Eine lineare Theorie der Optimierungsprobleme bei Raketen mit

Diss. Nr. 4539
Optimierungsprobleme
kleinem Schub (Low Thrust)
Eine lineare Theorie der
bei Raketen mit
ABHANDLUNG
zur
Erlangung
der Wurde
eines
Doktors der Mathematik
der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
ZÜRICH
vorgelegt
KOCHER
KLAUS
dipl
geboren
von
Buren
Math
am
an
von
3
ETH
August 1941
der Aaare
(Kt Bern)
Angenommen auf Antrag
von
Prof Dr E Stiefel, Referent
Prof Dr F Weinberg, Korreferent
Juris Druck
+
Verlag Zurich
1971
Leer
-
Vide
-
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Meinen
und
Walter
zum
ihnen
Eltern
Maria
Dank
für
Kocher-Joos
die
ermöglichte
gewidmet
von
Ausbildung
Leer
-
Vide
-
Empty
5
-
-
EINLEITUNG
In
Zeit
neuerer
hat
gefunden,
tenbahnen
Interesse
dauernde,
aber schwache
thematische
so
Klasse
spezielle
eine
die
Formulierung
fuhrt
Lagrange Multiplikatoren
Eine interessante
wird,
so
Bogen
fuhrt
müssen
Rakete
dann die
in
den
eine
reine
Die
ma¬
Bolza'sehen Typ,
vom
(Koordinaten, Geschwindigkeiten)
auch
Differentialgleichungen auftreten
der Schub fur
wenn
Zeit
einige
Keplerbahn beschreibt
Auf
^_(t)
Multiplikatoren als Funktionen
damit beim
werden,
^
x
langer
dass
ist,
Rake¬
bei
("low thrust")
Variationsprobleme
auf
Teilaufgabe entsteht,
dass die
charakterisiert
dadurch
Schübe angenommen werden
dass neben den Zustandsvanablen
die
Cptimierungsproblemen
von
einem
der
Zeit
abgestellt
solchen
mitge-
spateren Wiedereinschalten des Schubes die Anfangs¬
bedingungen des anschliessenden Optimierungsproblemes vorhanden sind ("CoastArc"
Problem)
-
Wahrend der
wegung
in
antriebslosen
dem Sinne
Berechnung
nur
die
in
geschlossener Form angegeben werden,
blem übertragen.
Erstens wird
auch die
an
in
ihrer
ist
Zeit
Die
entstehende
transzendenter
alle
neue
die
unabhängige Variable
Energie
sowohl die
einfacher Weise
so
als
zu
transformieren,
einer
angetriebenen
Phase treten
kleine,
lineare Optimierungstheorie
vermeidet erstens
die
Gleichungen wahrend der Bahnberechnung und bewirkt
die
Zu-
neue
Zustandsvanablen
Differentialgleichungen linear werden und
Differentialgleichungen vollständig regular
auftreten,
Nach der
In
sowie
gelingt es,
in
eine
nicht-
dazu.
Störungen
dass
zweitens
der antriebslosen Phase alle
lineare
so
zu
auf das Bolza'sche Variationspro-
Stelle der
Lagrange Multiplikatoren
konstante Koeffizienten haben.
ner
( [3], [4] )
Typ der exzentrischen Anomalie benutzt
standsgrosse eingeführt, und
dass
Keplerbe-
als
( [5] ).
Multiplikator Gleichungen
nung durch KS-Transformation
als
der
vorliegenden Arbeit werden die vereinfachten Methoden der Bahnberech¬
In der
vom
x
Auflosung der transzendenten Keplergleichung notwendig
fur die
Analoges gilt
Zustandsgrossen
können die
Phase
in
Auflosung
vor
allem,
werden und somit keine Nen¬
Ausnahmefallen verschwinden oder klein werden
Grundlegung der
linearen
Theorie
in
Abschnitt
1
und 2 werden
m
Ab-
-
3 die regulären
schnitt
6
-
Differentialgleichungen programmierungsfertig
zusam¬
mengestellt.
Abschnitt 4 enthalt die
Um nicht
mes.
sche
analytische, geschlossene Losung des
gesonderte
Bahntypen anfuhren
oder
elliptische, parabolische
werden hier die
müssen,
zu
Coast Arc
Stumpft'sehen
Problè¬
hypboli-
c-Funk¬
eingesetzt.
tionen
5
Abschnitt
Da alle
ist der
numerischen
Differentialgleichungen
[11]
grationsmethoden nach
auch auf die
loser
Formeln fur
Integration
Ozillatortyp sind,
vom
[12]
und
nicht
können die feineren Inte¬
auf die
nur
Abbrechfehler)
ohne
heisst
Ausserdem wird die Methode der Elemente auf
und ebenfalls
Hilfe der
mit
Zustands-,
sodass
Lagrange-Variablen übertragen werden,
Bogen exakt (das
gewendet
angetriebenen Phase gewidmet.
einer
also
integriert wird.
numerisch
Optimierungsproblem
unser
Stumpft'sehen
sondern
antriebs¬
ein
an¬
c-Funktionen uniform ge¬
schrieben.
Jedes praktische Raketen-Optimierungsproblem fuhrt schlussendlich auf
wertproblem,
das
risch integriert
optimierenden
Dieser
es
heisst,
werden,
Bahn
zu
linearen Theorie
neuen
die
Differentialgleichungen
sondern
es
in
der
wurde
bisherigen,
nur
im
vorliegenden Arbeit
nicht
Nebenbedingungen
sind fur diesen Zweck
Aspekt des Gesamtproblemes
wurde deshalb
sind auch
Sowohl bei der
erfüllen.
müssen
als
am
ein
Rand¬
nume¬
Ende
einer
auch bei der
Probiermethoden bekannt.
Detail
[10]
in
diesbezügliche
auf
nur
und
behandelt,
numerische Ex¬
perimente verzichtet.
Meinem verehrten
Lehrer,
fur das
das
Interesse,
er
Herrn Prof.
dieser
regungen und die wertvolle
Mein
Arbeit
Dr.
E.
aufrichtiger Dank geht auch
an
Herrn Prof.
Herrn Dr.
an
regender Diskussion,
Julia Kocher
Unterstützung.
danke
ich herzlich
fur die vielen An¬
Kritik.
Uebernahme des Korreferates,
sowie
Stiefel,
entgegengebracht hat,
an
Dr.
F.Weinberg
D. G. Bettis
-
Morris,
fur
die
fur die Stunden
meine
Frau,
fur
ihre
an¬
-
7
-
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1.
Problemstellung
2
Transformation des
9
Optimierungsproblemes
auf
reguläre
Form
13
3
Regular notwendige Bedingungen
19
4
Das
5.
Numerische
1.
Coast Arc
Problem
Integration (verfeinerte Techniken)
Modifizierte
6.
Methode
Elementengleichungen
Bemerkungen
Anhang
Literatur
1-3
Angaben
29
Adams-Moulton und
Adams-Bashforth
2.
24
zur
Losung des Optimierungsproblemes
30
41
50
52
64
Leer
-
Vide
-
Empty
9
-
1.
Eine Rakete soll
Erdumlaufbahn
Weltraum
PROBLEMSTELLUNG
gesteuert werden, dass
einem
gelange.
Ionenmotor
nem
so
zu
-
Es
folgenden
die
gelten
sie
minimaler
in
Punkt oder auf
bestimmten
ausgerüstet. Die pro
Annahmen:
Zeiteinheit
Der resultierende
angenommen.
I
klein
sei
(von
konstantem
durch den Steuervektor
=
Betrag).
sei
mit
q
im
ei¬
(der
bekannt und als kon¬
q
•
c
£
•
Steuerung
dessen
der Rakete wird somit
Komponenten
die
allein
Richtungskosinus¬
sind.
se
Aus den Annahmen lasst sich die
momentane
m(t)
wobei
In
Die Rakete
seien
c
einer
Schub
Die
£ bestimmt,
aus
ausgestossene Masse
Massendurchsatz) und die Ausstossgeschwindigkeit
stant
Zeit
bestimmte Bahn
eine
m-
einem
die
Anfangsmasse
m1
=
Masse der Rakete bestimmen:
t,
q
-
sei.
Zentralfeld wird die Bewegung der Rakete beschrieben durch die Dif¬
ferentialgleichungen (gestörte Keplerbewegung)
x
K2
+
-
x
ist
K2
=
der Ortsvektor
k2
•
M,
wobei
vitationskonstante
w(t)
ist der
vom
M
die
—5rJ
x
w(t)
=
-
e
(1 )
.
-
Zentralkorper
Masse des
•
zur
Rakete,
Zentralkorpers,
die Distanz.
r
k2
die universelle Gra¬
sind.
Betrag der Schubbeschleumgung, der
unter den
obigen Angaben
als
klein und wenig variierend angenommen werden darf.
Er berechnet
sich
aus
w(t)
q-
ra,
Das
Steuerproblem
besteht
nun
c
=
darin,
-
qt
die Steuervariablen
e.,
e„
und
e-
so
zu
10
-
bestimmen,
-
gigen Randbedingungen
die
1
(
dass unter der Nebenbedingung
)
und den
von
der
Mission abhän¬
Flugdauer
t9
/dt
=
fl
zu
einem
Das
Minimum wird.
vorliegende Steuerproblem ist
[ 1 ] )
(2)
t2-tj
Anlehnung
und kann in
gendermassen
an
Bolza Kontrollproblem
ein
das Bolza Problem der
(Hestenes
Variationsrechnung
fol-
formuliert werden:
Finde in einer Schar
Bogen
von
x.(t), e.(t)
welche die
(tj
é
t
É
t2)
,
Differentialgleichungen
x.(t)
L(i, x,e)
=
(3)
erfüllen und die Relation
<f>
sowie
gewisse
zu
=
(e,e)-
1
=
0
(4)
spezifizierende Randbedingungen befrie¬
digen, denjenigen Bogen,
welcher dem
Integral
r2
J
=
J
f
•
dt
(
o
5
)
*1
ein Minimum erteilt.
Es
und
liegt somit
(4))
werden
ein
vor.
müssen,
Die
Variationsproblem
mit
Nebenbedingungen (die Bedingungen (3)
notwendigen Bedingungen,
können nach der
A0*
o,
Einführung
>.(t),
u
die
von
von
einem
Minimalbogen erfüllt
Lagrange-Multiplikatoren
11
-
-
und der Definition einer Funktion
H(t,
x,e,
2.,/u)
=
(6)
l
folgendermassen formuliert werden:
Es
gelten die:
1)
Euler-Lagrange Gleichungen
x.
