Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Proseminar Analysis
Prof. Dr. Röger
Benjamin Czyszczon
Satz von Heine Borel
Gliederung
1. Zellen und offene Überdeckungen
2. Satz von Heine Borel
3. Anwendungsbeispiel: Nullmengenkriterium
Es werden nun zunächst die Voraussetzungen für den Satz von Heine Borel bzw.
für dessen Anwendung gelegt. Dazu soll ein Verständnis über Zellen und offene
Überdeckungen aufgebaut werden.
1
1.1
Zellen und offene Überdeckungen
Definition:
Unter einer Zelle im Rn verstehen wir das karthesische Produkt
Z = I1 × I2 × ... × In
(1)
von Intervallen I1 , I2 , ..., In in R.
Offene bzw. abgeschlossene Zellen im Rn sind von der Form Z =
n
Q
Ik mit
k=1
Ik = (ak , bk ) bzw. Ik = [ak , bk ], für 1 ≤ k ≤ n, also
(≤)
(≤)
Z = {(x1 , ..., xn ) : ak < xk < bk , 1 ≤ k ≤ n}
1.2
(2)
Definition:
Der (n-dimensionale) Inhalt |Z| einer Zelle aus (1) ist |Z| :=
n
Q
|Ik |.
k=1
Für Z mit der Form (2) ergibt sich also
|Z| =
n
Y
lk mit lk = bk − ak
(3)
k=1
Folgender Satz ist nun eine Verallgemeinerung des Intervallschachtelungsprinzips
und wird für den Beweis des Satzes von Heine Borel ein wichtige Rolle spielen:
1
1.3
Satz: (Schachtelungsprinzip)
Sei {Zk }k∈N eine Folge von abgeschlossenen Zellen mit Z0 ⊃ Z1 ⊃ ... und
lim diam(Zk ) = 0. Dann gibt es genau einen Punkt x0 ∈ Rn der in allen Zk
k→∞
liegt:
∞
\
Zk = {x}
(4)
k=1
Beweis:
Nach (1) besteht das karthesische Produkt von jedem Zk aus abgeschlossenen
j
⊂ Ikj für k ∈ N, 1 ≤ j ≤ n und
Intervallen Ik1 , Ik2 , ..., Ikn mit mit Ik+1
lim |Ik1 | = lim |Ik2 | = ... = lim |Ikn | = 0
k→∞
k→∞
k→∞
⇒ Intervallschachtelungsprinzip: Es gibt n Intervallschachtelungen {Ikj }, 1 ≤ j ≤ n
und jede erfasst genau ein xj . Folglich erfasst {Zk }k∈N genau einen Punkt
x := (x1 , x2 , ..., xn )
1.4
Definition: (Offene Überdeckungen)
Sei M ⊂ Rn und I eine (Index-)Menge. Unter einer offenen Überdeckung der
Menge M verstehen wir eine Familie U = {Ωa }a∈I von offenen Mengen Ωa des
Rn und der Eigenschaft: M ⊂ ∪ Ωa
a∈I
Sie heißt endliche offene Überdeckung, wenn I endlich ist.
1.5
Beispiel:
1
99
1
Sei K := [ 100
, 100
] ∪ {3} und V0 := (2.9, 3.1), Vj := ( j+2
,1 −
I ∈ N0 .
Dann ist {Vj }j∈I eine Überdeckung von K.
1.6
1
)
j+2
für j ∈ N mit
Korollar:
(1.) Jede nicht leere Menge M des Rn besitzt eine offene Überdeckung durch Kugeln vom Radius r > 0, nämlich U = {Br (x)}x∈M
(2.) Ist Ω offen, so ist U = {Ω} eine endliche offene Überdeckung von Ω
(3.) Ist M ⊂ Rn beschränkt, so gibt es eine Kugel B = BR (0) mit M ⊂ B als
endliche offene Überdeckung
Im Prinzip hätte es bei dem Beispiel 1.5 schon genügt die Mengen V0 und V101
zu nehmen, da diese K vollständig überdecken. Also ist auch in diesem Beispiel
eine endliche Überdeckung enthalten. Der im nächsten Abschnitt behandelte Satz
von Heine Borel garantiert nun sogar, dass sich aus jeder Überdeckung einer
kompakten Menge im Rn immer eine endliche Überdeckung auswählen lässt.
Dabei wird nun im folgenden immer vorausgesetzt, dass die betrachteten Mengen
Teilmengen des Rn sind und es sich um n-dimensionale Zellen handelt.
2
2
2.1
Satz von Heine Borel
Satz:
Eine Menge K des Rn ist genau dann kompakt, wenn sich aus jeder offenen Überdeckung eine endliche Überdeckung von K auswählen lässt.
