Quadratische Funktionen (Parabeln)

Quadratische Funktionen (Parabeln)
Aufgabe:
2
Gegeben ist die quadratische Funktion y = (1) x . Berechne mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionswerte von –3 bis +3 im Abstand 0,5.
Zeichne anschließend die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
x
y
-3
9
-2,5
6,26
-2
4
-1,5
2,25
-1
1
0
0,5
-0,5
0
0,25
0,25
Spiegelpunkt
1
1
1,5
2,25
2
4
2,5
6,25
Beispiel für eine solche Funktion: Seitenlänge eines Quadrats Flächeninhalt des Quadrats
10
9
8
7
Symmetrieachse
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
O
-1
1
2
3
4
Scheitelpunkt (S)
Merke:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
Eine quadratische Funktion heißt Parabel.
2
Die quadratische Funktion y = x bezeichnet man als Normalparabel.
Die Parabel ist eine Kurve mit einer Symmetrieachse.
Den tiefsten Punkt der Parabel bezeichnet man als den Scheitelpunkt (S) der Parabel.
2
Die Parabel y = x fällt im 2. Bereich bis zum Scheitelpunkt und steigt im 1. Bereich wieder an.
Seite 1 von 35
3
9
Die Funktion y = ax2
Aufgabe:
Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionen mit unterschiedlichen Farben in ein Koordinatensystem ein:
y = 2x 2 ;
y=
1 2
1
x ; y = −1x 2 ; y = −2x 2 ; y = − x 2
2
2
Überlege: Welche Auswirkungen hat der Faktor a auf den Verlauf der Parabel?
x
y1
y2
y3
y4
y5
-3
18
4,5
-9
-18
-4,5
-2,5
12,5
3,125
-6,25
-12,5
-3,125
-2
8
2
-4
-8
-2
-1,5
4,5
1,125
-2,25
-4,5
-1,125
-1
2
0,5
-1
-2
-0,5
-0,5
0,5
0,125
-0,25
-0,5
-0,125
0
0
0
0
0
0
0,5
0,5
0,125
-0,25
-0,5
-0,125
1
2
0,5
-1
-2
-0,5
2
3
1,5
4,5
1,125
-2,25
-4,5
-1,125
2
8
2
-4
-8
-2
2,5
12,5
3,125
-6,25
-12,5
-3,125
7
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Seite 2 von 35
1
4
5
6
7
3
18
4,5
-9
-18
-4,5
Eigene Erklärung:
2
Wenn man die Vorzahl von x bei einer quadratischen Funktion vergrößert, verläuft die Parabel steiler
nach oben bzw. nach unten, als wenn man sie verkleinert. Dann wird sie flacher.
Merke:
1.) Die quadratische Funktion y = a ⋅ x 2 nennt man Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0/0).
2
2.) Steht vor dem x ein negativer Faktor a, dann ist die Parabel nach unten geöffnet – Spiegelung an
der x-Achse – bei einem positiven Faktor a nach oben geöffnet.
3.) Für a > 0 gilt:
2
Bei a > 1 verläuft die Funktion steiler, sie ist enger geöffnet als die Normalparabel y = 1x .
Beispiele für a > 1: y = 3 ⋅ x 2 ; y = 7 ⋅ x 2
2
Bei 0 < a < 1 verläuft die Funktion flacher, sie ist weiter geöffnet als die Normalform y = 1x .
1
3
2
Beispiele für 0 < a < 1: y = ⋅ x 2 ; y = ⋅ x 2 x
2
4
4.) Für a < 0 gilt:
Bei a < (-1) verläuft die Funktion steiler, sie ist enger geöffnet als die gespiegelte Normalparabel.
Beispiel für a < −1: y = −3 ⋅ x 2 ; y = −4 ⋅ x 2
Bei -1 < a <0 verläuft die Funktion flacher, sie ist weiter geöffnet als die gespiegelte Normalparab.
1
3
Beispiel für −1 < a < 0 : y = − ⋅ x 2 ; y = − ⋅ x 2
2
4
5.) Bei a = 0 stellt die Funktion (y = 0) die x-Achse dar.
Bedeutung des Faktors a für die Öffnungsrichtung und die Öffnungsweite der Parabel
-1
0
1
+∞
−∞
Richtung:
Weite:
nach unten
enger
nach oben
weiter
weiter
enger
x-Achse
Aufgaben dazu:
Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein:
y1 = 3 ⋅ x 2 ; y 2 = −
1 2
⋅ x ; y3 = 0,4 ⋅ x 2 ; y 4 = −2,5 ⋅ x 2
5
Lege dazu eine gemeinsame Wertetabelle für alle Funktionen an und berechne mindestens 10 Werte
zu jeder Funktion.
Weitere Fragestellungen zu der Parabel y = a ⋅ x 2 :
Seite 3 von 35
1.) Wie breit ist die Parabel y = 2x 2 10 (20, 50 Einheiten (cm)) über ihrem Scheitelpunkt?
2.) Welche Höhe besitzt die Parabel y = 2x 2 5 (10, 20 Einheiten (cm)) rechts von ihrem Scheitelpunkt?
1
3.) Wie breit ist die Parabel y = − x 2 10 (20, 50 Einheiten (cm)) unter ihrem Scheitelpunkt?
5
1
4.) Welche Tiefe besitzt die Parabel y = − x 2 5 (10, 20 Einheiten (cm)) links von ihrem Scheitel5
punkt?
1
5.) Wie lang wäre eine Strecke, die vom Punkt P(6/0) senkrecht hoch bis zur Parabel y = x 2 ver2
läuft?
1
6.) Wie breit ist die Parabel y = x 2 1 Meter über ihrem Scheitelpunkt bei einer Zentimetereintei2
lung?
zu 1.)
zu 2.)
y = 2x 2
y = 2x 2
y = 2x 2
y = 2x 2
y = 2x 2
y = 2x 2
10 = 2x 2
20 = 2x 2
50 = 2x 2
y = 2 ⋅ 52
y = 2 ⋅ 102
y = 2 ⋅ 52
5 = x2
10 = x 2
25 = x 2
y = 2 ⋅ 25
y = 2 ⋅ 100
y = 2 ⋅ 25
2,23 = x1
3,16 = x1
5 = x1
y = 50 cm
y = 200 cm
y = 50 cm
−2,23 = x 2
−3,16 = x 2
−5 = x 2
b = 2 ⋅ 2,23
b = 2 ⋅ 3,16
b = 2⋅5
b = 4,46 cm
b = 6,32 cm
b = 10 cm
zu 3.)
zu 4.)
y = −0,2x 2
y = −0,2x 2
y = −0,2x 2
y = −0,2x 2
y = −0,2x 2
y = −0,2x 2
−10 = −0,2x 2
−20 = −0,2x 2
−50 = −0,2x 2
y = −0,2 ⋅ 52
y = −0,2 ⋅ 102
y = −0,2 ⋅ 202
50 = x 2
100 = x 2
250 = x 2
y = −0,2 ⋅ 25
y = −0,2 ⋅ 100
y = −0, 2 ⋅ 400
7,07 = x1
10 = x1
15,81 = x1
y = −5 cm
y = −20 cm
y = −80 cm
−7, 07 = x 2
−10 = x 2
−15, 81 = x 2
b = 2 ⋅ 7,07
b = 2 ⋅ 10
b = 2 ⋅ 15,81
b = 14,14 cm
b = 20 cm
b = 31,62 cm
zu 5.)