1
2)
Weierstrass
x
Die
,
e
%_, o)
e,
welche die
Minimalbogen
Annahmen auch
des obigen herleiten.
sammen
mit
é
3Xj
3*i
—
(7)
0
H(t, Xq, e0> >>., o)
(4)
Relation
(
erfüllen und
8
)
wobei
darstellen.
brennstoffoptimal)
Dabei sei
(8) erlauben,
(Lurie
Raketenbahn lassen sich
nun
erwähnt, dass die dritte Beziehung
einen
Multiplikatoren herzustellen,
explizit auftritt
den
3H
spezifischen notwendigen Bedingungen für eine zeitoptimale (bei den vorlie¬
genden
den
-3H
=
l
Bedingung
£(t),
den
,
âAi
H(t, xo,
für alle
A-
=
[2] ).
zwischen der
Zusammenhang
sodass in der
Es
auf
von
Grund
(7)
zu¬
Steuerung und
Folge die Steuerung nicht mehr
in direkter
ergeben sich
Weise die
folgen¬
Differentialgleichungen:
X
+
—-x
=
rJ
w(t)
•
—
,
A
>+j£>=3Kai^z,
-
r5
r3
wobei
\
-
I AI
•
(9)
12
-
Ist die
festgelegt,
Mission
Die
Differentialgleichungen
koordinaten
x,
singular
Ursprung,
im
als
unendlich wird.
tiv bei
(9),
Beispiel bei einer Erde
und
zwar
Newtonsche
numerische
nahe dem
-
detaillierte
Vom
Standpunkt der
(9)
von
Zur
ein
Gleichungen
Jupiter
Gravitationsanziehung
ev.
der
aus
Zustands-
ist
wünschenswert
Differentialgleichungen
Erreichung dieses Zieles können prinzipiell
zwei
nega¬
zum
Für
verweisen wir
verwenden
auf
[3J ).
(Stiefel/Scheifele,
es
sind
Punkt
Auch in Bezug auf die
x-Gleichung,
aus
die
Situation,
Nachteilen behaftet.
mit
Mechanics"
numerischen Integration
von
(9)
auf der
Regular Celestial
reguläres System
eine
Mission auftreten kann.
von
,
in diesem
sich dies besonders
wirkt
Zentralkörper aus,
Diskussion, basierend
Buch "Linear and
das
sowohl die
Integration
Stabilität der Lösung ist die Integration
eine
-
Gleichungen der Lagrange Multiplikatoren \
da die
Für die
Randbedingungen
dazuzunehmen.
-
auch die
Durchgang
einem
sind im weiteren die
so
Transversalitätsbedingungen
-
Stelle
an
zu
können.
Wege eingeschlagen
wer¬
den:
1)
Mittels
läres
Dieses
dann
2)
geeigneter Transformation kann das System (9)
System übergeführt werden (siehe
Vorgehen
Umgekehrte kann
Optimieren.
dere die als
ten
Hoffnung,
Die
Das
versucht werden:
heisst im
Nebenbedingung
Keplerbewegung (1)
rität
charakterisiert,
Tapley
in ein regu¬
et
dass zuerst
al.
[10] ).
optimiert und
regularisiert wird.
Auch das
dann
ist dadurch
z.B.
auf
Regular is ier en und
vorliegenden Problem, dass insbeson¬
auftretende
reguläre
dass der dann anzuwendende
auf die
zuerst
Differentialgleichung der gestör¬
Form transformiert
wird,
Optimierungsprozess die Regula-
Lagrange Multiplikatoren überträgt.
vorliegende Untersuchung geht
von
dieser
in der
zweiten
Möglichkeit
aus.
13
-
2.
TRANSFORMATION
DES
-
OPTIMIE RUNGSPROBLE MES
REGULAERE
Wir behandeln
benstellung
Dieses
raumes
der
Energie
ten fiktiven
als
Zeit
Funktion
Koordinatentransformation,
anderen
störten
Einfuhrung
einer
sich
es
Worten,
um
die
Zustandsgrössen
unabhängigen
gewünschte
Form
Neuformulierung
die
Variablen
-
-
der
Zeit und
der sogenann¬
allgemeinen Fall, dimensionserhöhende
im
kann die
um
neuer
neuen
und durch eine,
-
sentlichen handelt
mit
zweimalige Erhöhung der Dimension des Zustands-
eine
Durch die
erreicht.
ursprunglichen Aufga¬
Form.
gewünschte reguläre
Ziel wird durch
-
FORM
diesem Abschnitt die Transformation der
in
auf die
AUF
erreicht werden.
der
Im
we¬
Nebenbedingung (1), oder,
Regularisierung der Differentialgleichung der ge¬
Keplerbewegung.
folgenden
Das
Vorgehen
a)
Zeittransformation
sei
Mittels der
im
schrittweise
Zeittransformation
(Poincaré, Sundmann)
dt
werde
eine
neue
physikalische
angedeutet:
r
=
•
(10)
ds
unabhängige Variable s, die fiktive Zeit, eingeführt. Die
Zeit wird dadurch
zur
neuen
Zustandsvariablen des Optimie-
rungs problèmes
s
t(s)
J
=
r(r )dT
.
o
Wir notieren die
wichtigsten Transformationsregeln
did
dt
—
dt2
ds
r
-
/
d
y
ds
2- (
d2
dr
d
r3
ds2
ds
ds
\
:
14
-
b)
-
Energierelationen
Im
physikalischen
(
durch
1
)
Raum
gelten
beschriebene
In der
neuen
unabhängigen Variablen
die
t
-
für die
folgenden Energierelationen
&>*>
K2
(11)
=
2
r
\
ist dabei die
der
Keplerbewegung
hk
h,
in
-
-=
-
(w
•
e
x)
,
(12)
_
negative Kepler énergie.
unabhängigen Variablen nehmen die Relationen die Form
hk
—--It<*•.£>
-
"k
=
"
(13>
(w-e,x')
(14)
an.
Wir werden
c)
in
der
h.(s)
Folge
als
zweite
neue
Zustandsvariable auffassen.
Koordinatentransformation
Der dritte Schritt besteht
[ 4]
ist
aus
einer
Stiefel
vorgeschlagenen Abbildung, der sogenannten KS-Transformation.
/(u)
ist dabei
unter
tor
und
Sie
definiert durch
x
u
Kustaanheimo
von
x
ein
ist der
(x.,x„,x„)
4er
um
des
=
Vektor,
eine
[
=
£ (u)
•
u
u2
ul
"u4
"u3
u3
u4
Ul
u2
dessen Komponenten
vierte
Komponente
physikalischen
Raumes
vom
zu
|
(15)
u., u„, u„,
Wert
u.
sind, und
Null erweiterte Vek¬
verstehen.
15
-
Der durch die
Behandeln
die
Levi
von
zogene
aufgespannte Raum wird als Parameterraum bezeichnet.
u
wir
ein
zweidimensionales
Civita
-
-
zur
Problem,
Regularisierung
tritt
so
ebenen
der
an
Stelle der
KS-Matrix
Keplerbewegung herange¬
Abbildung
=
-
<^LC^
^-
'
-
(ul'u2^
=
1
(16)
KS-Transformation stellt somit
Die
bildung
dar.
erwartet,
wie
nommen
re
KS
Die
Belange
-
Dimensionserhohung des
um
werden
Dimension,
eine
(siehe
als harmlos.
Matrix
notiert
muss
u-Raumes
folgenden
seien
zwei
topologischen
aus
Stiefel/Scheitele
Im
um
[3]).
die
Dimensionen
Gründen
in
statt,
Kauf ge¬
Sie erweist sich fur
unse¬
wichtigsten Eigenschaften der
:
jC^Wfe)
1)
Die
Verallgemeinerung der Levi-Civita Ab¬
eine
=
(ü,ü)E
KS-Matrix ist orthogonal.
l
2)
"Vi
-1— /T(u)
=
(u.u)
/ (u)'
3)
4)
Erfüllen
zwei
=
Vektoren
u,
U4V1-U3V2
so
v
+
die
Relation
U2V3" ulv4
=
°
gilt
£
Diese
in
/ (u')
der
(u)v
=
£
(v)u
.
Relation heisst Bilinear Relation und
KS Theorie.
spielt
eine
fundamentale Rolle
16
-
5)
Erfüllen zwei Vektoren
(u,u)/(v)v
6)
Die
2(u,v)/(u)v
-
(15)
Abbildungen
lischen Raum
nun
die
nach
+
(u'.u-)
-
-^
Energierelationen
u
.
Ursprung und
auf den
es
physika¬
gilt:
i2
[
in der
.
Form der
Differentialgleichung
hk
T
/'(u)(we)
=
2
Nebenbedingung
(1)
angewandt,
des
so er¬
.
(17)
ihrerseits gehen über in
K2
hk
neuen
|
=
(u,u)
u
(u, u)
Im
0
gilt
Parameterraumes
vom
i
(u, u)
=
auftretende
K2
Die
des
=
so
ausgeführter Zeittransformation
f-
u"
(16)
und
Relation,
(v,v)/(u)u
KS-Transformation auf die
Optimierungsproblemes
gibt sich,
+
quadriert die Distanzen
r
Wird
die Bilinear
v
u,
-
-
2(u*,u')
=
(18)
,
(u, u)
=
-2(/T(u)(we),
u')
(19)
.
Zustandsraum
(u1,u2,u3,u4,uJ,u2,U3,u4, hk,
ergibt sich,
zusammenfassend,
das dem
System
t)
(1) vollständig aequivalente
Differentialgleichungssystem
u"
hk
t*
+
=
=
—
u
=
—£.
-2(/T(u)(we),
r
(u)(w-e)
u')
(20)
17
-
als neuformulierte
-
Gemäss der
Nebenbedingungen.
Abmachung
ist dabei unter
£
der 4er Vektor
£
zu
(e1; e2, e3,
=
o)
verstehen.
Das
System (20) ist nun,
weisen wir
(w
se
Das
=
zu
Form
o)
auf die
die
im
Gegensatz
(
zu
1
), vollständig regulär.
wichtige Eigenschaft, dass
Gleichungen der
nicht
ver¬
angetriebenen Pha¬
linear sind.
u.
(2)
optimierende Integral
in einer
Zudem
nimmt im
neuen
Zustandsraum die
folgende
an:
s
Jr(T)dr
=
(21)
min.
o
In
Anlehnung
an
das
timierungsproblem
im
nun
Finde in einer Schar
welche die
Bolza-Kontrollproblem
von
z(s)
=
e_(s)
=
Abschnitt
1
wird das
Zustandsraum formuliert:
neuen
Bogen
(Uj.U^Uj.U^uJ.U^uJ.uJ.h^t)
(e1( e2, e3,
o)
Differentialgleichungen
\
zi
im
=
z5
z2
=
z6
z3
=
z7
z4
=
z8
z5
=
z6
=
z9
"
—
-
fk
r
zl
+TQ1
--fz2 +fQ2
Raketenop¬
18
-
z7
-
r
z9
-—Z3 +TQ3
^
=
Z9
r
—
Z4+TQ4
2(z5Q1 +z6Q2
erfüllen,
z7Q3
+
+
z8Q4)
wobei
'«1
Q
=
/T(u)(w.e)
=
[ Q2
Q;*3
Q
4
sowie die Relation
0
=
(e, e)
befriedigen, denjenigen Bogen,
-
1
=
0
welcher dem
Integral
sl
r
ds
o
ein
Minimum erteilt.
