Elektromagnetische Felder und Kräfte

Elektrizitätslehre 3
—
Elektromagnetische Felder
Feldenergie und -kräfte
Martin Schlup, Prof.
3. August 2015
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2
2. Feldenergie
2.1. Energiedichte des elektrischen Felds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Energiedichte des magnetischen Felds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
3. Feldkräfte
3.1. Elektrische Feldkräfte . . . . . . .
3.1.1. Beispiele . . . . . . . . . . .
3.1.2. Allgemeiner Zusammenhang
3.2. Magnetische Feldkräfte . . . . . . .
3.2.1. Beispiel Elektromagnet . . .
3.2.2. Allgemeiner Zusammenhang
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7
7
7
10
11
11
12
A. Analogien
13
B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
B.1. Leitungsstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2. Elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3. Magnetostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
18
18
1
1. Einleitung
1. Einleitung
Beim Aufbau von elektrischen und magnetischen Feldern wird Energie gebunden: Die Spannung
über Kondensatoren oder die Stromstärke in Spulen können keine sprungartige Veränderungen
machen, da dies mit dem Aufbau einer Ladung zusammen mit einem elektrischen Feld im einen
und eines magnetischen Flusses mit einem magnetischen Feld im anderen Fall verbunden ist.
Es ist daher naheliegend, nach der mit den Feldgrössen elektrische Feldstärke E und magnetische Flussdichte oder Induktion 1 B gekoppelten Energie, bzw. Energiedichte zu fragen. Es
stellt sich dabei heraus, dass in diesem Zusammenhang auch Erkenntnisse über Feldkräfte gewonnen werden können. Solche Kräfte erscheinen an Materialgrenzen, z. B. zwischen Luft und
einem Isolator oder an den Stirnseiten von Elektromagneten zwischen Eisen und Luft. Zusätzlich können in diesem Zusammenhang auch Brechungsgesetze für die Feldlinien angegeben
werden.
Es werden hier nur statische und quasistatische elektrische und magnetische Felder betrachtet, bei denen es nicht zu elektromagnetischer Abstrahlung kommt.
2. Feldenergie
Als Ausgangslage für die folgenden Überlegungen wird der Energiestrom dW/dt an den Klemmen eines Zweipols (idealisierter Plattenkondensator oder Elektromagnet mit ferromagnetischem Kern) betrachtet. Dieser kann bei einem „Verbraucherpfeilssystem“ aus der Klemmenspannung u(t) und der Klemmenstromstärke i(t) bestimmt werden: Die im infinitesimalen
Zeitschritt dt durch den Zweipol aufgenommene infinitesimale Energiemenge beträgt dW =
u(t) i(t) dt. Durch Ausdrücken dieses Energiestroms mit Feldgrössen und nach Integration kann
der gesuchte Zusammenhang gefunden werden.
2.1. Energiedichte des elektrischen Felds
Als grundlegende physikalische Feldgrösse wird hier die elektrische Feldstärke E betrachtet. Die
Hilfsgrösse elektrische Erregung (auch Verschiebungsdichte genannt) D = E = r 0 E wird nur
im Zusammenhang mit dem Satz von Gauß2 aus Bequemlichkeitsgründen verwendet.
Wird bei einem Kondensator bei gegebener Spannung u die Ladung um den infinitesimalen
Betrag dq = i dt erhöht, so erhöht sich entsprechend die gespeicherte elektrische Energie im
Volumen V des Elektrodenzwischenraums3 des Kondensators um dW = u i dt = u dq. Dieses
1
2
3
Die Grössen E und B beschreiben die Stärke der jeweiligen Felder. Die üblicherweise als magnetische Feldstärke bezeichnete Grösse H beschreibt nicht die Stärke des magnetischen Felds und müsste korrekterweise
magnetische Erregung heissen.
H
H
Fluss durch Hüllfläche: E dA = Qtot /, bzw. D dA = Qf ree , wobei Qf ree die freien Ladungen innerhalb
der geschlossenen Fläche sind
Im Fall eines idealen Plattenkondensators der Fläche A und des Plattenabstandes l ergibt sich V = A l.