1 2
x
2
1
y = ⋅ 62
2
1
y = ⋅ 36
2
y = 18 cm
y=
x=6
1 2
x
y = 100
2
1
100 = x 2
2
y=
200 = x 2
14,14 = x1 −14,14 = x 2 b = 2 ⋅ 14,14 = 28, 28 cm
Seite 4 von 35
PARABELSCHABLONEN
Bitte auf Pappe kleben und ausschneiden!
y=±
1 2
x
4
y = ±2x 2
1
y = ± x2
2
y = ±1x 2
Seite 5 von 35
Parabeln, Brücken, Parabeln, Brücken ...
1.) Die Müngstener Brücke der Bahnstrecke zwischen Solingen und Remscheid hat einen parabel1 2
förmigen Bogen mit der Funktionsgleichung y = −
x .
90
Berechne die Spannweite des Brückenbogens für eine Bogenhöhe von 69 Metern. Fertige dazu
zuerst eine kleine Skizze der Brücke an!
2.) Von einer Hängebrücke ist die Gleichung des parabelförmigen Bogens mit y =
Fertige eine Skizze der Brücke an!
Berechne die Spannweite der Brücke, wenn die Höhe 90 Meter beträgt.
Wie ändert sich die Spannweite bei einer Bogenhöhe von 45 Metern?
3.) Für einige Brücken sind die Werte für h und w
gegeben:
Brooklyn-Bridge:
w = 486 m ; h = 88 m
Golden Gate Bridge: w = 1280 m ; h = 144 m
Verrazano-Bridge: w = 1298 m ; h = 122 m
Ermittle die Koordinaten der Punkte A und B und
bestimme die Gleichung der Parabel für die einzelnen Brücken.
4.) Bestimme die Parabelgleichung der dargestellten Brücke für h = 25 m und w = 100 m und berechne die Länge der Stützen, wenn der Abstand 10 Meter beträgt.
5.) In der Konstruktionszeichnung
rechts ist der Hauptbogen einer Eisenbahnbrücke dargestellt.
Bestimme mit den angegebenen Maßen die Parabelgleichung des Bogens.
Rechne mit der gefundenen
Gleichung und den übrigen
Angaben nach, ob die Punkte
auf der Parabel liegen.
Seite 6 von 35
1 2
x bekannt.
120
Parabeln, Brücken, Parabeln, Brücken (Lösungen)
1.)
1 2
x
90
1 2
− 69 = −
x
90
y=−
1
-3
6210 = x 2
78,80 = x
-2
-1
O
1
2
3
1
2
3
-1
s = 78,80 ⋅ 2 = 157,60 m
-2
2.)
2
1 2
x
y=
120
1 2
x
90 =
120
1
10800 = x 2
103,92 = x
s = 103,92 ⋅ 2 = 207,84 m
bei 45 m s = 146,97 m
-3
-2
-1
O
-1
3.)
x = 243
y = ax 2
x = 640
y = ax 2
y = 88
88 = a ⋅ 2432
y = 144
144 = a ⋅ 6402
a = 0, 00149
Brooklyn :
y = 0,00149x
x = 649
y = ax 2
y = 122
122 = 6492
a = 0, 00035
2
Golden Gate :
y = 0,00035x 2
a = 0,00029
Verrazano
y = 0,00029x 2
4.)
x = 50
y = ax 2
y = −25
−25 = a ⋅ 50 2
x = 10 ⇒ y = −0,01 ⋅ 10 2
a = −0,01
y = −0,01x
2
x = 20 ⇒ y = −0,01 ⋅ 20 2
y = −1
y = −4
h = 1m
h=4m
x = 30 ⇒ h = 9 m
Seite 7 von 35
x = 40 ⇒ h = 16 m
5.)
y = ax 2
1
⋅9
24
3
y=−
8
x=3⇒y=−
− 6 = a ⋅ 12 2
1
=a
24
1 2
x
y=−
24
y = −0,375
−
6 m − 0,375 m = 5,625 m
x
3
6
9
y
-0,38
-1,5
-3,38
6 m – 0,38 m = 5,62
6 m – 1,5 m = 4,5
6 m – 3,38 m = 2,62
richtig (wenn gerundet wurde)
richtig
richtig (wenn gerundet wurde)
Seite 8 von 35
2
Die Parabel y = a ⋅ x + c
Aufgabe:
a.) Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein:
1
y1 = − x 2 + 4
y 2 = 2x 2 − 6
2
b.) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) der Parabeln.
c.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N) der Parabeln.
d.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (T1 und T2) der beiden Parabeln
x
y1
y2
-3
-0,5
12
-2,5
0,875
6,5
-2
2
2
-1,5
2,875
-1,5
-1
3,5
-4
-0,5
3,875
-5,5
0
4
-6
0,5
3,875
-5,5
1
3,5
-4
1,5
2,875
-1,5
2
3
4
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
O
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Seite 9 von 35
2
2
2
2,5
0,875
6,5
3
-0,5
12
zu b.)
Scheitelpunkt von y1: S(0/4)
Scheitelpunkt von y2: S(0/-6)
zu c.)
1 2
x +4
2
1
0 = − x2 + 4
2
1
−4 = − x 2
2
8 = x2
y = 2x 2 − 6
y=−
0 = 2x 2 − 6
6 = 2x 2
3 = x2
8 = 2,83 = x1
3 = 1,73 = x1
− 8 = −2,83 = x 2
− 3 = −1,73 = x 2
N1 (2,83 / 0)
N1 (1,73 / 0)
N2 ( −2,83 / 0)
N2 ( −1,73 / 0)
zu d.)
1 2
x + 4 = 2x 2 − 6
2
−2,5x 2 = −10
−
x2 = 4
x1 = 2
y1 = 2
x 2 = −2
y2 = 2
T1 (2 / 2)
T2 ( −2 / 2)
MERKE:
2
Die Funktion y = ax + c ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt (S) um den Wert c entlang der y-Achse
verschoben wurde. Die Öffnungsrichtung (nach oben oder unten) und der Verlauf der Parabel (steil
oder flach) sind wieder abhängig vom Faktor a.
