Das 3-Körper-Problem Gliederung:

Das
3-Körper-Problem
Von: Jonathan Morgner
Sebastian Kinnewig
Gliederung:
Suche nach der Analytischen Lösung
Das mitrotierende-schwerpunkts-System
Numerische Fehler
Stabile Trajektorien
Allgemeines 3-Körper-Problem
Spezialfälle
N-Körper-Problem
Habitable Zonen
2
Handout.nb
Suche nach der Analytischen
Lösung:
 Wegen der nichtexistenz von weiteren Erhaltungsgößen ist das 3-Körper-Problem
nicht algebraisch Integrabel
 Karl Sundmann stellt analytische Lösung in Form einer Reihe auf
..
m1 r 1 = G
 -r
 )
m1 m2 (r
2
1


3
r 3-r 1
+G
 -r
 )
m1 m3 (r
3
1


3
r 3-r 1
 =
 =
 =
Problem bei r
r2, r
r3 bzw. r
r3
1
1
2
 Singularitäten bei kollisionen
 Jedoch: Es können nicht alle 3 Körper gleichzeitig miteinander kollidieren
 Es kann also nur eine Lösung bis zur Kollision geben
 Lösung Variablentransformation, so das die Singularitäten im Unendlichen sind
"Although the conclusion given here provides a way to integrate
the n-body-problem, one does not optain a useful solution in
series expansion. The reason for this is because the speed of
convergence of the resulting solution is terribly slow." - Wang
Qiu-Dong 1990”
Das mitrotierendeschwerpunkts-System:
Handout.nb
Im mitrotierende schwepunkts - System
Im schwepunkts - System
Sonne
Umlaufbahn des Kometen
Verhältniss der Sonnenmassen 1 : 1
Periodendauer der Sonnen 2 π
Periodendauer der des Kometen 27.83
Jacobi Energie :
EJ =
m  2  2  2 m ω2
ξ12 + ξ22 + V [ξ]
ξ 1 + ξ 2 + ξ 3  2
2
Im mitrotierendem System ist die Jacobi Energie die einzige Erhaltungsgröße
Numerischer Fehler über eine Periode
Absolute Änderung
der Jacobie - Energie
0.00002
SonnennaherPunkt p2
0.000015
0.00001
SonnennaherPunkt p1
5. × 10-6
5
10
15
20
25
Zeit
Es kommt zu besonders großen numerischen Fehlern wenn der kleine Komet dicht
eine der beiden Sonnen herankommt, da sich der Komet wenn er dicht an eine Sonne
kommt sehr schnell bewegt.
Dies kann zu Problemen führen wenn man den Slingshot betrachtet:
3
4
Handout.nb
Beispiel : Slingshot
Sonne
Umlaufbahn des Kometen
Verhältniss der Sonnenmassen 1 : 1
Es gibt zwei einfachen Stabile-Trajektorien:
Stabile Trajektorien P- und S-Typ
P - Typ
Sonne der Masse 4
Sonne der Masse 1
Umlaufbahn des Kometen
S - Typ
Die anderen Stabilien “Exotischen”-Trajektorien befinden sich in dem Mathematica-Notebook
“Animationen”
Dreiecksformation:
Handout.nb
v=
3
3
Gm
r
Kreislaufbahn:
m1 = m2 = m3
Die Kreislaufbahn ist nicht sehr stabil, selbst bei einer kleinen Störung der
Anfangswerte (in einer größen Ordnung von 10-5) wird die Umlaufbahn bereits
Instabil
keine Störung
Störung 10-5
i
(die Animation der Kreislaufbahn befindet sich in dem Mathematica-Notebook
“Animationen”)
1. Variation der Kreislaufbahn:
m1 = m2 = m3
Auch die 1. Variation der Kreislaufbahn ist sehr Instabil.
keine Störung
2. Variation der Kreislaufbahn:
Störung 10-5
5
6
Handout.nb
m2 = 2 m1, m3 = 3 m1
Auch diese 2. Variation der Kreislaufbahn ist sehr Instabil.
keine Störung
Störung 10-6
3. Variation der Kreislaufbahn:
m2 = 2 · 104 m1, m3 = 3 · 104 m1
Auch diese 3. Variation der Kreislaufbahn ist sehr Instabil.
keine Störung
Störung 10-3
Die “Acht”:
m1 = m2 = m3
Die Acht ist deutlich Stabiler als die Kreislaufbahn.
keine Störung
Störung 10-2
i
(die Animation der Kreislaufbahn befindet sich in dem Mathematica-Notebook
"Animationen")
Die “Super-Acht”:


Handout.nb
m1 = m2 = m3 = m4 = m5
Die “Super-Acht” (mit 4 bzw. 5 Planeten) sind beide sehr Instabil, selbst der
numerische Fehler genügt, damit die Trajektorie instabil wird.
i
(die Animation der Kreislaufbahn befindet sich in dem Mathematica-Notebook
"Animationen")
Habitabilität: P-Typ
Doppel-Sternsystem: Capella
Periode der Sonnen : 104 d
Masse von Capella Aa : 3 M☉
Masse von Capella Ab : 2.8 M☉
Leuchtkraft von Capella Aa : 75.8 L☉
Leuchtkraft von Capella Ab : 60.2 L☉
Radius 0.71 AE
Quelle : Wikipedia
7
8
Handout.nb
Periode der Sonnen : 104 d
Masse von Capella Aa : 3 M☉
Masse von Capella Ab : 2.8 M☉
Leuchtkraft von Capella Aa : 75.8 L☉
Leuchtkraft von Capella Ab : 60.2 L☉
Radius 0.71 AE
Mittlerer Abstand der
Umlaufbahn : 11.7 AE
Periode des Planeten : 188 d
Abstand[in AE]
12.5
Abstand zu der Capella Aa
12.0
Abstand zu der Capella Ab
Licht - Intensität auf dem Planeten
11.5
11.0
10.5
2
4
6
8
10
Zeitpunkt t
Habitabilität: S-Typ
Masse der Sonne A : 4 M☉
Masse der Sonne B : 1 M☉
Radius : 6 AE
Handout.nb
Abstand[in AE]
Abstand zu der Capella Aa
6
Abstand zu der Capella Ab
5
Licht - Intensität auf dem Planeten
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Zeitpunkt t
Quellen:
http://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/physik_ft/pdf/ws1112/seminar/111918/willems-kemper.pdf
http://www.spektrum.de/magazin/die-loesung-des-n-koerper-problems/823623
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00048987#page-1
http://homepages.math.uic.edu/~jan/mcs320s07/Project_Two/sol_body.html
https://de.wikipedia.org/wiki/Capella
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Doppel-_und_Mehrfachsterne
https://www.astroleague.org/al/obsclubs/dblstar/dblstar2.html
https://de.wikipedia.org/wiki/Habitable_Zone
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