Lösung zu Aufgaben 10.2 und 10.3

Lösung zu Aufgabe 10.2
Lemma 1. Sei A ein kommutativer Ring und X := Spec(A) nicht zusammenhängend. Dann existieren Ringe A1 , A2 verschieden von dem Nullring, mit A ' A1 × A2 .
Es existiert also Ideale I1 , I2 ⊂ A (verschieden von A) mit X = V (I1 ) t V (I2 ) (wobei t die
disjunkte Vereiningung bezeichnet). Es folgt
∅ = V (I2 ) ∩ V (I2 ) = V (I1 + I2 )
also I1 + I2 = A (die Ideale sind koprim). Außerdem gilt
X = V (I1 ) ∪ V (I2 ) = V (I1 ∩ I2 )
und somit I1 ∩ I2 ⊆ Nil(A). Man kann ohne Einschränkung I1 und I2 durch deren Radikale ersetzen.
Dann gilt immer noch I1 + I2 = A und I1 ∩ I2 = Nil(A). Aus dem chinesischen Restsatz folgt dann
A/ Nil(A) ' (A/I1 ) × (A/I2 )
(1)
wobei A/I1 und A/I1 verschieden von dem Nullring sind. Die Aussage gilt also für den Ring A/ Nil(A).
Es existiert also in A/ Nil(A) ein idempotentes Element x0 6= 0, 1 (z.B das Element (0, 1) durch den
Isomorphismus (1)). Sei π : A → A/ Nil(A) die kanonische Abbildung und sei x ∈ A mit π(x) = x0 .
Es gilt x02 = x0 , also x0 (x0 −1) = 0 in A/ Nil(A). Damit existiert n ≥ 1 mit xn (x−1)n = 0. Die Ideale (x) und (1 − x) sind offensichtlich koprim, also die Ideale (x)n = (xn ) und (1 − x)n = ((1 − x)n )
sind auch koprim (siehe Lemma 2 unten). Es gilt
(xn ) ∩ ((1 − x)n ) = (xn (1 − x)n ) = (0).
Der chinesische Restsatz liefert also einen Isomorphismus
A ' A/(xn ) × A/((1 − x)n ).
Weder x noch 1 − x ist eine Einheit (ansonsten wäre x0 oder 1 − x0 auch eine), also A/(xn ) und
A/((1 − x)n ) sind verschieden vom Nullring.
Lemma 2. Sei I, J koprim. Dann sind I n und J m koprim für alle n, m ≥ 1.
Beweis. Sei zuerst n = 2 und m = 1. Es existiert a ∈ I und b ∈ J mit 1 = a + b. Es gilt:
1 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
k
und somit gilt I 2 + J = A. Per Induktion: I 2 + J = A für alle k ≥ 1. Insbesondere gilt auch
I n + J = A für alle n ≥ 1. Wenn man die Ideale vertauscht erhält man I n + J m = A für alle
n, m ≥ 1.
Aufgabe 10.3
Lemma 3. Sei A lokaler Ring. Dann ist Spec(A) zusammenhängend.
Beweis. Man soll zeigen, dass 0 und 1 die einzigen idempotenten Elemente sind. Sei m ⊂ A das
maximale Ideale und sei x ∈ A mit x2 = x, i.e x(x − 1) = 0. Falls x ∈ A − m = A× gilt, so folgt
x = 1. Falls x ∈ m ist, dann gilt 1 − x ∈ A − m = A× und es folgt a = 0.

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