Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der ersten Bonusklausur Steven Köhler [email protected] mathe.stevenkoehler.de 2 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen 3 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann. Matrizen sind ein SchlÄ usselkonzept der linearen Algebra und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen ZusammenhÄ ange, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, u Ä bersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und GedankenvorgÄange. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben. 4 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Definition II Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Au°istung der Werte, die durch ein gro¼es Klammerpaar umgeben ist. Die Form der Klammern ist dabei nicht fest vorgegeben, typisch sind aber runde oder eckige Klammern. 1 0 a11 : : : a1m B .. C .. A = (aij ) = @ ... . . A an1 2 A = [aij ] = a11 6 .. 4 . an1 5 © 2015 Steven Köhler ::: ::: .. . ::: anm 3 a1m .. 7 . 5 anm 06. Mai 2015 Matrizen Addition von Matrizen Matrizen werden elementweise 2 a11 a12 A + B = 4a21 a22 a31 a32 2 a11 + b11 = 4a21 + b21 a31 + b31 6 addiert. 3 2 a13 b11 a23 5 + 4b21 a33 b31 a12 + b12 a22 + b22 a32 + b32 © 2015 Steven Köhler b12 b22 b32 3 b13 b23 5 b33 3 a13 + b13 a23 + b23 5 a33 + b33 06. Mai 2015 Matrizen Subtraktion von Matrizen Matrizen werden elementweise 2 a11 a12 A ¡ B = 4a21 a22 a31 a32 2 a11 ¡ b11 = 4a21 ¡ b21 a31 ¡ b31 7 subtrahiert. 3 2 a13 b11 a23 5 ¡ 4b21 a33 b31 a12 ¡ b12 a22 ¡ b22 a32 ¡ b32 © 2015 Steven Köhler b12 b22 b32 3 b13 b23 5 b33 3 a13 ¡ b13 a23 ¡ b23 5 a33 ¡ b33 06. Mai 2015 Matrizen Skalare Multiplikation Eine Matrix kann mit einen konstanten Faktor ¸ 2 K multipliziert werden. Den Wert ¸ nennt man ein Skalar. 2 3 2 3 ¸a11 ¸a12 ¸a13 a11 a12 a13 ¸A = ¸ ¢ 4a21 a22 a23 5 = 4¸a21 ¸a22 ¸a23 5 a31 a32 a33 ¸a31 ¸a32 ¸a33 8 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Multiplikation von Matrizen I Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation fÄ ur Matrizen. Dabei werden 2 Matrizen miteinander mutlipliziert. Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch fÄ ur zwei 3 £ 3 - Matrizen: A¢B a11 = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 ¢ b21 b31 a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 9 b12 b22 b32 b13 b23 b33 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 © 2015 Steven Köhler a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33 06. Mai 2015 Matrizen Multiplikation von Matrizen II Die EintrÄ age der Ergebnismatrix C sind o®enbar die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B. Daraus lÄasst sich leicht eine Aussage u Äber eine essentielle Voraussetzung der Matrizenmultiplikation tre®en. Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, mÄ ussen die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix u Äbereinstimmen. 10 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Multiplikation von Matrizen III Gegeben seien sei Matrizen A 2 K m£n und B = K n£p . Das Produkt C der beiden Matrizen A und B ist dann eine m £ p - Matrix und lÄasst sich allgemein durch die folgende Formel darstellen: C =A¢B £ ¤ £ ¤ = aij ¢ bij n X £ ¤ aik bkj = cij mit cij = k=1 11 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Falksches Schema I Das Falksche Schema (1951 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist eine einfache Methode, Matrizenmultiplikation u Äbersichtlicher darzustellen. Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem eine optische Hilfe bietet. 