Übungsaufgaben zur Vorlesung Regelsysteme – Herbstsemester 2015
Übung 9: Zustandsraumregelung
Prof. Dr. Manfred Morari, Prof. Dr. Florian Dörfler
Institut für Automatik, ETH Zürich
A 9.1: Regelungsnormalform ([FrPE06] Aufg. 7.2-7.4)
a) Transformieren Sie die folgenden Systeme in die Regelungsnormalform im Zustandsraum:
1.
1
4s + 1
2.
5(s/2 + 1)
s/10 + 1
Tipp: Formen Sie um in a +
3.
b
s/10+1 .
2s + 1
s2 + 3s + 2
4.
s(s2
5.
s+3
+ 2s + 2)
(s + 10)(s2 + s + 25)
s2 (s + 3)(s2 + s + 36)
b) Transformieren Sie die Systeme aus Teil a) in die Jordan-Normalform (Modalform). Achten
Sie darauf, dass alle Elemente in den Zustandsraummatrizen reell seien müssen. (Hinweis:
Dies erreichen Sie, indem Sie konjugiert-komplexe Polpaare gemeinsam in einem Unterblock
belassen.)
A 9.2: Entwurf einer Zustandsrückführung ([FrPE06] Aufg. 7.21) [MATLAB]
a) Für das folgende System soll ein Regler mit Zustandsrückführung entworfen werden, wobei
ein Überschwingen kleiner 25% und eine Ausregelzeit (auf einen Fehler < 1%) von maximal
0.115s gewährleistet werden soll:
"
#
" #
0
1
0
ẋ =
x+
u,
0 −10
1
h
i
y =
1 0 x.
b) Verifizieren Sie Ihren Entwurf. Verwenden Sie hierzu den MATLAB–Befehl step. Falls die
Spezifikationen nicht eingehalten werden, modifizieren Sie Ihre Rückführung.
Übung 9: Zustandsraumregelung
HS 2015
A 9.3: Entwurf eines Beobachters
Gegeben sei das System
ẋ1 (t) = x2 (t)
ẋ2 (t) = 12x1 (t) + 4x2 (t) + 12u(t)
y(t) = 2x1 (t)
Da bei diesem System nur der Zustand x1 (t) gemessen werden kann, soll ein vollständiger Zustandsbeobachter mit einer geeigneten Beobachterverstärkungsmatrix
!
l1
L=
l2
entworfen werden.
a) Bestimmen Sie die Verstärkungen l1 und l2 , so dass die beiden Pole des Beobachters bei
−10 liegen.
b) Zeichnen Sie das Signalflussdiagramm des Beobachters und des Systems, wobei die Verstärkungsfaktoren l1 und l2 und auch die Zustäende x̂1 , x̂2 , x1 und x2 einzeln ersichtlich sind.
A 9.4: Regelung im Zustandsraum (Klausur FS 2010, Aufg. 3)
Gegeben ist das LTI System
ẋ = Ax + Bu
mit
A=
0
1
−c1 −c2
!
B=
(1)
0
1
!
wobei c1 , c2 > 0 .
a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c1 , c2 eine Zustandsrückführung
h
i
u = −Kx,
K = K1 K2 ,
welche die Pole des geregelten Systems bei −2 und −4 platziert.
Im Folgenden seien c1 = 2 und c2 = 0.
h
i h
i
b) Es sei K = K1 K2 = 3 3 . Wir betrachten den Regler,
u = −Kx + N r.
Bestimmen Sie die skalare Reglerverstärkung N für die der skalare Ausgang
h
i
yr = Cr x = 1 1 x
dem externen Referenzwert r folgt.
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Übung 9: Zustandsraumregelung
HS 2015
c) Der Zustand x des Systems (1) soll auf Basis des gemessenen Ausgangs
h
i
ym = Cm x = 1 0 x
geschätzt werden.
Berechnen Sie die Schätzfehlerrückführmatrix L so, dass die Beobachterpole bei −10 und −5
liegen.
A 9.5: (Optional) Steuerbarkeit / Beobachtbarkeit (Klausur WS 2010/11)
Gegeben sei das folgende LZI-System in Zustandsraumdarstellung:
√
(1 + α)/ 2
0
−1
−1
u(t),
ẋ(t) = −1.5 0.5 −1.5 x(t) +
0
√
0.5 −0.5 1.5
(−1 + α)/ 2
{z
}
{z
}
|
|
A
B
h √
√
√ i
y(t) = 3/ 2 −1/ 2 1/ 2 x(t),
|
{z
}
(2a)
(2b)
C
wobei u(t) den Eingang, x(t) den Zustandsvektor und y(t) den Ausgang bezeichnet. α ∈ R sei
ein Parameter des Systems.
a) (i) Berechnen Sie die Beobachtbarkeitsmatrix und ermitteln Sie daraus, ob das System
beobachtbar ist.
(ii) Berechnen Sie die Steuerbarkeitsmatrix und ermitteln Sie für welche Werte von α ∈ R
das System steuerbar ist.
b) Betrachten Sie nun eine Zustandstransformation des Systems (2) der Form
x(t) = T z(t),
wobei z(t) den transformierten Zustand bezeichnet und die Transformationsmatrix T und
ihre Inverse T −1 wie folgt gegeben sind:
1 1
0
1
1
1
1
1
T = √ 1 0
T −1 = √ 1 −1 −1 .
1 ,
2
2
0 −1 −1
−1 1 −1
(i) Geben Sie die Zustandsraumsdarstellung des transformierten Systems an. Welche standardisierte Form liegt hier vor?
(ii) Wie können Sie aus der transformierten Darstellung ohne Berechnung der Steuerbarkeitsund der Beobachtbarkeitsmatrix sofort auf die Steuerbarkeit und die Beobachtbarkeit
von System (2) schliessen?
c) Nehmen Sie nun den Fall α = 0 an. Welche Dimension besitzt der steuerbare Unterraum
des Systems (2)? Geben Sie eine Basis für den steuerbaren Unterraum des Systems (2) an.
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