2
2. Feldenergie
Ergebnis kann in Funktion der Feldgrössen D und E ausgedrückt werden:
Z
Spannung:
u
= E dl = E l
Ladungserhaltung:
Fluss durch Hüllfläche (Gauß):
Energiefluss:
i(t)
=
q
=
dW
dq(t)
I dt
→
D dA
i(t) dt = dq
→
q = DA
→
dq = dD A
= u i dt = u · dq
= E l · dD A = E · dE · V
bezogen auf das Volumen:
dwel = dW/V = E · dD = E · r 0 dE
Die Energiedichte ergibt sich durch Addition (Integration) der Beiträge dwel
Z
wel = E · dD
(1)
und für lineare Materialien bei denen die Permittivitätszahl r nicht von der Feldstärke abhängt
Z
wel = E · dE = r
0 2
E
2
(2)
Bemerkungen
• Die Energiedichte wel ist ein Skalarfeld (zu jedem Punkt des Raums gehört eine Zahl).
Sie hängt von der elektrischen Feldstärke und von der Polarisation des Materials ab. Ihre
Einheit ist [wel ] = J/m3 .
• Im Vakuum gilt r = 1 und somit wel = 20 E 2
• Auch wenn hier die Überlegungen an Hand des Beispiels eines Kondensators gemacht
wurden, es gilt allgemein: Jedes elektrische Feld trägt Energie mit der Dichte gemäss den
Gleichungen (1) und (2).
• Für anisotrope Medien4 muss für die Energiedichte folgende allgemeingültige Formel verwendet werden (Skalarprodukt der Feldgrössen):
Z
E
E · dD
wel =
0
Beispiel: Energiegehalt eines Kondensators
Der Vergleich der Feldenergie eines Plattenkondensators nach Gleichung (2) mit der Energieformel zeigt, dass in einem geladenen Kondensator die gespeicherte Energie im Feld steckt:
Z
Z
2
E dV = E 2 V = E 2 A l
Wel =
wel · dV =
2
2
2
1
1 2 1 A
Wkond =
q u = Cu =
(E l)2 = E 2 A l
2
2
2 l
2
4
bei denen die Richtungen der Feldvektoren E und D nicht übereinstimmen
3
2. Feldenergie
2.2. Energiedichte des magnetischen Felds
Als grundlegende physikalische Feldgrösse wird hier die magnetische Flussdichte oder Induktion
B betrachtet. Die Hilfsgrösse magnetische Erregung 5 H (es gilt: µ H = µr µ0 H = B) wird nur
im Zusammenhang mit dem Durchflutungsgesetz6 aus Bequemlichkeitsgründen verwendet.
Die Energiedichte eines magnetischen Felds kann analog zu den Betrachtungen beim elektrischen Feld bestimmt werden, wobei hier insbesondere das nichtlineare Verhalten von ferromagnetischen Materialien berücksichtigt werden muss.
Unter der Annahme, dass der Zweipol die zugeführte Energie mit dem magnetischen (Verkettungs)-Fluss ψ = N φ in einem Volumen bestehend aus einem ferromagnetischen Material
(VF e = A lF e ) und einem Luftspalt (VL = A lL ) speichert, kann mit den folgenden Gesetzen die
Energiedichte bestimmt werden:
Induktionsgesetz:
Durchflutungsgesetz:
dψ
dφ
dB
=N
=NA
dt
dt
dt
H
H lF e + HL lL
H dl = N i → i =
N
dW
= u i dt = i · dψ
u
dW
Integration:
W
=
= H · dB · A lF e + HL · dB · A lL
B
= H dB · VF e +
dB · VL
µ0
I
B2
= WF e + WL = VF e
H dB + VL
2 µ0
Für die Energiedichte ergibt sich in Luft (µr = 1) oder im Vakuum
wmag =
1
B2
2 µ0
und für ferromagnetische Materialien (µr von der Stärke des Felds abhängig):
Z
wmag = H dB
(3)
(4)
Das Integral (4) kann nur mit Kenntnis der Magnetisierungs- oder Hysteresekurve des Materials
bestimmt werden. Im Fall der einmaligen
Ummagnetisierung eines ferromagnetischen Kerns
H
entspricht das geschlossene Integral H dB der Fläche innerhalb der Hystereseschleife (siehe
Beispiel 2).
Bemerkungen
• Die Energiedichte wmag ist ein Skalarfeld (zu jedem Punkt des Raums gehört eine Zahl).