12 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Falksches Schema II Gegeben seien die Matrizen A 2 R3£3 und B 2 R3£3 . Darstellung der Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema: 2 3 b11 b12 b13 4b21 b22 b23 5 (= B) b31 b32 b33 2 a11 (A =) 4a21 a31 a12 a22 a32 3 2 a13 c11 a23 5 4c21 a33 c31 c12 c22 c32 3 c13 c23 5 (= C) c33 Die Werte fÄ ur cij berechnen sich wie zuvor durch cij = 3 P aik bkj . k=1 13 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Elementare Zeilenumformungen Man darf Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine andere Matrix u ÄberfÄ uhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Zeilen; ² Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Operationen dÄ urfen beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 14 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Elementare Spaltenumformungen I Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen darf man eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix u ÄberfÄ uhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Spalten; ² Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Diese Operationen dÄ urfen ebenfalls beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 15 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen Elementare Spaltenumformungen II Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen bringt. Wir werden uns im Folgenden ausschlie¼lich mit elementaren Zeilenumformungen beschÄaftigen. Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein, werden wir die zugehÄ orige Matrix zunÄachst transponieren und anschlie¼end die Zeilen der transponierten Matrix umformen. 16 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform 17 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Zeilenstufenform I Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform bringen. Diese erfÄ ullt die folgenden Eigenschaften: ² Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix ganz unten. ² Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins. Sie wird als fÄ uhrende Eins bezeichnet. ² In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene Elemente besitzen, steht die fÄ uhrende Eins in der unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile. 18 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Zeilenstufenform II Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusÄatzlich noch ² Eine Spalte, die eine fÄ uhrende Eins enthÄalt, hat keine weiteren von Null verschiedenen EintrÄage, dann liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor. 19 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Zeilenstufenform III Beispiel · ¸ 2 8 Es sei A = . 3 5 Bringe die Matrix A in Zeilenstufenform! 20 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Zeilenstufenform IV ZunÄachst wird die 1. Zeile mit 12 · 1 3 multipliziert: ¸ 4 : 5 Anschlie¼end wird das (¡3)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert: · ¸ 1 4 : 0 ¡7 Abschlie¼end wird die 2. Zeile mit ¡ 17 multipliziert: · ¸ 1 4 : 0 1 21 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Gauß-Jordan-Algorithmus I 1. Bestimme die am weitesten links stehende Spalte der Matrix, die von Null verschiedene Werte enthÄ alt. 2. Ist der oberste Eintrag der gefundenen Spalte eine Null, so vertausche die oberste Zeile mit einer geeigneten Zeile, die in dieser Spalte keine Null hat. 3. In der bestrachteten Spalte ist nun der oberste Eintrag ein von Null verschiedenes KÄorperelement a. Dividiere die erste Zeile der Matrix durch a und erzeuge so eine fÄ uhrende Eins. 22 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Gauß-Jordan-Algorithmus II 4. Addiere das jeweils passende Vielfache der ersten Zeile zu den anderen Zeilen, so dass alle EintrÄage unter der fÄ uhrenden Eins der ersten Zeile Null werden. 5. Wende die Schritte 1-4 auf die Matrix an, die man durch Streichen der ersten Zeile erhÄalt und iteriere das Verfahren bis die Matrix Zeilenstufenform hat. 6. Mit der letzten nicht verschwindenen Zeile beginnend, addiere geeignete Vielfache dieser Zeile zu den darÄ uber liegenden Zeilen, um u Äber den fÄuhrenden Einsen Nullen zu erzeugen. 