnte man daraus schließen?
Aufgabe 3
Vergleiche die Ergebnisse der Konstruktionen aus Aufgabe 1 und 2 sowie 2 | AB | und
| XX1' | + | X1''X1''' |. Was fällt dir auf?
Kennst du eine andere, schnellere Variante einer geometrischen Abbildung, die von X nach X'' (aus
Aufgabe 1) bzw. von X nach X1''' (aus Aufgabe 2) führt? Welche ist das?
Hier ist Platz für deine Notizen:
31
Name:
Station 7
Wo ist der Punkt?
Aufgabe 1
Finde den Punkt heraus, an dem die jeweilige Figur gespiegelt wurde.
a)
C
B
M
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A
b)
J
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G
B
F
D
C
E
Aufgabe 2
Finde das Drehzentrum und den Drehwinkel heraus, an und um den die Figuren gedreht wurden.
a)
b)
A
C
B
C'
B'
A'
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Punktspiegelung /
Drehung
A
Name:
Station 8
Sonne, Erde, Mond
Aufgabe
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Punktspiegelung /
Drehung
M
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Nimm an, dass der Mond sich in 27 Tagen um die Erde und die Erde sich in einem Jahr um die Sonne
in einer kreisrunden Umlaufbahn dreht (eigentlich auf einer Ellipse).
In welchem Winkel steht der Mond zur Erd-Sonnen-Achse (Verbindungslinie Erde – Sonne) nach einem
Dreivierteljahr?
(Ausgangssituation wie auf dieser Skizze)
33
Name:
Lernzielkontrolle
Punktspiegelung / Drehung
Aufgabe 1
Nenne zwei Eigenschaften von Punktspiegelungen. Zeige diese an jeweils einer Skizze als Beispiel.
Aufgabe 2
Zeige an einem Beispiel, dass eine Punktspiegelung zwei Achsenspiegelungen entspricht.
Aufgabe 3
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Aufgabe 4
Nenne zwei Eigenschaften von Drehungen. Zeige diese an jeweils einer Skizze als Beispiel.
Aufgabe 5
Drehe die Figur um den Punkt Z mit dem angegebenen Winkel.
Z
130°
34
Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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Punktspiegelung /
Drehung
Finde den Spiegelpunkt.
Seite 26
Station 1: Sterndrehung
\
1)
140°
G
C
C'
H
E
E'
B
B'
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F
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H
H'
G
G'
Z
I'I
C
A
[
2) 1. Zeichne eine Gerade g durch A und Z.
2. Lege an diese Kante das Geodreieck an, sodass um Z der Winkel 140° abgelesen werden
kann. Markiere dort einen Punkt X.
3. Verbinde X und Z mit einer Geraden h.
4. Zeichne nun einen Kreis K1 um Z durch A.
5. A' ist der Schnittpunkt von h und K1.
6. Alle anderen Punkte können durch analoge Konstruktionsschritte 1 bis 5 konstruiert werden.
Station 2: Drehungseigenschaften
1)
60°
geradentreu
Z
60°
längentreu
Z
68
Seite 27
Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
winkeltreu
Z
67°
C
C'
60°
A'
orientierungstreu
C
Z
M
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Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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B
B'
A
Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
60°
parallelentreu
Z
60°
67°
B
2) Zum Beispiel:
60°
Z
Kreise, die um ihren Mittelpunkt gedreht werden, sind Fixﬁguren.
69
Seite 28
Station 3: Punktspiegelung gleich Drehung?
1) Beispiel: Punkt
180°
Z
M
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P
Beispiel 1: Dreieck
Z
Nimmt man an einem einzigen Punkt P eine Drehung um 180° um einen Punkt Z vor, so erhält
man den Bildpunkt P', den man auch durch eine Punktspiegelung an dem Punkt oder Drehzentrum Z erhalten würde.
2)
90°
Z
P
Man erhält anhand von zwei Achsenspiegelungen genau eine Punktspiegelung, wenn man an
dem Spiegelzentrum Z jeweils eine Senkrechte auf die Verbindungen der Punkte der Figur und Z
konstruiert.
