Der Satz von Tychonoff

Der Satz von Tychonoff
B. Hewer
Definition 1. Es sei {Mi }i∈I eine Familie von nichtleeren Mengen. Das kartesische Produkt
der Mengen Mi ist definiert durch
(
)
Y
[
Mi := f : I →
Mi : f (i) ∈ Mi .
i∈I
i∈I
Bemerkung 2. Das Auswahlaxiom besagt, dass das kartesische Produkt nichtleer ist.
Definition 3. Es sei {Xi }i∈I eine Familie topologischer Räume. Die Initialtopologie bezüglich
der Koordinatenprojektionen heißt Produkttopologie.
Lemma 4. Ein topologischer Raum (K, τ ) ist genau dann kompakt, falls für jede Familie
{Fi }i∈I abgeschlossener Mengen mit nichtleerem endlichen Durchschnitt
\
Fi 6= ∅
i∈I
gilt.
nichtleerer kompakter topologiSatz 5 (Satz von Tychonoff). Es sei {Xi }i∈I eine Familie Q
scher Räume. Dann ist auch das kartesische Produkt X = i∈I Xi kompakt bezüglich der
Produkttopologie.
Beweis. Es sei F0 ⊂ P(X) ein System abgeschlossener Mengen mit nichtleerem endlichen
Durchschnitt. Es reicht zu zeigen
\
F 6= ∅.
F ∈F0
Es sei
M := {F ⊂ P(X) : F hat nichtleeren endlichen Durchschnitt und F0 ⊂ F} .
Wir versehen M mit der Ordnungsrelation
F ≤ G, falls F ⊂ G.
1
Nun sei K ⊂ M eine Kette. Wir zeigen: Die Menge
[
C=
F
F ∈K
ist ein Element von M . Für Elemente F1 , . . . , Fn von K existieren Fi ∈ K mit Fi ∈ Fi für
alle i ∈ {1, . . . , n}. Weil K eine Kette ist, existiert also F ∈ {F1 , . . . , Fn } mit Fi ⊂ F für
alle i ∈ {1, . . . , n}. Es gilt also F1 , . . . , Fn ∈ F. Somit hat K eine obere Schranke und aus
dem Lemma von Zorn folgt die Existenz eines maximalen Systems F ⊃ F0 mit nichtleeren
endlichen Durchschnitt.
Es sei F nun ein solches maximales System. Wir erhalten für M ⊂ X mit M ∩ F 6= ∅
für alle F ∈ F, dass
F ∪ {M } = F,
da F ∪ {M } nichtleeren endlichen Durchschnitt hat und F maximal ist.
Nun zeigen wir
\
F̄ 6= ∅.
F ∈F
Aus F1 ∩ · · · ∩ Fn 6= ∅ folgt
πi (F1 ∩ · · · ∩ Fn ) 6= ∅
für alle i ∈ {1, . . . , n}. Aus der Kompaktheit von Xi folgt die Existenz von xi ∈ Xi mit
xi ∈
\
π(F ).
F ∈F
Es seien x = {xi }i∈I und U eine Umgebung von x. Nach Definition der Produkttopologie
enthält U eine Menge
n
\
B=
Si
i=1
mit Si =
Q
j∈I
Uj , wobei
(
Xj
Uj =
Vi
,j =
6 i
,j = i
wobei Vi eine offene Umgebung von xi sei. Per Konstruktion gilt somit für alle F ∈ F
πi (F ) ∩ Vi 6= ∅.
Dies impliziert B ∈ F und
U ∩ F 6= ∅
für alle F ∈ F und Umgebungen von x. Also gilt
\
x∈
F̄ .
F ∈F
2
Lemma 6. Es sei S eine nichtleere Menge und
τ = {U ⊂ S : |S \ U | < ∞} ∪ {∅}.
Dann ist(S, τ ) ein kompakter topologischer Raum.
Beweis. Es sei {Ui }i∈I eine offene Überdeckung von S. Dann existiert ein i∗ ∈ I so, dass
Ui∗ nichtleer ist. Dann gilt
S \ Ui∗ = {a1 , . . . , an }.
Für j ∈ {1, . . . , n} existieren nun Uj mit aj ∈ Uj , sodass
S=
n
[
Uj ∪ Ui∗ .
j=1
Lemma 7. Das Auswahlaxiom ist äquivalent zu dem Satz von Tychonoff.
Beweis. Gegeben sei die Richtigkeit von Satz 5. .
Es sei {Mi }i∈I eine Familie von nichtleeren Mengen und d ∈
/ Mi für alle i ∈ I. Dann ist
(Mi ∪ {d}, τi ) ein kompakter topologischer Raum, wobei
τi = {U ⊂ Mi ∪ {d} : |Mi ∪ {d} \ U | < ∞} ∪ {{d}, ∅}.
Aus dem Satz von Tychonoff folgt nun, dass
Y
X=
Mi ∪ {d}
i∈I
kompakt ist. Wir betrachten nun das System
F = πi−1 (Mi ) : i ∈ I .
Per Definition der Produkttoplogie sind die Koordinatenprojektionen πi stetig für alle i ∈ I.
Insbesondere sind also alle Elemente von F abgeschlossen.
Es seien F1 , . . . , Fn ∈ F mit
F1 = πi−1
(Mi1 ), . . . , Fn = πi−1
(Min ).
n
1
Da Sik nichtleer ist, existieren mk ∈ Mik für alle k ∈ {1, . . . , n}. Nun definieren wir
(
mk , β = ik ,
x(β) =
d,
sonst.
3
Da
x ∈ F1 ∩ · · · ∩ Fn
hat F also nichtleeren endlichen Durchschnitt. Da X kompakt ist existiert y mit
\
\
Y
y∈
F =
πi−1 (Mi ) =
Mi .
F ∈F
i∈I
i∈I
4

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