23 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Aufgabe 1 Ä UberfÄ uhre die folgende Matrix 2 1 62 A=6 43 1 A 2 R4£4 in Zeilenstufenform. 3 2 1 1 1 ¡2 07 7 1 ¡3 15 3 2 1 Ä UberfÄ uhre die Matrix A anschlie¼end in die erweiterte Zeilenstufenform. 24 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Aufgabe 2 Ä UberfÄ uhre die folgende Matrix B 2 Z3£2 in Zeilenstufenform. 5 · ¸ 2 1 4 B= 3 0 1 25 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Zeilenstufenform Aufgabe 3 Ä UberfÄ uhre 2 1 61 6 60 6 C=6 62 6¡1 6 4¡3 ¡1 26 die folgende Matrix C 2 R7£10 in Zeilenstufenform. ¡2 ¡1 ¡1 ¡6 3 7 4 3 ¡4 ¡1 7 3 ¡17 ¡85 ¡72 ¡136 0 ¡2 5 2 ¡11 ¡54 ¡49 ¡92 7 7 ¡4 1 3 1 ¡8 ¡39 ¡31 ¡59 7 7 ¡16 0 21 9 ¡52 ¡260 ¡216 ¡4127 7 8 0 ¡10 ¡2 26 121 102 185 7 7 16 2 ¡26 ¡13 60 307 261 507 5 12 ¡1 ¡10 ¡7 28 152 114 224 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme 27 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Definition Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man in der linearen Algebra Gleichungssysteme der folgenden Art: a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = bm Das Gleichungssystem besteht dabei aus m Gleichungen mit n Unbekannten. 28 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen I Es existieren verschiedene Darstellungsformen fÄ ur lineare Gleichungssysteme: ² die explizite Form; ² die Matrixform; ² die Spaltenform (oder auch Vektorform). 29 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen II Die explizite Form Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als eine Menge von m separaten Gleichungen mit n Unbekannten angegeben. a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = bm 30 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen III Die Matrixform Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Produkt einer Koe±zientenmatrix A, einem Spaltenvektor x mit den Unbekannten sowie einem LÄ osungsvektor b angegeben. 3 2 3 2 3 2 x1 b1 a11 a12 : : : a1n 6 a21 a22 : : : a2n 7 6 x2 7 6 b2 7 7 6 7 6 7 6 7 ¢ 6 .. 7 = 6 .. 7 6 .. .. . . . . 4 . . . . 5 4 . 5 4 . 5 am1 am2 : : : amn xn bm Die Gleichung lÄasst sich auch in der folgenden kompakten Form schreiben: Ax = b: 31 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen IV Die Spaltenform Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Summe der Produkte der Unbekannten mit den Spaltenvektoren der Matrix A sowie einem LÄosungsvektor b angegeben: 2 3 2 3 2 3 2 3 a11 a12 a1n b1 6 a21 7 6 a22 7 6 a2n 7 6 b2 7 6 7 6 7 6 7 6 7 x1 6 . 7 + x2 6 . 7 + : : : + xn 6 . 7 = 6 . 7 : 4 .. 5 4 .. 5 4 .. 5 4 .. 5 am1 am2 amn bm Verwendet man fÄ ur die Spalten die Schreibweise ai , so ergibt sich die folgende kompakte Schreibweise: x1 a1 + x2 a2 + : : : + xn an = b: 32 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren I Das Gau¼-Verfahren bietet eine einfache MÄoglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lÄosen. Es basiert auf der Matrixform des Gleichungssystems. 3 2 3 2 3 2 : : : a1n x1 b1 a11 6 .. .. 7 ¢ 6 .. 7 = 6 .. 7 .. 4 . . . 5 4 . 5 4 . 5 : : : amn am1 xn bm 33 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren II FÄ ur die LÄ osung des Gleichungssystems Ax = b sind nur die Koe±zientenmatrix A sowie der LÄosungsvektor b von Interesse. Diese fasst man in der sogenannten erweiterten Koe±zientenmatrix zusammen: 3 2 a : : : a b 11 1n 1 h ¯ i 6 .. 7 : .. .. A¯b = 4 ... . . 5 . am1 : : : amn bm 34 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren III Das Gau¼-Verfahren basiert auf der Grundidee, zunÄachst die erweiterte Koe±zientenmatrix durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform zu u Ä berfÄ uhren und anschlie¼end durch RÄ uckwÄ artseinsetzen schrittweise die LÄ osung zu bestimmen. Wichtig: Durch elementare Spaltenumformungen kann sehr leicht die LÄ osungsmenge des Gleichungssystems verÄandert werden. Aus diesem Grund sind diese beim LÄosen linearer Gleichungssysteme mit dem Gau¼(-Jordan)-Verfahren verboten! 