Der Scheitelpunkt dieser Parabeln liegt immer bei S(0/c)
Übungsaufgaben dazu:
1 2
x −2
y2 = −x2 + 3
4
Gib die Koordinaten der Scheitelpunkte (S) der Parabeln an.
Zeichne sie mit Hilfe der Schablonen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
Berechne die Nullstellen (N) der beiden Parabeln.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (T1 und T2) der beiden Parabeln.
y1 =
Gegeben sind die folgenden Funktionen:
a.)
b.)
c.)
d.)
zu a.)
Scheitelpunkt y1: S(0/-2)
Scheitelpunkt y2: S(0/3)
zu c.)
Nullstellen y1: N1(2,83/0) ; N2(-2,83/0)
Nullstellen y2: N1(1,73/0) ; N2(-1,73/0)
zu d.)
Schnittpunkt y1 und y2: T1(2/-1) ; T2(-2/-1)
Parabeln der Form y = ax² + c
Seite 10 von 35
y
7
y2
y1
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y3
y4
-7
y5
1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen y1 –y5 der hier gezeigten quadratischen Funktionen?
2.) Wie lauten die Koordinaten der Scheitelpunkte (S1 – S5)?
3.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen
gehören:
P1 ( −2 /?)auf y 1 ;
P2 ( −8 /?)auf y 4 ;
P3 (15 /?)auf y 5
P4 (?/ 93 )auf y 2 ;
P5 (?/ − 44 )auf y 3 ;
P6 (?/ − 20 )auf y 4
P7 (?/ 30 )auf y 1 ;
P8 (?/ − 12)auf y 2
4.) Berechne, wenn möglich, die Koordinaten der Nullstellen (N) der Parabeln.
5.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (P1 und P2) von y2 mit y3 sowie (P3 und P4) von y4 mit
y5
Seite 11 von 35
Parabeln der Form y = ax² + c (Lösungen)
zu 1.)
y1 =
1 2
x +1
4
1 2
1
x + 6 y 4 = − x 2 − 2 y5 = − x 2 + 3
2
4
y 2 = 2x 2 − 5
y3 = −
S2 (0 / − 5)
S3 (0 / 6)
zu 2.)
S1(0 /1)
S4 (0 / − 2)
S5 (0 / 3)
zu 3.)
P1( −2 / 2) auf y1
P2 ( −8 / − 18) auf y 4
P3 (15 / − 222) auf y5
P4 (7 ∨ −7 / 93) auf y 2
P5 (10 ∨ −10 / − 44) auf y3
P6 (8,49 ∨ −8,49 / − 20) auf y 4
P7 (10,77 ∨ −10,77 / 30) auf y1
P8 (n.l. / − 12) auf y 2
zu 4.)
1 2
x +1
4
keine N
y1 =
N1(1,58 / 0)
1 2
x +6
2
N1(3,46 / 0)
N2 ( −1,58 / 0)
N2 ( −3,46 / 0)
y 2 = 2x 2 − 5
y3 = −
1 2
x −2
4
keine N
y4 = −
y5 = − x 2 + 3
N1(1,73 / 0)
N2 ( −1,73 / 0)
zu 5.)
y 2 mit y 3 :
2x 2 − 5 = −
y 4 mit y 5 :
1 2
x +6
2
−
1 2
x − 2 = −x2 + 3
4
x 2 = 4,4
x1 = 2,1
y1 = 3,82
3 2
x =5
4
x 2 = 6, 67
x1 = 2,58
x 2 = −2,1
y 2 = 3,82
x 2 = −2,58
y 2 = −3,67
P1(2,1/ 3,82)
P2 ( −2,1/ 3,82)
P3 (2,58 / − 3,67)
P4 ( −2,58 / − 3,67)
2,5x 2 = 11
Seite 12 von 35
y1 = −3,67
Die Parabel y = a · (x - b)2
Lege für die Parabel y =
Aufgabe:
1
⋅ ( x + 2) 2 eine Wertetabelle von -5 bis 5 an (Abstand 1).
2
a.) Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel?
b.) Wie heißen die Nullstellen der Parabel?
c.) Wo schneidet sie die y-Achse?
x
y
-5
4,5
-4
2
-3
0,5
-1
0,5
-2
0
0
2
1
4,5
2
8
3
12,5
4
18
5
24,5
Scheitelpunkt (S)
Nullstellen (N)
zu a.) Scheitelpunkt:
zu b.) Nullstellen:
S(-2 / 0)
N1(-2 / 0)
zu c.) Berechnung des Schnittpunktes mit der y-Achse
1
⋅ (x + 2)2 ⇒ x = 0
2
1
y = ⋅ (0 + 2)2
2
1
y = ⋅4
2
y=2
y=
Schnittpunkt y-Achse (Sy) = (0 / 2)
7
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
-1
Seite 13 von 35
2
3
4
5
6
7
Merke:
2
Die Funktion y = a · (x - b) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S (-b /0). Die Öffnungsrichtung und
die Öffnungsweite sind wieder abhängig vom Faktor a vor der Klammer.
Aufgabe:
y1 = −2x 2 + 6
Gegeben sind die quadratischen Funktionen:
und
y2 =
1
⋅ (x − 3)2
4
a.) Zeichne sie mit Hilfe der Parabelschablonen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
b.) Bestimme die Koordinaten ihrer Schnittpunkte (T1 und T2).
zu a.)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
-1
-2
Seite 14 von 35
4
5
6
7
8
zu b.)
1
1 15
±
+
3
9 9
2
1 4 5
x1 = + = = 1
3
3 3 3
1 4
x 2 = − = −1
3 3
1
⋅ ( x − 3 )2
4
1
− 2x 2 + 6 = ⋅ ( x 2 − 6 x + 9)
4
9
3
1
2
− 2x + 6 = x 2 − x +
4
2
4
3
3
9
0 = x2 − x − 3
4
2
4
5
2
0 = x2 − x −
3
3
− 2x 2 + 6 =
x1 / 2 =
y1 =
4
9
y2 = 4
T1 (1,67 / 0,44)
T 2 ( −1 / 4 )
Aufgabe:
Gegeben sind folgende Funktionen:
y1 =
1 2
x
4
y2 = −
1 2
x +2
2
y3 =
1
⋅ ( x + 4 )2
2
y4 = −
1
x+2
2
a.) Zeichne die vier Funktionen mit unterschiedlichen Farben in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
b.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N) von y2 und y4.
c.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von y2 und y4 und von y1 und y3.
8
y1
7
6
5
y4
4
3
2
1
y3
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
-1
y2
-2
Seite 15 von 35
2
3
4
5
zu b.)
y2 = −
1 2
x +2
2
y=0
1 2
x +2
2
1
−2 = − x 2
2
y4 = −
1
x+2
2
y=0
1
x+2
2
1
−2 = − x
2
0=−
0=−
4 = x2
4=x
2 = x1
N(4 / 0)
−2 = x 2
N1(2 / 0) N2 ( −2 / 0)
zu c.)