Damit
Es
fen
ist das
sei
ist.
vermerkt,
vollständig regulärer
dass das
Damit werden die
mit freier
Endzeit
Problem in
Integrationsintervall (o, s.)
Variationsprobleme
Endbedingungen, unabhängig davon,
gegeben
ist
Form gegeben.
oder nicht.
auf der rechten Seite of¬
im
Parameterraum
ob
im
zu
physikalischen
Problemen
Raum die
19
-
3.
Auf die in
die
im
REGULAERE
NOTWENDIGE
Mit
Hilfe
BEDINGUNGEN
vollständig regulärer Form gegebene Optimierungsaufgabe kann
((
Abschnitt
ersten
7
)
und
wendiger Bedingungen angewandt
finiert
-
von
(
8
) )
Technik der
zitierte
Bestimmung
nun
not¬
werden.
Lagrange Multiplikatoren
J.
und
werde
v
eine
Funktion
H
de¬
:
10
H(z,e,I,v)
=
a(-f0f0-V((
(22)
.
i=l
Aus der
Euler-Lagrange Gleichung
-ii
o
.
dej
sowie
unter
ziehung
mit den
Zuhilfenahme der Weierstrasschen
zwischen der
Steuerung
=
e4
=
il
iL
(23)
il
V
/(n)^5"8- 2j9z!
|JL|
/Cr
_
Verwendung der
welche
'
5-8
=
5-8
Unter
-^3
e3
"
il
folgende Be¬
Multiplikatoren, verbunden
IT)
il=
I
e2
'
kann die
werden.
-ß-2
el
il4
werden,
und den Lagrange
£
Zustandskoordinaten, hergestellt
wobei
Bedingung,
H
I
Relationen
z5-8
(
23
)
kann
jetzt
aequivalent ist, die Steuerung
eine
£
neue
Funktion
H
gebildet
aber nicht mehr explizit
20
-
enthält
:
H(z,|_)
hz5
+
=
hz6
zg
f
"
"I
^5^"zl
2
Aus
-
ihr
hz1
+
^4Z8
+
zg
c
56 —z2"
-e
+
(S10- fo> (Z12
+
wil
+
Z2
r7~Z3"
2
FZ4
z32 z42)
+
+
.
(7)
F'
-
3H
-
3z:
^K-2(Sio-Wzi-w-3iI
3zj
-
durch Dif¬
:
J
n
z9
f
5
ergeben sich die Euler-Lagrange Gleichungen gemäss
ferentiation
%[
zg
c
'7
"2
2
T-Se-^io-^o) z2
an
-
w
àz2
n
-
^6
=
i;
-
n
=
3il
-h
3z5
"Vw
an
3z6
(25)
f3
^
=
=
"^-57
-
2(S10-f0) z3-
w
JA
3z3
^H8-2<SlO-Wz4-wzl
C>
P
z2
an
ç
z3
c
-i.
"
°
3Zrr
-i4z4
2
*i"o
an
c
J8
ai).
3
Zo
21
-
-
9H
z.
1
=
*h
z5
z5
=
z6
=
-—
an
Zl+W
z5
il
—
"
3|5
z2+w
35e
(26)
z5
z7
=
-
9il
—
Z3+W
zc
•
an
5
z8
=
-
**7
—z4+w
si 8
ail
z9
w
=
—
9f9
2
z10
Zur
=
zj
z2
2
2
2
+
+
z3
+
z4
Erreichung einer kompakteren Schreibweise führen wir die folgenden Umbe-
nennungen durch
*i
eh
Werden
drücke
die
nun
)
geschrieben
=
:
auf die
*i+4
=
h
1
gesetzt,
i
ursprüngliche
ausdifferenziert,
3$l
2(5iQ- J
z.
=
so
wo
=
1
Grösse
angezeigt,
lautet das
...
System
4
zurückgeführt und die Aus¬
sowie die
Konstante
(25) (26)
in vektorieller Form
22
-
+^G
6«
=
u
-
+W_L8,./W.3ß
u'
*;
|(£,u)
-
6;
;
=
/
0
(27)
wobei
fi
Q.
Das
System
system
(9)
=
|XL|.
stellt die
im
neuen
zu
den im
Bedingungen
Wird zur numerischen
Vergleich
zur
einer gewissen
notwendigen Bedingungen des gestellten Optimie-
Zustandsraum dar und ist dem
(27)
Differentialgleichungs¬
(27) herangezogen,
vermerkt,
wesentliche
(siehe
z.B.
andere
ten
auch
das
Augenmerk auf
eine
(27) gerichtet werden,
erweisen wird:
kann erwartet
reguläre Dif¬
werden,
(9),
bei
dass
Vorschrift
Regularisierungsmethoden
Tapley
an
et
Eigenschaft
welche sich in der
al.
des
zu
zu
An
ähnli¬
[10]).
dieser Stelle verlassen
Regularisierungsmethoden
zweite
das
Rechenzeitersparnisse resultieren.
dass auch andere
Aspekt der Regularisierung werde
darauf,
so
Integration mittels des singulären Systems
chen Resultaten führen
nun
vollständig regulär.
Integration des Optimierungsproblemes
Genauigkeit,
dieser Stelle sei
Der
2fhu'
physikalischen Raum formulierten Bedingungen sind
ferentialgleichungssystem
im
-
vollständig aequivalent.
Im Gegensatz
aber die
(u.)
(27)
rungsproblèmes
(y£
=
schildern.
-
wir verzich¬
Vielmehr soll
Differentialgleichungssystems
Folge auch
als besonders
ertragreich
-
In
einer
nicht-beschleunigten Phase
Ortsvektors und der
23
(w
-
=
0)
sind die
Differentialgleichungen des
dazugehörigen Lagrange Multiplikatoren des Systems
(27)
linear.
Ausgehend
schlossene
von
dieser zweiten Eigenschaft werden wir
Lösung des "Coast-Arc"
Problems
in der
herleiten,
grationsmethoden der angetriebenen Phase vorschlagen.
Folge eine ge¬
sowie verfeinerte Inte¬
-
4.
-
"COAST-ARC"
DAS
PROBLEM
technisch realisierbare Raketenmissionen ist
Fur
abgestelltem
Arc"
Antriebsmotor durchlaufen lassen
Problem verstehen wir die Lösung des
(27)
resp.
Wird der
für solche
Motor
es
zu
Lagrange Multiplikatoren
simultanen
müssen
so
(
System
X
9
+
Teilphasen
mit
Unter dem "Coast-
Gleichungssystemes
(9)
we iter
Motores
neben den Zustandskoordinaten auch die
verfolgt werden,
zur
denn ihre Grösse
Ausrichtung
muss
beim
des Schubes bekannt sein.
physikalischen Raum wird die nicht-angetriebene
reduzierte
wünschbar,
können.
nicht-angetriebene Flugphasen.
abgestellt,
Wiedereinschalten des
Im
24
Phase beschrieben durch das
):
^X:
0
=
r3"
Ä
+
Behandelt wurde dieses
zweidimensionalen Fall.
Fang
[8]
3K2
=
X
r5
r3-
Problem erstmals
In der
Lawden
von
Folge haben
[5],
Eckenwiler
und
[6]
zwar
und
für den
Pines/
Lawden's Resultate auf den dreidimensionalen Raum erweitern kön¬
nen.
Unter
Beachtung der
Linearität des
mus
-
im
sung des
in der
Gegensatz
Problems.
Im Parameterraum
zu
(27)
den zitierten Arbeiten
Wir wollen diese
ergeben
sich
u"
aus
—
=
r
u
-
zu
gelingt
eine
Tage tretenden
im
einfache
(u, 6)-
Formalis¬
geschlossene Lö¬
Lösung im folgenden herleiten:
(27)
\
+
2
f
Phase
nicht-angetriebenen
Differentialgleichungssystems
=
die Gleichungen
0
"
(28)
25
£"
+
el
Bewegung der Rakete,
eine
am
Anfang der
Sind die
Coast
-
const.)
=
.
deren
Anfangsbedingungen
Bahntypus
festgelegt
Phase
liegt
eine
rein
derart,
insbesondere
elliptische Bewegung
11-Gleichung allein,
durch die
Grosse der
ist
somit
Energie
(-h. )
ist.
dass
°
hk>
so
ü
=
beschrieben durch die
Keplerbewegung,
reine
1
\<s>£)
-
(h.
Die
—
-
(28)
und
vor
elementar
ist
losbar.
Mit
2
lautet die
Zustandskoordmaten und die
fur die
allgemeine Lösung
Lagrange Mul¬
tiplikatoren
u(s)
=
a cos w s
t(s)
=
c
G(s)
=
~"
S.
h
+ c
O
=
(
•
+ c_cos
s
S
c
—
+ e,s
0
s
2Ws
s
|
j
cosw s +
2
+ e„s
12
+
e. cos
+
efi
c, sin2ws
0
+
e„
ä
( d
\-
+
-=—
2ws+e5-s-sin2Ws
s cos
2 W
s
c
e
l
=
const.
=
const.
s
2W
sin2Ws
mit
und
+
£i
2W
e
b sinw
+
I
sin
ws
/
+
(29)
+
26
-
Die
Grössen
a, b, £, c,
Coast-Phase
schen
zogen
Es
werden)
c
soll
;
die
=o;
Lösung
zur
jetzt
sind dabei
d
Anfangsbedingungen
den
aus
Anstelle einer separaten
(h.
Anfangsbedingungen
hyperbolischer (h,
chen
und
e.
bestimmen.
zu
-
Lösung
(28)
von
von
Behandlung
(28)
müssen
ist
von
der
paraboli¬
offensichtlich)
und
Hyperbelfunktionen herange¬
Lösung angegeben werden, welche alle drei mögli¬
eine
Bahntypen einschliesst.
stellt sich somit das
Problem,
Lösung der Differentialgleichung
eine
vom
Typus
f"
unabhängig
und
f
cf
o
=
Vorzeichen der Konstanten
vom
Funktion und wir
bekannte
+
verlangen, dass
,
c,
finden.
zu
sie
f(s)
ist dabei die
vorgegebene Anfangswerte
un¬
f
annehmen soll,
o
Die
Methode der Taylor Entwicklung,
chung, ergibt
die
\
f(s)
=
,
I
\
•
f
0
+
f
1
s22
c
-
1
„4
•
s
•
,
,
1
,
2 s4
3
.
.
.
c
+ c
+
5:
3!
j
3s6
2s4
s2
c
\
\
+
6!
4:
-
„6
sb
c
+ c
2:
°
Mittels der
obige Differentialglei¬
Lösung:
(
,i
auf die
angewendet
7!
Abkürzung
2
z
lässt sich
(30)
schreiben als
2
f(s)
=
vf1°
V
+
f*-s
o
Stumpft
[9]
CS
=
z
2!