35 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren IV Aufgabe LÄ ose das folgende Gleichungssystem mit dem Gau¼-Verfahren! 2x1 + 4x2 = 22 3x1 ¡ 2x2 = ¡7 LÄ osung ZunÄ achst wird die erweiterte Koe±zientenmatrix und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht. ¸ h ¯ i · 2 4 22 A¯b = 3 ¡2 ¡7 36 © 2015 Steven Köhler erstellt 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren V Multiplikation der ersten Zeile mit 12 ergibt ¸ · 1 2 11 : 3 ¡2 ¡7 Anschlie¼end wird durch Addition des (¡3)-fachen der ersten Zeile zur zweiten die erste Spalte in die richtige Form gebracht: ¸ · 11 1 2 : 0 ¡8 ¡40 unschte Multiplikation der zweiten Zeile mit ¡ 18 stellt die gewÄ Zeilenstufenform her: · ¸ 1 2 11 : 0 1 5 37 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VI Zur Erinnerung: Die Darstellung durch die erweiterte Koe±zientenmatrix ist lediglich eine andere Schreibweise fÄ ur das Gleichungssystem, das nach den Umformungen wie folgt lautet: x1 + 2x2 = 11 x2 = 5: Nun lÄost man die Gleichungen von unten nach oben auf. x2 = 5 liegt bereits in der gewÄ unschten Form vor. Setzt man x2 nun in die obere Gleichung ein, so ergibt sich x1 + 2 ¢ 5 = 11; woraus sofort x1 = 1 folgt. 38 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VII Die einzige LÄosung des Gleichungssystems lautet also x1 = 1 und x2 = 5: Man kann dies leicht durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen u ÄberprÄ ufen. 39 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Verfahren I Beim Gau¼-Jordan-Verfahren wird die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform gebracht, d.h., au¼er den fÄ uhrenden Einsen £ ¤ enthÄ alt die Matrix A in der erweiterten Koe±zientenmatrix Ajb nur Nullen. Wir hatten beim Gau¼-Verfahren die erweiterte Koe±zientenmatrix bereits in Zeilenstufenform gebracht. ¸ · 1 2 11 : 0 1 5 40 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Verfahren II Man muss also nur noch durch Addition des (¡2)-fachen der zweiten Zeile zur ersten die zweite Spalte in die richtige Form bringen: · ¸ 1 0 1 : 0 1 5 Hier kann man nun die LÄ osungen fÄ ur x1 und x2 ohne weiteres Rechnen direkt ablesen. Es folgt wie erwartet x1 = 1 und x2 = 5: 41 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen I Ein Gleichungssystem kann keine, genau eine oder unendlich viele LÄ osungen besitzen. 42 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen II Eine LÄosung Den Fall genau einer LÄ osung haben wir bereits bei unserem Beispiel gesehen. Dieser Fall liegt immer genau vor, wenn in der er£ dann ¤ weiterten Koe±zientenmatrix Ajb die Matrix A nach dem Ä UberfÄ uhren in Zeilenstufenform genauso viele vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt wie das Gleichungssystem Variablen hat. 43 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen III Keine LÄosung Es ist mÄ oglich, dass ein Gleichungssystem keine LÄosung besitzt. Dies ist immer genau dann £ der ¤ Fall, wenn in der erweitÄ erten Koe±zientenmatrix Ajb (nach dem UberfÄ uhren in Zeilenstufenform) eine Zeile der folgenden Art auftritt: h i ¯ 0 ::: 0 ¯ b (mit b 6= 0): 44 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen IV Dies wÄ urde bedeuten, dass 0x1 + : : : + 0xn = b (6= 0) gilt, was einen Widerspruch darstellt. Das Gleichungssystem kann folglich keine LÄ osung besitzen. 45 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen V Unendlich viele LÄ osungen Es ist zudem mÄ oglich, dass ein Gleichungssystem unendlich viele LÄosungen besitzt. Dieser Fall liegt immer genau vor, wenn in der er£ dann ¤ Ä weiterten Koe±zientenmatrix Ajb (nach dem UberfÄ uhren in Zeilenstufenform) die Matrix A weniger vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt als das Gleichungssystem Variablen hat. Mit anderen Worten: Es gibt mehr Variablen als Gleichungen. 