Aufgabe 4.1 Aufgabe 4.2

Aufgabe 4.1
Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Gerade. Wir betrachten folgendes Modell:
P = {A,B,C,D}
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}}
a) Veranschaulichen Sie das Modell durch eine Skizze.
b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt?
Zu a)
die vier Kugeln zeigen jeweils die Punkte A, B, C, D
die Stangen dazwischen sind eigentlich nicht existent, da die geraden jeweils aus nur den zwei
Punkten bestehen.
Zu b)
Ja die Axiome sind erfüllt. Es handelt sich hierbei um ein Minimalmodell in der Geometrie.
Anmerkung: Gehört diese Aufgabe nicht bereits im räumlichen Bereich?
Aufgabe 4.2
Hier finden Sie Aufgabe 4.2.
a)1. Axiom 0,1 und 3 sind erfüllt.
Axiom 2 ist nicht erfüllt da die obere gerade nur aus einem Punkt besteht.
2. die Axiome 0,1 und 2 sind erfüllt.
Axiom drei ist nicht erfüllt da alle Punkte ein und derselben gerade angehören.
3. Axiom 0,2 und 3 sind erfüllt.
Axiom eins ist nicht erfüllt, da zwei Punkte existieren zu denen hier keine gerade eingezeichnet ist.
4. Axiom 1,2 und 3 sind erfüllt.
Axiom null ist nicht erfüllt, da eine Gerade existiert die zusätzlich zu einer Punktmenge noch einen
Stern enthält.
b) es handelt sich bei der in A gezeichneten Modelle um keine bzw. keine vollständigen Modelle
des Axiomsystems. In Aufgabe 41 wendet sich das Minimalmodell für dieses Axiomsystem.
Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
Ergänzen Sie: „Wenn , und
… , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
,
und
drei Punkte.“
1. es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht auf ein und derselben geraden liegen,
dann sind sie paarweise verschieden.
2. Voraussetzung: A, B und C sind drei Punkte. A,B,C liegen nicht auf einen und derselben Gerade
Behauptung: A, B und C sind paarweise verschieden
Beweis:
Annahme: ohne Beschränkung der Allgemeinheit: A = B
Fall eins: A gleich B und nicht gleich C
1. Nicht kollinear (A, B, C)
Voraussetzung
2. es existieren AB, BC, AC
Schritt eins. Axiom I/1
3. BC = AC
Annahme (A = B)
4. A Element BC
Schritt drei
5. koll (A,B,C)
Schritt vier
Widerspruch zur Voraussetzung. Die Annahme ist zu
verwerfen. A, B und C müssen paarweise
verschieden sein.
Fall zwei: A gleich B gleich C
1. A = B = C
Annahme/Fall zwei
2. Es existiert D und A nicht gleich D
Axiom I/3
3. Es existiert AD
Axiom I/1, Schritt zwei
4. B, C Element AD
Schritt eins, Schritt drei
5. A, B, C, D sind kollinear
Schritt eins, Schritt vier
6. A, B, C sind kollinear
Schritt fünf
Widerspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu
verwerfen, somit müssen A, B und C paarweise
verschieden sein
3. Wenn die drei Punkte A,B und C nicht paarweise verschieden sind, dann sind Sie kollinear.
4. Da die Kontraposition äquivalent der ursprünglichen Aussage ist, ist der Beweis bereits in
zweitens geführt.
Der Vollständigkeit halber kurz in der Verbalform: ohne Beschränkung der Allgemeinheit Fall eins:
A gleich B. Es existiert laut Axiom die gerade BC. Da A gleich B gilt A Element BC. Somit gilt
kollinear (A,B,C)
Fall zwei: A = B = C. Laut Axiom existiert ein Punkt D. Ferner existiert die gerade AD laut Axiom.
Da A = B = C gilt somit B, C Element AD. Somit gilt kollinear (A, B, C)
5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinear.
6. Nein. Es gibt auch drei paarweise verschiedene Punkte, welche auf ein und derselben Geraden
liegen.
Aufgaben zur Inzidenz im Raum
Die Inzidenzaxiome können für die Geometrie im Raum erweitert werden. Lesen Sie sich hier
die Inzidenz im Raum SoSe_12) durch, Sie benötigen die Axiome und Definitionen für die
folgenden Aufgaben.
Aufgabe 4.4
Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen
Punkt gemeinsam.
Voraussetzung: es sei E eine Ebene und g Gerade die nicht in E liegt.
Behauptung: E und g haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Beweis:
Annahme: E und g haben mindestens Punkte gemeinsam und g liegt nicht in E.
1.
Ǝ P : P Ɛ E und P Ɛ g
Voraussetzung und Annahme
2.
Ǝ L : L Ɛ E und L Ɛ g
Voraussetzung und Annahme
3.
P≠L
Annahme Schritt 1 und 2
4. g c E
Die Annahme ist somit zu verwerfen. Die
Behauptung trifft zu.
Schritte 1,2,3 und Axiom I/5

Download Report