Versicherungstechnik

Operations Research und Wirtschaftsinformatik
Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt
DOOR
Versicherungstechnik
Übungsblatt 3
Abgabe bis zum Dienstag, dem 03.11.2015 um 10 Uhr im Kasten 19
Lösungsvorschlag:
Vorbereitungen
Versicherungsmathematische Bezeichnungsweisen:
Zahlungsweise
frei
Grundsymbol
Dauer/Aufschub
Alter, Dauer
mögliche Grundsymbole (Sterbetafel):
l=
b erwartete Zahl der in einem Kollektiv Befindlichen
d=
b erwartete Zahl der Ausgeschiedenen
p=
b Verbleibenswahrscheinlichkeit
q=
b Ausscheidewahrscheinlihkeit
Ähnliche Bezeichnungsweisen gelten für die folgenden gängigen Symbole:
ä, a =
b Rentenbarwert bei vorschüssiger/nachschüssiger Zahlungsweise
A=
b Leistungsbarwert
C, D, M =
b Kommutationszahlen
P, B =
b Prämien (Beiträge)
..
.
mögliche Altersbezeichnungen:
x=
b männliche Person des Alters x
y=
b weibliche Person des Alters y
ω=
b Schlussalter / Tafelende
֒→ derzeit 115 für aktuelle Tafeln (Sterbetafel 2004R, DAV)
n=
b festes Endalter, nicht genauer angegeben
weitere Besonderheiten:
Buchstabe
, Zahl =
b feste, nicht zufällige Laufzeit (rechts unten)
Buchstabe|, Zahl| =
b Aufschubzeit (links unten)
(Buchstabe), (Zahl) =
b Anzahl der gleichen Teile in welche das Jahr unterteilt wird
(rechts oben)
֒→ bei kontinuierlichen Größen, überquert man häufig das
Grundsymbol
Aufgabe 8
Eine Zeitrente ist eine Folge von gleich großen Zahlungen in gleich großen Zeitabständen (z. B.
1 Jahr), die über einen im Voraus festgelegten Zeitraum bei einer vorgegebenen konstanten,
jährlichen, zusammengesetzten Verzinsung von p % gezahlt wird. Hierbei sei die Zahlung jeweils
von der Höhe 1.
a) Wie groß ist der Barwert einer „ewigen“ Zeitrente ä ∞ bzw. a ∞ ?
(k)
(k)
b) Geben Sie bitte auch die Barwerte a n bzw. ä n für k-tel-jährig nk-mal vor- bzw. nachschüssig zahlbare Zeitrenten bei zusammengesetzter Verzinsung an.
Machen Sie Ihre Ergebnisse bitte jeweils anhand der zugehörigen Zahlungsreihe oder mit Hilfe
eines Zeitstrahles deutlich!
(1 Punkt)
Lösungsvorschlag:
Zeitrente =
b vertraglich fixiertes System von zeitdiskreten Zahlungen, bei dem die Beträge, Zahlungszeitpunkte und die Dauer der Zahlungen bei Vertragsabschluss festliegen.
• vorschüssige Zahlweise: alle Zahlungen erfolgen zu Beginn des jeweiligen Zahlungsintervalles
• nachschüssige Zahlweise: alle Zahlungen erfolgen am Ende des jeweiligen Zahlungsintervalles
Bemerkung: Im Gegensatz zu Leibrenten (vgl. Aufgabe 9) deren Zahlungen vom Erleben bzw.
allgemein vom Status der Person abhängt, spielt bei Zeitrenten der Zufall keine Rolle.
♦
⇒ Barwert einer Zeitrente =
b Summe aller auf den Vertragsbeginn abgezinsten Zahlungen
Es gilt:
• Für die Barwertbetrachtungen ist die Jahresrente im Folgenden auf den Betrag 1 normiert,
das Rentenintervall ist normiert auf 1 Jahr und die Verzinsung zusammengesetzt.
• Bei vorschüssiger Zahlungsweise fällt das Rentenende nicht mit dem Zeitpunkt der letzten
Zahlung zusammen.
