Blatt 9

Übung (9)
1. Ein großes quaderförmiges Zimmer hat Seitenlängen 7 und 4 m und Deckenhöhe 4 m. Eine Spinne sitzt auf der
breiten Wand, 50 cm unterhalb der Decke, 1m von der schmaleren Zimmerwand entfernt. Ihre Beute sitzt auf der
gegenüberliegenden breiten Wand, 1 m entfernt von der gegenüberliegenden Schmalseite, 1m unter der Decke.
Die Spinne kann natürlich nur über Wände und die Decke (!) krabbeln. Dort soll es aber keine Hindernisse geben.
(a) Skizzieren Sie grob die Situation. Hinweis: Im Blick auf b,c sollten Sie die senkrechten Wege zwischen Spinne
und Decke sowie Beute und Decke in die Deckenebene hochklappen und ein naheliegendes Koordinatensystem für die Deckenebene mit dem (neuen) Ausgangspunkt der Spinne als Ursprung einzeichnen.
(b) Berechnen Sie die Länge des kürzesten Weges zur Beute, die sich nicht bewegen möge.
(c) Berechnen Sie den Winkel, in welchem die Spinne auf dem kürzesten Weg auf die Decke trifft, und den
Winkel, in dem sie auf diesem Wege von der Decke auf die Wand der Beute abzweigt. Berechnen Sie die
Koordinaten des Punktes, an welchem die Spinne dabei auf die Decke trifft, und des Punktes, an dem die
Spinne die Decke wieder verlässt.
2. Ein (regelmäßiges) Sechseck-Prisma entsteht dadurch, dass man ein regelmäßiges Sechseck senkrecht zu seiner
Ebene verschiebt, mit einem festen Verschiebungsvektor: Die dabei überstrichene Punktmenge ist der SechseckPrisma-Körper.
(a) Skizzieren Sie grob einen solchen Körper.
(b) Wie viele Symmetrien hat das Sechseckprisma, wenn seine seitlichen Begrenzungsflächen nicht quadratische
Rechtecke sind? (Beachten Sie, dass nur die Anzahl der Symmetrien gefragt ist.)
(c) Wie viele Symmetrien hat das Secheckprisma, wenn seine seitlichen Begrenzungsflächen Quadrate sind?
3. Betrachten Sie das folgende Muster, das mit folgender ’Kachel’ die ganze Ebene füllen möge, schachbrettartig
immer so weiter:
(a) Geben Sie Beispiele für Symmetrien aller vier Grundtypen. Zeichnen Sie dazu mehrere Zeilen und Spalten
(drei bis vier, nach Bedarf), und fügen Sie geeignete Bezeichnungen in Ihre Skizze ein, um die zu nennenden
Symmetrien einfach bezecihnen zu können.
(b) Geben Sie ein (möglichst minimales) Erzeugendensystem für die Symmetriegruppe. Geben Sie auch ein
Fundamentalgebiet an, aus dem Sie mit Ihren Erzeugenden das Ganze wiedergewinnen.
4. Es seien a und b zwei parallele Geraden in der Ebene, die nicht zusammen fallen. Sa sei die Spiegelung an a,
→
−
→ −
−
Gb,→
c die Gleitspiegelung an b mit Verschiebungsvektor c = 0 . (Zeichnen Sie b recht nah rechts von a, beide
vertikal.)
−
(a) Untersuchen Sie, was für eine Abbildung Gb,→
c ◦Sa ist (ahnen Sie schon etwas, indem Sie die Frage der Orientierungserhaltung stellen). Tun Sie das, indem Sie die Wirkung der Abbildung auf ein Zweibein anschauen,
das Sie zweckmäßig mit einem Bein auf der Achse a ansetzen.
−
(b) Es sei P eine Punktmenge in der Ebene, welche die Symmetrien Sa und Gb,→
c besitzt. Folgern Sie aus dem
Resultat zu a, dass P dann unendlich viele Spiegel- und Gleitspiegelachsen parallel zu a besitzen muss.
(c) Entwerfen Sie ein Muster in der Ebene, dessen Symmetriegruppe von einer Spiegelung und einer (echten)
Gleitspiegelung mit parallelen Achsen erzeugt wird. (Eine recht grobe Skizze genügt. Hinweis: Wenn Sie
künstlerische Qualitäten hineinlegen können - desto schöner. Aber das ist nicht nötig: Beginnen Sie mit den
beiden Achsen und zeichnen Sie etwas wie ein krudes Tapetenmuster darauf, es ist einfach mit viel freiem
Raum, aber achten Sie darauf, nicht zu viele Symmetrien zu bekommen.)
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