Technische Mechanik II Kinetik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Kinetik des starren Körpers Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes 2. Kinematik des starren Körpers 3. Kinetik des Massenpunktes 4. Kinetik des starren Körpers ◦ Bewegungsgleichungen - Schwerpunktsatz - Drehimpulssatz - Trägheitstensor ◦ Arbeit und Energie ◦ Analogie zwischen Translation und Rotation 5. Besondere Bewegungsvorgänge Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 1/13 Modell des Mehrteilchensystems Starrer Körper → System aus N Teilchen mi konstante Masse des i-ten Teilchens r0 Ortsvektor des Schwerpunktes im Inertialsystem ri Ortsvektor des i-ten Teilchens im Inertialsystem si Vektor vom Schwerpunkt zum i-ten Teilchen (|si | = const) Masse des Gesamtsystems: m= N X mi i=1 N Position des Schwerpunkts: r0 = 1 X mi r i m i=1 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 3/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 2/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) mi mi r̈ i = F i + N X F~i F ij F~ij F~ji mj 0 ~ri j=1 ~r0 z F ij = −F ji y x Schwerpunktsatz Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm N X angriffen: Fi mr̈ 0 = i=1 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 4/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 3/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) mi r i = r 0 + si N X mi si = 0 ~si 0 ~ri i=1 ⇒ N X ~r0 z mi ṡi = 0 i=1 x y Die kinetische Energie eines N -Teilchensystems ist die Summe aus der kinetischen Energie der Schwerpunktbewegung und der kinetischen Energie der Relativbewegung der Teilchen um den N N X Schwerpunkt: mi 2 m 2 X mi 2 vi = v0 + ṡ 2 2 2 i i=1 Prof. Dr. U. Zwiers i=1 BTM2 5/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 4/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) Drehimpuls Physikalische Größe zur Beschreibung der Richtung und Geschwindigkeit der Bewegung eines Massenpunktes um einen Referenzpunkt: L0 = r × m v Drehimpulssatz für den einzelnen Massenpunkt Die zeitliche Änderung des Drehimpulses entspricht dem Moment der an einem Massenpunkt angreifenden Kräfte bezüglich desselben Referenzpunktes: dL0 =M =r×F dt Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 6/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 5/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) Drehimpulssatz für Mehrteilchensysteme Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines Mehrteilchensystems entspricht dem Moment der von außen einwirkenden Kräfte bezüglich desselben Referenzpunktes: dL0ges = M0 dt N X r i × mi r̈ i = i=1 Prof. Dr. U. Zwiers N X ri × F i i=1 BTM2 7/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 6/13 Starrer Körper im Raum ~vP 0 → Körperschwerpunkt r P = r 0 + sP ~rP 0 z ~r0 m L0 = ~v0 ~sP v P = v 0 + ω × sP Z 0 s × ṡ dm L = Z ω ~ P s × (ω × s) dm x m y Drehimpuls des starren Körpers Z 0 2 T L = s ω − (s ω)s dm = Θ0 ω m Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 8/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 7/13 Trägheitstensor R Θ0 = R R (y 2 + z 2 ) dm − xy dm − xz dm R R 2 R − yx dm (x + z 2 ) dm − yz dm R R R 2 − zx dm − zy dm (x + y 2 ) dm Massenträgheitssmomente: Θxx , Θyy , Θzz (Maß für die Drehträgheit eines Körpers) Deviationsmomente: Θxy = Θyx , Θxz = Θzx , Θyz = Θzy (Maß für das Bestreben eines Körpers, seine Drehachse zu verändern) Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 9/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 8/13 Trägheitstensor (Forts.) Trägheitsmatrix bzgl. der Hauptträgheitsachsen Θ1 0 0 Haupträgheitsmomente: Θ = 0 Θ2 0 Θ1 , Θ2 , Θ3 0 0 Θ3 Eigenschaften von Hauptträgheitsachsen ◮ In den Hauptträgheitsachsen ist eines der Trägheitsmomente Θi , i = 1, 2, 3, maximal bzw. minimal gegenüber allen anderen Koordinatenrichtungen. ◮ In den Hauptträgheitsachsen verschwinden die Deviationsmomente Θxy = Θyx , Θxz = Θzx , Θyz = Θzy . ◮ Die Hauptträgheitsachsen ei , i = 1, 2, 3, sind normal zueinander. Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 10/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 9/13 Trägheitstensor (Forts.) Regeln zum Auffinden von Hauptträgheitsachsen ◮ Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, so ist diese eine Hauptträgheitsachse. ◮ Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, so ist jede dazu senkrechte Achse eine Hauptträgheitsachse. ◮ Besitzt ein Körper zwei zueinander orthogonale Symmetrieebenen, so ist die Schnittgerade der beiden Symmetriebenen eine Hauptträgheitsachse. Dazu orthogonale Achsen in jeweils eine der beiden Symmetrieebenen sind ebenfalls Hauptträgheitsachsen. Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 11/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 10/13 Trägheitstensor (Forts.) Parallelverschiebung der Koordinatenachsen Satz von Steiner 0 2 2 ΘA xx = Θxx + m y0A + z0A 0 2 2 ΘA yy = Θyy + m x0A + z0A 0 2 2 ΘA zz = Θzz + m x0A + y0A 0 ΘA xy = Θxy − m x0A y0A 0 ΘA xz = Θxz − m x0A z0A 0 ΘA yz = Θyz − m y0A z0A Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 12/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 11/13 Trägheitstensor (Forts.) Verdrehung der Koordinatenachsen Verdrehung um die z-Achse Θ′xx = Θ0xx cos2 φ + 2Θ0xy sin φ cos φ + Θ0yy sin2 φ Θ′yy = Θ0xx sin2 φ − 2Θ0xy sin φ cos φ + Θ0yy cos2 φ Θ′zz = Θ0zz Θ′xy = −Θ0xx cos φ sin φ + Θ0xy cos2 φ − sin2 φ + Θ0yy cos φ sin φ Θ′xz = Θ0xz cos φ + Θ0yz sin φ Θ′yz = Θ0yz cos φ − Θ0xz sin φ Verdrehung um die x- bzw. y-Achse erfolgt auf analoge Weise Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 13/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 12/13 Starrer Körper in der Ebene Massenträgheitsmoment: Θ0 = Z s2 dm m Satz von Steiner ΘA = Θ0 + ma2 a Abstand zwischen dem Schwerpunkt 0 und dem Bezugspunkt A Drehimpuls: L = Θ ϕ̇ Drehimpulssatz für die ebene Bewegung Θ ϕ̈ = M Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 14/19 Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen 13/13 Starrer Körper in der Ebene (Forts.) Trägheitsradius Entfernung eines als Punktmasse gedachten Ersatzkörpers von der Drehachse A, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat wie ein originales, ausgedehntes Bauteil mit der Gesamtmasse m: r A Θ k= m Reduzierte Masse Masse eines im vorgegebenen Abstand r von der Drehachse A angebrachten punkt- oder ringförmigen Ersatzkörpers, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat wie das originale Bauteil: ΘA mred = 2 r Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 15/19 Kinetik des starren Körpers Arbeit und Energie 1/3 Modell des Mehrteilchensystems Arbeitssatz für Mehrteilchensysteme Die Summe der Arbeiten aller äußeren und aller inneren Kräfte entspricht der Änderung der gesamten kinetischen Energie des Systems: a i W01 = W01 + W01 = T1 − T 0 Arbeit der äußeren Kräfte: a W01 ri1 N Z X = FT i dr i i=1 r i0 Arbeit der inneren Kräfte: i W01 T ri1 N Z N X X = F ij dr i i=1 r i0 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 j=1 16/19 Kinetik des starren Körpers Arbeit und Energie 2/3 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) Starre Bindung: N X FT ij dr i = 0 j=1 i ⇒ W01 =0 Arbeitssatz für Systeme mit starren Bindungen Die Summe der Arbeiten der äußeren Kräfte entspricht der Änderung der gesamten kinetischen Energie des Systems: a W01 = W01 = T1 − T0 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 17/19 Kinetik des starren Körpers Arbeit und Energie 3/3 Starrer Körper im Raum ~vP 0 → Körperschwerpunkt ω ~ P ~v0 ~sP r P = r 0 + sP ~rP 0 v P = v 0 + ω × sP z 1 T = 2 Z ~r0 v 2 dm m y x Kinetische Energie des starren Körpers 1 1 T = Ttrans + Trot = mv02 + ω T Θ0 ω 2 2 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 18/19 Kinetik des starren Körpers Analogie zwischen Translation und Rotation Gegenüberstellung Translation Rotation um raumfeste Achse s Weg ϕ Winkel v = ṡ Geschwindigkeit ω = ϕ̇ Winkelgeschwindigkeit a = v̇ = s̈ Beschleunigung α = ω̇ = ϕ̈ Winkelbeschleunigung m Masse Θ Massenträgheitsmoment F Kraft M Moment p = mv Impuls L = Θω Drehimpuls ma = F Kräftebilanz Θω = M Momentenbilanz T = W = 1 mv 2 2 R Kinetische Energie F ds Arbeit P = Fv Leistung Prof. Dr. U. Zwiers T = W = 1 Θω 2 2 R M dϕ P = Mω BTM2 19/19
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