Cooper-Paare

Sommersemester 2015
Dr. T.J.K. Brenner
Quasiteilchen:
Cooper-Paare und Majorana-Fermionen
Programm heute/nächste Woche
1
Einleitung
1.1
1.2
1.3
1.4
2
Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen
Elektron-Löcher: Quasiteilchen in Halbleitern
Cooper-Elektronenpaare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern
Majorana-Fermionen: Halb-Elektron/Halb-Loch – Quasiteilchen
Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW
Quasiteilchen: Bosonisches Elektronenpaar an der Fermi-Oberfläche
QM: Energielücke
Supraleitung durch CP
Experimenteller Nachweis von CP
CP in Quantenbits
Majorana-Fermionen in Halbleiter/Supraleiter-Hybridstrukturen
3.1 Elektron-Loch-Superposition
3.2 Ettore Majorana – (Anti)Teilchen
3.3 Suche im Supraleiter
3.4 Experimenteller Nachweis von MFs
3.5 MFs für Quantenbits?
Programm heute/nächste Woche
Übung am Fr., 12.06.2015, 12:15-13:45 (2.080)
•
4 (kürzere) Aufgaben zu Cooper-Paaren und Majorana-Fermionen
• Aufgaben werden in der Übungsstunde gemeinsam gelöst und besprochen
• Bitte Taschenrechner und Festkörperphysikbuch (z.B. Kittel, Ibach, Ashcroft/Mermin, etc.)
mitbringen
• Übung wird vorher per email verteilt
Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen
• Freies Elektron im Vakuum oder in Gasen, Leitungselektronen in Metallen
(Elektronengas): Freies Teilchen (Fermion)
Elektrische Ladung: e = 1,602 176 565 (35) * 10-19C
Masse: me = 9,109 382 91(40)* 10-31 kg
• Gebundenes Valenzelektron in (freien) Atomen oder Molekülen und im
Festkörper: Gebundenes Teilchen (Fermion)
Elektrische Ladung: e
Masse: me
• Nahezu freies Leitungselektron im Festkörper
(WW mit dem Kristallgitter): Freies Quasiteilchen (Fermion)
Elektrische Ladung: e
Effektive Masse: meff=meff(k), z.B. 0,066me (GaAs), 0,015me (InSb)
• Quasielektron im Festkörper
(Coulomb-WW der Leitungselektronen): Freies Quasiteilchen (Fermion)
Elektrische Ladung: e
Quasimasse: m*, z.B. 1,25 meff in Alkali-Metallen, 0,015me (InSb)
Elektron-Löcher in Halbleitern:
Freies Quasiteilchen
Anregung:
Valenzelektron wird
Leitungselektron
„Gestörtes“ Gitter:
Interpretation:
„Loch“, „Defektelektron“
„Loch“: Freies (fiktives) Teilchen
• mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zum Atomkern
• ohne WW zu anderen Elektron-Löchern
Elektron-Loch:
Quasiteilchen mit Energie E, Impuls -ℏk und Spin s = -½ ℏ (Fermion):
Positive Elektrische Ladung: e
Negative Effektive Masse: m*(k)
Cooper-Paare: Quasiteilchen
in konventionellen Supraleitern
Cooper-Paar: Freies Quasiteilchen
• mit Berücksichtigung der Coulomb-WW
zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon-WW)
• ohne WW zu anderen Cooper-Paaren
Elektrischer Widerstand verschwindet
Konventionelle Supraleitung bei extrem
tiefen Temperaturen, z.B. in Quecksilber
bei 4.2 K - H.K. Onnes (1911)
Die beiden Elektronen haben
• entgegengesetzten Spin s= ±½
• entgegengesetzten Impuls ±kF
Cooper-Paar: Elektronenpaar
Quasiteilchen mit Energie E, Impuls ℏk=0 und Spin s=0 (,1) (Boson)
Elektrische Ladung: 2e = 3,204 * 10-19C
Masse: M≈2me (M < 2me)
Äußeres elektrisches oder magnetisches Feld setzt das Cooper-Paar in
widerstandsfreie Bewegung: Elektrischer „Super-Strom“!
Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW
Quasiteilchen: Bosonisches Elektronen-Paar an der Fermi-Oberfläche
QM: Energielücke
Supraleitung durch Cooper-Paare
Experimenteller Nachweis von Cooper-Paaren
CPs in Quantenbits
Elektron  Gitter/Phonon WW
Coulomb-WW
Gitter  Elektronen:
Nahezu freie Leitungselektronen
( Impuls ℏk≠0, Effektive Masse meff(k) )
Coulomb-WW
Leitungselektron  Gitterion