Sie hängt von der Stärke des magnetischen Felds und von der Magnetisierung des Materials ab. Ihre Einheit ist [wmag ] = J/m3 .
• Träger der gesamten in einem magnetischen Kreis gespeicherten Energie ist offenbar das
magnetische Feld: Jedes magnetische Feld trägt Energie mit der Dichte gemäss den Gleichungen (3) oder (4).
5
6
auch inkorrekterweise
magnetische Feldstärke
genannt
H
H
Umlaufintegral: B ds = µ0 Itot , bzw. H ds = I, wobei Itot sämtliche Stromstärken, d. h. inklusive die
Molekularströme, welche für die Magnetisierung des Materials verantwortlich sind, und I die Summe der
Leitungs- und Verschiebungsstromstärken durch die geschlossene schleife sind
4
2. Feldenergie
• Für anisotrope Medien7 muss für die Energiedichte folgende allgemeingültige Formel verwendet werden (Skalarprodukt der Feldgrössen):
Z B
H · dB
wmag =
0
Beispiel 1: Energiegehalt einer linearen Spule
Der Vergleich der Feldenergie einer linearen (eisenlosen) Spule nach Gleichung (3) mit der
Energieformel zeigt, dass in einer stromdurchflossenen, zylindrischen Spule die gespeicherte
Energie im Magnetfeld steckt8 :
Z
Z
1 2
1 2
1 2
Wmag =
wmag · dV =
B dV =
B V =
B Al
2µ0
2µ0
2µ0
2
1
1 2 1 µ0 N 2 A H l 2 1
B
1 2
Wspule =
B Al
ψ i = Li =
= µ0 A l
=
2
2
2
l
N
2
µ0
2µ0
Beispiel 2: Ummagnetisierungsenergie, Hystereseverluste
Für den magnetischen Kreis aus Abb. 1 wechselt bei einem Wechselstromverlauf der Stromstärke
i(t) die magnetische Erregung H(t) periodisch zwischen zwei Extremwerten. Dabei verhält sich
das resultierende magnetische Feld B(t) im Kernmaterial bei zunehmendem H(t) nicht gleich
wie bei abnehmendem, es ergibt sich die Hysterese aus Abb. 2.
Abbildung 1: Magnetischer Kreis ohne Luftspalt
Die im Material aufgenommene Energie beim Verlauf vom Punkt (1) zum Punkt (2) der
Hysteresekurve entspricht gemäss der Formel (4) für die Energiedichte folgendem Wert:
Z B(2)
W12 = AF e lF e
H dB > 0
B(1)
Letzteres Integral entspricht der Fläche des „Dreiecks“ (1 2 20 ). Wird nun H wieder abgebaut,
Hysterese von (2) nach (3), so ergibt sich für die zurückgewonnene Energie, entsprechend der
Fläche des „Dreiecks“ (2 20 3):
Z B(3)
W23 = AF e lF e
H dB < 0
(wegen dB < 0)
B(2)
7
8
bei denen die Richtungen der Feldvektoren B und H nicht übereinstimmen
Es wird dabei angenommen, dass das Feld innerhalb des Spulenvolumens V = A l homogen ist und ausserhalb
verschwindet. A ist dabei die Spulenquerschnittfläche und l deren Länge.
5
2. Feldenergie
Die Ummagnetisierungsenergie für eine halbe Periodendauer kann somit durch folgende Beziehung bestimmt werden.
AF e lF e (W12 + W23 )
Abbildung 2: Gemessene Hysteresekurve des magnetischen Kreises nach Abb. 1
Schnittbandkern aus TRAFOPERM® N2, nach DIN 41309: SG 108/19
Blechdicke: 0.33 mm, Kreislänge: lF e = 25.9 cm, Eisenquerschnittfläche:
AF e = 2.87 cm2 , Windungszahl: N = 100
Für eine ganze Periode, d. h. einen vollständigen Umlauf der Hysteresekurve, wird also der
Hysterese- oder Ummagnetisierungsverlust
I
WH = AF e lF e
H dB
(5)
Das Integral kann hier einfach durch Bestimmen der Fläche innerhalb der Hysteresekurve bestimmt werden. Letztere hat die Einheit einer Energiedichte: [wmag ] = VAs/m3 . Wird die Magnetisierung eines ferromagnetischen Materials bis zur Sättigung betrieben, so ist diese Fläche
ein Mass für die Ummagnetisierungsenergie der Elementarmagnete dieses Materials.