•f1\
3
z
z
4."
6."
\
!
/
/
2
z
3:
JL
5:
3
z
+
7:
führte für die Klammerausdrücke die Funktionen
(30)
27
-
-
k
„
z
k
co(z)
^J"1)'
=
<2k):
k=l
und
oo
c,(z)
ein,
f(s)
Problems
fQ- c0(z)
=
allgemeinen
fangsbedingungen
-
Fall
(2k + l)!
(31)
Lösung
i^
+
kann
geschilderte Lösungsméthode
im
-
£7i
und mit ihrer Hilfe lautet die
Die eben
,
V(-l)k
=
des
s
•
•
zur
nun
Differentialgleichungssystems
Cl(z)
Integration des "Coast Arc"
elliptische, parabolische
-
.
oder
hyperbolische
An¬
herangezogen werden.
Wir verwenden dabei die
Stumpff'sehen
c
-
Funktionen in der allgemeineren Form
k
c(z)
(Für
den
Zusammenhang
Relationen verweisen wir
Die
=
ÊTi
mit den
auf
y\-i)k—5
(2k + n)!
trigonometrischen
(3i;
•
Funktionen sowie für
geltende
Anhang 1).
Lösung der Differentialgleichungen des allgemeinen "Coast Arc" Problems
u
„
hk
u
+
2
-
"k
z
Z
nehmen mit
As2
2
=
o
28
-
die
folgende
Form
an
u(s)
=
6(s)
=
«co(z) +J3sCl(z)
£cQ(z)
1
Für die
(32.2)
von
3
c3(z))
"
Anhang
Integrationskonstanten sind
+
(32.2)
(c2(z)
im
ist
(32.1)
+|as2)Cl(z)
(S_s
+
^ls
+
(Die Herleitung
-
•
geschildert).
2
in dieser
Darstellung direkt die Anfangswer¬
te der Coast-Phase einzusetzen:
Ï
V
â= io
Ho
=
£
fo
-
Basierend auf dem Resultat
(32.1) gelingt
Differentialgleichung der physikalischen
t'
mit
V
=
und unter
t
So
=
=
•
nun
auch die
analytische Lösung der
Zeit
r
=
(u, u)
-,
(31)
Verwendung der Stumpft'sehen Funktionen
lautet die
Lösung
t(s)
=
è +(a ,o<)s
2
+
Kraft der
gen,
Linearität
in der
Form
der
u
+
und
Die
Kenntnisse der Lösungen des
zur
Verfeinerung der
numerischen
ferentialgleichungssystem
gen und somit
torien bilden.
eine
sowie
für
die
für die
"Coast-Are"
(4z)
ist
es
somit
gelun¬
Zustandskoordinaten,
physikalische
Problems
können
zwei Methoden
schildern,
ohne Diskretisationsfehler
ausgezeichnete
(32.3)
.
Zeit
nun
die
anzugeben.
im weiteren
Integration der angetriebenen Phase herangezo¬
folgenden
(28)
+
^-Differentialgleichungen
(32) analytische Lösungen
Wir werden im
)s2c2(4z)
((§,£) -(«,*) -y-) s3c3
zugehörigen Lagrange Multiplikatoren
gen werden.
j3
2(a,
Basis
zur
Integration
zu
von
welche
das Dif¬
integrieren vermö¬
"low thrust"
Trajek-
29
-
5.
-
INTEGRATION
NUMERISCHE
(verfeinerte Techniken)
Sowohl System
(9)
stellen die
terraum
bige £rten
von
Von besonderem
fur
thrust)
bei welchen
(In
Anwendung gelangen.
zur
Kategorie
diesen Fallen wird auch der
Forderungen nach
(u,
vorgeschlagene
Antnebsmotore
)
S
kon¬
erfüllt sind.
-
Formalismus
(low
mit kleinem Schub
den kommenden Jahren durfte
Antrieben der Ionenmotor
von
Parame¬
im
Bahn fur belie¬
zeitoptimalen
Ausstromgeschwindigkeit
sich der
erweist
Raketenmissionen,
dieser
treter
Interesse
einer
sofern die
dar,
Massendurchsatz und konstanter
stantem
aber
notwendigen Bedingungen
Raketenantriebs motor en
(27)
System
auch
als
physikalischen Raum,
im
als
einsatzbereit
Ver¬
eu
werden).
In
Betrag der Beschleunigung
Schubbetrag
w
=
Totalmasse
momentane
kleine
eine
Grosse
sein
und kann somit fur die
Differentialgleichungssysfemes (27)
dabei
vermerkt,
dass der Storparameter
w
gungen
physikalischen
im
Erscheinung
Wie
im
Raum
nur
er
in
(27)
System
im
als
Gleichungen fur die Zustandskoordinaten,
gemultiplikatoren auftritt, wahrend
mathematische
des
Behandlung
Storparameter aufgefasst werden.
als
auch
den
in
Gleichungen
Es
sei
den
in
der
Lagran-
notwendigen Bedin¬
der Darstellung der
in
sowohl
Gleichung der Zustandskoordinaten
der
in
tritt.
vorigen Abschnitt gezeigt
fur
Differentialgleichungen
und
u
lytische Losungen anzugeben.
wurde,
B_
ist
im
Aus dem
es
wegen der linearen Struktur der
nicht-angetnebenen
Auftreten
eines
Fall
möglich,
ana¬
und der
Storparameters
Existenz
geschlossener Losungen des ungestörten Problèmes (Coast-Phase) ergibt
sich
nun
die
(Wir
verzichten
einzugehen,
(
27
darauf,
die
in
welche sich
ist
Detail
fur die
zur
vorliegenden
auseinandergesetzt
numerischen
-
Arbeit
der numerischen
des
und verhalt
und beschranken
im
zu
verbessern.
auf die wesentlichen
Vorteile
Integration des regulären Systems
singularen Systems
Zustandsgleichungen
Multiplikatoren analog
niken
numerische Integration nochmals
der
aus
) gegenüber derjenigen
komplex
im
Möglichkeit,
Buch
(
9
von
) ergeben
St îef
-
dieser
el/Sche
if
e
Fragen¬
le
([3])
sich fur die
Gleichungen der Lagrange
auf
über verfeinerte
uns
Angaben
Integration des regulären Systems).
Tech¬
30
-
An die
dass
als
der
in
sie
Folge
zipiell
zwei
a)
untersuchenden Verfahren
zu
das ungestörte
"exakt" bezeichnet
-
integrieren.
Zur
die
geforderte Eigenschaft hat
(32)
exakt
eine
Der
Die beiden
Fur die
Form dient
Möglichkeiten
Modifizierte
die
Transformation des
Zieles
können prin¬
1)
h.
2)
w(t)
>
im
folgenden
und
Adams-Moulton
vom
Typus
Forderung Genüge
£
=
dass
(
29
)
Stiefel
von
modifizierten
und
Bettis
Koeffizienten
Differentialgleichungssystems
kurz
Variation der
Konstan¬
skizziert.
Adams
-
Bashf ort h
Methode
folgenden Voraussetzungen gelten
(konstante,
const.
Voraussetzungen und
mit der
Differentialgleichungssystem
kleine
Einfuhrung
(27)
die
auf
leistet.
(elliptischer Fall)
o
=
gewählt werden,
so
die klassische Methode der
werden
Klarheit der Resultate wegen sollen die
nimmt das
diesem Sinne
Variablentransformation
unserer
entwickelten Differenzenverfahren mit
gewünschte
Unter diesen
soll
soll durch
entsprechende Integrationsmethoden können
([11], [12])
5.1.
in
und damit Lösungen
gebracht werden, welche
Form
herangezogen werden.
ten.
-
integriert
b) Das Differentialgleichungssystem
auf die
Forderung gestellt,
die
Erreichung dieses
Methode der numerischen Integration
resp.
Als
sei
Problem ohne Diskretisationsfehler
Wege eingeschlagen werden:
Die
sie
-
Beschleunigung)
von
folgende
Gestalt
an:
31
-
u"
0J2u
+
-
-|-Q
£
=
(33)
ff"+W26'=u
*h
und
=
Q
=
P
=
^>
/ T(u)
"Coast-Arc"
Lösungen vorliegen
=
c.
W(s)
=
const.
t(s)
=
(c,
=
(c_
6h(s)
=
Verallgemeinernd
=
(St
Solche
îef
is
[11] )
+
\
konnte
c.smws
(c,-cos2ws
c12s+c13s2)
+
3 u'
gezeigt werden, dass analytische
£gS) (£gcosws
c-gs) (c,6
werden,
+
fur
/ an
+
+
cfisin2Ws)
i"id\
£10sinws)
+
cos2ws
+
c.._sin2ws)
.
Funktionen können
el/Bett
+
(c..
kann gesagt
(Polynom)
sind.
+
const.)
+
c.s)
+
(cn
+
(c
cosws
d
ds
Strukturen haben
folgenden
u(s)
B(s)
-=-
u
(£= o)
Problem
und die
(
an
3
Fur das
£P
+
dass die
(Polynom)
nun
aber
•
mit
Lösungen
von
der Struktur
(Fourier Polynom)
dem
von
Stiefel
und
die Cowell Methode entwickelte und
von
Bettis
Bettis
32
-
([12] )
fur die
Stormer,
terten Verfahren der
dieser
Anwendung
Effekt
Adams-Moulton und
auf das
gestörte System
hat
einen
vorliegenden
verweisen
Technik
die
sei
Problem
wir
Beispiel
am
auf die obenzitierten
die numerische
Methode
einer
6.ter
Ordnung
eines
und
am
Herleitung und Diskussion
(
Integration wird das Differentialgleichungssystem
modifizierte
die
Bashforth Differenzenmethode darauf
Integration
Standpunkt
vom
Arbeiten.
System 1. Ordnung geschrieben und
Fur die
Eine
aus.
Fur die detaillierte
geschildert.
erwei¬
stabilisierenden
auf die numerische Integration und erbringt somit Vorteile
folgenden
Fur
Adams-Bashforth Methoden
Koeffizienten exakt integriert werden.
modifizierten
Methode
Genauigkeit (und damit der Rechenzeit)
der
Im
-
Adams-Moulton,
33
)
als
Adams-
angewandt.
Differentialgleichungssystems 1. Ordnung
dy.
f(y,t)
dt
ist
6
h-y0
-
o
h-XVkf(p-y
(34)
k=o
eine
gebräuchliche Integrationsformel
die gewählte Schrittlänge und
stellt
(34)
die klassische
A
Adams-Bashforth Methode,
sche
Koeffizienten)
aQ
1
4
=
-
Methode 6.
einer
/
f lp-
k
—1
\
die
k-te
Adams-Moulton Methode
sche
Adams
k
wobei fur
die
<X
Ordnung (dabei
Differenz).
dar,
die
fur
Fur
p=o
sei
h
p =1
die klassi¬
folgenden Werte (klassi¬
einzusetzen sind:
Mou Hon
Methode
(AlM)
1
~
2
720
«2
*5
1
-
"
12
27
=
1440
*3
%
=
"
_1
24
863
-
60480
(35)
33
-
(AB)
Adams-Bashforth Methode
CKQ
*,
1
Blick auf
(*>
-
CK.