Kraftstoß: F · Δt ̴ 1/v
 Phononen
Phonon-Energie ℏωDebye : ̴ 10 meV
Sehr niedrige Temperaturen
Langsame Leitungselektronen
Erheblicher Kraftstoss
Elektronenpaar-Bildung: Elektron-Phonon WW
Elektron  Gitterschwingung/Phonon:
• Erstes Elektron zieht positive Ionen an
• Ionen bewegen sich (rot  blau)
Gitterschwingung
• Erstes Elektron verschwindet (wegen k≠0)
Gitterschwingung/Phonon  Elektron:
Zweites Elektron wird von den Ionen auf die „alte“ Position des ersten Elektrons
gezogen
 Phononen vermitteln eine retardierte anziehende Elektron-Elektron WW
 Stärker als Coulomb-Abstossung
Cooper-Paar: Elektronenpaar nahe an der Fermi-Oberfläche
Sehr niedrige Temperaturen (T ≈ 0 K):
• T=0 K: Pauli-Prinzip für Leitungselektronen:
Elektronenzustände füllen die Fermi-Kugel
Elektronen-Energie an der Fermi-Oberfläche:
EF=ℏ2kF2/2meff
( ̴ eV)
• Phonon-Energie E = ℏωD ( 1
̴ 0 meV) << EF ( ̴eV)
• Elektron-Phonon WW: ℏωD << EF  Δk << kF
 Impulsänderungen der beiden Elektronen
innerhalb der Kugelschale kF ≤ k ≤ kF + Δk
Cooper-Paar: Elektronenpaar mit Impuls K=0
Darstellung der beiden Elektronenimpulse:
In getrennten Fermi-Kugeln:
Der Gesamtimpuls K=k1+k2 erscheint:
• Einzelne Elektron-Phonon WW:
Die Impulse k1 und –k2 enden im
blauen Rotationsvolumen (Drehachse K)
• Großes Rotationsvolumen  viele Möglichkeiten
für Elektron-Phonon WW-Prozesse
 Elektron-Elektron-Anziehung  Elektronenpaar-Bildung
Rotationsvolumen ist maximal bei konzentrischen Kugeln
 Gesamtimpuls K = 0  k1 + k2 = 0  k2 = -k1
Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon WW ist
optimal bei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls
Cooper-Paar: Wellenbild
Gesamtimpuls K=k1+k2 = 0
 k1 =: k und k2 = -k
Wellenbild:
• Elektron 1: Welle mit Wellenvektor k
• Elektron 2: Welle mit Wellenvektor –k
 Cooper-Paar: Stehende Welle
Cooper-Paar: Regeneration
Auseinanderdriftende Elektronen
 Begrenzte Lebensdauer des Cooper-Paares
( Übung)
Cooper-Paare „regenerieren“:
Laufend zerfallen und entstehen Cooper-Paare
Paarbildung: Elektron-Phonon-Stoss
und “Austausch virtueller Phononen“
Die beiden Elektronen haben vor der WW mit dem
Phonon entgegengesetzten Impuls:
• Elektron 1 „schickt“ ein fiktives Phonon zu Elektron 2
Elektron 2 wird abgelenkt
• Elektron 2 „schickt“ dasselbe Phonon zurück zu Elektron 1
 Elektron 1 wird abgelenkt
 Die beiden Elektronen haben nach der WW mit
dem Phonon entgegengesetzten Impuls
Cooper-Paar: Elektronenpaar mit ganzzahligem Spin
Die beiden halbzahligen Elektronenspins im Cooper-Paar sind
• antiparallel:
Gesamtspin: S=0
Singulett-Cooper-Paar
oder
Cooper-Paar: Boson
• parallel:
Gesamtspin: S=1
Triplett-Cooper-Paar (selten!)
Cooper-Paar: Bosonisches Quasiteilchen
Leon
NeilCooper
Cooper
Sheldon
Cooper-Paar: Freies (fiktives) Teilchen
• mit Berücksichtigung der Coulomb-WW
zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon WW)
• ohne WW zu anderen Cooper-Paaren
 Bosonisches
Quasiteilchen
Die abstossende Coulomb-WW wird durch die anziehende
Elektron-Phonon WW überkompensiert
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im
Leitungsband: Operator-Darstellung I
QM (2.Quantisierung): Besetzungszahldarstellung von Vielteilchensystemen:
•
Es gibt einen Zustand ohne jedes Teilchen, das absolute Vakuum: |vac >
•
Es gibt für jede Teilchenart einen Erzeugungsoperator ap†, der das Teilchen
aus dem Nichts erzeugt und in den Zustand p versetzt: |p>= ap† |vac>
•
Zweiteilchen-Zustände:
•
gleiche Teilchen: |q>|p> = aq†ap†|vac>
•
verschiedene Teilchen: |q>|p> = bq† ap† |vac>
•
Vernichtungsoperatoren ap= (ap†)†
[ap† und ap sind zueinander adjungiert]