1 2
x +2
2
1
1
− x2 + 2 = − x + 2
2
2
1
1
− x2 + x = 0
2
2
y1 = 2 ∨ y 2 = 1, 5
1 2
x
4
1 2 1
2
x = ⋅ ( x + 4)
4
2
1 2 1
x = ⋅ x 2 + +8x + 16
4
2
1 2 1 2
x = x + 4x + 8
4
2
1 2
0 = x + 4x + 8
4
0 = x 2 + 16x + 32
S1(0 / 2) S2 (1/1, 5)
x1/ 2 = −8 ± 64 − 32
y2 = −
x2 − x = 0
x ⋅ (x − 1) = 0 ⇒ x1 = 0 ∨ x 2 = 1
y4 = −
1
x+2
2
y1 =
(
x1/ 2 = −8 ± 32
x1 = −8 + 5,66 = −2,34
x 2 = −8 − 5,66 = −13,66
y1 = 1,37
y 2 = 46,65
S1( −2,34 /1, 37)
S2 ( −13,66 / 46,65)
Seite 16 von 35
y3 =
)
1
2
⋅ ( x + 4)
2
Parabeln der Form y = a (x - b)²
y
7
y1
y2
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
-4
-5
y3
-6
-7
y4
y5
1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen:
2.) a.) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte (Sy) der Parabeln y1 - y5 mit der y-Achse.
b.) Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte (S) der Parabeln y1 - y5.
c.) Zeichne mit einer Farbe die Spiegelachsen der Parabeln ein.
d.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen
gehören:
P1 ( −7 /?) auf y 1 ;
P2 ( −3 /?) auf y 2 ;
P3 (10 /?) auf y 3 ;
P4 ( −9 /?) auf y 4
P5 (?/ 9) auf y 1 ;
P6 (?/ − 25 ) auf y 2 ;
P7 (?/ 15 ) auf y 3 ;
P8 (?/ − 16 ) auf y 4
3.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von y1 und y2 sowie von y3 und y5.
4.) Welche Breite besitzt die Parabel y1 2 cm oberhalb ihres Scheitelpunktes?
Welche Breite besitzt die Parabel y3 4 cm unterhalb ihres Scheitelpunktes?
Welche Breite besitzt die Parabel y2 20 cm oberhalb ihres Scheitelpunktes?
Welche Breite besitzt die Parabel y5 50 cm unterhalb ihres Scheitelpunktes?
Seite 17 von 35
Parabeln der Form y = a (x - b)² (Lösungen)
zu 1.)
1
⋅ (x + 3)2
4
y 4 = −2 ⋅ (x + 1)2
y 5 = −1⋅ (x − 3)2
1
⋅ (x + 3)2
4
1
y3 = − ⋅ (0 + 3)2
4
y3 = −2, 25
y 4 = −2 ⋅ (x + 1)2
y 5 = −1⋅ (x − 3)2
y 4 = −2 ⋅ (0 + 1)2
y 5 = −1⋅ (0 − 3 )2
y1 = 4
1
⋅ (x − 2)2
2
1
y 2 = ⋅ (0 − 2)2
2
y2 = 2
y 4 = −2
y 5 = −9
Sy(0 / 4)
Sy(0 / 2)
Sy(0 / − 2,25)
Sy(0 / − 2)
Sy(0 / − 9)
y1 = (x + 2)2
y2 =
1
⋅ (x − 2)2
2
y3 = −
zu 2.) zu a.)
y1 = (x + 2)2
y1 = (0 + 2)2
y2 =
y3 = −
zu b.)
S1( −2 / 0)
S2 (2 / 0)
S3 ( −3 / 0)
S4 ( −1/ 0)
S5 (3 / 0)
x=2
x = −3
x = −1
x=3
zu c.)
x = −2
zu d.)
P1 ( −7 / 25) auf y1 P2 ( −3 / 12,5) auf y 2 P3 (10 / − 42,25 ) auf y 3
P4 ( −9 / − 128) auf y 4
P5 (1/ 9) auf y1
P6 (n.l. / − 25) auf y 2
P7 (n.l. /15) auf y3
P8 (1,83 / − 16) auf y 4
P5 ( −5 / 9) auf y1
P6 (n.l. / − 25) auf y 2
P7 (n.l. /15) auf y3
P8 ( −3,83 / − 16) auf y 4
zu 3.)
y1 = (x + 2)2
y2 =
1
⋅ (x − 2)2
2
y3 = −
1
⋅ (x + 3)2
4
y 5 = −1⋅ (x − 3)2
(x + 2)2 =
1
⋅ (x − 2)2
2
1
x 2 + 4x + 4 = ⋅ (x 2 − 4x + 4)
2
1
x 2 + 4x + 4 = x 2 − 2x + 2
2
1 2
x + 6x + 2 = 0
2
1
⋅ (x + 3)2 = −1⋅ (x − 3)2
4
1
− ⋅ (x 2 + 6x + 9) = −1⋅ (x 2 − 6x + 9)
4
1
3
9
− x 2 − x − = −1x 2 + 6x − 9
4
2
4
3 2
1
3
x −7 x+6 = 0
4
2
4
x 2 + 12x + 4 = 0
x 2 − 10x + 9 = 0
x1/ 2 = −6 ± 36 − 4
x1/ 2 = 5 ± 25 − 9
x1/ 2 = −6 ± 5,66
x1/ 2 = 5 ± 4
−
x1 = −0,34
y1 = 2,76
x1 = 9
y1 = −36
x 2 = −11,66
y 2 = 93,32
x2 = 1
y 2 = −4
S1( −0,34 / 2,76)
S1(9 / − 36)
S2 ( −11,66 / 93,32)
S2 (1/ − 4)
Seite 18 von 35
zu 4.)
±1,41 = x + 2
1
⋅ (x + 3)2
4
1
−4 = − ⋅ (x + 3)2
4
±4 = x + 3
1
⋅ (x − 2)2
2
1
20 = ⋅ (x − 2)2
2
±6,32 = x − 2
±7,07 = x − 3
x1 = −0,59
x1 = 1
x1 = 8,32
x1 = 10,07
x 2 = −3,41
x 2 = −7
x 2 = −4,32
x 2 = −4,07
Breite :
Breite :
Breite :
Breite :
( −3,41) − ( −0,59) =
1 − ( −7) =
8,32 − ( −4,32) =
10,07 − ( −4,07) =
2,82 E
8E
12,64 E
14,14 E
y1 = (x + 2)2
2 = (x + 2)2
y3 = −
y2 =
Seite 19 von 35
y5 = −1⋅ (x − 3)2
−50 = −1⋅ (x − 3)2
Die Parabel y = a ( x - b )2 + c
y=
Beispiel:
1
⋅ ( x − 1) 2 + 2
2
↑
↑
↑
a
b
c
Scheitelpunkt: ( -b / c) ( 1 / 2 )
7
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
-1
Merke:
2
Die Funktion y = a · (x - b) + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-b/c). Die Öffnungsrichtung
und Öffnungsweite werden wieder durch den Faktor a angegeben.
