Achsenabschnittsgleichung einer Ebene

Achsenabschnittsgleichung einer Ebene
Beispiel:
E : 2x1 + 3x2 + 3x3 − 6 = 0
E : 2x1 + 3x2 + 3x3 = 6
1
1
1
E : x1 + x2 + x3 = 1 3
2
2
x x
x
⇒ E : 1 + 2 + 3 =1
3 2 2
Der Vorteil dieser Gleichung besteht darin, dass man aus ihr die Schnittpunkte mit den
Achsen (Spurpunkte) unmittelbar ablesen kann:
Für x2 = 0 und x3 = 0 ergibt sich x1 = 3 und damit S1(3/0/0)
Für x1 = 0 und x3 = 0 ergibt sich x2 = 2 und damit S2(0/2/0)
Für x1 = 0 und x2 = 0 ergibt sich x3 = 2 und damit S3(0/0/2)
Kennt man die Spurpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen, so lässt sich ihre Lage
sehr anschaulich durch den in einem Oktanten des Koordinatensystems liegenden Teil
darstellen.
Definition:
Sind in einer Ebene mit der Koordinatengleichung ax1 + bx2 + cx3 − d = 0 alle Koeffizienten
a, b, c und d verschieden von Null, so lässt sich diese Gleichung umwandeln in die Form:
x1 x2 x3
+ + = 1 (Achsenabschnittsgleichung)
u
v w
Aus der Achsenabschnittsgleichung lassen sich unmittelbar die Spurpunkte S1(u/0/0),
S2(0/v/0) und S3(0/0/w) mit den Koordinatenachsen ablesen.
Bemerkung:
Die Verbindungsgerade zweier Spurpunkte bezeichnet man als Spurgerade der Ebene mit der
entsprechenden Koordinatenebene.
Tritt in der Koordinatengleichung einer Ebene eine Variable nicht auf, so lässt sich auch eine
Achsenabschnittsgleichung angeben.
Aufgaben:
1. Bestimmen Sie jeweils eine Koordinatengleichung der Ebene E.
2. Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung E : 3x1 − 6x2 + 4x3 − 12 = 0 .
a) Ermitteln Sie die Spurpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
b) Berechnen Sie jeweils eine Gleichung der Spurgerade der Ebene.
c) Zeichnen Sie mithilfe der Spurpunkte ein Bild der Ebene.
3. Die Punkte A(2/1/1), B(1/2/1) und C(2/-1/2) legen eine Ebene fest.
a) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene.
b) Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
c) Geben Sie für jede Spurgerade der Ebene eine Parametergleichung an.
d) Zeichnen Sie mithilfe der Spurpunkte ein Bild der Ebene.
4. Berechnen Sie die Spurpunkte S1, S2 und S3 mit den Koordinatenachsen.
⎛ 4⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
!
a) E : x = ⎜ 6 ⎟ + λ ⎜ 1⎟ + µ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
⎝ 3⎠
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛ 2⎞
!
b) E : x = ⎜ 5 ⎟ + λ ⎜ 10 ⎟ + µ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ −6 ⎠
⎝ −1⎠
c) E : 2x1 − 3x2 + 5x3 = 30
d) E : 5x1 − 7x2 = −70
Lösungen:
1a)
S1 (3 / 0 / 0); S2 (0 / −3 / 0); S3 (0 / 0 / 2)
x
x
x
⇒ 1 + 2 + 3 =1
3 −3 2
⇒ 2x1 − 2x2 + 3x3 − 6 = 0
1b)
S1 (2 / 0 / 0); S2 (0 / 3 / 0); S3 (0 / 0 / 2)
x x
x
⇒ 1 + 2 + 3 =1
2
3 2
⇒ 3x1 + 2x2 + 3x3 − 6 = 0
2a)
x1 x2 x3
+
+ =1
4 −2 3
Spurpunkte: S1 (4 / 0 / 0), S2 (0 / −2 / 0), S3 (0 / 0 / 3)
Achsenabschnittsgleichung:
2b)
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
!