46 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VI Aufgabe LÄose das folgende lineare Gleichungssystem. 2x1 + 4x2 + x3 = 22 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3 = ¡7 LÄosung Auch in diesem Fall wird zunÄ achst die erweiterte Koef¯zientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht. ¸ h ¯ i · 2 4 1 22 A¯b = 3 ¡2 ¡1 ¡7 47 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VII Multiplikation der ersten Zeile mit 12 ergibt ¸ · 1 11 1 2 2 : 3 ¡2 ¡1 ¡7 Anschlie¼end wird durch Addition des (¡3)-fachen der ersten Zeile zur zweiten die erste Spalte in die richtige Form gebracht: " # 1 1 2 11 2 : 5 0 ¡8 ¡ 2 ¡40 48 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VIII Multiplikation der zweiten Zeile mit ¡ 18 stellt die gewÄ unschte Zeilenstufenform her: " # 1 1 2 2 11 : 5 0 1 16 5 Die Spalten mit den fÄ uhrenden Einsen reprÄ asentieren die fÄ uhrenden Variablen, die restlichen Spalten stellen die freien Variablen dar. 49 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen IX Um die LÄosung zu erhalten, weist man den freien Variablen Parameter zu. In unserem Beispiel ist x3 = t (t 2 R) die einzige freie Variable. Die fÄ uhrenden Variablen rechnet man wie gewohnt durch RÄ uckwÄartseinsetzen aus. FÄ ur die zweite Zeile der Matrix ergibt sich somit 5 x3 = 5 x2 + 16 5 x2 = 5 ¡ t (t 2 R): 16 50 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen X Um x1 zu berechnen, setzt man nun x2 und x3 in die erste Zeile ein. Es folgt 1 x1 + 2x2 + x3 = 11: 2 Umstellen nach x1 ergibt ³ 5 ´ 1 t ¡ t x1 = 11 ¡ 2 ¢ 5 ¡ 16 2 1 = 1 + t (t 2 R): 8 51 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen XI Als GesamtlÄ osung haben wir also Folgendes erhalten (t 2 R): 1 t 8 5 t x2 = 5 ¡ 16 x3 = t x1 = 1 + 52 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen XII Wir kÄonnen die LÄosung auch wie folgt darstellen: 1 0 1 0 1 1 + 8t x1 B 5 C x = @x2 A = @5 ¡ 16 tA x3 t 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 8t 8 B B C 5 5 C tA = @5A + t @¡ 16 = @5A + @¡ 16 A (t 2 R): 0 0 1 t Man nennt dies die Parameterform der LÄ osung. 53 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme LGS & inverse Matrizen Hat ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige LÄosung, so lÄasst sich dieses auch mit Hilfe der Inversen der Koe±zientenmatrix A berechnen. Es gilt Ax = b ) x = A¡1 b: 54 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 4 Bestimme die LÄosung des folgenden linearen Gleichungssystems mit dem Gau¼- und mit dem Gau¼-Jordan-Verfahren. x1 + 2x2 ¡ 8x3 = 1 3x1 + 7x2 ¡ 27x3 = 5 2x1 + 4x2 ¡ 15x3 = 1 55 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 5 Bestimme die LÄosung des folgenden linearen Gleichungssystems. x1 2x1 2x1 3x1 ¡ ¡ ¡ ¡ 3x2 6x2 6x2 9x2 + + + + 3x3 ¡ 4x5 6x3 + x4 ¡ 12x5 6x3 ¡ 2x4 9x3 ¡ x4 ¡ 8x5 = = = = ¡5 ¡9 ¡12 ¡16 Gib die gefundene LÄ osung in Parameterform an! 56 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume 57 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Definition I Gegeben seien eine Menge V , ein KÄ orper (K; +; ¢), eine innere zweistellige VerknÄ upfung © : V £ V ! V (die Vektoraddition) sowie eine Äau¼ere zweistellige VerknÄ upfung ¯ : K £ V ! V (die skalare Multiplikation). Man nennt (V; ©; ¯) einen Vektorraum u Äber dem KÄorper K (kurz: K-Vektorraum), wenn es sich bei (V; ©) um eine abelsche Gruppe handelt und wenn fÄ ur die skalare Multiplikation ¯ sowohl ein neutrales Element existiert als auch die Assoziativ- und Distributivgesetze gelten. 