• Der Barwert einer Zahlung vom Betrag 1, mit Fälligkeit zu Beginn des t-ten Vertragsjahres
ist v t−1 .
a) Barwert einer ewigen Zeitrente:
vorschüssig:
ä ∞ = lim ä n
n→∞
1
1 − vn
=
= lim
n→∞
d
d
nachschüssig:
1+i
=
i
1
1 − vn
=
n→∞
i
i
a ∞ = lim a n = lim
n→∞
(k)
(k)
b) Barwerte ä n bzw. a n für k-tel jährige, n · k-mal vor- bzw. nachschüssig zahlbare Zeitrenten des Jahresbetrags 1
(k)
ä n
=
n·k−1
X
t=0
mit vik
⇒
(k)
ä n
1 t
·v
k ik
√
1
1
=
= √
= kv
k
1 + ik
1+i
=
n·k−1
X
t=0
X t
1 n·k−1
1
vk
v · = ·
k
k t=0
t
k
nk
1 1−v k
= ·
k 1 − v k1
(k)
bzw. a n =
n·k
X
t=1
=
t
vk ·
X t+1
1 n·k−1
1
= ·
v k
k
k t=0
1
1
1 − vn
· vk ·
1
k
1 − vk
Bemerkung: Es gilt:
(k)
ä n =
n·k−1
X
t=0
mit v 1 =
k
1
1+i 1
1 t
· v1
k k
. Nun gilt weiterhin bei unterjähriger Zahlung:
k
1+i =
k−1
X
t=0
1 t+1
· i1
k k
Problem: So kann i 1 allerdings nicht bestimmt werden! Daher verwendet man stattdessen:
k
1 + i = (1 + i 1 )k
k
und somit v 1 =
k
1
√
k
1+i
=
√
k
v
♦
Aufgabe 9
Eine Leibrente unterscheidet sich von der Zeitrente dadurch, dass die Zahlungen zum Zeitpunkt
t an das Erleben der Zahlzeitpunkte gebunden sind. Dazu bezeichne t px die Wahrscheinlichkeit,
dass ein x-jähriger Versicherter den (x + t)-ten Zahlzeitpunkt überlebt und ω das sogenannte
Schlussalter (Altershöchstgrenze).
a) Wie groß ist der Barwert äx einer vorschüssig lebenslänglich zahlbaren sofort (mit dem
Alter x) beginnenden Leibrente vom Betrag 1?
b) Wie groß ist der Barwert ax bei nachschüssigen Zahlungen?
c) Wie groß sind die Barwerte n| ax bzw. n| äx für entsprechende lebenslange Leibrenten, die
erst in n Jahren einsetzen (sog. aufgeschobene Leibrenten)?
d) Wie groß sind die Barwerte ax, n bzw. äx, n
beginnend n Jahre lang gezahlt werden?
für entsprechende Leibrenten, die sofort
e) Wie groß sind die Barwerte aus d), wenn die Rente jährlich um 1 steigt?
Leiten Sie die entsprechenden Werte bitte ausführlich her.
(2,5 Punkte)
Lösungsvorschlag:
Leibrente =
b Zeitrente, deren Zahlungen an das Erleben der Zahlungszeitpunkte gebunden sind
⇒ Erlebenswahrscheinlichkeiten werden benötigt
px =
b Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger das nächste Jahr überlebt
n px
=
b Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger das (x + 1)-te Lebensjahr vollendet
=
b Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger das (x + n)-te Lebensjahr vollendet
Daraus ergeben sich die entsprechenden Leibrentenbarwerte:
a) Barwert äx einer vorschüssig lebenslänglich zahlbaren sofort (mit dem Alter x) beginnenden Rente (Leibrente) vom Betrag 1:
äx :=
ω−x
X
t px
t=0
· vt ,
b) Barwert ax einer nachschüssigen, lebenslänglich zahlbaren sofort beginnenden Leibrente
vom Betrag 1.
ax :=
=
ω−x
X
t=1
ω−x
X
t px
t px
t=0
· vt
· v t − 0 px · v 0
= äx − 1
c) Barwerte n| ax ,
Betrag 1:
n| äx
für um n Jahre aufgeschobene, lebenslang zahlbare Leibrenten vom
n| äx =
ω−x−n
X
n+t px
· v n+t
ω−x−n
X
n+t px
· v n+t
t=0
n| ax
=
t=1
d) Sofort beginnende, abgekürzte (d.h. n-Jahre zahlbare) Leibrente
äx, n =
n−1
X
t px
t=0
ax, n =
n
X
· vt , n ≤ ω − x + 1
· vt , n ≤ ω − x
t px
t=1
e) Sofort beginnende, abgekürzte Leibrente mit Dynamik (konstant der Höhe 1)
(Iä)x, n =
n−1
X
t px
t=0
(Ia)x, n =
n
X
· v t · (1 + t)
t px
t=1
· vt · t
Aufgabe 10
Die Capitol Versicherung AG hat beschlossen, zur Aufbesserung ihrer Außenwirkung einen Wissenschaftspreis zu stiften, der aus einem Stiftungskapital in Höhe von 1.000.000e finanziert wird
und jährlich vergeben werden soll.