251
u
720
(34)
lasst
_475_
5
=
dass
=
6
im
'
v(36)
19087
a
1440
—
24
3
'
60480
wesentlichen drei
Typen
Sie
von
seien
im
Funk¬
fol¬
separat behandelt.
-
Gleichungen
schen Methoden exakt
u
OC,
—
12
erkennen,
Im ungestörten Fall ist
b)
=
2
Losungen des nicht-gestorten Problèmes auftreten.
als
genden
a)
=
=
4
Ein
1
2
«
tionen
=
-
und
t
-
einer
Integrations-Koeffizienten
Funktion
Werte
vom
und
Die
t
P.(t)
ein
fur
CK
-
CK.
) ermöglicht
+
acos|3t
+
bsinßt
die
(unter
exakte
Beibe¬
Integra¬
(37)
,
gewöhnliches Polynom vierten Grades
Gleichungen
CK
und
C<
Typus
P4(t)
wobei
Konstante und wird somit durch die klassi¬
integriert.
haltung der klassischen
tion
eine
Gleichungen
Modifikation der
Eine
W
fuhrt somit diese
Modifikation
modifizierten Koeffizienten werden auf
zum
Grund der
rechnet:
Fur
p
=
6
und
q
=
5
p
=
5
und
q
=
6
und
in
t
sei.
Fur die
gewünschten
u
Ziel.
folgenden Relation be¬
34
-
-
gilt
4
6
k=o
Dabei sind die einzelnen Grossen
folgt definiert
wie
ß -h
4sin
b
R~
m+11
S
,
2 6~
=
v
-
-S
m
=
p
Fur die
-,
m-1
Adams-Moulton Methode
F*
K
m
=u(S
v
©
cos
u(R
m+1
Fur die
er
sin
.
ju (u)
,);
m-1'
Die
6"h
"
-w*(u)R
r v
q-1
.
ungestörten Losung fur
=
/i*(u)
+
6_
und
4
1
und <X„
CK.
5b
wobei
c*v
(und
und
6,
sind
vom
PjUMacosßt+bsmßt)
Solche Funktionen können mittels den
werden,
.
Gleichungen
P2(t)
<X.,
'
gilt
R
und
=o,
o
Adams-Bashforth Methode gilt
p;
_5
S
'
vier
aus
der
(39)
.
modifizierten
den klassischen Werten fur
ocfi
Typ
folgenden
oc
-
Koeffizienten
or
o
Formel
ä
zu
)
exakt
ör,,
integriert
bestimmen
sind:
35
-
F
d
K
Oi
(u)
F»
J
du
P
Für die
P
+
-
P
=
5,
6
Adams-Moulton Methode gilt dabei
Kg
Kg
o
=
=
(l-2u)«6
R4(u) ^(u)
•
F6(u)
=
2u2
R2(u)|i(u)
F5(u)
und für die
2u
Adams-Bashforth Methode gilt
1
Kg
Kg
j
=
=
(l-2u)*6
Hg(u)p(u)
D
2u3
R4(u)
F.(u)
=
5
und
ju(u)
2
»
U2
definiert ist durch
4
*
u(o)
rv
Koeffizienten
iY,
und
1
*
nfiil
^l
Die
-u(u)
—
-
=
-
L
sur22r6
esinScosi?
—
12
sind für die
«.
r(U>
Adams-Moulton Methode mit
R2(u)u(u)
-
^
2u
(40)
36
bestimmt durch
«4
=
2u«5
(3u
-
-
2u)Of6+^(u)
(41)
CX%
=
(u2-2u)ä-5
+2(u3
+u2)#6
u(u)
+
+
(l-2u)^(u)
.
du
Fur die
Adams-Bashforth Methode gilt mit
-
y
0
(U)
<X
a3
=
I
-Ë_
+
=
=
R4(u)u(u)
2u2
du
2
-2u«c-(3u
(u2
2u) £X5
-
+
-
2u)ä„
+
2(u3 u2) Äg
-
V-(u)
+
(1
-
2u)
v-
(u)
R2(u)u(u)
2u
du
Numerische Experimente
Als
Illustrationsbeispiel
sei
das
2-dim.
Problem mit den
folgenden Anfangsbe¬
dingungen
Uj(0)
m[(o)
ff^o)
=
1
u2(o)
=
0
u2(o)
=
1
G2(o)
*J(o)
und einer Schubbeschleunigung der
£
gewählt.
=
0
62(o)
=
0
=0.5
=
0
=0.5
Grosse
resp.
£
=
1.0
+
10"
37
-
wurde gleich Eins gesetzt und die
K
-
negative Keplerenergie
nimmt damit
den
ausgeführt,
mit¬
Wert
k
2
an.
auf der CDC
Die Berechnungen wurden
tels
eines
Fortran
METHODE
Com
Fall((
=
Zürich
DER MODIFIZIERTEN
1
Ungestörter Fall
KOEFFIZIENTEN
INTEGRIERT
DIE
COAST PHASE
EXAKT
0.0)
S=lr
al
""2
Analytische Losung
Klassische Koeffizienten
3
1415926535898
3
1415926529048
3
1415926535897
0000000000000
2
9999999831058
3
0000000000000
0
5000000000000
0
5000000109346
0
5000000000000
1
5707963267949
1
5707963264524
1
5707963267949
Einerseits wurden die
(29) berechnet,
Wir erkennen
zienten den
Modifizierte Koeffizienten
3
h
sen.
-
Programmes (double precission).
Tabelle
DIE
6500 der ETH
einzelnen Grössen
mit
=
64
h
Hilfe der analytischen
andererseits einmal mittels der modifizierten
aus
den
Resultaten,
=
64
Lösungen
Koeffizienten.
dass die Methode der modifizierten Koeffi¬
gewünschten Effekt hat,
nämlich den
ungestörten Fall
exakt
zu
lö¬
38
-
Tabelle 2
Angetriebene Phase
-
-
Vergleich klassische Koeffizienten/modifizierte
Koeffizienten bei verschiedenen
INTEGRATION
MITTELS
MODIFIZIERTEN
1 Umlauf
"
Schrittlängen
KOEFFIZIENTEN VERBESSERT
UM
Cr
1
DREI
DEZIMALEN
...
2
Referenz Lösung
1.0001540358832
-12.56649707650734
30
Schritte
60
Schritte
90
Schritte
120 Schritte
KK
1.0001331632068
-12.56650232214408
MK
1 .0001540886397
-12.56649697921119
KK
1.0001538744704
-12.56649715763316
MK
1.0001540366582
-12.56649707498835
KK
1.0001540265302
-12.56649708214380
MK
1.0001540358316
-12.56649707648208
KK
1.0001540346377
-12
MK
1.0001540358622
-12.56649707650449
KK:
Integration mittels klassischer Koeffizienten
MK:
Integration
mittels modifizierter Koeffizienten
Aus den Resultaten kann geschlossen
ten
Koeffizienten
Dezimalen
die
56649707732420
zu
im
Vergleich
Methode der
dass
die
klassischen Methode
zur
Bei
verbessern vermag.
gleiche Rechenzeit aufgewendet.
dererseits die
werden,
Methode der modifizier¬
um
Bei
vorgegebener Genauigkeit
modifizierten Koeffizienten im
schen Methode die Rechenzeit
um
durchschnittlich drei
gleichen Schrittlängen wird dabei ungefähr
vermag
Vergleich
ungefähr die Hälfte herabzusetzen.
halten ändert sich nicht bei verschiedenen
Schrittlängen.
zur
an¬
klassi¬
Dieses Ver¬
39
-
Tabelle 3
Mehrere Umlaufe
der
in
-
angetriebenen Phase
der modi¬
Anpassung
-
fizierten Koeffizienten
LAUFENDE
Toleranz
ANPASSUNG
DER
ERGIBT
SIGNIFIKANTE
KEINE
VERBESSERUNG
Limite
(|^| w2|"eLimrte)
Ohne
KOEFFIZIENTEN
"2
°"1
Anpassung
1
0391 851 1 37LL3
-62
81374932653J
5 Umlaufe
0
001
1
0391851137193
-62
83374932653J
0 Neuberechnungen
0
0001
1
0391851137358
-62
8337493265U
4
0
00001
1
0391851137413
-62
833749326502
2
1001722878347
-188
507928035284
Ohne
Anpassung
Neuberechnungen
37 Neuberechnungen
15 Umlaufe
0
001
2
1001722878987
-188
507928035186
1
Neuberechnungen
0
0001
2
1001722881679
-188
507928034322
16
Neuberechnungen
0
00001
2
KOI 722882022
-188
507926034207
112
Neuberechnungen
Aenderung bez kleinste Toleranz
\ ertrauenshmiM
Die
modifizierten Koeffizienten sind durch die Grosse
In der
abhangig.
se
W
eine
zierten
Die
Empfindlichkeit
griert,
Phase
Funktion der fiktiven
Koeffizienten bei
tersucht.
den
angetriebenen
Das
Zeit.
die durch die
Somit
mussten,
jedem Integrationsschritt
auf die
Neuberechnung wurde
Illustrationsbeispiel
und die
ist
modifizierten
Koeffizienten einmal
übrigen Fallen jeweils nachdem der Betrag
plikatoren,
dass der Einfluss der
und dass
Tabelle
Anpassung
die fortwahrende
grenze
liegt,
keinen
signifikanten Einfluss ergibt.
neu
im
——
3
nur
der
Energie
theoretisch,
die
modifi¬
berechnet werden.
vorliegenden Experiment
nur
von
von
Energie bestimmte Grös¬
über 5 resp.
wurde dabei
vorgegebene Toleranz geändert hatte.
6=
W
am
15 Umlaufe
Anfang berechnet,
sich
um
mehr
un¬
inte¬
m
als die
zeigt anhand der Lagrange Multi¬
knapp ausserhalb der Vertrauens¬
Anpassung, fur das vorliegende Beispiel,
-
Eine
den
wichtige Alternative
Abschnitt
zur
(
44
)
werden,
und somit das
auftritt
mittels
dass
der
geschilderten
Numerische
an
2ws
Stelle der variablen Frequenz
Anpassung entfallt.
Methode
gegenüber
W
eine
mehrere
Kon¬
Um¬
:
Experimente haben ergeben, dass die Vorteile der Methode der
Erscheinung treten:
in
Fur
empfehlen.
modifizierten Koeffizienten besonders
nigungen
.
Integration des (im folgenden hergeleiteten) Systems
somit
eine
=
Problem der
wir
Allgemeine Bemerkungen
1.
folgen¬
im
geschilderte Transformation der unabhängigen Variablen durch
Damit kann erreicht
laufe wurden
-
Anpassung der Koeffizienten bildet die
E
stante
40
der
Methode
ausgeprägt bei sehr
ist bei
z.B.
