Dirac-Gleichung und Eichtheorien
Hauptseminar Theoretische Grundlagen der Teilchenphysik
Mustafa Tabet | 22. Mai 2015
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
1
Einführung
2
Dirac-Gleichung
Symmetrien der Dirac-Gleichung
Lösungen der freien Dirac-Gleichung
Minimale Kopplung und U(1)-Eichsymmetrie
3
Eichtheorien
Eichprinzip
LQED
LQCD
Einführung
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Dirac-Gleichung
Eichtheorien
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2/27
Historische Einordnung
1905 Veröffentlichung der speziellen Relativitätstheorie
1926 Schrödingers Publikation der nach ihm benannten Gleichung
→ Suche nach relativistischen Analogon
→ Klein-Gordon-Gleichung (K.-G.-Gleichung)
1927 Suche von Dirac nach einer weiteren relat. Wellengleichung
→ Dirac-Gleichung, welche bis 1934 als einzige zulässige relativistische
Wellengleichung betrachtet wurde
1930 Entwicklung des theoretischen Modells des Dirac-Sees
1934 Wiederbelebung der K.-G.-Gleichung durch Pauli und Weisskopf:
j µ → −ej µ : Interpretation von j µ als elektrische Stromdichte
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Klein-Gordon-Gleichung
Energie-Impuls-Beziehung: p µ pµ = E 2 − ~p 2 = m2 mit p µ =
E
~p
~
Nach Schrödinger gilt: E → i∂t und ~p → 1i ∇
Einsetzen in die Energie-Impuls-Beziehung führt auf die
Klein-Gordon-Gleichung:
Klein-Gordon-Gleichung
~2
( +m2 )φ(~x , t) = 0 mit = ∂ µ ∂µ = ∂t2 − ∇
Einführung
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Klein-Gordon-Gleichung
Kontinuitätsgleichung ∂µ j µ = 0
jµ =
i
(φ∗ (∂ µ φ) − (∂ µ φ)∗ φ)
2m
→ Nun ergibt sich für den Ansatz einer ebenen Welle φ = e−i(Et−~p~x )
Lösungen mit E < 0 und ρ < 0
Erklärung?
→ Später
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Dirac-Gleichung
Es gilt immer:
i∂t ψ = HD ψ
mit dem hermitischen Operator HD
Energie-Impuls-Beziehung soll weiterhin gelten
→ (i) HD2 ψ = (~p 2 + m2 )ψ
Ebenso die Kovarianz der neuen Wellengleichung
→ (ii) HD = (~
α~p + βm) mit den herm. Operatoren α
~ und β
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Dirac-Gleichung
Einsetzen von (ii) in (i) liefert:
HD2 ψ = (αi pi + βm)(αj pj + βm)ψ
= αi2 pi2 + (αi αj + αj αi ) pi pj + (αi β + βαi ) pi m + β 2 m2
|
{z
!
}
|
{z
!
}
=0
=0
→ αi2 = β 2 = 1, {αi , αj } = 0 und {αi , β} = 0 für i = 1, 2, 3
Mit diesen Annahmen für α
~ und β folgt nun die Dirac-Gleichung:
Dirac-Gleichung
i∂t ψ(~x , t) = (~
α~p + βm)ψ(~x , t)
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Dirac-Gleichung
Relationen für α
~ und β sind nur für Matrizen der Dimension ≥ 4
erfüllt → dimψ = 4
Def.: γ µ = (γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 ) mit γ 0 = β und γ m = βαm
Damit lassen sich die Eigenschaften der Gammamatrizen
zusammenfassen zu: {γ µ , γ ν } = 2η µν
Dirac-Gleichung
(iγ µ ∂µ − m)ψ(~x , t) = 0
Lagrangedichte der Dirac-Gleichung
L = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ mit ψ̄ = ψ † γ 0
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Darstellungen der Gammamatrizen
Dirac-Darstellung:
