Aufgabe 1 Ebene Wellen Aufgabe 2 Wellengleichung, ebene Wellen

Übungsaufgaben zur Vorlesung E3 - E3p – WS 2015/2016 – W. Zinth – Blatt 1
19.10.2015
Aufgabe 1
wird am 26.10.-30.10.2015 besprochen
Ebene Wellen
Die folgende Abbildung zeigt einen Schnappschuss einer ebenen Welle, die sich in die positive XRichtung ausbreitet.
a) Bestimmen Sie, ob sich die Welle an den 5 eingezeichneten Orten zum Zeitpunkt des Schnappschusses nach oben oder unten bewegte.
b) Welcher der Punkte bewegte sich am schnellsten?
Geben Sie sich Ihre Antwort zunächst aufgrund graphischer (oder intuitiver) Überlegungen, und bestätigen Sie Ihre Überlegungen dann durch explizites Einsetzen in einen mathematischen Ausdruck
für ebene Wellen.
Aufgabe 2
Wellengleichung, ebene Wellen
Die physikalische Größe E(x, t) soll durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben werden:
2
∂2E
2∂ E
=
c
∂t2
∂x2
(**) a) Zeigen Sie, dass die Wellengleichung durch den Ansatz
E(x, t) = E0 · cos(ωt − kx + φ)
gelöst wird. Dabei ist k der Wellenvektor, ω die Kreisfrequenz und φ die Phase, die die Anfangsbedingungen der Welle festlegt. Welche Bedingungen müssen k und ω erfüllen? Diese Bedingung
wird auch als Dispersionsrelation bezeichnet.
(**) b) Welche Einheiten müssen k, ω, φ und c haben?
(**) c) Was ist die räumliche und zeitliche Ausdehnung der ebenen Welle? Diskutieren Sie, ob reale
physikalische Wellen durch eine reine ebene Welle repräsentiert werden kann.
d) Skizzieren Sie die Welle zur Zeit t = 0 und t = t′ mit 0 < t′ < 2π/ω. Was können Sie über die
Ausbreitungsrichtung der Welle sagen? Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Wellenberg
entlang der X-Achse?
e) In welcher Richtung bewegen sich die ebenen Wellen der Form:
E(x, t) = E0 · cos(kx − ωt + φ)
E(x, t) = E0 · cos(kx + ωt + φ)
E(x, t) = E0 · cos(−kx + ωt + φ)
~ ist
~ ~r) = E~0 · ei(ωt−~k~r) für |~k| = ω der Wellengleichung genügt. E
(*) f) Zeigen Sie, dass der Ansatz E(t,
c
das elektrische Feld, E~0 die Feldamplitude, ω die Kreisfrequenz, und ~r der Ortsvektor. In welche
Richtung breitet sich das Licht aus?
Aufgabe 3
Mathematische Darstellung ebener Wellen
Ebene Wellen können in verschiedenen Formen dargestellt werden. In Cosinus-Form kann eine ebene
Welle wie in Aufgabe 1 geschrieben werden:
E(x, t) = E0 · cos(ωt − kx + φ)
Weitere Formen der Darstellung sind:
1. Feldquadraturen:
E(x, t) = E0,c · cos(ωt − kx) + E0,s · sin(ωt − kx)
2. komplexe Schreibweise 1:
E(x, t) = Re{E0,1 · ei(ωt−kx) }
3. komplexe Schreibweise 2:
1
E(x, t) = E0,2 · ei(ωt−kx) + c.c.
2
Die Abkürzung c.c. steht dabei für das konjugiert komplexe. Die Feldamplituden E0,1 und E0,2 sind
dabei komplex. Drücken Sie die Quadraturkomponenten E0,c , E0,s , sowie die komplexen Amplituden
E0,1 und E0,2 durch E0 und φ aus.
Aufgabe 4
Komplexe Schreibweise von Wellen (*)
Bei der Behandlung von Wellen wird oft anstelle der trigonometrischen Funktionen die komplexe Darstellung mit Exponentialfunktionen gewählt. Dabei verwendet man A = a(x, t) · exp [iωt − ikx − iφa ],
wobei a(x, t) eine reele, langsam variable Größe darstellt. Die physikalische Messgröße ist dann gegeben
durch den Realteil Re [A(x, t)]. Zeigen Sie, dass man
a) bei der Summation von komplexen Wellen A und B die Bildung des Realteils vor oder am Ende
der Rechnung ausführen kann und man stets das gleiche Ergebnis erhält.
b) bei der Produktbildung unterschiedliche Ergebnisse erhalten kann, je nachdem, ob man die Produkte der Realteile oder den Realteil des Produkts A · B berechnet.
c) die über eine Schwingungsperiode gemittelte Intensität I = Ā2 auch durch
kann.
1
2
· A · A∗ ausdrücken
Aufgabe 5
Allgemeine Lösung der Wellengleichung (*)
Zeigen Sie, dass die Wellengleichung (siehe Aufgabe 2) durch eine beliebige, 2x differenzierbare Funktion der Form
χ(vt − x)
gelöst werden kann. Welche Bedeutung hat hier v? Inwiefern kann man diese Funktion als laufende
Welle ansehen?
(*) Aufgaben für Studenten LA nicht vertieft freiwillig.
(**) Aufgaben für Studenten LA nicht vertieft und E3p freiwillig.
c
BioMolekulare
Optik der LMU, München 2015

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