•
apap†|vac> =|vac> und aqap†|p> =|q> (Zustandsänderung)
Teilchenzahloperator: ap†ap
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im
Leitungsband: Operator-Darstellung II
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen: Erzeugung mit
Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren von Elektronen: c†k,s bzw. ck,s
•
Grundzustand des Leiters:
Komplett gefülltes Valenzband, teilweise gefülltes Leitungsband:
†
†


c
c
vac
|Ф0> = 
L, k',s' 
V, k',s'


k',s'
•
k',s'
Elementar angeregter Zustand durch Erzeugung eines Cooper-Paares:
c†L,k,s c†L,-k,-s |Ф0> = |Фexc>
Erzeugungsoperator eines Cooper-Paares: g† = c†k,sc†-k.-s
Vernichtungsoperator: g = (g†)† = (c†k,sc†-k.-s)† = c-k,sck,s
Cooper-Paare als Bosonen im Supraleiter
Cooper-Paare als Bosonen unterliegen nicht dem Pauli-Prinzip:
 Cooper-Paare können alle zusammen einen quantenmechanischen Zustand einnehmen
•
Grundzustand des Supraleiters (ohne Valenzelektronen):
Teilweise mit Cooper-Paaren gefülltes Leitungsband:
†
†
  v  c  c  ) vac
(u
Bardeen/Cooper/Shrieffer (BCS-Theorie): |Ф0> =
k
k k,s - k,-s

k
(|uk|2+|vk|2=1)
•
Elementar angeregter Zustand
durch Hinzufügen eines einzelnen Elektrons im Leitungsband:
c†k,s |Ф0> = |Фexc>
Im BCS-Grundzustand sind die Cooper-Paare vollkommen delokalisiert und miteinander

korreliert:  0  N  exp(i ( x ))
• N ist die konstante Dichte aller Cooper-Paare
• φ (x) ist die ortsabhängige Phase der Cooper-Paare
 Der gesamte Supraleiter wird durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben
Cooper-Paar: Energielücke Δ
QM: Schrödingergleichung für ein Cooper-Paar
 
 
 
2
(
(1   2 )  V0 (r1 , r2 )) (r1 , r2 )   (r1 , r2 )
2m
• Ψ ist die Zweiteilchen-Wellenfunktion
• V0 ist das attraktive Potential der Elektron-Phonon WW
Energie: ε= 2EF – Δ
mit Δ>0 und Δ ̴ ℏωD
Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ


 
 
 
 
2
• SG:
(
(1   2 )  V0 (r1 , r2 )) (r1 , r2 )   (r1 , r2 )  ( H 0  H1 ) (r1 , r2 )
2m


  
   
 

(
r
,
r
)

exp(
i
k
r
)

exp(
i
k
r
)

exp(
i
(
k
r

k
r
))


(
k
• Ansatz: Ebene Wellen 
1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 , k2 , r1 , r2 )
  
 
  
   
R  (r1  r2 ) / 2; r  r1  r2 ; K  (k1  k2 ); k  (k1  k2 ) / 2
• Schwerpunkts- und Relativkoordinaten:
   

    

• Zweiteilchen-Wellenfunktion
(k1 , k2 , r1 , r2 )  ( K , k , k2 , R, r )  exp(iKR)  exp(ikr )
mit E = ℏ2/2m(K2/4+k2) = K + Ek
 

(k , r )  exp(ik r )
K=0  Wellenfunktion in Relativ-Koordinaten:
mit Ek = ℏ2k2/2m
 


(r1 , r2 )   (r )  
g k exp(ik r )