Spurgerade mit der x1 -x 2 -Ebene durch S1 und S2 : s12 : x = ⎜ 0 ⎟ + λ ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
!
Spurgerade mit der x1 -x 3 -Ebene durch S1 und S3 : s13 : x = ⎜ 0 ⎟ + λ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ −3⎠
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
!
Spurgerade mit der x 2 -x 3 -Ebene durch S2 und S3 : s23 : x = ⎜ −2 ⎟ + λ ⎜ −2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ −3⎠
2c)
3a)
⎛ 2⎞
⎛ −1⎞
⎛ 0⎞
!
E : x = ⎜ 1 ⎟ + λ ⎜ 1 ⎟ + µ ⎜ −2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
(I ) − λ = x1 − 2 ⇒ λ = −x1 + 2
(II ) λ − 2 µ = x2 − 1
(III ) µ = x3 − 1
λ und µ in (II): − x1 + 2 − 2(x3 − 1) = x2 − 1 ⇒ −x1 − x2 − 2x3 + 5 = 0
⇒ E : x1 + x2 + 2x3 − 5 = 0
3b)
x1 x2
x
+ + 3 =1
5 5 2, 5
Spurpunkte: S1 (5 / 0 / 0), S2 (0 / 5 / 0), S3 (0 / 0 / 2, 5)
Achsenabschnittsgleichung:
3c)
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
!
⎜
⎟
Spurgerade mit der x1 -x 2 -Ebene durch S1 und S2 : s12 : x = 0 + λ ⎜ −5 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎛ 5⎞
⎛ 5 ⎞
!
⎜
⎟
Spurgerade mit der x1 -x 3 -Ebene durch S1 und S3 : s13 : x = 0 + λ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ 0⎠
⎝ −2, 5 ⎠
⎛ 0⎞
⎛ 0 ⎞
!
⎜
⎟
Spurgerade mit der x 2 -x 3 -Ebene durch S2 und S3 : s23 : x = 5 + λ ⎜ 5 ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ 0⎠
⎝ −2, 5 ⎠
3d)
4a)
⎛ 4⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
!
E : x = ⎜ 6 ⎟ + λ ⎜ 1⎟ + µ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
⎝ 3⎠
(I ) λ + µ = x1 − 4 (II ) λ = x2 − 6
(III ) λ + 3µ = x3
⎛ 1 1 x1 − 4 ⎞
⎛1 1
⎛1 1
⎞
x1 − 4 ⎞
x1 − 4
⎜ 1 0 x − 6 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −1 −x + x − 2 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −1 −x + x − 2 ⎟
2
1
2
1
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 3 x ⎟⎠
⎜⎝ 0 2 −x + x + 4 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 3x − 2x − x ⎟⎠
3
1
3
1
2
3
⇒ E : 3x1 − 2x2 − x3 = 0
⇒ S1 (0 / 0 / 0), S2 (0 / 0 / 0), S3 (0 / 0 / 0)
4b)
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛ 2⎞
!
E : x = ⎜ 5 ⎟ + λ ⎜ 10 ⎟ + µ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ −6 ⎠
⎝ −1⎠
1
x1 2
1
1
(II ) 10 λ = x2 − 5 ⇒ λ =
x2 −
10
2
(III ) −6 λ − µ = x3
1
1 1
1
3
(III ) ⇒ −6( x2 − ) − x1 = x3 ⇒ − x1 − x2 − x3 + 3 = 0
10
2 2
2
5
⇒ E : 5x1 + 6x2 + 10x3 − 30 = 0
(I ) 2 µ = x1 ⇒ µ =
x1 x2 x3
+ + =1
6 5
3
⇒ S1 (6 / 0 / 0), S2 (0 / 5 / 0), S3 (0 / 0 / 3)
⇒
4c)
x1
x
x
+ 2 + 3 =1
15 −10 6
⇒ S1 (15 / 0 / 0), S2 (0 / −10 / 0), S3 (0 / 0 / 6)
4d)
x1
x
+ 2 =1
−14 10
⇒ S1 (−14 / 0 / 0), S2 (0 / 10 / 0), S3 existiert nicht

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