Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen
1-E
Mathematik, Vorkurs
Spezielle Logarithmen
● Der natürliche Logarithmus ist von besonderer Bedeutung
in den Anwendungen: Basiszahl ist die Eulersche Zahl e:
log e x ≡ ln x
gelesen: natürlicher Logarithmus von x
● Der Logarithmus für die Basiszahl a = 10, Zehnerlogarithmus,
auch Briggscher oder Dekadischer Logarithmus genannt
log 10 x ≡ lg x
gelesen: Zehnerlogarithmus von x
● Der Logarithmus für die Basiszahl a = 2, Zweierlogarithmus,
auch Binärlogarithmus genannt
log 2 x ≡ lb x
gelesen: Zweierlogarithmus von x
1-1
Mathematik, Vorkurs
Aufgaben
2-A
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgaben 1, 2
Aufgabe 1:
Verwandle folgende Potenzgleichungen in Logarithmengleichungen:
a ) 2 5 = 32,
2 7 = 128,
b ) 3 3 = 27,
3 4 = 81,
c ) 4 0 = 1,
4 3 = 64,
2−3 =
1
8
1
9
1
4−2 =
16
3−2 =
Aufgabe 2:
Verwandle folgende Logarithmengleichungen in Potenzgleichungen:
log 3 9 = 2,
2-1
log 7 49 = 2,
log 6 6 = 1,
log 8 1 = 0,
log 4 2 =
1
2
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 1
a ) 2 5 = 32,
2−3 =
1
,
8
b ) 3 3 = 27,
3−2 =
1
,
9
c ) 4 0 = 1,
4−2 =
2-2
1
,
16
log 2 32 = 5,
log 2
log 2 128 = 7,
3 4 = 81,
log 3 81 = 4,
1
= −3,
8
log 3 27 = 3,
log 3
2 7 = 128,
1
= −2,
9
log 4 1 = 0,
log 4
4 3 = 64,
log 4 64 = 3,
1
= −2,
16
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 2
log 3 9 = 2,
32 = 9
log 7 49 = 2,
7 2 = 49
log 6 6 = 1,
61 = 6
log 8 1 = 0,
80 = 1
log 4 2 =
2-3
1
,
2
1
2
4 = 4 = 2
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgaben 3, 4
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die gegebenen Ausdrücke ohne Taschenrechner:
a ) log 2 32,
b ) log 4 4,
log 2 64,
log 4 16,
c ) log6 36,
log 5 125,
d ) lg 100,
lg 100000,
1
,
16
1
log 4
,
64
log 2
log 2
1
,
128
log8 64,
1
log 16
,
16
1
lg
,
10
log 2 2−4 ,
log 8
log 7 1,
lg
1
,
8
log 7
1
,
1000
log 2 1
log 8 8−3

1
7
3,
lg 0.01,
log 7
 
1
49
2
lg 0.0001 .
Aufgabe 4:
Berechnen Sie x:
log x 25 = 2,
3-1
log x 27 = 3,
log x
1
= −2,
9
log x
1
= −1.
9
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 3
a ) log 2 32 = 5,
log 2
1
= −7,
128
b ) log 4 4 = 1,
log 8 64 = 2,
c ) log6 36 = 2,
log 7 1 = 0,
d ) lg 100 = 2,
lg
3-2
log 2 64 = 6,
1
= −3,
1000
log 2
log 2 2−4 = −4,
log 4 16 = 2,
log8
1
= −1,
8
log5 125 = 3,
log7

1
7
log 2 1 = 0,
log 4
1
= −3,
64
log8 8−3 = −3,
log 16
3
= −3,
lg 100000 = 5,
lg 0.01 = −2,
1
= −4,
16
log7
lg
1
= −1,
16
 
1
49
2
= −4,
1
= −1,
10
lg 0.0001 = −4
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 4
3-3
log x 25 = 2,
x 2 = 25,
x = 5,
log x 27 = 3,
x 3 = 27,
x = 3,
log x
1
= −2,
9
x−2 =
1
1
= 2 = 3−2 ,
9
3
log x
1
= −1,
9
x−1 =
1
= 9−1 ,
9
x=3
x=9
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgaben 5-8
Berechnen Sie:
Aufgabe 5:
Aufgabe 6:
Aufgabe 7:
Aufgabe 8:
4-1
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 5
4-2
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösungen 6, 7
Lösung 6:
Lösung 7:
4-3
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 8
4-4
Mathematik, Vorkurs
Erste Rechenregel
log b  x⋅y = log b x  log b y
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
der beiden Faktoren
b, x, y >0
5-1
Mathematik, Vorkurs
Zweite Rechenregel
log b