58 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Definition II ² Die Vektoraddition © ist assoziativ. FÄ ur alle u; v; w 2 V gilt: ¡ ¢ ¡ ¢ u © v © w = u © v © w = u © v © w: ² Es existiert ein neutrales Element 0V 2 V , so dass fÄ ur alle v 2 V gilt: v © 0V = 0V © v = v: Das Element 0V wird als Nullvektor bezeichnet. ² Zu jedem Element v 2 V existiert ein Element ¡v, fÄ ur das gilt: ¡ ¢ ¡ ¢ v © ¡v = ¡v © v = 0V : ² Die Vektoraddition © ist kommutativ. FÄ ur alle u; v 2 V gilt: u © v = v © u: 59 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Definition III ² FÄ ur alle ¸; ¹ 2 K, v 2 V gilt (Assoziativgesetz): ¡ ¢ ¡ ¢ ¸¢¹ ¯v = ¸¯ ¹¯v : ur alle ² Es existiert ein neutrales Element 1 K 2 K, so dass fÄ v 2 V gilt: 1K ¯ v = v: ² Zusammen mit der Vektoraddition © gilt fÄ ur alle ¸ 2 K, u; v 2 V das Distributivgesetz: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¸¯ u©v = ¸¯u © ¸¯u : ² Zusammen mit der Addition + im KÄorper K gilt fÄ ur alle ¸; ¹ 2 K, v 2 V das Distributivgesetz: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¸+¹ ¯v = ¸¯v © ¹¯v : 60 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Definition IV In der Mathematik ist es u Äblich, sowohl die Addition im KÄ orper K als auch die Addition im Vektorraum V mit demselben Operator + zu bezeichnen, obgleich es sich um verschiedene Operationen handelt. Analog werden die Multiplikation im KÄorper K und die skalare Multiplikation im Vektorraum V mit ¢ bezeichnet. In der Praxis besteht im Allgemeinen keine Gefahr, die Additionen bzw. Multiplikationen zu verwechseln. 61 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Untervektorraum Gegeben sei ein Vektorraum (V; +; ¢) u Äber einem KÄorper K. Man nennt eine Teilmenge U μ V genau dann einen Untervektorraum von V , wenn U nichtleer und bezÄ uglich der Vektoraddition + und der skalaren Multiplikation ¢ abgeschlossen ist, d.h., falls die folgenden Eigenschaften gelten: ² U 6= ;; ² u; v 2 U ) u + v 2 U ; ² u 2 U; ¸ 2 K ) ¸ ¢ u 2 U . 62 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 6 Entscheide fÄ ur die folgenden Mengen U1 ; : : : ; U5 , ob es sich um einen Unterraum des R4 handelt: n¡ o ¢¯ a) U1 = x1 ; x2 ; x3 ; x4 ¯ x1 + x2 ¡ 3x3 · 0 ; b) U2 = c) U3 = d) U4 = e) U5 = 63 n¡ n¡ o ¢¯ x1 ; x2 ; x3 ; x4 ¯ 2x1 + x2 ¡ 5x4 6= x3 ; n¡ n¡ o ¢¯ x1 ; x2 ; x3 ; x4 ¯ x1 + 2x2 ¡ x4 = 2 ; o ¢¯ x1 ; x2 ; x3 ; x4 ¯ x4 = x1 + x2 ¡ 2x3 ; o ¢¯ 2 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ¯ x1 = x3 . © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 7 a) Es sei V = R3 . Gib eine Menge U μ V an, die bezÄ uglich der Vektoraddition abgeschlossen ist, bezÄ uglich der skalaren Multiplikation jedoch nicht abgeschlossen ist. uglich der b) Es sei V = R3 . Gib eine Menge U μ V an, die bezÄ skalaren Multiplikation abgeschlossen ist, bezÄ uglich der Vektoraddition jedoch nicht abgeschlossen ist. 64 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 8 Gegeben seien ein Vektorraum V u Äber einem KÄ orper K sowie zwei UntervektorrÄ aume V1 μ V und V2 μ V . Zeige, dass es sich bei der Schnittmenge V1 \ V2 ebenfalls um einen Untervektorraum von V handelt. 65 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Linearkombination Gegeben seien ein Vektorraum V u Äber einem KÄorper K, endlich viele Vektoren v1 ; : : : ; vn 2 V sowie Skalare ¸1 ; : : : ; ¸n 2 K. Einen Vektor v, der sich durch n X v = ¸1 ¢ v1 + : : : + ¸n ¢ vn = ¸i ¢ vi i=1 darstellen lÄasst, nennt man Linearkombination von v1 ; : : : ; vn . Die Skalare ¸1 ; : : : ; ¸n werden Koe±zienten der Linearkombination genannt. 66 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Lineare Hülle Gegeben seien ein Vektorraum V u Äber einem KÄ orper K sowie eine Teilmenge A μ V . Man nennt die Menge ª ¡ ¢ © Lin A = ¸1 ¢ a1 + : : : + ¸n ¢ an j ¸1 ; : : : ; ¸n 2 K; a1 ; : : : ; an 2 A die lineare HÄ ulle von A. Die lineare HÄ ulle ist folglich die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren ai 2 A. 67 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Lineare Unabhängigkeit I Gegeben sei ein Vektorraum V u Äber einem KÄorper K. Die Vektoren v1 ; : : : ; vn 2 V hei¼en ² linear abhÄ angig, wenn neben