Beweis:
(Im Nachfolgenden wird die Auswahleigenschaft immer abkürzend mit (AE) bezeichnet.)
0
⇐0 Zu zeigen: (1.) K ist beschränkt (2.) K ist abgeschlossen
Zu 1:
Sei K eine Menge die (AE) erfüllt.
Da sich der Rn durch eine Folge {Br (0)}r∈N von Kugeln um Null überdecken lässt,
ist dies vor allem auch für jede Teilmenge des Rn möglich. Somit ist sicherlich
U = {BN (0) : N ∈ N} eine offene Überdeckung von K.
Mit Definition 1.4 gilt: Es gibt Zahlen N1 , N2 , ..., Np für die gilt N1 < N2 < ... < Np
p
S
und K ⊂
BNj (0) = BNp (0)
j=1
⇒ K ist beschränkt
Zu 2:
Annahme: K ist nicht abgeschlossen
Dann existiert ein x0 ∈ ∂K\K. Sei ΩN := {x ∈ Rn : |x − x0 | > N1 } für N ∈ N
also U := {ΩN }N ∈N wäre eine offene Überdeckung von K.
Nach Voraussetzung lässt sich eine endliche Überdeckung auswählen.
Wegen Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ ... gäbe es also ein N ∈ N,
(?)
so dass K ⊂ ΩN und |x − x0 | > N1 ∀x ∈ K und N < ∞
Andererseits ist x0 ∈ ∂K\K
⇒ K lässt sich beliebig durch ein x ∈ K approximieren.
⇒ Widerspruch zu (?)
0
⇒0 Sei K kompakt im Rn .
⇒ Es gibt eine abgeschlossene Zelle Z mit K ⊂ Z dessen Kantenlänge wir als
gleich voraussetzen.
Annahme: K erfülle nicht die (AE), d.h. es gäbe offene Überdeckung von K aus
der sich keine endliche Überdeckung von K auswählen lässt.
Solch eine nicht endliche offene Überdeckung soll nun schrittweise untersucht werden:
Schritt 1: Sei also U eine Überdeckung von K die (AE) nicht erfüllt.
Zerlege Z in N := 2n kongruente abgeschlossene Zellen Z1? , Z2? , ..., ZN? mit
N
S
Z := Z0 =
Zj? durch halbieren jeder Kantenlänge von W .
j=1
⇒ U ist offene Überdeckung von Kj? := K ∩ Zj? für 1 ≤ j ≤ N und für mind. ein
j lässt sich aus U keine endliche Überdeckung von Kj? auswählen.
Definiere ein solches als Kj := K ∩ Zj? und bezeichne zugehörige Zelle Zj? mit Z1 .
N
S
Zj?? . Bezeichne ein Zj?? für
Schritt 2: Erneutes Anwenden auf Z1 liefert Z1 =
j=1
das U zwar offene Überdeckung von K ∩ Wj?? ist, sich aber keine endliche offene
Überdeckung von K ∩ Zj?? aus U auswählen lässt mit Z2 .
3
Durch wiederholtes anwenden erhält man eine Folge {Zl }l∈N für die gilt:
(1.) Für jedes l ∈ N ist U offene Überdeckung von K ∩ Zl für die sich keine
endliche Überdeckung von K ∩ Zl auswählen lässt
(??)
∞
T
(2.) Nach Satz 1.3 gilt:
Zl = {x0 }
l=1
Aufbauend auf diesen Eigenschaften soll nun ein Widerspruch erzeugt werden.
Dazu wird nun zuerst gezeigt, dass der Punkt x0 in K liegt und so von einer
offenen Menge Ω mit Ω ⊂ U überdeckt wird:
Aus (1.) folgt K ∩ Zl ist nicht leer für jedes l ∈ N
⇒ Es existiert eine Folge {xl }l∈N von Punkten xl ∈ K ∩ Zl mit
|xl − x0 | ≤ diam Zl → 0
⇒ lim xl = x0
l→∞
l→∞
Da zudem xl ∈ K ∀ l ∈ N und K abgeschlossen ist gilt auch: x0 ∈ K
⇒ Es gibt eine offene Menge Ω mit x0 ∈ Ω und Ω ⊂ U
Nun muss nur noch gezeigt werden, dass diese offene Menge eine Überdeckung
von K ∩ Zl ab einem gewissen Index l0 ist, was den gewünschten Widerspruch zu
folge hat:
Nach der Definition einer offenen Menge gibt es eine Kugel Br (x0 ) mit Br (x0 ) ⊂ Ω.
Weiterhin gilt, dass ab einem Index l0 ∈ N diam(Zl ) < r ist, also
Zl ⊂ Br (x0 ) ∀ l > l0 gilt.