£
=
1
10
mit klassischen Koeffizienten
kleinen Beschleu-
-9
eine
um
Verbesserung
6 Dezimalen festzu¬
stellen.
Kein Unterschied kann mehr
2.
Im
Fall
ten
über
von
in
merischen
der
die klassischen
eine
u-Raumes.
=
1
.
10
_3
.
Koeffizienten.
Ellipse des
Beide
Die
KS
x-Raumes
Fakten
zusammen
-
in
Transformation
eine
anderer¬
hoher-exzentrische
ergeben die folgenden
nu¬
Auswirkungen: Signifikante Verbesserungen mittels der Methode
modifizierten Koeffizienten lassen sich bei schwach-exzentrischen
torien feststellen.
so
£
parabolischen Anfangswerten gehen die modifizierten Koeffizien¬
seits transformiert
Ellipse des
festgestellt werden bei
Wird die Exzentrizität
im
gehen die Resultate der beiden Methoden
x-Raum
sehr
grosser
als
rasch ineinander
Trajek-
0.7,
über
41
-
5 2
In
Elementengleichungen
Anlehnung
an
folgenden
im
damit
ieren
tion
die klassischen Methoden der
"Elementen"
unter
Phase der
ten
Mission
wir
Im Falle
eines
werden solche
Grossen nahezu linear
Verfeinerung
zur
(und
schwachen Schubes
der
numerischen
vari¬
Integra¬
herangezogen werden
als
neben der wesentliche
dingungen
die
auch fur die
Vorteile
auf
Vorgehen
besteht
im
tialgleichungssystem
(27)
sowohl fur die Zu-
Damit
Transformation der
den regulären
m
aus
einer
Konstanten) derart,
durch
erlaubt die Trans¬
ein
ergibt sich
notwendigen
zu
erreichen.
Variablentransformation
dass das
solches ersetzt
Be¬
(u, e)-Formalis¬
Stabilisierung der Integration
wesentlichen
Variation der
(u, 6)-Raum
Elementengleichungen
erbringenden
weitere
eine
im
Lagrange Multiplikatoren.
singularen (x, A )-Formalismus
im
Möglichkeit,
Methode der
Optimierungsproblemes
Differentialgleichungen
standskoordinaten,
im
Konstante sind.
und können damit mit Vorteil
formatton der
mus
Himmelsmechanik verstehen
Grossen, welche wahrend der nicht-beschleunig¬
Beschleunigung)
kleinen
einer
Die Formulierung des
Das
-
(der
ursprungliche Differen-
wird,
dessen rechte Seiten
ungestörten Fall gleich Null sind
Auch fur das
folgende
soll die
Annahme
w
gelten, und
es
sei
rechten Seite des
schranken
uns
auf den Umstand
Systems
deshalb auf
(27)
£
=
const
hingewiesen,
nur
Angaben
=
unter dem
von
dass die
Term
£
Grosse
6.
vorkommt.
auf
der
Wir be¬
Elementen fur die übrigen Grossen
42
-
a)
Elliptischer Fall:
Wir
gehen
aus
vom
h,
-
o
>
Differentialgleichungssystem
u"
W
W2u
+
£
=
Q
~
-£-^-(Q)u1)
=
2W
-
—
(42)
£."
+
W2Jg.
und führen in einem ersten Schritt eine
+
u
=
neue
£ P
unabhängige Variable
genannte verallgemeinerte exzentrische Anomalie
E
-
die
so¬
ein.
wird definiert durch
E
woraus
sich die
(
,
43
d
„
=
2W
dE
d2
.,,2
—
=
4W
Ableitung nach
d2
dE2
E
mit
unabhängigen Variablen
,,,dw
+
ds2
neuen
s
folgenden Ableitungsformeln ergeben:
d
Wird die
2 W
=
ds
der
-
E
*
E
4W
.
dE
bezeichnet,
das
d
so
dE
ergibt sich für
folgende System:
(42)
in
)
43
-
-
(44)
1
2W
Mit dieser
dass
den,
len
W
schen
1
1,1
1
*
4_
~
4W2
4W2
-
W
-
~
Variablentransforraation konnte als wesentlicher Schritt erreicht
auf den linken Seiten der
ein konstanter
Faktor
und
u
g_-
(konstante Frequenz
auftritt
—
wer¬
Gleichungen anstelle des variab¬
des harmoni¬
—
Ozillators).
Analog dem vorangehenden
für die Coast
Phase
(£
=
W(E)
=
a cos
W
«K
=
=
const.
—
=
[
c
\
-—
4W2
I"
Auf dieses System werde
(|a|2 +1 b |2
)
(45)
E
-
'
^j((l.b)cosE +|(|a|2-|b|2)sinE)
"
6(E)
F
b sin—
+
—
4W
-
geschlossene Lösungen
werden und sie lauten:
F
u(E)
t(E)
können auch in diesem Fall
o) angegeben
=
nun
)
'
cos
—
+
2
die Methode der
(
d
+
\-
—^—
4W2
|
;
Variation in
sin
—
2
.
folgender Weise
an¬
gewandt :
Das
System
(44)
werde als ein solches erster
-^z.
=
f.(z)+
Ordnung geschrieben
h.(z)
.
(46)
44
-
Die
Dabei ist
?
eine
Funktion der
1
Die
(£
Lösung des ungestörten Problems
S*
=
z(a, b,
18
c,
d,
-
=
o)
sei
\
und
es
gilt:
\®
=
(47)
Integrationskonstanten:
w,$)
z(c1(
=
Lösung des gestörten Problems werde
,
in der
nun
clg)
.
folgenden
Form
ange¬
setzt:
z
Eingesetzt
in
(46)
=
rr
-
=
wegen
(47)
c18(E)j
1
.
dZ
+Y,-r~\*
-
tri Bck
3s
woraus
,
ergibt:
dZ.
z.
z^CjtE)
MD
+
£hi©
folgt:
18
,~
3z.
Z-^Tck
k=l
Zur
-
£VI)
(i
=
9Ck
1
<«)
18)
Bestimmung der Elementengleichungen bleibt somit die Auflösung dieses li¬
nearen
Daraus
Gleichungssystems.
ergibt sich für
folgende System
von
unser
Problem,
in den
18 Differentialgleichungen:
Bezeichnungen
von
(45),
das
45
-
da(E)
,
-
w*è^)sinf
r
£"4^2
\
+
(49)
dk(E>
/
dE
V
r
£
TO
2
W
d$(E)
=
a*
1 b
•
cos E
(E
a
-
sin
+
)
E)
+
2W
+
+
1
*
b
~
[
2W
W*
cosE
a
b(E
-
( |a|2(E
4W2
1
/
+sinE)
+
a*
——
4W2
W*
2
*
W
(1
I
2W3
cosE)
-
2W2
\
+
a*
—-—
4W2
+
W*
—^-r2W3
|b|2
(1
a
1
-
(E
I
\
+
a
Z
—-—
cosE)
(E
-
SinE)
-
+
b
(E
(E
-
-
sinE)
sinE)
6*\cos|.
sinE)
(E
E
/
4W2
W
"
\
b*
+
.(.e_i^P+w*2
dE
+
+
j
E
cos
*
2W2
\
sinE) 1
-
\
-2([ab)
d(E)
2
(Q,u*)
dE
d
COS-
I
-
2W
dE
dE
E
1
£
d£.(E)
\
*
W*-rU*
+
a
4W2
dW(E)
*
~
+
sin
I
2
b* —i— (1
4W2
E)
-
b
(1
+
+ cos
cosE)
E)
46
-
Aus diesen
die
Elemente
(
45
)
stem
dass
erkenntlich,
ist
Zustandsvektoren und
Die
in
(
obigen Differentialgleichungen
unserer
Definition
Lagrange Multiplikatoren
Funktionen dieser Grossen
als
der nicht-angetnebenen Phase
und d Konstanten und damit gemäss
b, £
sind
explizit
stem der
Der
Gleichungen
Grössen a,
-
49
dargestellt und
sind
mittels
ist das
somit
) vollständig aequivalent
Sy¬
dem Sy¬
(44).
Vollständigkeit halber
merkung
Anfang
am
Relation
zu
dass
erwähnt,
sei
(wir
werden kann
gefunden
Element
Abschnittes).
dieses
6.
auch fur
verzichten darauf und
Wir
empfehlen
entsprechendes
ein
erinnern
Sn
fur
die Be¬
an
die
folgende
gebrauchen
<V
=
(6T, u)
—
n
4
.
Bemerkungen
1.
Analog dem obigen Vorgehen
abhängigen Variablen
auftretenden
(Us)
2.
(2Ws)
allgemeinerten
der Form
resp.
Die
—
Formalismus
oben
eingeführten
Die
(9)
System
haben diese
im
des
E
in
der
E,
physikalischen
Teil dieses
notwendig und
te.
un¬
der
Die
Einfuhrung der
dass die
Argumente
ver¬
von
stabilisierenden Effekt
einen
solchen
s
in
Elemente, die
vorzuziehen.
basierend auf
eingeführt werden könnten,
vielen Umlaufen
um
verfeinerte
geschilderte
Integrations¬
Koeffizienten kann ebenfalls auf das System
unabhängigen Variablen
Vorteile
Raumes
Abschnittes
diesem Fall nicht
(44)
einem
der
nicht.
Koeffizienten
mit
hingegen
ist deshalb
der modifizierten
sion
hat
bewirkt,
in
Argument
Das
diesem Fall die Form
in
=W(s).
Elemente sind regular.
Eigenschaft
ersten
E
W
welche
werden,
in
technik mittels modifizierter
(44)
eingeführt
wobei
annehmen,
Exzentrizität
dem
3.
s
(27)
System
werden.
trigonometrischen Funktionen wird
resp.
und der
können auch fur das
Elemente
an
E
eine
wir
angewandt
werden.
sich verändernde
vermuten
deshalb,
den Zentralkorper die
gegenüber der Integration
des
Eine
Anpassung
Frequenz
dass bei
ist
einer
in
Mis¬
Integration des Systems
Systems
(33) erbringen
konn¬
47
-
4.
Das
System
(49)
Elementen ist beschrankt
von
elliptischen Charakters (h.
treten.
Auf
System
eine
S tief
o),
>
wie
werden
auf
welche fur
können,
wird
im
Variante der Berechnung des
interessante
el/Scheif ele
[3]
optimale Bahnenstucke
bei reellen Missionen
sie
Elementengleichungen,
von
Bahntypen verwendet
chen
5.
Ein
-
auf¬
folgenden angegeben.
Zeitelementes
Anstelle der
hingewiesen.
häufig
alle drei mögli¬
ist
in
Integrationskonstan¬
ty1 wählen die Autoren den linearen Teil
ten
t-=^+^(|a|2 |b|2)E
+
als
Element und setzen fur den gestörten Fall an:
neues
T
Die
=
-^8W3
Allgemeiner
Fall
Forderung,
dass
Die
de
nun
<T(E)
.
entsprechende Elementendifferentialgleichung lautet dann:
T*
b)
=
h,
>
fallen gelassen und
+£_i-(u,Q)-W*4-(u,u*).
