Modulprüfung in Technischer Mechanik
am 11. August 2015
Statik starrer Körper
Aufgaben
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Fachrichtung:
Hinweise:
• Bitte schreiben Sie deutlich lesbar. Zeichnungen müssen sauber und übersichtlich sein.
Die Benutzung roter Farbstifte ist nicht zugelassen.
• Aufgaben werden nur beurteilt, wenn sie auf den ausgegebenen Blättern gelöst sind.
Eventuell abgegebene Formelsammlungen werden als nicht vorhanden betrachtet. Trennen
Sie die Aufgabenblätter nicht auf.
• Bei den Aufgaben muss eindeutig der Lösungsweg erkennbar sein. Ein Ergebnis ohne Lösungsweg wird nicht bewertet. Sollten für eine Aufgabe mehrere widersprüchliche
Lösungen angegeben sein, so wird keine bewertet. Streichen Sie deshalb falsche Rechenschritte oder Zeichnungen durch.
Aufgabe
1
2
3
45
Punkte
(Eintrag erfolgt durch Institut)
P
Institut für Mechanik
Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch
Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig
Prüfung in
Statik starrer Körper
11. August 2015
1. Aufgabe (ca. 23 % der Gesamtpunktzahl)
A
z
F~
y
5
4
b
6
b
b
B
l
1
b
3
2
b
b
x
a
Das aus gelenkig verbundenen Stäben bestehende System (Gerippe eines Zeltes) wird im Punkt
A durch eine Seilkraft F~ = F~ex + F~ey − F~ez belastet.
a) Diskutieren Sie die statische Bestimmtheit des Systems.
b) Stellen Sie die Stabkräfte von den Knoten A bzw. B aus als Vektoren dar.
c) Berechnen Sie die Stabkräfte S1 bis S6 .
Gegeben: a, b, F, l.
Musterlösung - Aufgabe 1
a) stat. Bestimmtheit
a + s = 3k
⇔
3·5+6=3·7
1
1
(−b~ex − b~ez ) = −S1 √ (~ex + ~ez )
| − b~ex − b~ez |
2
−S2
1
(−a~ey − b~ez ) = √
= S2
(a~ey + b~ez )
| − a~ey − b~ez |
a2 + b2
1
1
(b~ex − b~ez ) = S3 √ (~ex − ~ez )
= S3
|b~ex − b~ez |
2
1
= S4
l~ey = S4~ey
|l~ey |
~ 1 = |S
~1 |~eS = S1
S
1
B
~4
S
~ 3 = |S
~3 |~eS
S
3
~3
S
~1
S
~ 4 = |S
~4 |~eS
S
4
b)
~2
S
~4
S
A
~5
S
~ 2 = |S
~2 |~eS
S
2
F~
~6
S
F~ = F (~ex + ~ey − ~ez )
~4 = −S4~ey
S
1
(−b~ex − b~ez ) = −S5 √ (~ex + ~ez )
| − b~ex − b~ez |
2
1
1
(b~ex − b~ez ) = S6 √ (~ex − ~ez )
= S6
|b~ex − b~ez |
2
1
~ 5 = |S
~5 |~eS5 = S5
S
~ 6 = |S
~6 |~eS6
S
c) GGW in A:
~4 + S
~5 + S
~6 + F~ = ~0
S
S6
S5
+√
+F
0− √
2
2
⇒ −S4 + 0 + 0 + F = ~0
S5
S6
0− √
−√
−F
2
2
GGW in B:
~1 + S
~2 + S
~3 + S
~4 = ~0
S
S3
S1
√
+
0
+
+
0
−√
2
2
a
+
0
+ S4
⇒ 0 − √aS22+b
= ~0
2
S
S
b
S
1
2
3
− √2 − √a2 +b2 − √2 + 0
auflösen ergibt
S4 = F
S5 = 0
√
S6 = − 2 F
S1 = S3 = −F
√
2 b
2 a
|{z}
√1
2
√
a2 + b2
√a
2 b
S3 = −F
2 a
|{z}
S2 = F
√1
2
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Statik starrer Körper
11. August 2015
2. Aufgabe (ca. 18 % der Gesamtpunktzahl)
F1
F2
q
a
A
y
2a
x
z
Ein abgewinkelter Träger wird durch die Einzelkräfte F1 und F2 sowie eine konstante Streckenlast belastet. Bestimmen Sie die Lagerreaktionen in A.
Gegeben: a, q, F1 = qa, F2 = 2qa.