der trivialen LÄ osung ¸1 = : : : = ¸n = 0K noch mindestens eine weitere LÄ osung fÄ ur die Gleichung ¸1 ¢ v1 + : : : + ¸n ¢ vn = 0V existiert. In diesem Fall besitzen nicht alle Skalare ¸i den Wert 0K . Gilt beispielsweise ¸1 6= 0K , so kann durch Umstellen der Gleichung eine Linearkombination fÄ ur den Vektor v1 gefunden werden: ¸2 ¸n v1 = ¡ ¢ v2 ¡ : : : ¡ ¢ vn : ¸1 ¸1 68 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Lineare Unabhängigkeit II Gegeben sei ein Vektorraum V u Äber einem KÄorper K. Die Vektoren v1 ; : : : ; vn 2 V hei¼en ² linear unabhÄ angig, wenn neben der trivialen LÄosung ¸1 = : : : = ¸n = 0K keine weiteren LÄosungen fÄ ur die Gleichung ¸1 ¢ v1 + : : : + ¸n ¢ vn = 0V existieren. In diesem Fall ist es nicht mÄoglich, einen der Vektoren v1 ; : : : ; vn als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen. 69 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 9 Entscheide fÄ ur die folgenden Vektoren, ob sie linear abhÄangig oder linear unabhÄangig sind. Gib jeweils eine BegrÄ undung. a) v1 = (1; 3; 5), v2 = (2; ¡1; ¡1) und v3 = (¡2; 15; 23). b) v1 = (1; 0; ¡1; 2), v2 = (0; 2; 3; 1), v3 = (4; 3; ¡2; 0) und v4 = (2; ¡1; 2; ¡3). c) v1 = (1; 5; 7; ¡6), v2 = (¡9; ¡1; 0; 3), v3 = (8; 4; ¡4; ¡2), v4 = (1; 3; 3; 7) und v5 = (42; ¡23; 0; 1). 70 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 10 Wir betrachten den Vektorraum R[x] der Polynome mit Koef¯zienten aus den reellen Zahlen R. Die Operationen seien die Polynomaddition sowie die Multiplikation mit Skalaren. Entscheide, ob die die folgenden Polynome lineare abhÄ angig oder linear unabhÄ angig sind. p1 (x) = x2 + x p2 (x) = x2 + 3x ¡ 1 p3 (x) = 4x ¡ 2 71 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Basis Gegeben seien ein Vektorraum V u Äber einem KÄ orper K sowie die ª b1 ; : : : ; bn 2 V . Man nennt eine Teilmenge B = © Vektoren b1 ; : : : ; bn μ V eine Basis des Vektorraums V , falls die folgenden Eigenschaften gelten: ² Die Vektoren b1 ; : : : ; bn sind linear unabhÄangig. ² Die Vektoren b1 ; : : : ; bn erzeugen den Vektorraum V . FÄ ur alle Elemente v 2 V existieren Koe±zienten ¸1 ; : : : ; ¸n , so dass gilt: v = ¸1 b1 + : : : + ¸n bn : 72 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Basis Zum Bestimmen einer Basis eines durch Vektoren v1 ; : : : ; vn 2 V erzeugten Unterraums kann der Gau¼-(Jordan-)Algorithmus verwendet werden. ZunÄ achst werden die Vektoren v1 ; : : : ; vn als Zeilen einer Matrix geschrieben 2 3 ¡ ¡ v1 ¡ ¡ 6 7 .. 4 5 . ¡ ¡ vn ¡ ¡ Wird diese anschlie¼end in Zeilenstufenform u ÄberfÄ uhrt, so bilden die Nichtnullzeilen v10 ; : : : ; vr0 der entstandenen Matrix eine Basis des durch die ursprÄ unglichen Vektoren v1 ; : : : ; vn aufgespannten Unterraums. 73 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 11 Gegeben seien die folgenden Vektoren des R3 : v1 = (1; 2; 3); v2 = (¡1; 4; ¡2); v3 = (¡1; 10; ¡1) und v4 = (¡4; 22; ¡7): a) Bestimme eine Basis von Lin (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ). b) Gib die Dimension von Lin (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) an. c) Um welchen Raum handelt es sich bei Lin (v1 ; v2 ; v3 ; v4 )? 74 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 12 n¡ o ¢¯ Es sei U = x1 ; x2 ; 0 ¯ x1 ; x2 2 R ein Unterraum des R3 . Zeige, dass es sich bei den Vektoren b1 = (1; 1; 0) und b2 = (2; ¡1; 0) um eine Basis des Unterraums U handelt. 