⇒ K ∩ Zl ⊂ Ω ∀ l > l 0
Korollar 1.6
⇒
U 0 = {Ω} ist endliche Überdeckung von K ∩ Zl ∀ l > l0 und aus U
gewählt
⇒ Widerspruch zu (??)
Beachten sollte man noch, dass der Satz von Heine Borel nicht besagt, dass
M kompakt ist, wenn M eine endliche offene Überdeckung besitzt, da so eine
Überdeckung immer existiert!
3
Anwendungsbeispiel: Nullmengenkriterium
Als Anwendungsbeispiel des Satzes von Heine Borel soll nun im folgenden ein neues Kriterium für Nullmengen hergeleitet werden, nämlich über sogenannte dünne
Mengen. Dünne Mengen wollen wir dabei zunächst auf zwei Weisen definieren:
1.) Mengen vom Inhalt Null
2.) Mengen vom Maße Null
Die erste Frage wird nun sein, wie diese Definitionen in Zusammenhang stehen.
4
3.1
Definition:
(i) M hat den Inhalt Null (in Zeichen |M | = 0), wenn es zu jedem ε > 0 eine endliche Überdeckung von M durch offene Zellen Z1 , Z2 , ..., ZN gibt, sodass
N
P
|Zj | < ε gilt.
j=1
(ii) M hat das Maß Null (in Zeichen λ? (M ) = 0), wenn es zu jedem ε > 0 eine
endliche
P oder abzählbare Überdeckung {Zj }j∈J von M durch offen Zellen Zj gibt
mit
|Zj | < ε.
j∈J
Aus i) folgt offensichtlich ii), aber die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie
folgendes Beispiel zeigt:
3.2
Beispiel:
Sei n = 1 und M := Q ∩ [0, 1]
Dann ist M eine Nullmenge, denn M ist abzählbar, also gibt es eine bijektive
Abbildung j 7→ xj von N nach M .
ε
ε
Wir setzen Ij := (xj − 2j+1
, xj + 2j+1
). Dann ist {Ij }j∈N abzählbare Überdeckung
∞
∞
P
P
ε
von offene Zellen Ij mit
|Ij | =
= ε ⇒ M ist Nullmenge
2j
j=1
j=1
Behauptung: M hat nicht den Inhalt Null.
M liegt dicht in [0, 1] ⇒ M = [0, 1]
N
S
⇒ [0, 1] ⊂
Z j für irgendeine Überdeckung {Z1 , Z2 , ..., ZN } von M durch offene
j=1
Intervalle Z1 , Z2 , ..., ZN ⇒ 1 ≤
N
P
|Zj | ⇒ Behauptung
j=1
3.3
Korollar:
(i) Jede abzählbare Menge des Rn ist eine Nullmenge.
(ii) Jede endliche Menge des Rn hat den Inhalt Null.
Nachfolgender Satz gibt nun Aufschluss darüber, wann eine Menge sowohl eine Nullmenge ist als auch den Inhalt Null hat.
3.4
Satz:
Jede kompakte Nullmenge hat den Inhalt Null.
Beweis:
Sei K kompakt und λ? (K) = 0.
Def.3.1
⇒
Es existiert zu ε > 0 beliebig eine endliche bzw. höchstens abzählbare
5
Überdeckung U = {Zj }j∈N von K durch offene Zellen Zj mit
∞
P
|Zj | < ε
j=1
Satz 2.1
⇒
Es existiert ein N ∈ N mit K ⊂
N
S
j=1
Zj und
N
P
|Zj | < ε
j=1
Nun wollen wir aus dem jetzt erhalten Wissen über die Zusammenhänge der beiden am Anfang des Abschnitts beschriebenen Definitionen eine neue Definition
des Begriffes der dünnen Mengen vornehmen. Diese soll am Ende beide Definitionen erfüllen, also sowohl eine Menge vom Inhalt Null als auch eine Nullmenge
sein.
3.5
Definition:
Eine kompakte Menge des Rn heißt dünn, wenn es zu jedem x0 ∈ K eine Kugel
Br (x0 ) und eine stetige reelle Funktion φ(y) mit y = (x1 , ..., xj−1 , xj+1 , ..., xn ) ∈ Q
derart gibt, dass M := K ∩ B r (x0 ) = {(x1 , ..., xn ) : xj = φ(y), y ∈ Q} und Q eine
kompakte Teilmenge von Rn−1 ist.
Anders ausgedrückt: Eine kompakte Menge K des Rn heißt dünn, wenn sie lokal
der Graph einer stetigen Funktion φ : Q → R ist mit Q kompakt und Q liegt in
der Hyperebene {x ∈ Rn : xj = 0}.