2
Da man bei dieser Funktionsgleichung y = a (x - b) + c sofort den Scheitelpunkt ablesen kann, nennt
man sie Scheitelform der Parabel.
Seite 20 von 35
Die Parabel y = a (x - b)² + c
7
6
y2
y4
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
y1
1
2
3
4
5
6
-1
y5
-2
-3
-4
y3
-5
-6
-7
1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen:
2.) Benutze die Funktionsgleichungen, um folgende Aufgaben zu lösen:
a.) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte der Parabeln y1 - y5 mit der y-Achse.
b.) Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte der Parabeln y1 - y5.
c.) Bestimme die Gleichungen der Spiegelachsen und zeichne sie ein.
d.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen
Funktionen gehören:
P1( −3 / ?) auf y3 ; P2 ( 2 / ?) auf y5 ; P3 (?/ 2) auf y1 ; P4 (?/ 4 ) auf y2
e.)
f.)
g.)
h.)
Wie breit ist die Parabel y1 sieben Einheiten unter ihrem Scheitelpunkt?
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von y5 und y2.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von y1 und y4.
Bestimme die möglichen Nullstellen der Parabeln.
Seite 21 von 35
7
Die Parabel y = a (x - b)² + c (Lösungen)
zu 1.)
y1 = −0,5 ⋅ (x − 3)2 + 4
y 2 = 2 ⋅ (x + 1)2 − 5
y3 = −1⋅ (x + 2)2 + 3
y 4 = 1⋅ (x − 2)2 − 2
y5 = −0,25 ⋅ (x + 3)2 + 1
zu 2.) a.)
y1 = −0,5 ⋅ (0 − 3)2 + 4
Sy 2 (0 / − 3)
y1 = −0,5
Sy 3 (0 / − 1)
Sy1 (0 / − 0,5)
Sy 4 (0 / 2)
Sy 5 (0 / − 1,25)
zu 2.) b.)
S1 (3 / 4)
S2 ( −1/ − 5)
S4 (2 / − 2)
S5 ( −3 /1)
zu 2.) c.)
x1 = 3
x2 = -1
S3 ( −2 / 3)
x3 = -2
x4 = 2
x5 = -3
zu 2.) d.)
P1 (-3/2) auf y3
P2 (2/-5,25) auf y5
P3 (5/2) oder P3 (1/2) auf y1
P4 (1,12/4) oder P4 (-3,12/4) auf y2
zu 2.) e.)
−3 = −0,5 ⋅ (x − 3)2 + 4
x1/ 2 = 3 ± 9 + 5
2
−3 = −0,5 ⋅ (x − 6x + 9) + 4
x1 = 3 + 3,74 = 6,74
2
−3 = −0,5x + 3x − 4,5 + 4
x 2 = 3 − 3,74 = −0,74
2
−3 = −0,5x + 3x − 0,5
0 = −0,5x 2 + 3x + 2,5
Breite : 6,74 − ( −0,74) = 7,48 cm
2
0 = x − 6x − 5
zu 2.) f.)
22
7
x2 +
x− =0
9
9
x1 = 0,29
y1 = −1,67
x 2 = −2, 73
y2 = 1
T1 (0,29 / − 1,67)
T2 ( −2,73 / 1)
zu 2.) g.)
14
5
x2 −
x+ =0
3
3
x1 = 4,27
y1 = 3,15
x 2 = 0,39
y 2 = 0,59
T1 (4,27 / 3,15)
T2 (0,39 / 0,59)
zu 2.) h.)
N1 (0,17 / 0) und (5,83 / 0)
N2 (0,58 / 0) und ( −2,58 / 0)
N3 ( −0,27 / 0) und ( −3,73 / 0)
N4 (3,41/ 0) und (0,59 / 0)
N5 ( −1/ 0) und ( −5 / 0)
Seite 22 von 35
Zusammenfassung der Parabeleigenschaften
Hier noch einmal ein Überblick über die Eigenschaften der bisher besprochenen Parabeln in tabellarischer Form:
Funktion
y = x2
y = ax 2
y = ax 2 + c
y = a ⋅ (x − b)2
y = a ⋅ (x − b)2 + c
Scheitelpunkt (S):
(0/0)
(0/0)
(0/c)
(-b/0)
(-b/c)
Schnittpunkt mit
y-Achse (Sy):
(0/0)
(0/0)
(0/c)
(0 / a ⋅ b 2 )
(0 / a ⋅ b 2 + c)
Beispiel:
y = x2
y = 2x 2
y = 2x 2 − 3
y = 2 ⋅ (x − 4)2
y = 2 ⋅ (x − 4)2 − 3
Scheitelpunkt (S):
(0/0)
(0/0)
(0/-3)
(4/0)
(4/-3)
Schnittpunkt mit
y-Achse (Sy):
(0/0)
(0/0)
(0/-3)
(0 / 2 ⋅ 42 = 32)
(0 / 2 ⋅ 42 − 3 = 29)
Faktor a gibt Auskunft über die Form und Öffnungsrichtung der Parabel: engere oder
weitere Öffnung als die Normalparabel y = x 2 ; nach oben oder nach unten geöffnet.
Der Wert c gibt die Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel in y-Richtung
(nach oben oder nach unten) an.
Der Wert b gibt die Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel in x-Richtung
(nach links oder nach rechts) an.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion y = −0,5 ⋅ ( x + 3)2 + 4
Scheitelpunkt:
Öffnungsrichtung:
Öffnungsweite:
S(-3/4)
nach unten
weiter als Normalparabel
S(-b/c)
(da a<0)
(da -1<a<0)
Um den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse zu bestimmen, setzt man x = 0 und
berechnet den y-Wert:
y = −0,5 ⋅ (0 + 3)2 + 4 ⇒ y = −0,5 Sy(0/-0,5)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Um die Nullstellen der Parabel zu berechnen, setzt man y = 0 und berechnet die beiden x-Werte:
0 = −0,5 ⋅ ( x + 3)2 + 4
y7
x1 ≈ −0,17
N1( −0,17 / 0)
6
5
4
3
2
1
- - - - - - - O 1 2 3 4 5 6 7x
-
x 2 ≈ −5, 83
Seite 23 von 35
N2 ( −5,83 / 0)
Die Parabel y = ax2 + dx + e
Aufgabe:
Gegeben ist die Parabel y = x 2 + 4x + 1
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Berechne die Nullstellen (N1, N2) der Parabel.
Berechne die Schnittstelle (Sy) der Parabel mit der y-Achse.
