Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Explizites und implizites Euler-Verfahren
am Beispiel eines Räuber-Beute-Modells
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Räuber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem See
u Menge der Räuber, v Menge der Beutefische
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Räuber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem See
u Menge der Räuber, v Menge der Beutefische
v̇ = c1 v
Interpretation der Terme:
c1 v
Tobias Jahnke
Vermehrung der Beute
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Räuber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem See
u Menge der Räuber, v Menge der Beutefische
v̇ = c1 v − c2 v 2
Interpretation der Terme:
c1 v
−c2 v 2
Tobias Jahnke
Vermehrung der Beute
“Soziale Reibung” unter den Beutefischen
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Räuber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem See
u Menge der Räuber, v Menge der Beutefische
u̇ = −c3 u 2
v̇ = c1 v − c2 v 2
Interpretation der Terme:
c1 v
−c2 v 2
−c3 u 2
Tobias Jahnke
Vermehrung der Beute
“Soziale Reibung” unter den Beutefischen
“Soziale Reibung” unter den Räubern
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Räuber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem See
u Menge der Räuber, v Menge der Beutefische
u̇ = −c3 u 2 + c4 uv
v̇ = c1 v − c2 v 2 − c4 uv
Interpretation der Terme:
c1 v
−c2 v 2
−c3 u 2
±c4 uv
Vermehrung der Beute
“Soziale Reibung” unter den Beutefischen
“Soziale Reibung” unter den Räubern
Räuber frisst Beute und vermehrt sich
u
Setze y :=
, erhalte ẏ = f (y ).
v
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Zusammenhang mit der Dahlquist’schen Testgleichung
Ausgangsgleichung:
ẏ = f (y ),
f : Rd −→ Rd
Taylor:
f (y ) = f (y? ) + f 0 (y? )(y − y? ) + O(ky − y? k2 ),
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Zusammenhang mit der Dahlquist’schen Testgleichung
Ausgangsgleichung:
ẏ = f (y ),
f : Rd −→ Rd
Taylor:
f (y ) = f (y? ) + f 0 (y? )(y − y? ) + O(ky − y? k2 ),
Setze w := y − y? und ignoriere Terme höherer Ordnung:
ẇ = ẏ = f (y ) = f (y? ) + f 0 (y? )w
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Zusammenhang mit der Dahlquist’schen Testgleichung
Ausgangsgleichung:
ẏ = f (y ),
f : Rd −→ Rd
Taylor:
f (y ) = f (y? ) + f 0 (y? )(y − y? ) + O(ky − y? k2 ),
Setze w := y − y? und ignoriere Terme höherer Ordnung:
ẇ = ẏ = f (y ) = f (y? ) + f 0 (y? )w
Nehme an, dass f 0 (y? ) ∈ Rd×d diagonalisierbar ist.
Darstellung von w in der Eigenbasis führt auf skalares Problem
q̇ = λq + c
Tobias Jahnke
(“Dahlquist + c”)
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
Anfangswerte: y0 =
800
2000
c1 = 4, c2 = 0.002, c3 = 0.2, c4 = 0.05
N Zeitschritte, N ∈ {200, 100, 80, 50}
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
Räuber
Expliziter Euler (N = 200)
Impliziter Euler (N = 200)
800
800
400
400
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0
0.5
1
1.5
2
0
0
-100
-100
-200
-200
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Dritte Zeile: Realteile der Eigenwerte von f 0 (yn )
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
Räuber
Expliziter Euler (N = 100)
Impliziter Euler (N = 100)
800
800
400
400
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0
20
0.5
1
1.5
2
×10 6
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
10
-100
0
-200
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
Räuber
Expliziter Euler (N = 80)
Impliziter Euler (N = 80)
800
800
400
400
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0
4
0.5
1
1.5
2
×10 8
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
2
-100
0
-200
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
Räuber
Expliziter Euler (N = 50)
Impliziter Euler (N = 50)
800
800
400
400
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0
10
0.5
1
1.5
2
×10 8
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
200
5
0
0
-200
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
Anfangswerte: y0 =
100
2000
Gleiche Parameter
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
Räuber
Expliziter Euler (N = 200)
Impliziter Euler (N = 200)
400
400
200
200
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0
0.5
1
1.5
2
100
100
0
0
-100
-100
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Dritte Zeile: Realteile der Eigenwerte von f 0 (yn )
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
Räuber
Expliziter Euler (N = 100)
Impliziter Euler (N = 100)
400
400
200
200
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0
0.5
1
1.5
2
100
100
0
0
-100
-100
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Dritte Zeile: Realteile der Eigenwerte von f 0 (yn )
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
Räuber
Expliziter Euler (N = 80)
Impliziter Euler (N = 80)
400
400
200
200
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0
4
0.5
1
1.5
2
×10 8
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
100
2
0
0
-100
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
Räuber
Expliziter Euler (N = 50)
Impliziter Euler (N = 50)
400
400
200
200
0
0
Beute
0
0.5
1
1.5
2
2000
2000
1000
1000
0
0
0
4
0.5
1
1.5
2
×10 6
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
200
2
0
0
-200
0
0.5
1
1.5
2
t
t
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie
Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Explizites und implizites Euler-Verfahren
am Beispiel eines Räuber-Beute-Modells
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden für Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Tobias Jahnke
Karlsruher Institut für Technologie

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