Übungsblatt

Prof. Alexander Rohrbach, IMTEK
3. Übung zur Vorlesung
Biophysik der Zelle im WS 15/16
Lösung am 10.11.15
mit Rebecca Michiels, Julian Roth und Nicolas Schudell
Abkürzungen: INGPHYS = Physiker & Ingenieure; BIOCP = Studenten der Biochemie und-physik
Aufgabe 6: Einzelmolekülexperiment an Proteinkette (Klausurniveau)
In einem Einzelmolekülexperiment wird mit der Spitze eines
AFMs eine Kraft F an zwei miteinander verbundene
Proteinstrukturen angelegt. Die AFM-Spitze bewegt sich langsam
von der Wand weg (siehe Bild) und streckt die Proteinstrukturen
(es tritt jedoch noch keine Entfaltung der Proteine ein). Es wird
eine Gesamtstreckung des Molekülkomplexes um xtot = 12nm
gemessen. Hierzu wurde eine Kraft von F = 18pN aufgewendet.
AFM-tip
protein 1
protein 2
force F
wall
xtot
a) Wie groß ist die Federkonstante tot des Molekülkomplexes ?
b) Man weiß aus anderen Messungen, dass Proteinstruktur 1 eine Federkonstante von 1 = 210-3
N/m hat. Wie groß ist die Streckung x1 der Proteinstruktur 1 ?
c) Welche Federkonstante 2 hat die andere Proteinstruktur 2 ?
d) Um wieviel Nanometer wird Proteinstuktur 2 bei diesem Experiment gestreckt ?
Aufgabe 7: Verformung des Zellkerns (primär für INGPHYS, für BIOCP freiwillig)
Man möchte experimentell die mechanischen Eigenschaften des Zellkerns (N = Nucleus) bestimmen,
d.h. die Federkonstante N und den Reibungskoeffizient N. Hierzu befestigt man ein einige µm kleines
Glaskügelchen (bead) an der Zellmembran und übt eine Kraft F = 10 pN auf diese aus. Die daraus
resultierende Gesamtverformung xcell = 1µm der Zelle kann man mit Hilfe eines Mikroskops
bestimmen.
xcell=1µm
2.5
Verformung xc
Zytoplas
ma
N
N
C
F=10pN
x in µm
2.0
1.5
Bei F = 25pN
1.0
C
F = 2.5 pN
0.5
Zellkern
0.0
z
t
x
Man stellt ein einfaches Model auf, in dem sich visko-elastische Bewegungen von sowohl Zytoskelett
bzw. Zytoplasma als auch vom Kern durch Kelvin-Elemente beschreiben lassen. Weiter vereinfacht man
das Problem, indem man die Zugrichtungen als unabhängig voneinander annimmt (Verformung nur in xRichtung) und die Kelvin-Elemente des Zytoskeletts (Index C) zu einem einzigen Element
zusammenfasst.
a) Skizzieren Sie abstrahiert das Problem (Schaltung von 2 Kelvin-Elementen). Wie lautet der
allgemeine, zeitabhängige Ausdruck für die Verformung xcell(t) ?
 A. Rohrbach WS 15/16
b) Bei langsamem Ziehen mit der Kraft F stelle sich ein thermodynamisches Gleichgewicht ein, d.h.
für t   ändert sich xcell nicht. Aus einer anderen Messung ist die zeitliche Verformung xc(t)
des Zytoskelettanteils bei F = 25pN bekannt (siehe Grafik rechts oben). Bestimmen Sie damit die
Federkonstante und Deformation des Zellkerns.
c) Um Informationen über das Reibungsverhalten des Kerns zu erhalten, betrachtet man nun die
zeitabhängige Gleichung xcell(t). Man nimmt an, dass die Deformation des Kerns nach der Zeit t1
= 3ms auf die Hälfte des Maximalwertes angewachsen ist. Bestimmen Sie n und c sowie deren
Verhältnis. (Tipp: überlegen Sie sich, in welcher Relation die einzelnen Kräfte des Systems
stehen und was daraus für das Verhältnis der Auslenkungen bzw. der Federsteifigkeiten folgt).
Aufgabe 8 – Verformung von Membran-Strukturen
G
In einer lebenden Zelle finden ständig Strukturverformungen
r
a
statt, was Energie kostet, da hierzu Potenzial-Kräfte und
c
b
Reibungskräfte überwunden werden müssen. In unserem
Beispiel verformt sich eine näherungsweise sphärische Struktur
mit konstantem Volumen VS = 4/3  r³ (Oberfläche AS = 4r²) in
eine ellipsoidale Struktur. Diese hat ein Volumen VE = 4/3  abc und eine Oberfläche AE 
4  13  (ab)8/5  (ac)8/5  (bc)8/5  
5/8
. a, b und c bezeichnen hier die Halbachsen des Ellipsoids.
a) Man nehme an, dass die Volumenarbeit GVol proportional zum Volumen V der Struktur ist. Es ist
Volumenarbeit von GVol = 2000 kBT nötig, um sowohl ein sphärisches Vesikel zu formen, als auch ein
Rotationsellipsoid mit den Halbachsen a = b = 0.8r = 1µm und c > a. Welche 3 Durchmesser hat das
ellipsoidale Vesikel ?
b) Die Verformungsarbeit, die an den Vesikeln verrichtet wird, sei näherungsweise proportional zur
Oberfläche, d.h. GVerf = KA, wobei für das sphärische Vesikel gelte: GVerf = 400 kBT. Um wie viel ist
die Oberfläche des Rotationsellipsoids aus Teilaufgabe a) größer als die des sphärischen Vesikels
und welche zusätzliche Verformungsarbeit ist für das ellipsoidale Vesikel nötig?
Aufgabe 9 – Die Gesetze von Adolf Fick (primär für BIOCP, INGPHYS freiwillig) – falls Stoff behandelt
Der Verlauf einer eindimensionalen Teilchenkonzentration in einer Flüssigkeit lässt sich im Bereich x = 0
mm bis x = 1 mm durch die Funktion c(x) = 17 - 6x² beschreiben (Einheit [c] = 1/µm3).
a) Der Teilchenfluss kann über Jx(x) = 216x (Einheit [Jx] = 1/(µm2s) genähert werden. Bestimmen
Sie den Konzentrationsgradienten und Diffusionskonstante D (in µm²/s). Skizzieren Sie c(x) und
Jx(x). Bestimmen Sie ferner die Divergenz x J x des Flusses. Handelt es sich um eine FlussQuelle (div J > 0) oder eine Fluss-Senke (div J < 0)?
b) Bilden Sie die zweite Ortsableitung der Teilchenkonzentration. Wie schnell ändert sich die
Konzentration pro Zeit, wenn man mit obiger Diffusionskonstante D die zeitliche Änderung
c
t am Ort x = 0 und x = 1mm misst? Wie hätte man das Ergebnis alternativ erhalten können ?
c) Wie groß ist bei obiger Diffusionskonstante D die mittlere quadratische Verschiebung MSD bei
einem Zeitabstand  = 0.5s zwischen den Messpunkten?
 A. Rohrbach WS 15/16

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