Zeichne die 3 Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Versuche, mit Hilfe einer Schablone und der 3 Punkte die Parabel zu zeichnen.
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) der Parabel aus der Zeichnung.
7
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
-1
-2
-3
-4
zu a.) Berechnung der Nullstellen:
y = x 2 + 4x + 1
0 = x 2 + 4x + 1
x1/ 2 = −2 ± 4 − 1
x1 = −2 + 1,73 = −0,27
x 2 = −2 − 1,73 = −3,73
N1( −0,27 / 0)
N2 ( −3,73 / 0)
Seite 24 von 35
2
3
4
5
6
7
zu b.) Berechnung des Schnittpunktes mit der y-Achse:
y = x 2 + 4x + 1
y = 02 + 4 ⋅ 0 + 1
y =1
Sy (0 / 1)
zu e.) Scheitelpunkt der Parabel:
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-2/-3)
Aufgabe:
Gibt es eine Möglichkeit, den Scheitelpunkt aus der Gleichung y = x 2 + 4x + 1 zu berechnen?
Dazu müsste man die Gleichung y = x 2 + 4x + 1 in die Form y = a ⋅ (x − b)2 + c (Scheitelpunktform)
bringen.
y = x 2 + 4x + 1
y = x 2 + 4x + 4 − 4 + 1 / quadratische Ergänzung!
y = (x 2 + 4x + 4) − 3
y = (x + 2)2 − 3
S( −2 / − 3)
Merke:
Die Funktion y = ax 2 + dx + e ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt aus der Funktionsgleichung nicht
direkt ablesbar ist.
Um den Scheitelpunkt (S) bestimmen zu können, muss man sie in die Form y = a ⋅ (x − b)2 + c (Scheitelpunktform) umformen. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion: f(x) = y =
1 2
x − 5x + 8
2
1.) Berechne die Nullstellen (N1;N2) der Parabel.
2.) Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse (Sy).
3.) Berechne den Scheitelpunkt (S).
zu 1.)
1 2
x − 5x + 8
2
1
0 = x 2 − 5x + 8
2
0 = x 2 − 10x + 16
y=
x1/ 2 = 5 ± 25 − 16
x1 = 5 + 3 = 8
N1(8 / 0)
x2 = 5 − 3 = 2
N2 (2 / 0)
Seite 25 von 35
zu 2.)
zu 3.)
1 2
x − 5x + 8 /⋅ 2
2
2y = x 2 − 10x + 16
y=
1 2
x − 5x + 8
2
1
y = ⋅ 02 − 5 ⋅ 0 + 8
2
y=8
Sy (0 / 8)
y=
2y = x 2 − 10x + 25 − 25 + 16
2y = (x 2 − 10x + 25) − 9
2y = (x − 5)2 − 9 / : 2
1
y = (x − 5)2 − 4, 5
2
S(5 / − 4,5)
Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion: f(x) = y = −2x 2 + 6x − 2,5
1.) Berechne die Nullstellen (N1; N2).
2.) Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse (Sy).
3.) Berechne den Scheitelpunkt (S).
zu 1.)
y = −2x 2 + 6x − 2,5
2
0 = −2x + 6x − 2,5
2
0 = x − 3 x + 1,25
zu 2.)
x1/ 2 = 1,5 ± 2,25 − 1,25
x1 = 1,5 + 1 = 2, 5
N1(2,5 / 0)
x 2 = 1,5 − 1 = 0,5
N2 (0,5 / 0)
zu 3.)
y = −2x 2 + 6x − 2,5 / : ( −2)
y = −2x 2 + 6x − 2,5
y = −2 ⋅ 02 + 6 ⋅ 0 − 2,5
y = −2,5
Sy (0 / − 2,5)
−0,5y = x 2 − 3x + 1,25
−0,5y = x 2 − 3x + 2,25 − 2,25 + 1,25
−0,5y = (x 2 − 3x + 2,25) − 1
−0,5y = (x − 1, 5)2 − 1 / ⋅ ( −2)
y = −2(x − 1,5)2 + 2
S(1,5 / 2)
y = ax2 + dx +e → y = a (x+b)2 + c
Aufgabe:
Gegeben sind folgende Funktionen:
f(x) = y = x 2 − 6x + 5
g(x) = y = x 2 + 8x + 12
h(x) = y = x 2 − 9x + 24,25
1.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) jeder Funktion.
2.) Zeichne alle Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
3.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N1, N2) der Funktionen.
4.) Gib die Koordinaten der jeweiligen Schnittpunkte (Sy) mit der y-Achse an.
Seite 26 von 35
zu 1.)
y = x 2 − 6x + 5
y = x 2 + 8x + 12
y = x 2 − 9x + 24,25
y = x 2 − 6x + 9 − 9 + 5
y = x 2 + 8x + 16 − 16 + 12
y = x 2 − 9x + 20,25 − 20,25 + 24,25
y = (x 2 − 6 x + 9) − 4
y = (x 2 + 8x + 16) − 4
y = (x 2 − 9x + 20,25) + 4
y = (x − 3)2 − 4
y = (x + 4)2 − 4
y = (x − 4,5)2 + 4
S(3 / − 4)
S( −4 / − 4)
S(4,5 / 4)
zu 2.)
7
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Seite 27 von 35
2
3
4
5
6
7
zu 3.)
y = x 2 − 6x + 5
y = x 2 + 8x + 12
0 = x 2 − 6x + 5
0 = x 2 + 8x + 12
x1/ 2 = 3 ± 9 − 5
x1/ 2 = −4 ± 16 − 12
x1 = 3 + 2 = 5
x1 = −4 + 2 = −2
x2 = 3 − 2 = 1
x 2 = −4 − 2 = −6
N1(5 / 0)
N1( −2 / 0)
N2 (1/ 0)
N2 ( −6 / 0)
keine Nullstellen!
y = x 2 − 6x + 5
y = x 2 + 8x + 12
y = x 2 − 9x + 24,25
y = 02 − 6 ⋅ 0 + 5
y = 02 + 8 ⋅ 0 + 12
y = 02 − 9 ⋅ 0 + 24,25
y = x 2 − 9x + 24,25
0 = x 2 − 9x + 24,25
x1/ 2 = 4,5 ± 20,25 − 24, 25
x1/ 2 = 4,5 ± −4
nicht lösbar !
zu 4.)
y=5
y = 12
y = 24,25
Sy (0 / 5)
Sy (0 /12)
Sy (0 / 24,25)
Aufgabe:
Gegeben sind folgende Funktionen:
h(x) = y = −3x 2 − 6x + 9
s(x) = y = −
1 2
x + 3x + 3
2
1.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) jeder Funktion.
2.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N1, N2) der Funktion.