8W3
o
W
und damit der
sei
elliptische Fall vorliege,
parabolische und hyperbolische
wer¬
Bahnen miteinbezo¬
gen.
Das
in
Differentialgleichungssystem
der
unabhängigen
Variablen
s):
(
27
) werde
wie
folgt umgeschrieben (wieder
48
-
u"
+
<?*
u
?£
+
Sh'
(50)
(u,u)
=
£"
£ Q
=
-£Qp
=
f
-
££
".+
=
\^S)
"
wobei
<j
9
Q?
p
;
=
Ausgehend
-
gelingt es,
Funktionen
=
mittels der
angewandt
±JL
=
u
/a
a
\ 3
u
und die
Grösse
\
z
2
mes
werden im
gestörten Fall
des
a_,
zu
_g_, $, y
s
-
Formalismus
sei
„
=
"Coast-Are"
Konstanten,
Pro¬
Elementen¬
Stumpft'sehen
der
gegeben durch
2
?s
2
durch die
(32)
Methode der Variation der
Auch hier sei der
Integrationskonstanten
const.
(Q, u»)
-
^"s
Die 18
=
diesem System und den Lösungen
von
gleichungen aufzustellen.
c
w
=
§/*«(£
8
blems
£
,
J£
und
5_
des
"Coast-Arc"
abhängigen Elementen,
folgenden Differentialgleichungen beschrieben wird:
Problè¬
deren Verhalten
49
oÇ
=
8 Q- A
+
£•
=
£ Q-D
+
$'
=
2
(#',£
(J3>,
+
2
+
T
»•
=
=
=
££
=
B -«[C +s]
oo
•
A -«'
y(5f-B
<?'(^E
-
4G
-
C)
+
(ûf,o<)C
+
+
•
B
-
£'
•
C
+
S-C-«-2I-_g_-4K)
-
^B
E
-
+
£'B
£•
F
+
+
J3-
2H)
-
s
c1(z)
F
=
s3/c2(4z)
-
G
=
s4/c3(4z)
-
H
=
c0(z)
I
=
|(l+Cl(4z))
K
=
=
-
s2c2(4z)
C
=
-
2
=
•
+£•
+
-
B
E
B
)
((£.£) («.*)?)4K
6P-D -ff'
+
A
C)
6Q^
+
5,'
+p-
y(ÇX-E -£-B)
(Of. g.)
+
?'
<j>'(ö<-B
-
s3
c3 (4z)
cn(z)
k
Z^)1
k^o
c3(4z)\
2c4(4z)j
s4(c3(4z) 3c4(4z)j
-
s4
^c3(4z) c4(4z)j
-
s5/c4(4z) 3c5(4z))
-
z
<2k + n>!
50
-
6.
BEMERKUNGEN
-
ZUR
LOESUNG
DES
OPTIMIERUNGSPROBLEME S
Laufe der
Im
Coast
den
Arc
kann,
sene
vorangehenden Untersuchung
Problem
und dass
in
konnte gezeigt
vollständig linearer und regulärer
zudem
eine
Losung angegeben werden
werden,
Form
dass das
aufgestellt
kann.
Aufbauend auf diesen Resultaten haben
wir
angetriebenen
sowohl das Verfahren mittels
ter
Koeffizienten,
schaft
haben,
den
Für
le
Phase
beit
als
auch das
Coast
Arc
wobei
Verfahren der
der
sich
der
aus
verwiesen.
Wie
gezeigt wurde,
anhand
von
sich darüber
ergeben
Benutzung
hinaus
Integrationsverfahren zusätzliche Vorteile.
Im
Prinzip
scheint
uns
sind die beiden
jedoch,
aus
der
modifizier¬
die
Verfahren mittels
programmierungstechnischen Standpunkt
über dem Elementenverfahren der
von
regulärer anstel¬
[ 3 ]
und
Laufe der
Ar¬
sei
im
auf
Anwendung
verfeiner¬
wir
aus
modifizierter
Koeffizienten
uns
ausschliesslich der
Form und der
Behandlung
Die
eigentliche Losung des Optimierungsproblemes bedarf der Auflosung
die
Anfangszeit
eine
Mannigfaltigkeit,
Bahn beschreibt.
in
Die
Endbedingungen
Mittels
so
Geschwindigkeit auf
Anfangswerte
zur
Werte fur
dass
bei
die
der
einer
vorgegebenen
Lagrange-Multiplikatoren bestehen
Integration des Systems
die
werden bei beliebiger
Iterationsverfahren,
geändert werden,
eines
Dabei sind normalerweise fur
Geschwindigkeit gegeben, fur die (freie) Endzeit
Ort und
Aussagen, und
ersten Schritt
mit
Raketen-Optimierungsproblemes zugewandt.
Randwertproblemes.
welche
Ueber die
normalerweise kerne
einem
eines
der Ort und die
vom
Vorzug gegeben werden sollte.
notwendigen Bedingungen
Zwei-Punkte
Es
einfacher ist und ihm deshalb gegen¬
der
nicht-linearen
Eigen¬
angegebenen Integrationsverfahren gleichwertig.
dass das
Untersuchung haben
Integration der
integrieren.
zu
numerischen Experimenten
ter
In der
zur
Elementengleichungen
Abbrechfehler
Problem ohne
allgemeinen Aspekt,
Methoden
zwei
singularer Differentialgleichungen ergebenden Vorteile,
von
[10]
das
angegeben,
wer¬
analytische und für die drei Bahntypen geschlos¬
Multiplikatoren beliebig
(27)
sind
zu
wählen.
Wahl normalerweise nicht
welchen die
erfüllt
so¬
sein.
Anfangswerte fur die Multiplikatoren
Endbedingungen
besser
erfüllt
sind,
wird nun,
bis
51
-
-
(Verschiedene
Erreichung der gewünschten Genauigkeit weiterverfahren.
zur
thoden sind
in
[ 13 ]
miteinander verglichen.
menhang auch auf die Bemerkung
jedem
Bei
Iterationsschritt
am
müssen
Wir verweisen
Schluss
vorgegebenen möglichen Endwerten verglichen
scheint
uns,
wird mit Vorteil
Rucktransformation
Die
hungen
sich dabei
ergibt
die
erreichten
werden.
x-Raum und nicht
im
KS-Transformation
der
Abschnittes).
dieses
Zielgebiet
im
in
in
Me¬
diesem Zusam¬
Dieser
im
direkter
Werte
Vergleich,
u-Raum
Weise
mit
aus
den
so
durchgeführt.
den
Grundbezie¬
:
x
=
x
=
/ (u)u
und
Von besonderer
schen
keit,
deren
Zeit
am
Wichtigkeit
Endpunkt.
verfeinerte
ist
Die
eine
.
möglichst genaue Berechnung der physikali¬
KS-Regularisierung
Integrationsmethoden anzuwenden
bietet
-
hier
eine
nun
die
Möglich¬
Option, welche
bei
an¬
vorgeschlagenen Regularisierungen nicht besteht.
Ausserhalb des Bereiches dieser
Struktur
der
Arbeit
nichtangetnebenen Phase
herangezogen werden kann.
re
2^(u)u'
Möglichkeit
zur
Wir
Untersuchung
liegt die Frage,
zur
glauben,
öffnet.
Behandlung
dass
sich
an
des
inwiefern die
lineare
Randwertproblemes
diesem
Punkt
eine
weite¬
-
52
-
ANHANG
1.
Stumpff'sehe
c
Funktionen
-
Unter diesem Namen verstehen wir die
k
cn(«)
2>1):
=
k=o
Diese Funktionen
komplexen
sind,
kraft der
Ebene definiert.
Funktionen
z
n
=
0,1,2,...
(2k + n):
Konvergenz der Potenzreihe,
Daneben
gilt, dass
die
in der
Funktionen für
ganzen
reele
z
reell-
wertig sind.
Im
folgenden
seien
einige Relationen der Stumpff'sehen
Formulierung der Resultate gebraucht wurden,
auch auf
a)
[3]
c
o
(z )
,
c,(z
1
2>
)
mit
=
cos z
sin
z
=
1
,2,
>
,
=
2.
=
c4(z )
=
)
cos z
~
COSZ-11--2-
2
c5(z
-
"I—
z-sinz
)
c3(z
Funktionen, die
zusammengestellt (wir
=
c1(-z
)
=
c2(-z
)
i
c,(-z
/
c4(-z
-V-T
=
c0(-z2)
c5(-z
Chz
Shz
z
2.
)
2.
)
)
zur
verweisen
trigonometrischen Funktionen
z
C2(Z
-
[9] ).
und
Zusammenhang
c
Chz-1
z2
Shz-z
Chz
-U+^-
Shz
(•4:
53
-
b)
-
Differentiation und Integration
Aus
d
s
ds
k
)
cn(^s
Z<-"kf
2k+n-l
k
s
(2k + n-l):
k=o
folgt
_d
L
ds
Für
n
sn"lcn-l(?s2)
sncn(?s2)
gilt
o
=
d
co<?s>
ds
-ys
l
de»
=
3
c
(
2
p s
nvJ
(z)
c
,
n-lv
dz
)
'
)
cn + 2(z)- cn + l(z)
n'
dz
2z-
c^ys
folgenden Rekursionsformeln
Im weiteren gelten die
dcn(z)
•
n c
-
'
dz
de
d$>
dz
(z)
nv
'
n
9f
_(z)
nc
_
n +
4?
L
cn.j(z)
-
'
2x
-
n
c
(z)
-,
n+1x
cn(z)
'
54
-
-
2) Integration_
S
jVncn<y«r2)d<r sn+1cn+l(?s2)
=
o
c)
Weitere Relationen
cn+2<z>
c2(z)
CQ(z)
co2(z)
zCl2(z)
+
zcj(z)
-
1
=
c^zjc^z)
c2(z)
ïïcn+l<z)+ï
=
=
-
=
=
=
1
CQ(4z)
2zc2(4z)
c^iAz)
2c2(4z)
cQ(z)
+
zc2(z)
c.(z)
+
zc„(z)
=
1
=
1
-
c
(s)
nw
+
—
n
c
n-
(z)
55
-
2.
für die
Herleitung der Formel
von
der
(32.1)
Lösung
Differentialgleichung
für die
6"
Die Lösung der
Zustandskoordinaten
für die
y
iL
homogenen Differentialgleichung
j£c0<?s
=
#
v
_,
6(s)
,.,,>
g (s)
c"(s)
'
b_K
£
=
=
y
s
.
ist
c
,„.2,
2x
>+i.'s-cl(?B>
_
.