6
3. Feldkräfte
3. Feldkräfte
Feldkräfte können mit Hilfe von Energiebetrachtungen relativ einfach bestimmt werden (Prinzip
der virtuellen Arbeit). Dabei wird angenommen, dass eine infinitesimale Verschiebung δx gegen
die gesuchte Kraft eine entsprechende Arbeit bewirkt. Diese kann durch eine Energiebilanz
bestimmt werden. Das erstaunliche an diesem Verfahren ist, dass keine detaillierte Kenntnis
über das Zustandekommen der resultierenden Kraft notwendig ist9 .
3.1. Elektrische Feldkräfte
3.1.1. Beispiele
Beispiel 1: Plattenkondensator mit konstanter Ladung (ohne Dielektrikum)
Um die Kondensatorplatten der Abb. 3 auseinander zu ziehen, muss die Arbeit δWmech = F δx
gegen die anziehende Kraft zwischen den geladenen Elektroden geleistet werden.
Abbildung 3: Plattenkondensator mit konstanter Ladung
Da die Ladungen auf den Elektroden aber konstant bleiben, verändert sich auch die elektrische Feldstärke E zwischen den Platten nicht (Satz von Gauß). Dabei erhöht sich die Feldenergie um δWel = wel δV = wel A δx. Die Energiebilanz liefert durch Gleichsetzen der beiden
Energieterme:
0
δWmech = F δx = δWel = wel δV = E 2 A δx
2
0 2
→
F =
E A
2
Der elektrostatische Druck, bzw. die Kraft bezogen auf die Elektrodenfläche beträgt also:
pel =
F
0
= E 2 = wel
A
2
(6)
Der elektrostatische Druck entspricht formelmässig der Energiedichte des elektrischen Felds!
9
Zum Beispiel könnte die resultierende Kraft durch Superposition der einzelnen Anziehungskräfte unter den
Ladungsträgern auf den Elektroden bestimmt werden.
7
3. Feldkräfte
Beispiel 2: Plattenkondensator an konstanter Spannung (ohne Dielektrikum)
Die selbe Überlegung kann bei einem an einer Spannungsquelle angeschlossenen Kondensator
gemacht werden.
Abbildung 4: Plattenkondensator mit konstanter Spannung
Hier allerdings bleibt die Spannung U konstant; dafür nimmt die Feldstärke E infinitesimal
um δE, die Kapazität C um δC und damit auch die Ladung Q um δQ ab:
dC
A
δx
δx = − 2 δx = −C
dx
x
x
CU
Q
δQ = U δC = −
δx = − δx
x
x
δC =
Für die Energiebilanz sind hier drei Anteile zu berücksichtigen: die geleistete (virtuelle) Arbeit
δWmech = F δx, die reduzierte Feldenergie im Kondensator, δWkond = 21 U 2 |δC| = 12 U |δQ| und
die von der Quelle aufgenommene Energie δWQ = U |δQ|. Die Gleichspannungsquelle nimmt
also hier die geleistete mechanische Energie und die vom Kondensator abgegebene Feldenergie
auf. Beide Anteile sind interessanterweise gleich gross. Damit ergibt sich für die Energiebilanz:
1
δWQ = U |δQ| = δWmech + δWel = F δx + U |δQ|
2
1 |δQ|
1 Q
1
0
→
F =
U
= U = E · 0 E A = E 2 A
2
δx
2 x
2
2
Der elektrostatische Druck, bzw. die Kraft bezogen auf die Elektrodenfläche beträgt also:
pel =
0
F
= E2
A
2
Das Ergebnis ist identisch mit Gleichung (6) des 1. Beispiels.