/Musterlösung - Aufgabe 2
F1
Mx
x
Ax
y
F2
z
Ay
My
q
Az
Mz
a
−→ ΣFx = 0 : Ax = 0
ց ΣFy = 0 : F2 + Ay = 0
↓ ΣFz = 0 : F1 + 2 qa + Az = 0
։ ΣMx(0) = 0 : F1 · a + Mx = 0
։
ΣMy(0) = 0 : F1 · 2 a + 2 qa · a + My = 0
։
ΣMz(0) = 0 :
− F2 · 2 a + Mz = 0
2a
⇒
⇒
Ay = −2 qa
Az = −3 qa
⇒
Mx = −F1 · a = −qa2
⇒
Mz = 4 qa2
⇒
My = −4 qa2
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3. Aufgabe (ca. 36 % der Gesamtpunkte)
q0
F
2a
B
2a
a
a
A
a) Diskutieren Sie für den dargestellten Dreigelenkbogen die statische Bestimmtheit.
b) Bestimmen Sie die Lagerreaktionen in A und B.
c) Bestimmen Sie die Schnittgrößen für den Fall q0 a = 3F und tragen Sie die Schnittgrößenverläufe unter Angabe der maßgeblichen Ordinaten in die vorgesehenen Diagramme auf
der folgenden Seite ein.
d) Skizzieren Sie qualitativ (ohne Rechnung möglich) die N-, Q- und M-Verläufe in dem
unten dargestellten halbkreisförmigen Bogen.
F
F
Q
N
F
M
Gegeben: F, q0 , a.
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Vorlage zur 3. Aufgabe, c)
N
Q
M
Musterlösung - Aufgabe 3
a) Statische Bestimmtheit
• a+g = 3n
⇒
4+2=3·2 X
→ notwendige Bedingung
• nicht kinematisch
→ hinreichende Bedingung
⇒ statisch bestimmt
b) Lagerreaktionen in A und B
a
2a
Gy
q0
Gx
Gy
F
Gx
2a
3a
y
z
Ax
Ay
Bx
x
By
I:
→ ΣFx = 0 : Ax + Gx = 0
↑ ΣFy = 0 : Ay − q0 · 2 a + Gy = 0
(1)
(2)
→ ΣFx = 0 : Bx + F − Gx = 0
↑ ΣFy = 0 : By − Gy = 0
(4)
(5)
ΣM (G) = 0 :
II:
− Ay · 2 a + Ax · 3 a + q0 · 2 a · a = 0
ΣM (G) = 0 : Gy · a + Gx · 2 a − F · 2 a = 0
aus (3) : Ay =
3
Ax + q0 a
2
3
Ax + q0 a − 2 q0 a + Gy = 0
2
(1) : Ax = −Gx
3
(8), (9) in (6) : q0 a − Ax − 2 Ax − 2 F = 0
2
in (2) :
7
− Ax − 2 F + q0 a = 0
2
2
2
⇒ Ax = (−2 F + q0 a ) = F
|{z}
7
7
c)
(6)
(7)
⇒
Gy = q0 a −
3
Ax (8)
2
(9)
(10)
=
2
q0 a
21
3F
32
24
Ay =
F +3F =
F
27
7
2
Gx = F
7
9
Bx = Gx − F = − F
7
18
Gy = 2 F − 2 Gx =
F
7
18
F
By =
7
(3)
8
q0 a
7
2
=
q0 a
21
3
= − q0 a
7
6
= q0 a
7
6
= q0 a
7
=
2
7
F
F
− 18
7
18
7
F
+
24
7
F
+
9
7
F
− 24
7
− 18
F
7
− 27 F
N
F
Q
Fa
− 18
7
− 76
Fa
+
M
N
+
Q
d)
M
− 18
Fa
7
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4. Aufgabe (ca. 23 % der Gesamtpunkte)
a
F
a
a
a
µ0
G
b
c
Wie groß muss bei der skizzierten Greiferzange der Haftungskoeffizient µ0 sein, damit die Last
G nicht rutscht?
Hinweis: Nutzen Sie die Symmetrie des Problems aus!
Gegeben: a, b, c, F, G.
Musterlösung - Aufgabe 4
FKB 1
F
S
~=
mit S
S
√1 S
2
FKB 2
c−a
√
2
S
2
1
=
−1
√
2
S
2
1
−1
√
2
S
2
S
2a
B
a
H
y
N
x
FKB 3
N
N
H
GGW
H
√
2
2
1
⇔S= √ F =
F
→ F = 2S
2
2
2
√
√
y
2
2
S 2a −
S (c − a) + H(c − b) + Na = 0
B −
2
2
G
↑ G = 2H ⇔ H =
2
H ≤ µ0 N
↑ F =G
√
FKB 1:
FKB 2:
FKB 3:
Haftgesetz:
Gesamtsystem:
(13) in (12)
G
√
2
2
G
2a − S
(c − a) + (c − b) + Na = 0
−S
2
2
2
mit (11)
√ √
√ √
2 2
2 2
G
−F
2a − F
(c − a) + (c − b) + Na = 0
2 2
2 2
2
mit (15)
a c c b
G
b
G
N = (a − + − + ) = (1 + )
a
2 2 2 2
2
a
in(14) mit (13)
G
G
b
≤ µ0 (1 + )
2
2
a
a
a
⇔ µ0 ≥
=
b
(a + b)
1+ a
√
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
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