Skalierungsverfahren

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Kapitel 7
Skalierungsverfahren
7.1
Einführung in die Problemstellung und
Übersicht; Daten- und Distanzmatrizen
In diesem Kapitel werden verschiedene Skalierungsverfahren behandelt, wobei grundsätzlich zwischen zwei Typen von Verfahren unterschieden werden
muß. Zum einen spricht man bei der Zuordnung reeller Zahlen zu den Ausprägungen nominaler und ordinaler Merkmale von Skalierung (Skalierung
von Merkmalsausprägungen), zum anderen nennt man auch die Zuordnung
eines reellen Vektors zu Objekten Skalierung (multidimensionale Skalierung,
MDS).
Typen von
Skalierungsverfahren
Die meisten Verfahren der Statistik, insbesondere der multivariaten Statistik, sind auf stetige Merkmale zugeschnitten. In vielen Bereichen wie z.B.
der Markt- und Meinungsforschung werden jedoch Merkmale erhoben, die
lediglich ordinal oder nominal sind. Diese Merkmale können dann durch Skalierung ihrer Ausprägungen in metrische Merkmale transformiert werden, so
daß sie den statistischen Verfahren für stetige Merkmale zugänglich sind.
Skalierung von
Merkmalsausprägungen
Im Abschnitt 2 beschäftigen wir uns zunächst mit der Skalierung von Ausprägungen eines ordinalen Merkmals. Hier werden das Prozentrangverfahren, das vielfach in der Psychologie zur Auswertung von Testergebnissen
(z.B. zur Bestimmung von Intelligenzquotienten) verwandt wird, und das
Verfahren der marginalen Normalisierung, das bereits auf Fechner (1860)
zurückgeht, vorgestellt.
Skalierung ordinaler
Ausprägungen
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KAPITEL 7. SKALIERUNGSVERFAHREN
Skalierung nominaler
Ausprägungen
Für die Skalierung von Ausprägungen nominaler Merkmale sind diese Verfahren nicht mehr geeignet, da sie eine ordinale Rangfolge der Ausprägungen
benutzen. Man geht hier so vor, daß zwei kategoriale Merkmale an n Objekten beobachtet werden, so daß die Beobachtungsdaten in Form einer zweidimensionalen Kontingenztafel dargestellt werden können, und skaliert dann
die Ausprägungen des einen Merkmals so, daß sie das andere möglichst gut
linear erklären, und umgkehrt. Ein adäquates Verfahren hierfür wird in Abschnitt 3 dargestellt.
multidimensionale
Skalierung (MDS)
In Abschnitt 4 werden dann zwei Verfahren der multidimensional Skalierung (MDS) vorgestellt. Bei der klassischen Haupt-Koordinaten-Methode,
vgl. Togerson (1952, 1958), müssen die Ähnlichkeiten bzw. Verschiedenheiten von n interessierenden Objekten bekannt sein (metrische MDS, MMDS),
beim Verfahren von Kruskal, vgl. Kruskal (1964), benötigt man lediglich
eine Rangfolge der Ähnlichkeiten aller Objektpaare (nichtmetrische MDS,
NMDS). Aufgrund der Ähnlichkeitsinformation wird dann jedem Objekt
ein q-dimensionaler, reeller Vektor zugeordnet, derart, daß die euklischen
Abstände der Vektoren die Ähnlichkeiten der Objekte widerspiegeln. Die Dimension q des Repräsentationsraums ist hierbei eine frei wählbare, natürliche
Zahl und eine Wahl q ≤ 3 ermöglicht die grapische Darstellung der n Objekte im Repräsentationsraum.
Bevor wir die einzelnen Skalierungsverfahren konkret behandeln, sollen an
dieser Stelle noch die Begriffe Datenmatrix und Distanzmatrix erläutert werden, die sowohl in diesem Kapitel als auch in allen nachfolgenden benötigt
werden.
Datenmatrizen
Werden an n Objekten jeweils p Merkmale beobachtet, so werden die Beobachtungsdaten häufig in Form einer n × p-Datenmatrix
 0  