8
(7)
3. Feldkräfte
Beispiel 3: Plattenkondensator mit konstanter Ladung und beweglichem Dielektrikum
Das Prinzip der virtuellen Arbeit erlaubt es eine resultierende Kraft korrekt zu bestimmen ohne nach ihrer Ursache zu suchen. Dies kann am Beispiel eines Kondensators mit beweglichem
Dielektrikum illustriert werden, wo gezeigt werden kann, dass z. B. flüssige Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten hineingezogen wird. Die Kapazität der in Abb. 5 dargestellten
Abbildung 5: Plattenkondensator mit konstanter Ladung und beweglichem Dielektrikum
Anordnung beträgt
l (l0 − x)
lx
+ 0
d
d
Die Symbole d und l bezeichnen dabei der Plattenabstand und die Plattenbreite senkrecht zur
Zeichnungsebene. Für die Plattenfläche ergibt sich: A = l l0 . Damit kann die Änderung der
Kapazität infolge (virtueller) Verschiebung des Dielektrikums bestimmt werden:
dC
l
l
l
δC =
δx = r 0 − 0
δx = (r − 1) 0 δx
dx
d
d
d
C(x) = r 0
Bei konstant gehaltenen Ladungen auf den Plattenelektroden verändert sich auch die Spannung
dU
d(Q/C) dC
Q
l
δC =
·
δx = − 2 · (r − 1) 0 δx
dC
dC
dx
C
d
und damit ergibt sich für die Feldenergieänderung
d(U Q/2)
1
1 Q 2
l
1
l
δWel =
δU = Q δU = −
(r − 1) 0 δx = − U 2 (r − 1) 0 δx
dU
2
2 C
d
2
d
l
1
1
= − E 2 d2 (r − 1) 0 δx = − E 2 (r − 1) 0 l d δx
2
d
2
Die Energiebilanz liefert für die Kraft F auf das Dielektrikum:
δU =
1
δWmech = F δx = |δWel | = E 2 (r − 1) 0 l d δx
2
0 2
→
F = (r − 1) E l d
2
9
3. Feldkräfte
Der elektrostatische Druck auf die Stirnseite des Dielektrikums beträgt also:
pel =
F
0
= (r − 1) E 2
ld
2
(8)
Das Dielektrikum wird in den Zwischenraum hineingezogen. Das selbe Ergebnis erhält man auch
bei konstant gehaltener Spannung. Die Beziehung (8) ist aber verschieden von den Gleichungen
(6) und (7), da hier die Kraftrichtung senkrecht zu den Feldlinien und nicht patallel dazu
verläuft.
3.1.2. Allgemeiner Zusammenhang
Für den elektrostatischen Druck (oder Zugspannung) an der Materialgrenze (siehe Anhang B,
Brechungsgesetz 11) zwischen zwei Dielektrika mit den Permittivitätszahlen 1 und 2 lässt sich
folgende allgemeingültige Formel herleiten:
dFn
1 2
2 − 1
2 − 1
2
peln =
E1t + E1n
=
E1 E2 =
dA
2
2
2
E1t und E1n sind dabei bezüglich der Materialgrenze die Tangential- (Quer-) und NormalKomponenten des Vektors der elektrischen Feldstärke E1 im Medium 1. Die Kraft steht senkrecht auf der Materialgrenze und ist vom Medium mit der grösseren zum Medium mit der
kleineren Permittivität gerichtet.
Für den Sonderfall der Grenzfläche zwischen einem Isolator (2 = 0 r ) und Luft (1 = 0 )
ergibt sich
dFn
0 (r − 1)
peln =
=
r Et2 + En2
dA
2
r
wenn Et und En die Komponenten der elektrischen Feldstärke im Luftraum bezeichnen.
Sind die Feldlinien senkrecht zur Grenzfläche (Et = 0), so ergibt sich für die Oberfläche einer
Elektrode (2 → ∞) das Ergebnis von Gleichung (6):
peln =
0 2
E
2 n
Sind die Feldlinien parallel zur Grenzfläche (En = 0), so ergibt sich das Ergebnis von Gleichung (8):
0
peln = (r − 1)Et2
2
10
3. Feldkräfte
3.2. Magnetische Feldkräfte
3.2.1. Beispiel Elektromagnet
Abbildung 6: Anziehungskraft eines Elektromagneten
Das resultierende magnetische Feld B im Kernmaterial kann auch bei Änderung
der Luftspaltbreite lL durch entsprechende Nachführung von i(t) konstant gehalten werden. Da dies ein Gedankenexperiment ist, spielt die technische Realisierbarkeit dieser Regelung hier keine Rolle.