!
γ0 =
12
0
, γm =
0 −12
!
0
σm
, γ 5 := iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
m
−σ
0
=
0 1
1 0
!
Weyl- bzw. chirale Darstellung:
!
0
γ =
0 12
, γm =
12 0
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!
0
σm
, γ5 =
−σ m 0
−1 0
0 1
Dirac-Gleichung
!
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Dirac-Gleichung
Kontinuitätsgleichung ∂ µ jµ = 0
j µ = ψ̄γ µ ψ
→ ρ ≡ j 0 = ψ̄γ 0 ψ = ψ † ψ =
P4
2
i=1 |ψi | ≥
0
√
Aber: E < 0 immer noch möglich
Neue Interpretation: Energie des Antiteilchens mit
entgegengesetzter Ladung und positiver Energie
√
→ Verifikation durch exp. Nachweis →
j µ → −ej µ → Interpretation als elektr. Viererstromdichte
→ negative Werte in K.-G.-Gl. sind nicht weiter störend
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Lorentz-Invarianz
Lorentztransformationen Ω erhalten Raum-Zeit-Abstand x µ xµ im
0
Minkowski-Raum M4 : x µ xµ = x 0 ρ xρ mit x 0 ρ = Ωρµ x µ
Mit ∂µ = ∂ν0 Ων µ folgt für die Dirac-Gleichung:
0 = (iγ µ ∂µ − m)ψ(x ) = (iγ µ ∂ν0 Ων µ − m)ψ(Ω−1 x 0 )
= (i γ̂ ν ∂ν0 − m)ψ(Ω−1 x 0 )
{γ̂ µ , γ̂ ν } = 2η µν → ∃Λ : γ̂ µ = Λ−1 γ µ Λ:
0 = (i γ̂ ν ∂ν0 − m)ψ(Ω−1 x 0 ) = (iΛ−1 γ ν Λ∂ν0 − m)ψ(Ω−1 x 0 )
= Λ−1 (iγ ν ∂ν0 − m)Λψ(Ω−1 x 0 )
→ (iγ ν ∂ν0 − m)ψ 0 (x 0 ) = 0 mit ψ 0 (x 0 ) = Λψ(x )
Λ: Darstellung der Lorentz-Gruppe auf den Vektorraum der
Dirac-Spinoren
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Chiraler Limes
In Weyl-Darstellung sind die Generatoren der
Lorentztransformationen blockdiagonal → ψ =
ψL ψR
Damit folgt für die Dirac-Gleichung
0
∂0 ψR
0
σi ∂i ψR
+i
∂0 ψL
0
−σi ∂i ψL
0
mψL
0
−
0
mψR
−m
i(∂0 + iσ0 ∂0
ψL
=
i(∂0 − σi ∂i )
−m
ψR
(iγ µ ∂µ − m)ψ = i
=0
→ Für m = 0 (chiraler Limes) entkoppelt die Dirac-Gleichung in zwei
Gleichungen für ψR und ψL
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U(1)A - Symmetrie
Weyl-Gleichungen
~ L=0
i(∂0 − ~σ ∇)ψ
~
i(∂0 + ~σ ∇)ψR = 0
Für m = 0 → neue Symmetrietransformation U(1)A :
ψ → ψ 0 = exp(iαγ 5 )ψ
mit α ∈ R und ψ Lsg. der Dirac-Gleichung
5
5
iγ µ ∂µ ψ 0 = iγ µ ∂µ eiαγ ψ = e−iαγ iγ µ ∂µ ψ = 0
Kont. Symmetrie und Noethertheorem → Erhaltungsgröße:
→ j5µ =
∂L
∂(∂µ ψ) ∆ψ
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= ψ̄γ µ γ 5 ψ mit ∂µ j5µ = 0
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U(1)V - Symmetrie
Dirac-Gleichung invariant unter Phasentransformation:
ψ → ψ 0 = eiα ψ mit eiα ∈ U(1)
Zugehöriger Noetherstrom j µ :
j µ = ψ̄γ µ ψ mit ∂ µ jµ = 0
→ Für m = 0 ergibt sich damit eine U(1)V × U(1)A -Symmetrie der
Dirac-Gleichung
→ Für m 6= 0 bleibt nur die U(1)V -Symmetrie erhalten, da U(1)A
gebrochen ist
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Diskrete Symmetrien
Paritätstransformation
ψ(t, ~x ) → γ 0 ψ(t, −~x )
Zeitumkehrtransformation
ψ(t, ~x ) → γ 1 γ 3 ψ(−t, ~x )
Ladungskonjugation
ψ → iγ 2 γ 0 ψ̄ >
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Lösung im Ruhesystem des Teilchens
~p = 0
Ansatz: Ebene Welle
ψ(x ) = u(p)e−ipx mit p µ pµ = m2
!
→ Hu = βmu =
m1
0
u = Eu
0 −m1
Eigenwerte E = ±m mit zugehörigen Eigenvektoren
       