1
2
.
sei
angesetzt:
nun
h
3
c1+Ts c2-Tsc3
s
—
ex
=
£2
«
s
s c
+
c, +
212°1
—
—
+
—
o
c„
o
-
•==
â
c0+
1
£
2
Partikularlösung
Die einzelnen Glieder kürzen sich weg,
aber nichts
z
+=-sc
\
£ 3
1.3
„/ °L 2
?\TS c3 +TS C2-Ts c3 j+«co
.
c
ß
+—se
c,
s
c,
2
2
s
0
£2
2
s
—
£
£
«
c
00
und durch Einsetzen der
ist
lautet die
:
—
Das
u
ÇLC^sVj^.s.c^ys2)
=
Partikularlösung mit homogenen Anfangswerten
Beweis
im Coast-Arc
Lagrange Multiplikatoren
+
£<s>
Als
Lagrange Multiplikatoren
(32.2)
Problem
Ausgehend
-
=
anderes,
? s3
(c2
.
bis auf
c3)
=
als die für die
=.
s
(co
.
=
C2
+
~
?
Cl)
c-Funktionen
1
C3
„
+£scl
-
Cl
+
Co
gültige Identität
56
-
Durch Linearkombination erhalten
£(s)
3.
STc
=
—
+
o
\
wir
Sa
-
nun
die
a
^s
+
-s
allgemeine Losung
â
2
Cl
3
(c„-c,)
u2 "-3'
+-—s
.
Herleitung der Elementengleichungen fur die Zustandskoordinaten und die
gehörigen Lagrange Multiplikatoren
dung der
Stumpft'sehen
Wir beschranken
Behandlung der
uns
auf die
und
u
c
S_
-
uniformer
in
Darstellung
unter
zu¬
Verwen¬
Funktionen
Herleitung
Koordinaten.
im
2 dimensionalen Fall und auf die
Die
Herleitung des Zeitelementes
ver¬
lauft analog.
1.
Schritt:
Das
Differentialgleichungssystem (50) wird
nung
al,2
J7,8
'9,10
lautet das
=
ul,2
=
S
=
t
=
3,4
System
=
=
=
=
(J.
*7,8
1,2
=
System
erster Ord¬
geschrieben
Mit
z3,4
als
e;
(
50
.10
-
=
"l,2
P 1,2
?
r^
t:1,2
*1.
)
£10
=
-z^
+
£Q1
"Z5Z7+Z1
+
£P1
57
-
z4
-
"Z5Z2+£Q2
=
z10
-Z5Z8
=
+
Z2+£P2
£Q?
2.
Schritt:
Lösungen des Coast Arc Problèmes (Formeln
Die
(32))
werden
angeschrieben
zl,2
"
z3,4
"
+
al,2co
^,4
V s"cl
~al,2'
a3,4 co
+
s2
Z7,8
_
a7,8 co+ a9,10's'cl
al,2
2
Cl
a3,4T c2"a3,4T°3
s
~
z9,10
"a7, 8 a5
'
_
'
s
'
cl
3.
nicht anders
Schritt:
al,2 2Co
c.
-
=
c.(P
entsteht ein lineares
~
3 z
>z0
y^ia;
=
£Q,
iz„
z-ä
5»k
k.l
2
Cl
+
=
«
2
s
)).
Methode der Variation der
ten
oo
al, 2
^^T0!
geschrieben gilt
(48))
+
s
+
Durch Anwendung der
mel
a9,10 co
+
S
+
(Wo
+
s
S
+
+
Gleichungssystem
Konstanten
(For¬
in den Elemen¬
58
-
00
-
-\~
dz,
Z"^^
k=l
Im einzelnen
»...
3ak
ergeben
sich daraus
3c,
3co
£Q1,2
=
a,
X
„
2
+
4,4
Co
a5
Cl
-al,2a5scl+a3,4co
s
s
+
+
a3,4
3co
g3
cl
s2
/
a5
+
al,27-i7
+
a3,4
£(tl £fi\
"
*n
d
\3a
2
+
+
'
I
\
dcl
S
•
a„
üa5
3c,
a7,8älf a9,10^-j
C„
3a.
5
+
+
7,8'o
a
! n
*9,10
•
C
wl
s2
s
=
"1
•
A
a5(-al,2SCl-al,2a5sT^ a3,4^
3co
£P1,2
äI7
a,
+
.
+
2
3cl
2
+
-
.,
+
,/
+
a,
[\
+
,,
o
(
ac
c,
•s•
•
=
•S•
+
+
ai
c_
•
0
+
ai,2T(cl+Co)+a3,4TCl
s/^1
3a5
5
a„
0
s
c,
+
a_
s
ä'*
'
3cl
-
s_2±L
,"o\.
3a5
3co
\
-—
2
+
aQ
\8\bcl+V3^; Ta9,103a5
-a7,8' Vs-Cl
+
a9,10-co
+
-—
Ta5
>
59
-
Schritt:
Das
-
Gleichungssystem wird aufgelöst und umgeschrieben
lineare
(i =1,2)
<x!
=
-scj
•
EQj
+
^co
{/ai(-co-^-"s
ß.
+
=
v£Qi
+
£ Q<?
y
cl- ?s
-sc
+
°
!l\
Pi
22
^cl
2
\
Cl-^-j
sc.
1
ö?
a?
+
(
l\
Of.
1
1
-
<?sc,
y
1
+ sc
3<?
c,
+ Q sc
y
ol
°3çi
MVc^-Co^)}
fi
=
-sc.eP^^-^-c^
3
/
o
'
I
s
3
„
3
s
2
-
PilXCl
+
+
s
—coc2
+
—co'c,
+
£Q^i(-cof-i-?s2^h
r
Ô•
/
M
sc,
1
3C1
9C0
sc
9i?
°
3?
,
+
+
60
-
6.'
=
£P.
c
/
<x'.(-<??-c? -?-ce. --ire2
i
!
2°i
4
4
2
\
4
SQ
I
o
«i(-?Tc
I3!
c
-
.
3co
3C1
2
3
Unter
+
+
+
"!
Schritt:
1
o
{ JTi(scoci ?sco-^-- ?sc2-^")
f.
5.
2
Pi(?TClC3"?l"ClC2-TCocl)
+
+
+
î
o
i
-
3^
°
,
à«,-
aCl
aCl
>c3
2
g4
o
2
3y
3c2
3c
j
c
3y
+
\
C_
g2
+
oaç
3c
1?I"ci"ây"?TCl"if "Tc°ly
Verwendung der Umformungsregeln der Stumpft'sehen
Funktionen werden die
Elementengleichungen
auf
kompakte
Form
gebracht
Wir demonstrieren das
Vorgehen anhand der Differentialgleichungen für
2
a[:
Auch im
folgenden gilt:
c.
-|-Cl2(fs2)
=c.(
Q s
2
),
wenn
=
s2c2(4$>s2)
nicht
anders vermerkt.
j£
:
61
-
s3/ 2
T\C1
p;
s3
2
I
3
C-
C
-
o
1
1
ss_
—
+ C
2
o
2
t:
,2
-
2
coc3
+
1
/ 2
le,
—
=
-Coc
-
\
c
+
o
C„
Q s
'
22
c,1
-
c
C
0
C.
1
+
2
it
c
nsl
o
c«
ol
fS*
l_L/l-cc,]
°
2
V
?S2\
"o
ïi
1
K-
os2
2
•c
22
-
s
c,
2s3c,(4ys2)
=
?
-
3
3cl
2
s
y
c,
-\2
!
2
-s2c2(4?s2)
o
s
c,
s3
Umformung der
verweisen wir
1
sc
ex.
und
ß.
-
bcn+1(z)
2s3c3(4ys2)
gehörenden Ausdrücken
in
=
£wk(
k
Hilfe
-
-
auf eine weitere Relation
acn(z)
Mit ihrer
l
a?
r
TIS" LCoCl
zu
c,
——
°
3ç
i
"2"
Zur
3
dc
*.-
=
l
2ak
+ an +
a-b
(2k + n + l)I
gelingt die Umformung folgendermassen
:
c
-
Funktionen
62
-
:
—
2
i
I
c,
1
\
's
+
dj
77T
acj
c
1
o
3?
2
i1+ci
4P s'
=
c,
/,
1
4
=
ac
3Cl
2/
«.
-
3^,
,
-2coci
»
(l+2c (4ys2)-2c1(4ys2)
-s4-J—
4PS"5
\
CD
=
,
-2s4V
fe
=
-2s4
3
Ü
.
ri
:
—
2
=
-
4
aCl
c,1
(
-4s5
3c
——
de,
°
3y
s5
(4
s2)2 I
L--Ps2)2
1
+
+ c
°
2
2
c
-4s5
3
-
zur
o
\
*
c,1
(4ps2)-3c,(4Ps2)
l
,
(c4(4z)-3c5(4z)J
Berechnung der übrigen
c
(3-4Ps2-c
Zusammenfassend ergibt sich daraus die
wird
ds
o
CO
=
=
<2k + 4>:
3c
c
(4P
=
'
(c3(4Ps2)-c4(4?s2))
i
\
(-l)k(2k
<4z>
3)
+
in
.
(52) aufgezeigte
Elemente verwendet.
Form.
Analoges
63
-
-
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[1]
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Motion based
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Bettis,
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Stabilization of Cowell's
Numer.
[12]
Bettis,
-
D.G.
Math.
Numerical
and
Integration of
ordinary Polynomials
Numer. Math.
[13]
Tapley, B.D./
Lewallen, J.M.
13,
Optimization
Journal of
1,
Products
421-434
Comparison of Several
Vol.
Method
13, 154-175 (1969)
(1970)
Numerical
Methods
Optimization Theory
No.
of Fourier
1,
1967
and
Application,
CURRICULUM
Am 3.
Basel
August 1941 wurde
geboren.
Gymnasium,
wo
Sohn
von
in Basel das
Walter und Maria Kocher-Joos
ich 1960 das Maturitätszeugnis
Hochschule
Nach einem
ein.
ich bei Herrn Prof.
Dr.
Diplom
Herr Prof. Dr. E. Stiefel
jahr 1970,
meine Kenntnisse
Heute
arbeite
Consultants,
in
in
an
bei
Zürich.
der
Firma
in
der
In der
Folge
Eidgenössischen
tätig war,
schloss
ich 1966
dazugehörige Diplomarbeit
Analysis
einer Assistentenstelle
Richtungen
Angriff
McKinsey
zu
&
führte
aus.
der ETH in der
anderen
vorliegende Arbeit
ich
in
Die
erhielt.
an
zweijährigen Unterbruch, während
ermöglichte mir, dank
angewandte Mathematik
Rahmen die
ab.
A. Huber
Institut für
sem
C
Typus
dem ich im Schweizerischen Studentenreisedienst
meine Basisstudien mit dem
in
Mathematisch Naturwissenschaftliche
Abteilung IX für Mathematik und Physik
trat ich in die
Technischen
ich als
Ich besuchte
VITAE
Zeit
zu
von
1967 bis
erweitern,
am
Früh¬
und in die¬
nehmen.
Company,
Inc.
Managment

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