Die gesamte im magnetischen Kreis gespeicherte Energie beträgt gemäss Gleichung (4) und
der Berücksichtigung der unterschiedlichen Verhältnissen im „Eisen“ und im Luftspalt
Z
Z
Z
1 2
B
dB = A lF e
H dB + A lL
B
Wmag = VF e
H dB + VL
µ
2µ
0
Fe
Fe
L 0
Dabei entspricht das Integral der Fläche des „Dreiecks“ (1 2 20 ) in der Abb. 2. Nach einer virtuellen Verschiebung des Ankers um δx ändert sich die Energie um folgenden Anteil
δWmag =
dWmag
dWmag dlL
1 2
δx =
δx = A
B 2 δx
dx
dlL dx
2µ0
Da durch die Regelung der Stromstärke i(t) die Induktion B im ganzen Magnetkreis konstant
bleibt, kann auch keine Energie mit der Quelle ausgetauscht werden10 . Die Energie im „Eisen“
verändert sich daher auch nicht, sie nimmt nur im Luftspalt zu. Die Energiebilanz liefert also
folgenden Zusammenhang:
δWmech = F δx = δWmag = A
→
F
= 2A
1 2
B 2 δx
2µ0
1 2
B
2µ0
Der magnetostatische Druck, bzw. die Kraft bezogen auf die Luftspaltfläche 2A beträgt also:
pmag =
10
F
1
Am 2
=
B 2 ≈ 4 · 105
B
2A
2 µ0
Vs
Ohne Flussänderung bleibt gemäss Induktionsgesetz die Spannung u(t) = 0.
11
(9)
3. Feldkräfte
Bemerkung
Ohne die Regelung, welche dafür sorgt, dass die Induktion im Kreis konstant bleibt, verteilt
sich die mechanisch zugeführte Energie zwischen Kernmaterial und Luftspalt. Die Induktion
nimmt dabei mit zunehmender Luftspaltbreite ab. Dies gilt demzufolge auch für die magnetische
Anziehungskraft, welche maximal bei verschwindendem Luftspalt ist.
3.2.2. Allgemeiner Zusammenhang
Für den magnetostatischen Druck (oder Zugspannung) an der Materialgrenze (siehe Anhang
B, Brechungsgesetz 12) zwischen zwei isotropen magnetischen Stoffen mit den Permeabilitätszahlen µ1 und µ2 lässt sich folgende allgemeingültige Formel herleiten:
µ2 − µ 1 µ 2 2
dFn
µ 2 − µ1
µ 2 − µ1
2
B1 B2 =
B + B1n
peln =
=
H1 H2 =
dA
2
2µ1 µ2
2µ1 µ2
µ1 1t
B1t und B1n sind dabei bezüglich der Materialgrenze die Tangential- (Quer-) und NormalKomponenten des Vektors der magnetischen Flussdichte B1 im Medium 1. Die Kraft steht
senkrecht auf der Materialgrenze und ist vom Medium mit der grösseren zum Medium mit der
kleineren Permeabilität gerichtet.
Für den Sonderfall der Grenzfläche zwischen einem ferromagnetischen Material (µ2 = µ0 µr )
und Luft (µ1 = µ0 ) ergibt sich
peln =
dFn
1 (µr − 1)
=
µr Bt2 + Bn2
dA
2µ0
µr
wenn Bt und Bn die Komponenten der magnetischen Flussdichte im Luftraum bezeichnen.
Sind ausserdem die Feldlinien senkrecht zur Grenzfläche (Bt = 0), so ergibt sich für die
Oberfläche des ferromagnetischen Materials:
pmagn =
1 (µr − 1) 2
1 2
Bn ≈
B
2µ0
µr
2µ0 n
Der Unterschied zum Ergebnis gemäss Gleichung (9) ist für grosse Werte von µr vernachlässigbar und hängt von den vereinfachenden Annahmen bei dessen Herleitung ab.
12
A. Analogien
A. Analogien
Die Analogien in der Tabelle 1 sind nicht physikalischer, sondern rein mathematischer Natur
(z. B. die magnetische Spannung mit Einheit Ampère hat nichts gemeinsam mit der elektrischen
mit Einheit Volt). Ausserdem gelten sie nur unter bestimmten
P Bedingungen: das Durchflutungsgesetz ist nur bei verschwindender Durchflutung (Θ =
Ik = 0) mit dem Maschensatz und
der Satz von Gauß ist nur für Hüllflächen, welche keine freie Ladungen Q enthalten, mit dem
Knotensatz vergleichbar.