1
0
0
0
0 1 0 0
       
 ,  ,  ,  
0 0 1 0
0
0
0
1
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Fall ~p 6= 0
Gleicher Ansatz der ebenen Welle, für ~p 6= 0 und u =
uA
→H
uB
!
m ~σ~p
=
~σ~p −m
!
uA
uB
!
=E
uA
uB
uA uB
folgt:
!
p
→ Eigenwerte E = ± m2 + ~p 2
→ Eigenvektoren:
u (i)
=N
~ei
für E > 0,
u (i+2)
Einführung
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=N
−~
σ~p
ei
|E |+m ~
!
für E < 0
~ei
E + m, i ∈ {1, 2}, ~ei Standardbasis des R2
~
σ~p
ei
E√
+m ~
N=
!
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Helizität
Energieeigenwerte zweifach entartet:
b [H, O]
b =0
→ ∃ Observable O:
Helizitätsoperator
1 ˆ
p
2 Σ~
≡
1
2
~σ~pˆ 0
0 ~σ~pˆ
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!
mit Eigenwerte λ = ± 21
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18/27
Vollständigkeitsrelationen
X
u s (p)ū s (p) = |N|2
~es
s
~
σ~p
es
E +m ~
s=1,2

= (E + m) 
=

−~
σ~p
E +m

−(~
σ~p )2
1
(E +m)2 2
12
~
σ~p
E +m
(E + m)12
−~σ~p
~σ~p
(−E + m)12
→
P
X
!
X
s=1,2 u
=
~es†
~
σ~p †
es
E +m ~
(E + m)12
~σ~p
γ0
−~σ~p
−|~p |2
(E +m) 12
!
!
= E γ 0 − γ m pm + m
s (p)ū s (p)
= γ µ pµ + m
u s+2 (p)ū s+2 (p) = γ µ pµ − m
s=1,2
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Minimale Kopplung und
U(1)-Eichsymmetrie
~
Bisher: ϕ = 0 = A
~ 6= 0 geht man analog zur Hamiltonfunktion in
Für ϕ 6= 0 oder A
~
der klassischen Mechanik vor: ~p → ~p − e A
→ ∂µ → ∂µ − ieAµ ≡ Dµ
→ Neue lokale Transformationinvarianz, sog. Eichtransformation:
1. ψ(x ) → ψ 0 (x ) = eiα(x ) ψ(x )
2. Aµ → A0µ = Aµ + 1e ∂µ α(x )
→ eiα(x ) ∈ U(1)
)
Dµ0 ψ 0 (x ) = eiα(x ) Dµ ψ(x )
Dirac-Gleichung bei minimaler Kopplung
(iγ µ Dµ − m)ψ = 0
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Allgemeines und Definitionen
Eichtheorie
Feldtheorie, deren Wirkung invariant unter Eichtransformationen ist.
Bsp.: Klassische Elektrodynamik
LED = − 41 Fµν F µν − j µ Aµ
mit Aµ → A0µ = Aµ + 1e ∂µ χ, wobei χ(x ) ∈ C 2 (R4 )
→
R
L0ED d4 x =
R
LED d4 x
Menge der Eichtransformationen bilden eine Lie-Gruppe:
Symmetrie-Gruppe ist abelsch → abelsche Eichtheorie
Symmetrie-Gruppe nicht abelsch → nicht-abelsche Eichtheorie
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Wechselwirkung
starke Wechselwirkung
em Wechselwirkung
QCD mit SU(3)C
QED mit U(1)em
Eichtheorie
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schwache Wechselwirkung
elektroschwache Wechselwirkung SU(2)L × U(1)Y
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Eichprinzip
Eichtransformationen U(x ) bilden eine Lie-Gruppe
G = {eiαk Ok | Ok Generatoren, 1 ≤ k ≤ dim(G), αk ∈ R}
Ok bilden Basis der zugehörigen Lie-Algebra mit Kommutator [., .]
als Lie-Klammer
→ [Ok , Ol ] = ifklm Om
Dµ := ∂µ + igOk Akµ (x )
!
U † Dµ0 U = Dµ
0
⇒ Akµ → Akµ (x ) = Akµ − g1 ∂µ αk (x ) − fklm αl (x )Am
µ (x )
Akµ : Eichfelder und g: Kopplung
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23/27
Lagrangedichte der QED
Lfrei = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ
elektromagnetische Wechselwirkung → U(1)-Symmetrie
U(1) = {z ∈ C : |z|= 1} = {eiϕ : ϕ ∈ R}
→ u(1) = h{1}i
U(1) abelsch → Strukturkonstanten fklm = 0
→ Dµ = ∂µ + igAµ und Aµ → A0µ = Aµ − g1 ∂µ ϕ(x )
vgl. mit minimaler Kopplung → g = e und Aµ Photonenfeld
→ Term zur zugehörigen kinetischen Energie: − 14 Fµν F µν
Lagrangedichte der QED
LQED = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ − e ψ̄γ µ ψAµ − 14 Fµν F µν
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24/27
LQED = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ −e ψ̄γ µ ψAµ − 14 Fµν F µν
Einführung
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25/27
Lagrangedichte der QCD
Starke Wechselwirkung nur abhängig von Farbladung
→ Innere SU(3)C -Symmetrie:
SU(3) = {U ∈ C3×3 : U † U = 1, det(U) = 1}
= {eiαa Ta : Ta = Ta† , tr(Ta ) = 0, αa ∈ R, a = 1, ..., 8}
Mögliche Darstellung der Ta :
Ta = λ2a mit den Gell-Mann-Matrizen λa
SU(3) nicht abelsch → Strukturkonstanten verschwinden nicht
→ Dµ = ∂µ + igTa Gµa und Gµa → Gµa − g1 ∂µ αa − fabc αb Gµc
Gµa : Gluonenfelder
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26/27
a G µν folgt für
Mit eichinvariantem kinetischen Energieterm − 14 Gµν
a
die Lagrangedichte:
Lagrangedichte der QCD
a G µν
LQCD = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ − g ψ̄γ µ Ta ψGµa − 14 Gµν
a
b c
a = ∂ G a − ∂ G a − gf
Aber: Gµν
µ ν
ν µ
abc Gµ Gν
|
{z
}
6 0,
=
da nicht abelsch
→ Selbstwechselwirkung der Gluonen:
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Stundenplan (Nachmittage) für das Lernzentrum (S 79) im

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