Protokoll

Kontinuumsmechanik1
Prof. Sigrist, FS 2015
Zusammenfassung ((Die Prüfung findet in Prof. Sigrists Büro statt. Der Assistent sitz neben einem,
Prof. Sigrist sitz einem gegenüber. Geschrieben wird auf Papier.))
Inhaltliche Beschreibung: ((2.1 Grundlegende Feldgleichungen, 1.1 Deformationstensor, 1.2 Spannungstensor, 2.3 Torsion eines Zylinders, 5.2 Euler’sche Gleichung für ideale Fluida, 7.1 Schallwellen)).2
Ablauf ((Nach kurzer Begrüßung zum nehmen der Nervosität begann die Prüfung.))
Prof: Beginnen wir mit der Feldgleichung im elastischen Medium.
Ich: (Nach kurzem Überlegen) Beginnen wir mit
∂σij
= −Fi ,
∂xj
(1)
Prof: Was sind denn σij und ij ?
Ich: σij = 2µij + λkk der Spannungstensor und ij =
kk = ∇ · u die Volumendilatation.
1
2
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
der Deformationstensor und
Prof: Ok, zurück zur Feldgleichung
Ich: Es folgt durch einsetzen
µ∇2 u + (µ + λ)∇(∇ · u) = −F
(2)
Prof: Gut, betrachten wir die Torsion eines Zylinders. Was können sie dazu sagen?
Ich: (Beginne mit den Randbedingungen)
u = 0 für

ux = −αy 


uy = αx
uz = 0
für
z=0
z=l



und der Feldgleichung
µ
1
2
∂ 2 ui
∂ 2 ui
+ (µ + λ)
=0
∂xj ∂xj
∂xi ∂xj
BSc Physik, Kernfach
Die Kapitelnummern beziehen sich auf das Skript .
1
(3)
Abbildung 1: Torsion eines Zylinders
Diese lösen wir mit dem Ansatz
ux = −yφ(z),
wodurch wir finden:
− µy
uy = xφ(z),
uz = 0
∂2φ
∂2φ
=
µx
=0
∂z 2
∂z 2
(4)
(5)
Die Lösung ist φ(z) = az + b = α zl .
Prof: Was folgt dann für den Deformationstensor?
Ich: Wir finden
xz = −
yα
xα
, yz =
2l
2l
(6)
und die restlichen Komponenten sind null.
Prof: Und was gilt dann für das Drehmoment?
Ich: Also, wir können es berechnen durch M = r × P wobei Pi = σij nj .
Prof: Dann rechnen sie mal.
Ich: Ok, beginnen wir mit dem Spannungstensor
σxz = −µ
xα
yα
, σyz = µ
l
l
(7)
und die restlichen Komponenten wieder gleich null. Für den Druck gilt dann
Px = −µ
yα
xα
, Py = µ , Pz = 0
l
l
2
(8)
und das Drehmoment auf der Oberfläche:
Z
Mz =
(xPy − yPx )df
(9)
Prof: Wie steht das in Verbindung mit der starren Rotation?
Ich: Mit der Definition
1
1
Dl = εlij Dij , Dij =
2
2
∂uj
∂ui
−
∂xj
∂xi
!
1
D =− ∇×u
2
Prof: Und in welche Richtung wirkt hier die Kraft?
Ich: (Wusste es nicht, versuchte es mir herzuleiten. Im Endeffekt wollte er hören, dass sie in der Ebene
des Zylinderdeckels wirkt)
Prof: Themenwechsel. Wellengleichungen im Fluidum?
Ich: (will mit der Navier-Stokes Gleichung beginnen)
Prof: Machen wir im Idealen Fluidum
Ich: Dann haben wir die Euler-Gleichung, welche aus der Impulsbilanzgleichung folgt:
ρ
∂σij
Dvi
− ρFi −
=0
Dt
∂xj
mit σij = −pδij fürs ideale Fluidum. Und dazu die Kontinuitätsgleichung
(10)
∂ρ
∂t
+ ∇(ρv) = 0
Prof: Wie kommen wir von hier jetzt zu einer Wellengleichung?
Ich: (wollte zuerst Herleitung analog zu Kapitel 4.1 mit Auslenkungsfeld u)
Prof: Wir betrachten hier Fluida, da haben wir kein Auslenkungsfeld. Gehen sie von kleinen Auslenkungen ρ = ρ0 + ρ̃ und v aus.
Ich: (Erinnerte mich dann wieder) Wir setzen die Ansätze kleiner Änderungen ein und linearisieren
die Euler-Gleichung in kleinen Termen. Daraus folgt
∂ ρ̃
= −ρ0 (∇ · v),
∂t
∂v
dp(ρ0 )
=−
∇ρ̃.
ρ0
∂t
dρ
Die Wellengleichung finden wir dann durch Ableiten nach der Zeit und gegenseitiges einsetzen.
Prof: Und was für Ansätze nehmen wir für die Lösung?
Ich:
ρ̃ = ρ0 aeik·r−iωt
und
3
v = beik·r−iωt
(11)
mit ω = ck folgt b = ca.
Prof: Letze Frage, was für eine Art von Polarisation haben wir hier?
Ich: dafür müssen wir rausfinden, ob der Wellenvektor parallel oder senkrecht zur Bewegungsrichtung
steht, aber ich komm grade nicht darauf, aus welcher Gleichung das hier zu sehn war.
Prof: (Zeigt auf die linearisierten Gleichungen) Versuchen Sie’s mal mit einer von denen.
Ich: Ach ja, es folgt direkt durch Einsetzen des Ansatzes in
ρ0
∂v
dp(ρ0 )
=−
∇ρ̃
∂t
dρ
(12)
dass sie longitudinal sind.
Prof: Gut, die Prüfung ist damit zu Ende.
Bemerkungen Die Athmosphäre der Prüfung war sehr angenehm. Ich hatte nie das Gefühl unter
Druck zu sein, auch wenn ich mal nachdenken musste oder etwas nachrechnen wenn ich es nicht
auswendig wusste.
Erhaltene Note: 5.5
Erwartete Note: 5.5
4

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