Abgesehen von der Strukturverwandtschaft des magnetostatischen Feldes mit der Gleichstromlehre, welche die (nichtlineare, graphische) Behandlung magnetostatischer Kreise erlaubt
(I ↔ Φ, U ↔ Um , G ↔ Λ), werden diese Analogien zur Bestimmung der Feldverläufe in der
Praxis kaum mehr benutzt11 , bieten aber den Vorteil der Anschaulichkeit. Stationäre und quasistationäre Strömungsfelder beschreiben den Fluss von Ladungsträgern (Driftgeschwindigkeit,
Stromdichte) unter dem Einfluss der elektrischen Feldstärke.
Tabelle 1: Analogien zwischen stationärem oder quasistationärem Strömungsfeld, elektrostatischen und magnetostatischen Feldern
stationäres & quasistat.
Strömungsfeld
elektrostatisches
Feld
magnetostatisches
Feld
el. Feldstärke
el. Feldstärke
E
Permittivität
magn. Feldstärke
H
(magnetische Erregung)
Permeabilität µ
E
el. Leitfähigkeit
Stromdichte
Spannung
γ
j = γE
U=
R
Maschensatz:
H
Stromstärke
I=
Knotensatz:
Leitwert
H
E ds
E ds = 0
R
j dA
j dA = 0
I
G =U
Verschiebungsdichte D = E
(elektrische Erregung)
magn. Flussdichte
Spannung
magn. Spannung
U=
Maschensatz:
H
R
E ds
E ds = 0
Versch.-Fluss
ΦD =
Satz von Gauß:
H
Kapazität
R
D dA
D dA = Q
Q
C =U
B = µH
Um =
R
Durchflutungsgesetz:
H
magn. Fluss
B dA
Φ=
Quellenfreiheit:
H
magn. Leitwert
R
H ds
H ds = Θ
B dA = 0
Φ
Λ =U
m
Dank der Analogien, können Eigenschaften des Strömungsfelds auf die anderen Felder übertragen werden: Planparallele 3-dimensionale Feldbilder12 können als 2-dimensionale Strömungsfelder durch Messung der Äquipotentiallinein am Modell (Kohleschichtpapier oder Wassertank)
11
12
Die Feldbestimmung geschieht heute vorwiegend mit numerischen Methoden (finite Elemente).
solche die bei einer Verschiebung senkrecht zur Darstellungsebene ihre Gestalt nicht verändern
13
A. Analogien
graphisch einfach bestimmt werden, wie z. B. die Brechung der Feldlinien an einer Materialgrenze (siehe Abb. 7), der Streufluss des magnetischen Felds im Luftspalt eines Elektromotors,
die Durchschlagsfestigkeit einer Hochspannungsleitung, die Kapazität einer Elektrodenanordnung (siehe Abb. 8) oder die magnetische Anziehungskraft zwischen den Kontaktzungen eines
Reed-Relais.
Abbildung 7: Brechung der Feldlinien an Materialgrenze
horizontal: Feldlinien der Stromdichte, vertikal: Äquipotentialflächen
14
A. Analogien
Abbildung 8: Elektrostatisches Feldbild an Rand eines Plattenkondensators
Bermerkung: Dort wo die Anstände zwischen den Äquipotentiallinien am kleinsten sind (an den Kanten der Elektroden), ist auch die elektrische Feldstärke am
höchsten. Die Gesamtkapazität des Kondensators kann hier durch Serie- und Parallelschalten der Kapazitäten der einzlenen „Quadrate“ welche alle dieselbe Kapazität CQ = r 0 l aufweisen (l ist dabei die Länge des Kondensators senkrecht zur
Zeichnungsebene), unabhängig von ihrer Grösse: C = CQ m/n (hier ist m = 2 · 24
die Anzahl „Stromröhren zwischen den Elektroden und n = 10 die Anzahl Äquipotentiallinien)
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B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
An Grenzschichten werden die elektromagnetischen Feldlinien wegen einiger Kontinuitätsbedingungen gebrochen (siehe Abb. 7). Dies soll hier für stationäre13 und quasistationäre14 Stromdichten in Leitern, sowie für elektro- und magnetostatische Felder gezeigt werden.