a) Es werde direkt zu Beginn die Preisvergabe vorgenommen. Wie hoch darf der Preis dotiert
sein, wenn der Zinssatz i = 0,02 beträgt und das Stifungskapital nicht abgebaut werden
darf?
b) Da die Capitol Versicherung AG die Verwaltung des Stiftungskapitals übernommen hat,
beträgt die Verzinsung nicht i = 0,02, sondern i = 0,04. Wie hoch ist nach 10 Jahren das
Stiftungskapital, wenn die in a) bestimmte Höhe des Preises beibehalten wird?
Lösungsvorschlag:
a)
(1 000 000 − P ) · 1,02 = 1 000 000
1 000 000
= 1 000 000 − P
⇔
1,02
1 000 000
⇔ P = 1 000 000 −
≈ 19 607,84
1,02
b) Gegeben: K0 = 1 000 000, P ≈ 19607,84, i = 0,04
Gesucht: K10
Dazu Aufstellen einer Gleichung für die Kapitalwerte zum Zeitpunkt 10:
K10 = K0 · (1,04)10 −
10
X
t=1
P · (1,04)t
= K0 · (1,04)10 − P · (1,04) ·
10
= K0 · (1,04)
− P · (1,04) ·
≈ 1 235 413,90
9
X
(1,04)t
t=0
(1,04)10 − 1
1,04 − 1
!
6= 1 000 000(1,02)10 = 1 218 994,42
(1 Punkt)
Aufgabe 11
Der Absolvent Fridolin F. hat während des Studiums für ein Auto gespart. 5 Jahre lang hat
er monatlich 50 e zurückgelegt, nur im letzten und sechsten Jahr konnte er seinen Sparplan
aufgrund einer Mieterhöhung nicht mehr aufrecht erhalten. Das Geld wird bei der Bank mit
einem jährlichen Zinsfuß von 3 % verzinst.
a) Welchem effektiven Monatszins i 1 entspricht dieser Jahreszinsfuß?
12
b) Welches Vermögen hat Fridolin nach diesen 6 Jahren angespart?
c) Wegen einer Kundenbindungsmaßnahme gewährt die Bank Fridolin einen einmaligen Sparbonus in Höhe von 5 % auf die Summe der eingezahlten Sparbeiträge (unverzinst). Welches
Endvermögen ergibt sich nun?
d) Bei welchem jährlichen Zinssatz erhält man mit identischer Beitragszahlungsweise, aber
ohne Gewährung des Sparbonus, das gleiche Endvermögen?
e) Das Geld reicht leider nicht für Fridolins Traumauto, daher entschließt er sich den gesamten
Betrag für weitere 40 Jahre zu 5 % pro anno anzulegen und sich dann den Betrag als
vorschüssige, jährliche Rente innerhalb von 20 Jahren auszahlen zu lassen. Mit welchem
jährlichen Auszahlungsbetrag kann Fridolin rechnen, wenn weiterhin ein Zins von 5 % zu
Grunde gelegt wird und Sterbewahrscheinlichkeiten unberücksichtigt bleiben?
Lösungsvorschlag:
√
a) i 1 = 12 1 + i − 1 ≈ 0,002466
12
b) S =
60
X
t=1
=
50 ·
√
12
1+i
t
!
· (1 + i)
!
√
1 − ( 12 1 + i)61
√
− 50 · (1 + i)
50 ·
1 − 12 1 + i
= 3 334,12
c) S + 60 · 50 · 0,05 = 3 484,12
d)
6
BB · rneu
= 3 484,12
6
50 · ä 60 · rneu
= 3 484,12
√
60
12
1 − ( vneu )
6
· rneu
= 3 484,12
⇔ 50 ·
√
1 − 12 vneu
√
3 484,12 1 − 12 vneu
6
⇔
rneu =
·
5
50
1 − vneu
⇔
⇔
rneu
⇔
rneu
v
p
u
u
1 − 12 (1/rneu )
6 3 484,12
t
=
·
5
50
1 − (1/rneu )
Wolfram Alpha
≈
1,0426
3 484,12 · 1,0540 = R · ä 20
e)
=R·
⇔
R=
1 20
1 − ( 1,05
)
1−
1
1,05
3 484,12 · 1,0540
1
)
· (1 −
1 20
1,05
1 − ( 1,05 )
= 1 876,4794
(2,5 Punkte)

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