75 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Vektorräume Aufgabe 13 Bestimme eine Basis des folgenden Untervektorraums U : n o U = (x1 ; x2 ; x3 ) j 2x1 + x2 = 0 ^ x1 ¡ x3 = 0 76 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Abbildungen 77 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Abbildungen Lineare Abbildung I Gegeben seien zwei VektorrÄaume V und W u Ä ber einem KÄorper K. Eine Abbildung f : V ! W hei¼t lineare Abbildung, wenn fÄ ur alle x; y 2 V und ¸ 2 K die folgenden Eigenschaften gelten: ² f ist homogen: f (¸ ¢ x) = ¸ ¢ f (x) ² f ist additiv: f (x + y) = f (x) + f (y) Die beiden Bedingungen kÄonnen zusammengefasst werden: f (¸ ¢ x + y) = ¸ ¢ f (x) + f (y) 78 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Abbildungen Lineare Abbildung II Eine lineare Abbildung f : V beschreiben durch ! W lÄ asst sich eindeutig ² die Bilder einer Basis des Vektorraums V ; ² eine Abbildungsmatrix A. 79 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Abbildungen Lineare Abbildung III Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R2 ! R3 . Es gelte f(e1 ) = f (1; 0) = (1; 2; 3) f(e2 ) = f (0; 1) = (0; ¡1; 2) Die Spalten der Abbildungsmatrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren. Es gilt 3 2 1 0 A = 42 ¡15 3 2 Handelt es sich bei der gegebenen Basis des Vektorraums V nicht um die Einheitsvektoren, so mÄ ussen beim Erstellen der Abbildungsmatrix zunÄachst die Bilder der Einheitsvektoren bestimmt werden. 80 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Lineare Abbildungen Aufgabe 14 Gegeben seien eine lineare Abbildung f : R2 ! R3 sowie die Bilder der Basisvektoren b1 = (1; 2) und b2 = (0; ¡2) des R2 : f (b1 ) = f(1; 2) = (2; 5; 4) f (b2 ) = f(0; ¡2) = (1; 0; 3) Bestimme die zur linearen Abbildung f gehÄorende Abbildungsmatrix A. 81 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II 82 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix I Gegeben sei eine m £ n - Matrix A. ² Der Zeilenraum Z(A) ist der durch die m Zeilenvektoren der Matrix A aufgespannte Vektorraum: Z(A) = Lin (z1 ; : : : ; zm ) o n = c1 z1 + : : : + cm zm j c1 ; : : : ; cm 2 R : ² Der Spaltenraum S(A) ist der durch die n Spaltenvektoren der Matrix A aufgespannte Vektorraum: S(A) = Lin (s1 ; : : : ; sn ) o n = c1 s1 + : : : + cn sn j c1 ; : : : ; cn 2 R : 83 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix II Gegeben sei eine m £ n - Matrix A. ² Der Nullraum N (A) ist die LÄ osungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0: n o N (A) = x j Ax = 0 : ² Der Nullraum der Transponierten N(AT ) ist die LÄ osungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems AT x = 0: o ¡ T¢ n T N A = xjA x=0 : 84 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix III Gegeben sei eine m£n - Matrix A. Es gelten die folgenden ZusammenhÄange: ² Z(A) = S(AT ) ² S(A) = Z(AT ) ² dim (Z(A)) = dim (S(A)) ² dim (Z(A)) + dim (N (A)) = n ² dim (S(A)) + dim (N (AT )) = m ² rg(A) = dim (Z(A)) = dim (S(A)) 85 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II Zusammenhänge mit Determinanten Im Folgenden sei eine quadratische n £ n - Matrix A betrachtet: ² det (A) = 0 () rg (A) < n ² det (A) = 0 () dim (N (A)) > 0 ² det (A) 6= 0 () rg (A) = n ² det (A) 6= 0 () dim (N (A)) = 0 ² det (A) = 0 () A¡1 existiert nicht ² det (A) 6= 0 () A¡1 existiert 86 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II Zusammenhänge mit LGS Im Folgenden sei eine quadratische n £ n - Matrix A betrachtet: ² rg (A) 6= rg (A j b) =) Ax = b ist nicht lÄosbar ² rg (A) = rg (A j b) = n =) Ax = b ist eindeutig lÄ osbar ² rg (A) = rg (A j b) < n =) Ax = b hat unendlich viele LÄosungen 87 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015 Matrizen II Aufgabe 15 Gegeben seien die Vektoren z1 , z2 , z3 und ¡z4 des ¢R4 , die die Zeilen einer 4 £ 4 Matrix A bilden. Es gelte dim Z(A) = 2. Wahr oder falsch? (Mit kurzer BegrÄ undung!) a) Das Gleichungssystem Ax = b besitzt eine eindeutige LÄ osung. ¢ ¡ T b) Es gilt dim N (A ) = 2. c) Eine Aussage u Ä ber det (A) ist nur dann mÄoglich, wenn A vollstÄandig bekannt ist. d) Die inverse Matrix A¡1 existiert nicht. e) Die Spaltenvektoren s1 ; : : : ; s4 der Matrix A sind linear abhÄ angig. 88 © 2015 Steven Köhler 06. Mai 2015
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