B.1. Leitungsstromdichte
Trifft ein Stromdichtefeld auf die Kontaktgrenzschicht von zwei Leitern mit verschiedenen Leitfähigkeiten γ1 und γ2 , so werden die Feldlinien der Stromdichte j und des entsprechenden
elektrischen Feldes (wegen j = γE) an der Trennfläche gebrochen. Dies kann mit folgenden
zwei Betrachtungen gezeigt werden:
1. Auf der Kontaktgrenzschicht (Trennschicht) zweier Leiter können sich keine Ladungen
ansammeln. Gemäss dem Knotensatz, muss also der Fluss der Leitungsstromdichte j
durch jede beliebige, die Trennschicht enthaltende Hüllfläche verschwinden (siehe Abb.
9).
I
Z
Z
j · dA =
j1 · dA1 +
j2 · dA2 = −j1n ∆A + j2n ∆A = 0
Die Normalkomponenten (senkrecht zur Trennschicht) j1n und j2n der Stromdichten
müssen auf beiden Seiten gleich sein (siehe Abb. 10).
Für die entsprechenden Normalkomponenten der elektrischen Feldstärke gilt daher folgende Beziehung:
E1n
γ2
=
E2n
γ1
2. Der Maschensatz entlang des Pfades 1-2-3-4-1 auf beiden Seiten der Trennschicht (siehe
Abb. 9) liefert für das Umlaufintegral:
I
Z
Z
Z
Z
E · ds =
E · ds12 + E · ds23 + E · ds34 + E · ds41
= E1t ∆s12 + U23 + E2t ∆s34 + U41 = 0
Die Spannungen über der Trennschicht verschwinden (U23 = U41 = 0), da die Strecken
∆s23 und ∆s41 zur Überquerung der Trennschicht beliebig klein gewählt werden können.
Da die Wegstrecken ∆s12 und ∆s34 betragsmässig gleich lang sind (∆s34 = −∆s12 ),
müssen die Tangentialkomponenten (parallel zur Trennschicht) E1t und E2t des elektrischen Feldes auch gleich sein (siehe Abb. 11).
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Bei stationären Verhältnissen sind alle Grössen zeitlich konstant (Gleichstrom).
Quasistationäre Verhältnisse herrschen bei Wechselstrom (sinusförmiger Verlauf der Grössen, niedrige Frequenzen).
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B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
Abbildung 9: Grenzfläche zwischen zwei Medien
Je nach Betrachtung (Strömungs-, elektrostatisches oder magnetostatisches Feld)
handelt es sich bei diesen Medien um Leiter, Isolatoren (auch Vakuum) oder
ferromagnetische Materialien.
Abbildung 10: Identische Normalkomponenten der Feldvektoren
gilt für Leitungsstromdichte j, Verschiebungsdichte D und magnetische Flussdichte B
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B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
Abbildung 11: Identische Tangentialkomponenten der Feldvektoren
gilt für elekrische Feldstärke E und magnetische Feldstärke (magn. Erregung)
H
Dies bedeutet, dass für die entsprechenden Tangentialkomponenten der Leitungsstromdichte folgende Beziehung gilt:
j1t
γ1
=
j2t
γ2
Mit den Winkeln ϕk (k = 1, 2) zwischen der Grenzflächennormalen und den Feldlinien in den
entsprechenden Medien, erhält man folgende Beziehungen (siehe Abb. 10 und 11):
tan ϕ1 =
tan ϕ2 =
j1t
E1t
=
j1n
E1n
j2t
E2t
=
j2n
E2n
Damit ergibt sich für die Feldlinien der Strömungs- und des elektrostatischen Feldes folgendes
Brechungsgesetz für leitende Materialien:
tan ϕ1
γ1
=
tan ϕ2
γ2
(10)
B.2. Elektrostatische Felder
Auf Grund der Analogie zwischen der Stromdichte j mit der Verschiebungsdichte D gilt das
Brechungsgesetz nach Gleichung (10) für elektrostatische Felder genau gleich wie für Strömungsfelder. Dabei muss selbstverständlich anstelle der Leitfähigkeit die Permittivität eingesetzt werden:
tan ϕ1
1
r1
=
=
(11)
tan ϕ2
2
r2
B.3. Magnetostatische Felder
Auf Grund der Analogie zwischen der Stromdichte j mit der magnetischen Flussdichte oder
Induktion B gilt das Brechungsgesetz analog für magnetostatische Felder:
tan ϕ1
µ1
µr1
=
=
tan ϕ2
µ2
µr2
18
(12)

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