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Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
180°
Seite 29
Station 4: Gedrehte Flächen
90°
45°
Z
Z
135°
M
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Z
60°
300°
Z
210°
Z
Station 5: Konstruktionsbeschreibung
Seite 30
Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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a) b) c)
30°
90°
180°
270°
360°
90°
180°
30°
P
Z
270°
360°
zu c) Konstruktionsbeschreibung: Siehe Lösung zu Station 1, Aufgabe 2.
71
Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
Z
Station 6: Drei Abbildungen auf einmal
Seite 31
1) und 2)
k
X'
g
X1''
X1'''
A
X
AB
B
X1'
X''
M
us
A te
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Man erhält den gleichen Punkt, der auch nach den beiden Punktspiegelungen entsteht (X'' ).
Man kann daraus schließen, dass zwei Punktspiegelungen bestimmten Achsenspiegelungen entsprechen, nämlich an den Geraden, die durch die beiden Punkte gebildet werden, an denen X gespiegelt werden soll, bzw. an den Achsen, die senkrecht auf der Geraden stehen.
k
X'
g
X1''
3,6
X1'''
A
3,4
X
B
3,2
AB
X1'
X''
Station 7: Wo ist der Punkt?
1) a)
C
B
D
A
b)
J
A
H
I
G
B
F
D
C
72
E
Seite 32
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Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
3) 2|AB | = |XX1' | + |X1''X1''' |, d. h., die Konstruktionen aus Aufgabe 1 und 2 kommen auch einer Verschiebung von X gleich, deren Verschiebungspfeil zweimal so lang wie die Strecke |AB | ist.
2) a)
b)
A
C
B
123°
76°
C'
B'
M
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A'
Station 8: Sonne, Erde, Mond
27 Tage · 10 = 270 Tage
= 3,75
3/4 Jahr = 273,75 Tage
Seite 33
Entspricht ungefähr einer ganzen
Drehung des Mondes um die
Erde in 27 Tagen.
Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
273,75 – 270
26°
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26°
Achtung: Die Zahlen der Abbildung entsprechen nicht ganz den exakten Zahlen.
Als Erstes ermittelt man, nach welcher Drehung der Mond einmal die Erde umrundet hat (nach 27
Tagen ungefähr).
Anhand des Dreisatzes erhält man: 360° : 365 · 27 = 26 46 °. (In der Zeichnung auf 26° abgerundet.)
Ein Dreivierteljahr hat: 365 Tage · 3 = 273,75 Tage.
73
4
Ein Dreivierteljahr entspricht auch einer Drehung von 270° der Erde um die Sonne.
Der Mond hat bis dahin 10-mal die Erde umrundet und hat dafür 10 · 27 Tage = 270 Tage
gebraucht.
Nun muss errechnet werden, wie viel Grad sich der Mond um die Erde dreht in der Zeit von
270 Tagen und 273,75 Tagen.
Der Dreisatz liefert: 360° : 27 · 3,75 = 50°. Somit steht der Mond zur Erd-Sonnen-Achse in einem
50°-Winkel.
73
längentreu
M
us
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Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
geradentreu
parallelentreu
winkeltreu
74
51°
P
B
B'
orientierungstreu
C
C'
51°
A'
C
P
A
B
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Lernzielkontrolle: Punktspiegelung / Drehung
Seite 34
1)
P
P
P
5)
Z
130°
Lösungen:
Punktspiegelung / Drehung
M
us
A te
ns r
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ht r
Jan-Christoph Frühauf: Mathe an Stationen SPEZIAL: Geometrische Abbildungen
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2) Siehe Lösung zu Station 3, Aufgabe 2.
3)
P
4) Siehe Lösung zu Station 2, Aufgabe 1.
75
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Impressum
© 2013 Auer Verlag
AAP Lehrerfachverlage GmbH
Alle Rechte vorbehalten.
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber
des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch
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Autor: Jan-Christoph Frühauf
Illustrationen: Steffen Jähde, Stefan Leuchtenberg
www.auer-verlag.de

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