3.) Gib die Koordinaten der jeweiligen Schnittpunkte (Sy) mit der y-Achse an.
zu 1.)
y = −3x 2 − 6x + 9 / : ( −3)
y = −0,5x 2 + 3x + 3 /⋅ ( −2)
−0,3 y = x 2 + 2x − 3
−2 y = x 2 − 6x − 6
−0,3 y = x 2 + 2x + 1 − 1 + 9
−2 y = x 2 − 6x + 9 − 9 − 6
−0,3 y = (x 2 + 2x + 1) + 8
−2 y = (x 2 − 6x + 9) − 15
−0,3 y = (x + 1)2 + 8 / ⋅ ( −3)
−2 y = (x − 3)2 − 15 / : ( −2)
y = −3(x + 1)2 − 24
y = −0,5(x − 3)2 + 7, 5
S( −1/ − 24)
S(3 / − 7,5)
zu 2.)
y = −3x 2 − 6x + 9
2
x1/ 2 = 1 ± 1 + 3
x1 = 1 + 2 = 3
N1(3 / 0)
0 = x + 2x − 3
x 2 = 1 − 2 = −1
N2 ( −1/ 0)
y = −0,5x 2 + 3x + 3
x1/ 2 = 3 ± 9 + 6
0 = −3x − 6x + 9
2
2
0 = −0,5x + 3x + 3
2
0 = x − 6x − 6
x1 = 3 + 3,87 = 6, 87
N1(6,87 / 0)
x 2 = 3 − 3,87 = −0,87
N2 ( −0,87 / 0)
Seite 28 von 35
zu 3.)
y = −3x 2 − 6x + 9
y = −0,5x 2 + 3x + 3
y = −3 ⋅ 02 − 6 ⋅ 0 + 9
y = −0,5 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 + 3
y=9
y=3
Sy (0 / 9)
Sy (0 / 3)
Anwendungsaufgaben
Aufgabe:
2
Die Sprungparabel eines Flohs hat die Gleichung y = -0,1x + 0,4x + 0,5. (x in Dezimeter)
a.) Wie hoch springt der Floh?
b.) Wie weit springt der Floh?
zu a.)
y = −0,1x 2 + 0,4x + 0,5
y = −0,1⋅ (x 2 − 4x) + 0,5
y = −0,1⋅ (x 2 − 4x + 4) + 0,4 + 0,5
y = −0,1⋅ (x − 2)2 + 0,9
S(2 / 0, 9)
Sprunghöhe : 0,9 dm = 9 cm
zu b.)
0 = −0,1x 2 + 0,4x + 0,5
0 = x 2 − 4x + 5
x1/ 2 = 2 ± 4 + 5
x1 = 2 + 3 = 5
x 2 = 2 − 3 = −1
Sprungweite : 5 dm − ( −1 dm) = 6 dm = 60 cm
Seite 29 von 35
Parabeln (Abschluss)
1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten Funktionen:
y2
y4
y
7
6
y3
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y1
-7
y5
2.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen von y1, y4 und y5.
3.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von y1 und y3 sowie von y4 und y5.
4.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen
gehören:
P1(-5/?) auf y2 ; P2(?/-3) auf y4.
5.) Überprüfe durch Rechnung: Liegt der Punkt T(23/96) auf der Parabel y4?
Anwendungsaufgaben:
6.) Christian wirft im Sportunterricht seinen Ball aus 1,3 m Höhe senkrecht nach oben. Mit der Gleichung h = −5t 2 + 9t + 1,3 kann er näherungsweise die Maßzahl der Höhe berechnen, die der Ball
nach einer bestimmten Zeit (in Sekunden) erreicht hat.
a.) Wie hoch fliegt Christians Ball?
b.) Wie viel Zeit bleibt ihm, um den Ball in 1 m Höhe wieder aufzufangen?
Seite 30 von 35
7.) Bei den Bundesjugendspielen wirft Heiko seinen Ball in der Form einer Parabel. Diese kann beschrieben werden mit der Funktionsgleichung y = −0,02x 2 + 0,6 x + 1,5 .
a.) Wie weit fliegt der Ball?
b.) In welcher Entfernung von Heiko hat er den höchsten Punkt erreicht?
c.) In welcher Höhe hat Heiko den Ball abgeworfen?
8.) Ein Springbrunnen besitzt zwei entgegen gesetzt gerichtete Wasserdüsen. Die Flugbahn des
Wassers stellt eine Parabel dar. Die Wasserdüsen sind 50 cm über dem Wasser angebracht. Der
Höhepunkt der Wasserflugbahn liegt 1,4 m hoch und 60 cm von der Brunnenmitte entfernt.
Wie lautet die Funktionsgleichung der Flugbahn?
9.) Bob Beamon (USA) stellte bei den Olympischen Spielen 1968 in Mexiko-City einen neuen Fabelweltrekord im Weitsprung der Männer auf. Er übertraf dabei die bis dahin bestehende Bestmarke um sagenhafte 55 cm.
Die Flugbahn seines Körperschwerpunktes wird annähernd durch die Funktion:
y = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14 beschrieben.
Welche Fragestellungen sind möglich?
Versuche sie rechnerisch zu beantworten!
Seite 31 von 35
Parabeln (Abschluss) Lösungen
zu 1.)
y1 = −0,5x 2 + 5
y 2 = (x + 3)2
y 4 = 0,25(x − 3)2 − 4
y3 = −0,5x + 2
y5 = −2(x − 6)2 + 5
zu 2.)
y1 = −0,5x 2 + 5
y3 = −0,5x + 2
y 4 = 0,25(x − 3)2 − 4
y5 = −2(x − 6)2 + 5
0 = −0,5x 2 + 5
0 = −0,5x + 2
0 = 0,25(x − 3)2 − 4
0 = −2(x − 6)2 + 5
−5 = −0,5x 2
−2 = −0,5x
0 = 0,25(x 2 − 6x + 9) − 4
0 = −2( x 2 − 12x + 36) + 5
10 = x 2
4=x
0 = 0,25x 2 − 1,5x + 2,25 − 4
0 = −2x 2 + 24x − 72 + 5
x1 = 3,16
N(4 / 0)
0 = 0,25x 2 − 1,5x − 1,75
0 = −2x 2 + 24x − 67
x 2 = −3,16
0 = x 2 − 6x − 7
0 = x 2 − 12x + 33,5
N1(3,16 / 0)
x1/ 2 = 3 ± 9 + 7
x1/ 2 = 6 ± 36 − 33,5
N2 ( −3,16 / 0)
x1 = 3 + 4 = 7
x1 = 6 + 1,58 = 7,58
x 2 = 3 − 4 = −1
x 2 = 6 − 1,58 = 4,42
N1(7 / 0)
N1(7,58 / 0)
N2 ( −1/ 0)
N2 (4,42 / 0)
zu 3.)