k
Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ
• Einsetzen in SG und einige Umformungen:
(E   ) g (E) 
2 ( F   D )
 dEg ( E) H ( E, E) N ( E)  0
1
2
F
N(E‘)≈N(EF): Anzahl von Zweielektronenzuständen mit K=0 im Intervall dE‘ bei E‘
H1(E;E‘): Matrixelemente <k|H1| k‘ >= - V (innerhalb dE‘, mit V>0)
• Mit 2F:
  2 D
exp(1 / N FV )  1
Supraleitung durch Cooper-Paare
Die Leitfähigkeit eines Normalleiters wird begrenzt durch Streuprozesse der
Elektronen an Gitteratomen oder Störstellen des Gitters  Ohmscher Widerstand
Supraleiter: Ladungsträger sind
• Cooper-Paare (2e)
• Elektronen (e)
Strom der Cooper-Paare:
Streuprozesse
• können kurzfristig ein Cooper-Paar zerstören, das sich sofort „regeneriert“
 Ohmscher Widerstand: 0
• der Elektronen erzeugen den Restwiderstand
Heike Kamerlingh Onnes (Leiden),1911:
Hg:
Steiler Widerstandsabfall bei 4.2 K
um etwa 4 Größenordnungen
Cooper-Paare: Experimenteller Nachweis
Cooper-Paare in supraleitenden Quantenpunkten:
Messung von Coulomb-Oszillationen in einem
supraleitenden Quantenpunkt bei
verschiedenen Temperaturen:
Quantenpunkt enthält einzelne Elektronen
Quantenpunkt enthält Cooper-Paare
 Mit abnehmender Temperatur erfolgt
ein Übergang der Oszillationsperiode von
einer e- zu einer 2e-Abhängigkeit
Tunnelnde Cooper-Paare: Josephson-Effekt
Josephson-Kontakt:

1  N1  exp(i1 ( x ))

2  N 2  exp(i2 ( x ))
Phasendifferenz






(
x
)


(
x
2
Trennschicht
1
Trennschicht )   (t )
an der dünnen Trennschicht:
Josephson (1962): Cooper-Paare tunneln durch die Trennschicht
• Ständig wechselnder Suprastrom: IJ(t) = Ic sinΔφ(t) „Josephson-Strom“
 2

U
•
t
0
mit  0 
h
2e
(magnetisches Flussquantum)
Cooper-Paar-Ladung
Der Josephson-Strom ist ein Wechselstrom: IJ = Icsin ωJt mit ωJ = fJ /2π = 2eU/ℏ
Definition des Volt: fJ(1V)=483597,9GHz „Josephson-Konstante“
Die Frequenz des Josephson-Stroms ist materialunabhängig
Tunnelnde Cooper-Paare realisieren SQUIDs zur
hochpräzisen Messung von Magnetfeldern
SQUID:
QM: Der magnetische Fluss durch einen
supraleitenden Ring ist quantisiert: Φ = n * Φ0
Φ0 = 2,07*10-15Vs = h/2e
Änderung des externen magnetischen Flusses Φ
induzieren im supraleitenden Ring mit 2
Josephson-Kontakten einen ständig wechselnden
Josephson-Strom bzw. eine Schwingung der
entsprechenden Induktionsspannung.
Aus der Periode der Induktionsspannung lassen
sich kleinste Flussänderungen ablesen.
Anwendungen:
• Medizin: Magnetoenzephalogie (MEG),
Magnetokardiographie (MKG)
• Geologie und Archäologie: Messung des Erdfeldes
Warum Qubits?
2005- Gordon Moore:
Quantenbits und Quantencomputer
versprechen effiziente Lösungen für
Probleme wie
•
Datenbank-Suche
•
Fourier-Transformation
•
Datenverschlüsselung
"It can't continue forever. The nature of
exponentials is that you push them
out and eventually disaster
happens. [...]
In terms of size [of transistors] you can
see that we're approaching the size
of atoms which is a fundamental
barrier”
Cooper-Paare realisieren Quantenbits
• Supraleitender Ring erlaubt
Cooper-Paar-Strom in 2 Richtungen
Es entstehen genau 2 Drehimpulse der
Cooper-Paare: ↑ und ↓ und damit ein
klassisches TLS (two-level-system): 0 und 1
• Josephson-Tunnel-Kontakte erzeugen mit
quantenmechanischen Superpositionen der
beiden Zustände ↓ und ↑ ein QM- TLS
(two-level-system) von Energiezuständen:
•|0> und |1>
Ein QM-TLS kann auch in beiden Zuständen gleichzeitig existieren:
Superpositions-Zustände:
z.B.: (|0>+|1>) , (|1> -|0>), (|1>+|1>, ...
a*|0> + b*|1> |a|2+|b|2=1
Quasiteilchen Cooper-Paar?
• Elektronenpaar begrenzter Lebensdauer im Festkörper
bei extrem niedrigen Temperaturen: 0 K bis ~ 10 K
Teilchenbild:
Wellenbild:
• entstehen durch WW der Leitungselektronen mit
den Gitterschwingungen: Elektron-Phonon WW
• Ladung: 2e
Masse: 2mel
Impuls: 0
Spin: 0 (1)
BOSON
• „regenerieren“ nach Zusammenstössen mit dem Gitter und Gitterfehlern
und ermöglichen so Supraleitung
• tunneln durch Josephson-Kontakte und ermöglichen so SQUIDs und Qubits

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