23 4 Gleichgewicht gebundener Körper Bindungen und Lagerungen beschränken die Bewegungsfreiheiten eines Körpers (oder Teilsystems) und rufen Lagerreaktionen hervor, welche auf andere Belastungen des Körpers reagieren" und somit die Bindungen aufrechterhalten. Durch gedankliches Freischneiden des Körpers wird dieser zum freien Körper, der mit den bereits bekannten Konzepten analysiert werden kann. Dabei werden die Bindungen durch zunächst unbekannte Reaktionen ersetzt, die mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden müssen. Im Unterschied dazu genügen eingeprägte Kräfte/Momente einem Kraftgesetz und sind apriori bekannt. 24 4 Gleichgewicht gebundener Körper 4.1 Bindungen Ideale Bindungen: reduzieren den Freiheitsgrad des Systems rufen Reaktionskräfte und −momente hervor Wertigkeit n cj: Zahl der Bewegungseinschränkungen = Zahl der Reaktionen n cj + (3 * Zahl der verbleibenden Freiheitsgrade) n cj + (6 * Zahl der verbleibenden Freiheitsgrade) 2D: 3D: Beispiele für Bindungen Lagerung/ g g/ Bindung feste Lagerung eben Reaktionen Fy räumlich Wertigkeit Reaktionen n cj + 3 Mz Fy Wertigkeit n cj + 6 My Fx Mz Mx Fz Gelenklager n cj + 2 Fy Fy Fx n cj + 5 My Fx Kugellagerung Fx Mx Fz n cj + 3 Fy Fz Loslager Fx Fx n cj + 1 n cj + 1 Fx Schubgelenk Fy n cj + 2 n cj + 5 Fy My Mz Mz Fz Mx 4 Gleichgewicht gebundener Körper 25 4.2 Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen Freischneiden: Prinzipe: Freistellen eines interessierenden Körpers (oder Teilsystems) von Bindungen und Koppelelementen D Ist ein System im Gleichgewicht, so sind auch alle Körper (oder Teilsysteme) des Systems im Gleichgewicht. D Ein gebundener Körper im Gleichgewicht darf freigeschnitten werden, wenn alle Bindungen und Kopplungen durch äquivalente Kraftwinder ersetzt werden (Kräfte und/oder Momente) D Die Reaktionen beidseits der Schnittlinie sind entgegengesetzt gleich groß. Gleichgewichtsbedingungen: Ein freigeschnittener Körper (oder Teilsystem) kann als freier Körper behandelt werden. eben: 3 Gleichungen Standardbedingungen ȍ Fx + 0 ȍ Fy + 0 ȍ MPz + 0, räumlich: 6 Gleichungen ³ ȍ Fi + 0 n R+ ³ ³ i+1 P willkürlich ³ ȍ rPOi n MP + ³ ³ Fi ) i+1 Alternativen ȍ Fx + 0 ȍ MPz + 0 ȍ MQz + 0 P, Q willkürlich mit x P 0 x Q ȍ MPz + 0 ȍ MQz + 0 ȍ MRz + 0 P, Q, R nicht auf einer Geraden ȍ M j + 0 m ³ j+1 ³ ! ³ MP + 0 ³ ! ³ MQ + 0 P, Q willkürlich mit ³ ³ ³ r PQ ńø R 26 4 Gleichgewicht gebundener Körper Vorgehen zur Lösung von Gleichgewichtsaufgaben 1) Zeichnen des freigeschnittenen Körpers im erstarrten verformten Zustand mit allen Kräften und Momenten, die auf ihn wirken; Bindungen werden durch unbekannte Reaktionen ersetzt. 2) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems. 3) Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen bezüglich geeigneter Bezugspunkte. (2D: 3 Gleichungen; 3D: 6 Gleichungen) 4) Lösung der Gleichungen, die aus den Gleichgewichtsbedingungen resultieren. Unabhängigkeit von Bindungen (z.B. 2D−Probleme) ³ ³ Fn F1 M1 Mm X Ry MP P geeignete Lagerung redundante Lagerung Ry unzureichende Lagerung Ry MP Rx Ry MP P unzureichend und redundant Ry MP P Rx Rx MP P Rx P Rx 4 Gleichgewicht gebundener Körper 27 4.3 Einteilung von Kräften D hinsichtlich physikalischer Ursache eingeprägte Kräfte/Momente Reaktionskräfte/−momente zunächst unbekannte Schnittkräfte zur Erhaltung der Bindung unterliegen physikalischen Gesetzen G Gewichtskraft G Federkraft l0 s + l * l0 ö G + mg D G Federmoment F + cs l M + c Tö hinsichtlich beliebig gewählter Systemgrenzen innere Kräfte/Momente äußere Kräfte/Momente Interaktion über die Systemgrenze hinweg (z.B. Gewichtskraft) Interaktion zweier Körper innerhalb der Systemgrenze (keine äußere Kraftwirkung, paarweises Auftreten) D hinsichtlich Verteilung am Körper verteilte Kräfte (gleichförmig oder ungleichförmig verteilt) Einzel−Kräfte Ì ÌÌÌ ÌÌÌ vernachlässigbare Kontaktfläche dF Linienkraft p + dFńdl F1 F2 dl Oberflächenkraft (Druck, Spannung) dF dA Volumenkraft (Gewichtskraft) dV p + dFńdV dF p + dFńdA 28 4 Gleichgewicht gebundener Körper Anmerkung: In der Stereomechanik können verteilte Kräfte durch äquivalente Einzelkräfte ersetzt werden Linienkraft: dF + pdx F p(x) a dx X b O xC x äquivalenter Kraftwinder F MO ŕ dF + ŕ xdF + x F + ! C ŕ p(x)dx + 1 ŕ xp(x)dx F b å F+ a b å xC a
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