Da diese Definition für kompakte Mengen bestimmt ist, haben wir also schon
einmal die Voraussetzungen dafür gelegt, dass sie sowohl eine Menge vom Inhalt
Null als auch eine Nullmenge sein kann. Nun muss nur noch gezeigt werden, dass
diese Definition eine von beiden erfüllt. Um das zu zeigen sollen die nachfolgenden
Sätze beziehungsweise das nachfolgende Korollar als Hilfe dienen.
3.6
Satz:
(i) Die Vereinigung endlich vieler Mengen vom Inhalt Null ist eine Menge vom
Inhalt Null.
(ii) Die Vereinigung höchstens abzählbar vieler Nullmengen ist eine Nullmenge.
Beweis:
(i) Sei N :=
n
S
Nj die endliche Vereinigung von Mengen Nj mit |Nj | = 0 für
j=1
j = 1, ..., n. Nach Def. 3.1ii) findet man für j = 1, ..., n eine endliche ÜberN
P
deckung durch offene Zellen Zj1 , Zj2 , ..., ZjN mit N ∈ N, sodass gilt:
|Zjk | < nε
k=1
⇒ {Zjk : j ∈ {1, 2, ..., n}, k ∈ {1, 2, ..., N }} ist endliche Überdeckung von N und
n P
N
n
P
P
ε
|Zjk | <
=ε
n
j=1 k=1
j=1
∞
S
(ii) Dazu sei ε > 0 und Mj für j ∈ N Mengen vom Inhalt Null mit M :=
Mj . Zu
j=1
j ∈ N finde Folge von offenen Zellen {Zjk }j,k∈N mit Mj ⊂
∞
S
Zjk und
k
⇒ {Zjk : j.k ∈ N} ist abzählbare Menge von Zellen und M ⊂
∞
P
|Zjk | <
k=1
∞ S
∞
S
j=1 k=1
6
ε
2j
Zjk und
∞ P
∞
P
|Zjk | <
j=1 k=1
3.7
∞
P
j=1
ε
2j
=ε
Satz:
Ist n ≥ 2 und φ ∈ C0 (Q), wobei Q eine kompakte Menge des Rn−1 bezeichnet, so
hat der Graph φ den Inhalt Null.
Beweis:
Wir konstruieren Würfel W = {x ∈ Rn−1 : kxkmax ≤ r} in Rn−1 mit Q ⊂ W .
Wir setzen q := |W | = (2r)n−1
(?)
Wähle ε > 0 beliebig und bestimme η > 0 derart, dass 4qη < ε
(??)
Da φ gleichmäßig stetig ist, gibt es δ > 0 mit |φ(x) − φ(x0 )| < η ∀x, x0 ∈ Q für die
|x − x0 | < δ gilt.
Zerlege W in N = pn−1 kongruente abgeschlossene Würfel W10 , W20 , ..., WN0 durch
teilen jeder Kante von W in p ∈ N gleichgroße Intervalle mit diam Wj0 < δ für
j = 1, ..., N .
Definiere Zellen Zj0 = Wj0 × Ij mit Ij := (φ(εj ) − η, φ(εj ) + η) und εj als jeweiliger
Mittelpunkt von Wj0
N
N
P
S
|Wj0 |
⇒φ⊂
Zj0 und |Zj0 | = |Wj0 |2η sowie |W | =
j=1
j=1
⇒
N
P
|Zj0 | = 2η [
N
P
(??)
(?)
|Wj0 |] = 2η|W | = 2ηq < ( 2ε )
(? ? ?)
j=1
Wj0 durch
j=1
offene achsenparallele Würfel Wj mit Wj0 ⊂ Wj und
Ersetze jedes
0
|Wj | < 2|Wj | für j = 1, 2, ..., N
⇒ Z1 := W1 × I1 , Z2 := W2 × I2 , ..., ZN := WN × IN ist offene endliche ÜberN
(???)
P
deckung vom Graph φ und es gilt
Zj < ε
j=1
⇒ Behauptung
Als Ergebnis erhält man nun die Bestätigung, dass die eingeführte Definition
der dünnen Menge eine Menge vom Inhalt Null als auch eine Nullmenge ist und
damit einhergehend ein weiteres Nullmengenkriterium, was nachfolgender Satz
zum Ausdruck bringt:
3.8
Satz:
Eine dünne kompakte Menge K hat den n-dimensionalen Inhalt Null und ist damit eine Nullmenge.
Beweis:
Nach Heine Borel kann K durch endlich viele Kugeln Br (x0 ) von der in Def.
3.5 beschriebenen Art überdeckt werden. Wegen Satz 3.7 ist also K eine endliche Vereinigung von Mengen des Inhalts Null und nach Satz 3.6 gilt |K| = 0
⇒ Behauptung
7
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