x
= log b x − log b y
y
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner
b, x, y >0
5-2
Mathematik, Vorkurs
Dritte Rechenregel
log b  x n  = n log b x
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis.
b, x >0
5-3
Mathematik, Vorkurs
Rechenregeln für Logarithmen
5-4
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgabe 9
Aufgabe 9: Berechnen Sie die gegebenen Ausdrücke:
a ) log 12 4 + log 12 3,
b ) lg 2 + lg 5000,
c ) log
6-1
√2
4 − log
√2
log14 2 + log 14 7,
log 5 75 − log 5 3,
2 √2 ,
log
√3
6 − log
log 33 3 + log 33 11,
lg 300 − lg 3,
√3
2 √3 .
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 9
a ) log 12 4 + log 12 3 = log 12 (4⋅3) = log 12 12 = 1,
log 14 2 + log 14 7 = log 14 (2⋅7) = log 14 14 = 1,
log 33 3 + log 33 11 = log 33 (3⋅11) = log 33 33 = 1,
b ) lg 2 + lg 5000 = lg 10 000 = lg 104 = 4 lg 10 = 4,
log 5 75 − log 5 3 = log 5
75
= log 5 25 = 2 log5 5 = 2,
3
lg 300 − lg 3 = lg 100 = 2.
c ) log
√
log
6-2
4 − log
2
√3
√
6 − log
2 √ 2 = log
2
√3
2 √ 3 = log
( ) = log √
4
√2 2 √ 2
√3 √
2
√ 2 = 1,
3 = 1.
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgabe 10
Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für
Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen:
a ) log 3 5 x ,
b ) log 3
1
,
3
c ) log a b ,
d ) log
a
,
b
e ) log a 2 b ,
a2 c
f ) log
,
b
7-1
log 3 3 x ,
log 3
1
,
9
2 log 3
log  a b c ,
log
ac
,
b
log a 3 b 2 ,
log
log 2  4 x
ac
,
3
bd
log
1
27
log  a b c d 
ab
cd
log a 5 b 3 c
log
a b
c4
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 10
a ) log 3 5 x = log 3 5  log 3 x ,
log 3 3 x = log3 3  log 3 x = 1  log 3 x
log 2 4 x  = log 2 4  log 2 x = log 2 2 2  log 2 x = 2  log 2 x
1
1
= log 3 1 − log 3 3 = −1,
log 3 = log 3 3−1 = − log 3 3 = −1,
3
3
1
log 3 = log 3 1 − log 3 9 = 0 − log3 3 2 = −2 log 3 3 = −2
9
1
2 log 3
= 2 log 3 1 − log 3 27 = 2 log 3 1 − log 3 33  = −2⋅3 log 3 3 = −6
27
b ) log 3
c ) log a b = log a  log b ,
log  a b c = log a  log b  log c
log  a b c d  = log a  log b  log c  log d
d ) log
log
7-2
a
= log a − log b ,
b
log
ac
= log a  log c − log b
b
ab
= log a  log b − log c − log d
cd
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 10
e ) log a 2 b = log a 2  log b = 2 log a  log b
log a 3 b 2 = log a 3  log b 2 = 3 log a  2 log b
log a 5 b 3 c = log a 5  log b 3  log c = 5 log a  3 log b  log c
a2 c
f ) log
= log a 2  log c − log b = 2 log a  log c − log b
b
log
ac
3
3
=
log
a
c

−
log
b
d

=
log
a

log
c
−
log
b
−
log
d
=
3
bd
= log a  log c − log b − 3 log d
log
 a b = log   a b − log c 4  = log a 1/ 2  log b − 4 log c =
c4
=
7-3
1
log a  log b − 4 log c
2
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgabe 11
Fassen Sie die folgenden Logarithmen zusammen:
a ) log u a  2 logu b
b ) log u a  log u b − log u c
8-1
c ) log u a 
1
logu b  2 log u c
2
d ) log u a 
1
log u b − 3 log u c
2
e ) logu a 
1
1
log u b  log u c
2
4
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 11
a ) log u a  2 logu b = logu a  log u b 2 = log u  a b 2 
b ) log u a  log u b − log u c = log u
 
ab
c
c ) log u a 
1
logu b  2 log u c = log u a  log u
2
 b  log u c 2 = log u a  b c 2 
d ) log u a 
1
log u b − 3 log u c = logu a  log u
2
 b  log u c−3
= log u a
e ) logu a 
a b
c3
 b c−3  = log u
1
2
1
4
1
1
log u b  log u c = log u a  log u b  log u c =
2
4
1
2
1
4

1
2
= log u a  log u b  log u c = log u a b c
8-2
=
1
4
 = log
u
a b c 
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgaben 12, 13
Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit
wie möglich) additiv zu zerlegen:
Aufgabe 12:
a)
b)
c)
Aufgabe 13:
9-1
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 12
a)
b)
c)
9-2
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösung 13
9-3
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Aufgaben 14, 15
Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit
wie möglich) additiv zu zerlegen:
Aufgabe 14:
Aufgabe 15:
10-1
Mathematik, Vorkurs
Logarithmen: Lösungen 14, 15
Lösung 14:
Lösung 15:
10-2
Mathematik, Vorkurs

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