y1 und y3 :
2
y 4 und y5 :
−0,5x + 5 = −0,5x + 2
0,25(x − 3)2 − 4 = −2(x − 6)2 + 5
−0,5x 2 + 0,5x + 3 = 0
0,25(x 2 − 6x + 9) − 4 = −2(x 2 − 12x + 36) + 5
x2 − x − 6 = 0
0,25x 2 − 1,5x + 2,25 − 4 = −2x 2 + 24x − 72 + 5
x1/ 2 = 0,5 ± 0,25 + 6
0,25x 2 − 1,5x − 1,75 = −2x 2 + 24x − 67
x1 = 0,5 + 2,5 = 3
2, 25 x 2 − 25,5x + 65,25 = 0
x 2 = 0,5 − 2,5 = −2
1
x 2 + 11 x + 29 = 0
3
y1 = 0,5
x1/ 2 = 5
y2 = 3
T1(3 / 0,5)
T2 ( −2 / 3)
2
1
± 32 − 29
3
9
2
+ 1,76 = 7,43
3
2
x 2 = 5 − 1,76 = 3,91
3
y1 = 0,91
x1 = 5
y 2 = −3,79
T1(7,43 / 0,91)
T2 (3,91/ − 3,79)
Seite 32 von 35
zu 4.)
x = −5
y = −3
y1 = −0,5x 2 + 5
−3 = 0,25(x − 3)2 − 4
y1 = −0,5 ⋅ 25 + 5
−3 = 0,25(x 2 − 6x + 9) − 4
y1 = −7,5
−3 = 0,25x 2 − 1,5 x + 2,25 − 4
P1( −5 / − 7,5)
−3 = 0,25x 2 − 1,5x − 1,75
0 = 0,25x 2 − 1,5x + 1,25
0 = x 2 − 6x + 5
x1/ 2 = 3 ± 9 − 5
x1 = 3 + 2 = 5
x2 = 3 − 2 = 1
P2 (5 / − 3)
P2 (1/ − 3)
zu 5.)
x = 23 ; y = 96
y 4 = 0,25(x − 3)2 − 4
96 = 0,25(23 − 3)2 − 4
96 = 0,25 ⋅ 202 − 4
96 = 0,25 ⋅ 400 − 4
96 = 100 − 4
96 = 96 ( w)
zu 6.)
a.)
2
h = −5t + 9t + 1,3
b.)
2
t1/ 2 = 0,9 ± 0,81 + 0,06
2
h = −5t + 9t + 1,3
−0,2h = t 2 − 1,8t − 0,26
1 = −5t + 9t + 1,3
t1 = 0,9 + 0,9 = 1, 8
−0,2h = t 2 − 1,8t + 0,81 − 0,81 − 0,26
0 = −5t 2 + 9t + 0,3
t 2 = 0,9 − 0,9 = 0
2
−0,2h = (t − 0,9) − 1,07
2
0 = t − 1,8t − 0,06
2
h = −5(t − 0,9) + 5,35
S(0,9 / 5,35)
Christians Ball erreicht nach 0,9 Sekunden
eine Höhe von 5,35 m.
Christian bleibt 1,8 Sekunden Zeit, um den Ball
in 1 m Höhe wieder aufzufangen.
Seite 33 von 35
zu 7.)
a.)
y = −0,02x + 0,6x + 1,5
b.)
2
0 = −0,02x 2 + 0,6x + 1,5
y = −0,02x 2 + 0,6x + 1,5
0 = x 2 − 30x − 75
−50y = x 2 − 30x − 75
x1/ 2 = 15 ± 225 + 75
x1 = 15 + 17, 32 = 32,32
−50y = x 2 − 30x + 225 − 225 − 75
−50y = (x − 15)2 − 300
x 2 = 15 − 17,32 = −2,32
y = −0,02(x − 15)2 + 6
N1(32,32 / 0)
S(15 / 6)
N2 ( −2,32 / 0)
w = 32,32 m + 2, 32 m = 34,64 m
Der Ball fliegt 34,64 m weit.
In 15 m Entfernung von Heiko erreicht er den höchsten
Punkt von 6 m Höhe.
zu c.) Heiko hat den Ball in einer Höhe von 1,5 m abgeworfen.
zu 8.)
1
(x − 60)2 + 140
40
1 2
y=−
(x − 120x + 3600) + 140
40
1 2
y=−
x + 3x − 90 + 140
40
1 2
y=−
x + 3x − 50
40
x = 0 cm ; y = 50 cm ; c = 140 cm ; b = 60 cm
y=−
a=?
y = a(x − b)2 + c
50 = a(0 − 60)2 + 140
50 = a( −60)2 + 140
50 = 3600a + 140
−90 = 3600a
90
=a
−
3600
1
−
=a
40
y=−
1
(x − 60)2 + 140
40
Seite 34 von 35
zu 9.)
Fragestellung:
Bei welcher Weite trifft sein KSP auf?
y = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14
0 = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14
0 = x 2 − 6,7215x − 19,965
x1/ 2 = 3,36075 ± 11,2946 + 19,965
x1 = 3,36075 + 5,591 = 8,95 m ⇒ Sprungweite KPS
(x 2 = 3,36075 − 5,591 = −2,23)
Fragestellung: Wie hoch war sein KSP an der höchsten Stelle des Sprungs, und bei welcher Weite
passierte das?
y = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14
y = −0,0571(x 2 − 6,7215x) + 1,14
y = −0,0571(x 2 − 6,7215x + 11,2946) + 0,6449 + 1,14
y = −0,0571(x − 3,36075)2 + 1,7849
S(3,36 /1,785)
Nach 3,36 m erreichte sein KSP eine Höhe von 1,785.
Fragestellung:
Bei welcher Sprungweite ist sein KSP 1,50 m hoch in der Luft?
y = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14
1,50 = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14
0 = −0,0571x 2 + 0,3838x − 0,36
0 = x 2 − 6,7215x + 6,3047
x1/ 2 = 3,36075 ± 11,2946 − 6,3047
x1 = 3,36075 + 2,2338 = 5,59455 m ⇒ (5,59 m)
x 2 = 3,36075 − 2,2338 = 1,12695 m ⇒ (1,13 m)
Er befand sich also ca. 4,46 m weit über einer Höhe von 1,50 m.
Fragestellung:
Welche Höhe hatte sein KSP bei 6 m Sprungweite?
y = −0,0571x 2 + 0,3838x + 1,14
y = −0,0571⋅ 62 + 0,3838 ⋅ 6 + 1,14
y = 1,3872 m ⇒ 1, 39 m
Sein KSP war bei einer Sprungweite von 6 m 1,39 m hoch.
Sprungweite (x)
1,0 m
2,0 m
3,0 m
4,0 m
5,0 m
6,0 m
7,0 m
8,0 m
Höhe KSP (y)
1,47 m
1,68 m
1,78 m
1,76 m
1,63 m
1,39 m
1,03 m
0,56 m
Seite 35 von 35

Download Report