y1
y11 y12 . . . y1p
 y0   y21 y22 . . . y2p 
 2 

Y= . = .
..
.. 
.
.
 .   .
.
. 
y0 n
yn1 yn2 . . . ynp
gemischte Datenmatrix
dargestellt. In der j-ten Zeile dieser Datenmatrix steht der p-dimensionale
Beobachtungsvektor für das j-te Objekt, j = 1, . . . , n, und die k-te Spalte
beinhaltet die Beobachtungsdaten für das k-te Merkmal k = 1, . . . , p. Sind
alle p Merkmale quantitativ, so spricht man von einer quantitativen Datenmatrix, sind alle Merkmale qualitativ, so spricht man von einer qualitativen
Datenmatrix, und sind einige Merkmale quantitativ, andere qualitativ, so
heißt Y eine gemischte Datenmatrix.
Distanzmatrix
Eine Distanzmatrix
quantitativen Datenmatrix
qualitativen Datenmatrix
für n Objekte ist eine symmetrische n × n-Matrix
7.1. PROBLEMSTELLUNG; DATEN- UND DISTANZMATRIZEN
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mit nichtnegativen Elementen, deren Hauptdiagonalelemente alle gleich Null
sind:


0
d(1, 2) d(1, 3) . . . d(1, n)
 d(1, 2)
0
d(2, 3) . . . d(2, n)


D= .
..
..
..  ;
 ..
.
.
. 
d(1, n) d(2, n) d(3, n) . . .
0
ein Element d(i, j) der Distanzmatrix D gibt des Grad der Verschiedenheit
der Objekte i und j an, i, j = 1, . . . , n, i < j.
Zu jeder beliebigen Datenmatrix Y läßt sich nun durch Skalierung von
Merkmalsausprägungen eine quantitative Datenmatrix gewinnen. Außerdem
kann zu jeder Datenmatrix Y eine Distanzmatrix D für n Objekte bestimmt
werden. Entweder quantifiziert man zu diesem Zwecke die Datenmatrix und
verwendet als Abstandsmaß eine Lr -Distanz
p
X
d(i, j) = (
| yik − yjk |r )1/r für i, j = 1, . . . , n, i < j
Gewinnung von
Distanzmatrizen aus
Datenmatrizen
Lr -Distanz
k=1
Im Fall r = 1 ergibt sich der sogenannte City-Block-Abstand
d(i, j) =
p
X
City-Block-Abstand
| yik − yjk |,
k=1
im Falle r = 2 gerade der euklidische Abstand
v
u p
uX
d(i, j) = t (yik − yjk )2 .
euklidischer Abstand
k=1
Für r = ∞ definiert man den sogenannten Tschebyscheff-Abstand als
d(i, j) = max{| yi1 − yj1 |, . . . , | yip − yjp |, }
=
max {| yik − yjk |}
k∈{1,...,p}
In der nachfolgenden Abbildung 7.1 sind die speziellen Abstände für die
Vektoren
yi = (2, 1)0 und yj = (6, 4)0 graphisch angegeben. Man erhält:
• City-Block-Abstand:
P2
k=1 | yik − yjk |=| 2 − 6 | + | 1 − 4 |= 7
qP
p
2
2
• Euklidischer Abstand:
(2 − 6)2 + (1 − 4)2 =
k=1 (yik − yjk ) =
5
• Tschebyscheff-Abstand:
max {| yik − yjk |} = max{| 2 − 6 |, | 1 − 4 |} = 4
k∈{1,2}
Tschebyscheff-Abstand
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KAPITEL 7. SKALIERUNGSVERFAHREN
Abbildung 7.1: Euklidischer Abstand, City-Block-Abstand und Tschebyscheffscher Abstand im zweidimensionalen Raum
Häufig wird auch der Mahalanobis-Abstand verwendet, der ein mit der empirischen Kovarianzmatrix
n
n
i=1
i=1
1X
1 X
(yi − y)(yi − yj )0 , y =
yi ,
S=
n−1
n
der p Merkmale gewichteter euklidischer Abstand ist:
d(i, j) = ((yi − yj )0 S−1 (yi − y))1/2 für i, j = 1, . . . , n, i < j.
Bei den Lr -Metriken hängt ein Distanzindex also lediglich von den Beobachtungsvektoren yi und yj ab, wohingegen der Mahalanobis-Abstand
auch die Kovarianzen, die Abhängigkeiten, der p beobachteten Merkmale
berücksichtigt.
Verschiedenheitsrelation
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Objektdistanzen bez. qualitativer
Merkmale vermittels einer Verschiedenheitsrelation zu definieren, man vgl.
hierzu z.B. Opitz (1980), Pfanzagl (1972).
Gewinnung einer
quantitativen Datenmatrix
aus einer Distanzmatrix
Umgekehrt läßt sich aus jeder Distanzmatrix auch dann, wenn lediglich die
größenmäßige Reihenfolge der Objektdistanzen bekannt ist, mittels multi-

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